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第3节 二倍角、半角的构造
前言：既有构造相等角的，也有在这个问题上再进行加工的，比如，在坐标系中构造已知角的半角或二倍角，角可以单独出现，也可以存在于某个几何图形中，因此，构造半角、二倍角的方法也较多，结合条件恰当地选择方法是解题关键.
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几何构造
结合角所在的位置及图形构造倍角或半角，比如构造等腰或构造平行+对称.
引例1: 如图, 抛物线 交x轴于A、B两点,交y轴于C.直线y=x-5经过点B、C.
(1) 求抛物线的解析式；
(2)过点A的直线交直线BC于点 M，连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标.
解析: (1) 抛物线:
(2) 思路：构造等腰三角形
①如图, 当M点在线段BC上且AM=CM时,有∠AMB=2∠ACB. 设M点坐标为(m, m-5),结合A、C两点坐标，
可得：
当AM=CM时,
即 解得：
∴M点坐标为
②过点A作AH⊥BC交BC于H点,
则①中的 M 点关于 H的对称点 M 也是满足条件的 M点，可求H 点坐标为(3, - 2),
∴点M 的坐标为
综上所述，M点坐标为 或
2 三角函数值
构造半角三角函数.
构造二倍角三角函数：
当求出三角函数值后，
若角有一边平行于坐标轴，可求另一边的k值及解析式；
若角无边平行于坐标轴，可构造三垂直相似或全等得定角.
引例2: 如图, 抛物线 交x轴于A、B两点, 其中点A坐标为(1, 0), 与y轴交于点C(0, - 3).
(1) 求抛物线的函数表达式；
(2) 如图, 连接AC, 点P 在抛物线上, 且满足∠PAB=2∠ACO. 求点 P的坐标;
解析: (1) 抛物线:
(2) 思路：利用特殊角的三角函数值
考虑到A 点坐标(1, 0), C点坐标 (0, - 3),
若∠PAB=2∠ACO, 可证得: (证明略)
转化角的正切值为直线的k，即
当 时，直线 PA 解析式为：
联立方程：
解得：
∴P 点坐标为
当 时，直线 PA 解析式为：
联立方程：
解得：
故 P 点坐标为
综上所述，P点坐标为 或
引例3：在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点 C，二次函数 的图像经过B、C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图像上.
(1) 求二次函数的表达式；
(2) 如图, 过点D作DM⊥BC于点M, 是否存在点 D, 使得△CDM 中的某个角恰好等于∠ABC 的 2 倍 若存在，直接写出点D 的横坐标； 若不存在，请说明理由.
解析: (1) 抛物线:
(2) 由题意可得：
①若∠MCD=2∠ABC, 则
过点 C作 CN∥x轴，作 CB关于 CN的对称直线与抛物线交点即为D点. 根据对称可知：
代入点 C坐标可求得直线CD解析式：
联立方程：
解得: x =0 (舍),
∴D点横坐标为2.
②若∠MDC=2∠ABC, 则
过点B作BE⊥BC交 CD的延长线于 E点, 故点E作EF⊥x轴交x轴于 F点, 由题意可得△EFB∽△BOC, 且相似比:
可得： EF=3, ∴ E,点坐标为
∴直线 CE 的解析式为
联立方程：
解得： (舍), ∴D.点横坐标为-29111.
综上所述，D点横坐标为2或
真 题 演 练
1. 如图, 在平面直角坐标系中, 点A、B的坐标分别为(-4,0)、(0, 4)、点C(3, n)在第一象限内,连接AC、BC. 已知∠BCA=2∠CAO, 则n= .
2. (2019·咸宁) 如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点 B，抛物线 经过A、B两点且与x轴的负半轴交于点C.
(1) 求该抛物线的解析式；
(2) 若点 D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时, 求点D 的坐标.
3. 如图1, 四边形OABC是矩形, 点A的坐标为(3, 0), 点 C的坐标为(0, 6), 点 P 从点 O出发，沿OA 以每秒1个单位长度的速度向点A 出发，同时点Q从点A 出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点 B 运动，当点 P与点A 重合时运动停止. 设运动时间为t秒.
问题：当t=1时，抛物线 经过P、Q两点，与y轴交于点 M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点 D，使 若存在，求出所有满足条件的D的坐标； 若不存在，说明理由.
4. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与 x 轴交于点 A，与y 轴交于点 C，抛物线 经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B.
(1) 求抛物线的函数表达式；
(2) 点 D 为直线 AC 上方抛物线上一动点, 过点 D 作 DF⊥AC, 垂足为点F, 连接CD, 是否存在点 D, 使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍 若存在，求点D的横坐标； 若不存在，请说明理由.
5. 如图所示，二次函数 的图像与一次函数y= kx-k+2的图像交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于 C、D两点，其中k<0.
(1) 求A、B两点的横坐标;
(2)二次函数图像的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k, 使得∠ODC=2∠BEC, 若存在, 求出k的值; 若不存在，说明理由.
6. 如图,抛物线 与x轴交于点A 和点B(点A在原点的左侧，点B在原点的右侧), 与y轴交于点 C, OB=OC=3.
(1) 求该抛物线的函数解析式.
(2) 如图2, 点 E 的坐标为 点 P 是抛物线上的点,连接EB、PB、PE形成的△PBE中,是否存在点 P,使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE 若存在,请直接写出符合条件的点P的坐标； 若不存在，请说明理由.
第3节 二倍角、半角的构造
1.解析: 过点 C作 CH⊥y轴交y轴于点 H, 则 CH∥AO,∴∠ACH=∠CAO, 又∠BCA=2∠CAO, ∴∠ACH=∠BCH,记AC与y轴交点为M,则△BCM是等腰三角形,∴BH=MH,由题意得 设 HM=m,则 解得： 即
(1) 抛物线:
(2) 思路：转化为等角
过B作x轴的平行线，
作BA关于平行线对称的直线，与抛物线交点即为D点.
考虑到 故
可得直线BD解析式为：
与抛物线联立方程： 解得： ∴D点坐标为(2, 3).
2.解析：三角函数构造相等角
t=1时, P点坐标为(1, 0), Q 点坐标为(3, 2),代入抛物线解析式，可求得抛物线： 故顶点 K的坐标为
考虑要构造 过点K作KH⊥MQ交MQ于H点,则
根据图形可求得 故若 则 分别解得直线DQ解析式为 或
3.抛物线联立方程：
解得：
则对应D 点坐标为
解得：
则对应D点坐标为
综上所述，D点坐标为 或
4.解析：(1) 抛物线解析式：
(2) 参考引例3，点D横坐标为-2或
5.解析:(1)令 解得：x =1,x =2,故点A横坐标为1，点B横坐标为2.
(2) 思路：三角函数计算
考虑到
故可延长OD至M点使得DM=DC，可得：
联立方程： 解得： 故A 点坐标为 (1, 2), B 点坐标为(2, k+2), E点坐标为(1, 0), 故
若，∠OMC=∠BEC, 即
解得： (舍).
解得： (舍).
综上所述，k的值为 或
6.解析: (1) 抛物线:
(2) 思路：三角函数+构造三垂直
先考虑∠PBE=2∠OBE;
①构造∠PBO=∠OBE, 即可得∠PBE=2∠OBE,
考虑到 可知
故直线PB解析式为：
联立方程： 解得： 故P点坐标为
②考虑到角度实在没什么特殊性可取，构造三垂直相似求旋转直线解析式.
当 P 点在 x 轴下方的抛物线上时，构造∠EBF 满足 过点E作EF⊥EB交BF于F点,则BF与抛物线的交点即为所求P 点.
构造三垂直相似：△BOE∽△EMF，得F点坐标为
则直线BF 的解析式：
联立方程： 解得： 故P点坐标为
考虑∠PEB=2∠OBE：采用如②中的构造三垂直求直线解析式的思路.
③如图, 过点B作BF⊥BE交PE于F点,
构造三垂直相似: △BME∽△FNB
得F点坐标为(1，4)，故直线EF解析式为： 联立方程： 解得： (舍),故P 点坐标为(1, 4).
④同理, 可求下图中 F点坐标为(5, -4),
直线EF解析式为：
联立方程： 解得： (舍),
故P 点坐标为
综上，P点坐标为 或 或(1, 4) 或

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