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(共36张PPT)
曲线运动发生的条件
合外力方向与速度方向不在一直线
ΣF
v
ΣFn
ΣFt
切向力改变速度大小
法向力改变速度方向
求解曲线运动的动力学方法
物体运动情况分析
物体受力情况分析
X
Y
如图所示，滑块A质量为M，因绳子的牵引而沿水平导轨滑动，绳子的另一端缠在半径为r的鼓轮O上，鼓轮以等角速度ω转动．不计导轨摩擦，求绳子的拉力FT与距离x之间的关系．
专题10-例1
B
x
A
r
ω
O
分析滑块A受力：
A
Mg
FN
FT
v
vt
vn
重力Mg、导轨支持力FN，绳子拉力FT
分析滑块A运动：
A沿导轨的运动可视做沿绳向绳与轮切点B的平动及以切点B为中心的转动的合成
由牛顿第二定律:
A实际运动沿水平
由几何关系
B
A
ω
　　　　　 如图所示，套管A质量为M，因受绳子牵引沿竖直杆向上滑动．绳子另一端绕过离杆距离为L的滑轮B而缠在鼓轮上．当鼓轮转动时，其边缘上各点的速度大小为v0．求绳子拉力和距离x之间的关系．
X
Y
分析滑块A受力：
Mg
FN
FT
重力Mg、绳子拉力FT、导轨支持力FN
分析滑块A运动：
vA
v0
vt
滑块沿导轨向上的运动速度vA可视作沿绳向滑轮B的法向速度v0及以B为中心转动的切向速度vt的合成！
x
L
由牛顿第二定律:
A实际运动沿竖直，在水平方向满足
　　　　　 如图所示，长度为l的不可伸长的线系在竖直轴的顶端，在线的下端悬挂质量为m的一重物．再在这重物上系同样长度的另一根线，线的下端悬挂质量也为m的另一个重物．轴以恒定角速度ω转动．试证明第一根线与竖直线所成角度小于第二根线与竖直线所成角度．
ω
mg
mg
设第一根线上拉力为FT1，第二根线上拉力为FT2
FT2
FT1
在竖直方向
在水平方向
　　　　　 如图所示，小物块质量为m，在半径为r的圆柱面上沿螺旋线形的滑槽滑动，运动的切向加速度大小为at=gsinα，式中α为螺旋线的切线与水平面的夹角，求：由于小物块沿槽滑下而使圆柱面绕其中心轴转动的力矩大小．
r
A
B
C
D
小物块切向加速度的水平分量为 ：
gsinα
产生这个加速度的切向水平力大小：
此力反作用力为圆柱面所受沿柱面且方向水平之力，其对轴产生的力矩即为使柱面绕中心轴转动的力矩：
v
v
　　　　　 如图所示，质量为m，半径为r的圆木搁在两个高度相同的支架上，右支架固定不动，而左支架以速度v从圆木下面向外滑．求当两个支点距离
时，圆木对固定支架的压力FN．（两支架开始彼此靠得很近，圆木与支架之间的摩擦不计）
B
r
O
A
r
由几何关系知
分析圆木受力
mg
FNA
FNB
重力mg、支架A、B支持力FNA、 FNB
分析圆木运动：
圆木质心O绕A点转动
v
圆木与B接触,故接触点具有相同的法向速度
O对A点转动的线速度
圆木的运动方程
vO
FN
否则圆木已与固定支架脱离
　　　　　 如图所示，用手握着一绳端在水平桌面上做半径为r的匀速圆周运动，圆心为O，绳长为L，质量可以忽略，绳的另一端系着一个质量为m的小球，恰好也沿着一个以O点为圆心的大圆在桌面上运动，小球和桌面之间有摩擦，求：⑴手对细绳做功的功率P；⑵小球与桌面之间的动摩擦因数μ．
V
r
L
f
小球圆运动的半径设为R
R
分析小球受力
T
绳拉力T；桌面摩擦力 f
∵小球圆周运动，在法向有
手拉端速度
ω
∵小球匀速圆周运动，在切向有
　　　　　 有两个相同的单摆，把一个拴在另一个的下面，使它们各在一个水平面内做匀速圆周运动，设两条摆线(长Ｌ)与竖直线所成的夹角都很小．已知在运动过程中两条摆线一直保持在同一平面内，求此平面转动的角速度，以及两质点轨道半径之比．
两线两球在竖直面内的态势可以有左、右图示两种可能
R
mg
F1
F2
F1
mg
F2
R
分析各球受力及运动轨迹
r
r
mg
mg
在α、β小角度的条件下
等号两边相除得
由几何关系得
水平直径以上各点的临界速度
⑴在水平直径以上各点弹力方向是指向圆心的情况，例如系在绳端的小球，过山车……
线绳
v
mg
FT
当FT =0时，v 临界=
v
轨道
mg
FN
在水平直径以上各点不脱离轨道因而可做完整的圆运动的条件是 ：
⑵在水平直径以上各点弹力方向是背离圆心的情况，例如车过拱形桥……
轨道
v
mg
FN
当FN =0时，v 临界=
在水平直径以上各点不脱离轨道的条件是 ：
机械能守恒
最高点与最低点的弹力差
能到达最高点的最低点速度
恰能到达最高点，最低点加速度
v上
mg
FN上
v下
mg
FN下
竖直面内的匀速圆周运动
mg
FN
Ff
v
mg
FN
v
Ff
如图所示，一长为a的细线系着一小球悬挂在O点静止不动．若使小球获得一个水平初速度 ，略去空气阻力，证明：小球的运动轨迹经过悬点O．
专题10-例2
小球运动轨迹会通过悬点O，是因为线绳在水平直径上方与水平成某一角度α时，绳恰不再张紧，小球开始脱离圆轨道而做斜上抛运动
O
v
v0
y
x
0
绳上张力为零时小球达临界速度
该过程机械能守恒:
图示
h
小球做斜上抛运动设当y方向位移为-h时历时t,有
续解
这段时间内小球完成的水平位移为
查阅
O
y
x
0
说明小球做斜抛运动过程中，通过了坐标为
的悬点O!
图中，A是一带有竖直立柱的木块，总质量为M，位于水平地面上．B是一质量为m的小球，通过一不可伸长的轻绳挂于立柱的顶端．现拉动小球，使绳伸直并处于水平位置.然后让小球从静止状态下摆．如在小球与立柱发生碰撞前，木块A始终未发生移动，则木块与地面之间的静摩擦因数至少为多大？
专题10-例3
B
A
mg
v
分析小球B下摆时受力：
L
小球动力学方程
小球机械能守恒
分析木块A受力：
A
Mg
FN
木块静止须满足
由基本不等式性质：
FT
如图所示，有一个质量均匀的大球壳，正好静止在桌边上，球壳与桌子无摩擦，对球壳轻轻一推，使其滚下桌子，计算球壳不再接触到桌子的瞬间，球壳中心的速率．
专题10-例4
mg
FN
C
O
球壳静止时，与桌边接触的一点O为其支点，球壳二力平衡!
轻推球壳，即给球壳一微扰，球壳的质心C将以支点O为轴，以球半径R为半径在竖直面内从初速度为零开始做圆周运动，其间重力势能减少，动能增加；当球壳质心做圆运动所需向心力仅由重力来提供时，球与桌支持点间无挤压，即开始脱离桌子．
设球壳“不再接触桌子的瞬时”球心速度为v
mg
v
球壳动力学方程
球壳机械能守恒
EC
质心对O的转动动能
球壳对质心C的转动动能
例5
x
y
用微元法计算球壳对质心的转动动能EC
ω
C
将球壳面分割成宽
的一条条极细的环带
第i条环带的质量
第i条环带的速率
整个球壳对过C而垂直于竖直面的轴的转动动能为
返回
筑路工人为了提高工作效率，把从山上挖出来的土石，盛在一个箩筐里，沿一条钢索道滑至山下．如索道形状为 的抛物线，且箩筐及它所盛的土石可以看作质量为m的质点，求箩筐自x=2a处自由滑至抛物线顶点时的速度，并求此时箩筐对钢索的压力.
专题10-例5
在以竖直向上方向为y轴正方向建立的坐标系中，钢索呈顶点为坐标原点、开口向上的抛物线．
0
y
x
a
2a
v
v
g
由质点机械能守恒
质点在抛物线顶点的动力学方程
FN
mg
其中抛物线顶点的曲率半径由
　　　　　 如图所示，一轻绳跨越一固定水平光滑细杆，其两端各系一小球，球a置于地面，球b从水平位置由静止向下摆动，设两球质量相同．求a球恰要离开地面时跨越细杆的两绳之间的夹角．
b
a
l
L
设a球恰要离地时两绳夹角为θ，此时a球与地面无挤压,绳上张力恰与a球重力相等
mg
mg
FT
FT
b球机械能守恒
b球动力学方程
　　　　　 如图所示，长为l的轻杆上端有一个质量为m的小重物，杆用铰链固接在A点，并处于竖直位置，同时与质量为M的物体互相接触．由于微小扰动使系统发生运动．试问质量之比 M/m为多少情况下，杆在脱离物体时刻与水平面成角α＝π/6，这时物体的速度u为多少？
M
m
l
A
小重物与物体恰要脱离时两者接触而无挤压, 故物体的加速度为零!
小重物只受重力，小重物与物体水平速度相同
mg
v
u
过程中系统机械能守恒
小重物动力学方程
　　　　　 如图所示，质量均为m的两个小球固定在长度为l的轻杆两端，直立在相互垂直的光滑墙壁和地板交界处．突然发生微小的扰动使杆无初速倒下，求当杆与竖直方向成角α时，A球对墙的作用力．
B
A
当A球对墙恰无作用力时，杆与竖直所成临界角为φ
当杆与墙夹角α≥ φ 时
A球对墙无作用力
当杆与墙夹角α＜ φ 时
mg
v
FN
过程中B球机械能守恒
此时B球动力学方程
A球对墙的作用力
题14
R
一质点在光滑的固定半球面上距球心高度为H的任意点P，在重力作用下由静止开始往下滑，从Q点离开球面，求PQ两点的高度差h.
设球半径为R
P
Q
H
mg
v
由机械能守恒:
Q点动力学方程为:
由几何关系:
若质点从球顶部无初速滑下，则可沿球面滑下R/3的高度，释放高度H越小，沿球面滑下的高度越短．这是一个有趣又有用的模型．
返回
x
O
m
y
R
　　　　　 质量为M、半径为R的光滑匀质半球，静止在光滑水平面上，在球顶有一质量为m的质点，由静止沿球面下滑，求m离开M以前的轨迹方程和m绕球心O的角速度．
先确定m沿球面下滑的轨迹：
xM
M
在图示坐标系中，沿x 方向系统动量守恒
则m的坐标
x
y
消去参数θ即得m在M上运动时的轨迹方程
设对应于θ角,m绕球心O的角速度为ω,M速度为VM
则m的速度
由x 方向系统动量守恒
续解
由系统机械能守恒
查阅
ω
m
l
相对做匀角速度转动的非惯性参考系静止的物体
小球受绳拉力而匀速转动
小球受绳拉力而静止
在相对于惯性参考系具有向心加速度的参考系中所引入的使牛顿定律仍能适用的力就是惯性离心力!
牛顿运动定律仍可适用
相对做匀角速度转动的非惯性参考系运动的物体
A
O
u
r
Ff
FN
Fk
科里奥利力是转动参考系中引入的假想的惯性力，其大小等于引起科里奥利加速度的真实力，方向相反．物体在转动平面上沿任何方向运动时，都将受到一个与运动方向垂直的科里奥利力 :
如图所示，在以角速度ω绕中心轴O匀速转动的太空实验室里，一长为l的细线，一端固定在中心轴O，另一端系一质量为m的小球，小球相对实验室以速度v匀速转动，转动方向与ω相反，求细线上的拉力FT 的大小．
专题10-例6
O
ω
l
取太空实验室为参考系,小球受线绳拉力FT和惯性离心力Fi和科里奥利力Fk
小球对太空实验室的转动速度为v
FT
Fi
Fk
由牛顿第二定律
其中
　　　　　 如图所示，一对绕固定水平轴O和O'同步转动的凸轮，使传送装置的水平平板发生运动．问凸轮以多大角速度转动时，放在平板上的零件开始移动？当凸轮按顺时针方向转动情况下，零件将往什么方向移动？零件与平板之间的动摩擦因数为μ．凸轮半径为r．
O
以具有加速度的板为参考系，零件处于平衡!
分析零件受力：
重力mg 板约束力（摩擦力与支持力合力）及惯性力mrω2
当静摩擦力达最大时，板约束力方向与竖直成摩擦角φ=tan-1μ，三力应构成闭合三角形如示！
mg
mrω2r
tan-1μ
零件开始滑动ω的临界值
续解
a
b
c
d
读题
tan-1μ
mrω2r
若凸轮顺时针转动、角速度大于
mg
tan-1μ
矢量端点从a到b时，重力,约束力与惯性力不可能构成闭合三角形,且约束力水平分量向右!
以大虚线圆矢径表示大于
的惯性力，所受惯性力方向变化如示:
零件向右滑
矢量端点从c到d时，重力,约束力与惯性力也不可能构成闭合三角形,且约束力水平分量向左 !
零件向左滑
　　　　　 轮船以等速率v沿赤道向东航行，试计算由此使船上物体重量产生的相对误差，地球自转角速度为ω．
设地球半径为R，自转角速度为ω，赤道上重力加速度为g
对地球参考系，船静止在赤道上时货物重即支持面支持力
科里奥利力
当船以速率v沿赤道向东航行时，货物受：
地心引力F引
地面支持力F支
惯性离心力 F i=mRω2
对地球参考系，船以v沿赤道圆做匀速圆运动，有
相对误差为
　　　　　 半径为R＝0.5 m的空心球绕本身的竖直直径旋转，如图所示，角速度为ω＝5 rad/s．在空心球内高度为R/2处有一小木块同球一起旋转，g取10 m/s2． ⒈实现这一情况所需的最小摩擦系数为多少？ ⒉求ω＝8 rad/s时实现这一情况的条件．
ω
⒈以球为参考系，小木块静止
mg
Fi
F
分析小木块受力情况
重力mg
导轨约束力F
惯性离心力Fi
其中
R
代入数据解得
⒉若角速度增大，Fi增大
Fi0
当Fi=Fi时,摩擦力为零
FN
此时角速度
Fiω
F
将ω=8rad/s代入
O
　　　　　 如图所示，橡皮圈挂在钉子上，这时它的长度为2h．然后使橡皮圈在水平面上旋转起来，到转动角速度达到ω时，它的长度也为2h．求橡皮圈转动的角速度．
R
ω
h
橡皮圈竖直悬挂时，橡皮圈的张力从上到下线性变化!
TA
最上端的张力
最下端的张力
平均张力
水平面上
橡皮圈水平旋转时，在圈上取一微元B
B
两种情况下橡皮圈形变量相同
　　　　　 如图所示，一个半径为r＝10 cm的小环，从高度h＝20 cm处掉到桌上，此小圆环在空气中绕其中心轴旋转，轴在竖直方向，角速度ω0＝21 rad/s．圆环与桌面的碰撞为非弹性的，且碰撞时间很短．小环与桌面间摩擦系数为μ＝0.3，求小环停止时所转的圈数．
ω0
小环刚着地时竖直速度为
绕轴转动线速度为
落在桌面后，由于桌面弹力及摩擦力作用,先在极短时间Δt内使竖直速度变为零,同时绕轴转动速度减为ω,而后变为μmg的摩擦力,使转动速度亦减为零!
在碰撞短瞬由动量定理
设此后小环转n圈停止，由动能定理
　　　　　 如图所示，半径为R的水平圆台，可绕通过圆心O的竖直光滑细轴CC'转动，圆台上沿相互垂直的两个半径方向刻有槽，质量为mA的物体A放在一个槽内，A与槽底间的静摩擦因数为μ0 ，质量为mB的物体B放在另一槽内，此槽是光滑的．AB间用一长为l（l＜R）且不可伸长的轻绳绕过细轴相连．试求当圆台做匀角速转动且A、B两物体对圆台不动时，转动角速度ω和A到圆心的距离x所应满足的条件（设此时A与槽的侧面之间没有作用力）
C′
C
A
B
O
A
B
O
x
F
当两物体相对于转盘静止且A恰无摩擦时
F
AB的动力学方程
当两物体相对于转盘静止且A恰未做远离轴心移动时
AB的动力学方程
当两物体相对于转盘静止且A恰未做移近轴心运动时
AB的动力学方程
结论
ω取任意值
　　　　　 如图所示，一根不可伸长的轻绳，穿上一粒质量为m的小珠子，绳的一端固定在A点，另一端系在轻环上，环可以沿水平杆自由滑动．开始珠子被维持在环旁边．此时绳是直的，但未被拉紧，绳子长度为L0 ，A点到杆的距离为h，绳能承受最大张力为T0．试求珠子被释放后沿绳滑动到绳子被拉断时的速度．（摩擦不计）
m
A
L0
h
v
Y
X
0
在图示坐标中珠子运动轨方程为
这是开口向上、顶点为
的抛物线
设当珠子坐标为( x,y)时绳上张力达到T0
此时珠子速度
分析珠子受力
mg
T0
珠子下落过程只有重力功,机械能守恒
珠子的动力学方程
计算曲率半径ρ
将珠子的运动等效为从高
处水平抛出、
、初速度为
射程为
的平抛运动
y
v
对轨迹上的P点:
查阅
则珠子速度

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