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中学物理解题研究
第二专题 刚体运动学初步
解题知识与方法研究
一、刚体作平面运动时，刚体上任意
两点的速度、加速度在两点连线方向
垂直投影
二、两始终相互接触的刚体作平面运动
时，两刚体上的两接触点的速度、加速
度在接触点处的法线方向的垂直投影
如图，设某时刻刚体绕A的角速度为 ，
一、刚体作平面运动时，某刚体平面上任意两点
的速度、加速度在连线方向上垂直投影的关系
两端点乘以 ，
得
即
证明：
如图,
则
解题知识与方法研究
1、速度投影的关系
两点的加速度在两点连线方向的垂直投影并不总是相等！
A 、 B 两点的加速度在
A 、 B连线方向的投影
相等吗？
2、加速度投影的关系
如下图：
刚体上A、B两点的加速度在AB
方向的垂直投影不相等.
A、B两点在连线方向上的速度分量
的大小的变化率总是相等.
研究问题
什么情况下A、B两点的加速度在两点
连线方向的垂直投影相等？
如图两条位于同一竖直平面的水平轨道，相距h，两个物体通过绕过小定滑
轮O的不可伸长的轻绳相连，A在下轨道以匀速率v运动，在绳子与轨道成30°角的瞬时，
绳BO段的中点处有一挂在绳上的小水滴P（与绳相对静止）脱离绳子. 设绳长远大于滑
轮的直径. 求：
（1）水滴P脱离绳子时速度的大小和方向；
（2）水滴落至下轨道时所需的时间.
300
B
P
v
P
O
A
解
第（1）问解决了，就知道了水滴
做抛体运动的初速度，第（2）问
就容易解决了！
水滴脱离绳子的速度就是此时绳上P点速度.
vP
由于拉紧的绳上各点的速度沿绳长方向的投影都相等，
所以
①
又有
②
（1）
vP⊥
vP∥
vB
vB⊥
vB||
③
你能不能大致估计P点的
速度方向 ！
例1
300
A
B
P
v
vB
P
O
A
vP
vP⊥
vP∥
vB⊥
vB||
所以
（2）
水滴作斜下抛运动.
取正解
于是
而
进而得到P点速度大小为
题后总结
关键在于应用了平面运动的
刚体上两点速度在连线方向
投影相等的性质！
其速度的竖直向下
的分量为
②
③
①
原解
如图，
A点的速度
因为
长为L的杆AO用铰链固定在O点，以角速度 围绕O点匀速转动，在O点的正上方有一个定滑轮B，一轻绳绕过B滑轮一端固定在杆的A端，另一端悬挂一个的重物M（图1）, O 、B之间的距离为h.求当AB绳与竖直方向成 角时：
（1）重物M的运动速度；
（2）重物M的加速度.
所以
于是
（1）
OAB有
对三角形
例2
将此加速度分解成沿BA方向和垂直于BA方向两个
分量.
沿BA方向的分量是
这就是M上升的加速度.
表面错误在于认为绳总不伸长，所以绳上各
点沿绳方向的速度、加速度垂直投影均相等！
根本错误在于认为 仅仅反映的是A点离开
滑轮（即绳伸长）的速率的变化快慢！
（2）
因为杆作匀角速度转动，所以A点相对于O点
只有向心的加速度
新解
考虑以B为原点，BO为极轴的极坐标系.
A点的总加速度即为 .
其径向分量为
而
所以
对△ABO，由余弦定理得
①
式中：
②
由此解出
③
②,③代入①化简整理后即得
题后思考
对（1）得到的vM：
求导数确定aM，验证上述新解的结果.
二、两始终相互接触的刚体作平面运动时，
两刚体上的同一平面上的两接触点的速度、
加速度在接触点处的法线方向的垂直投影
1、速度的投影
简单证明：
如果两刚体
上述分速度
不相等
两刚体的接触点经
过小量时间后沿法
向将有不同的位移
在法向上两刚体压缩
（与刚体概念不符）
在法向上两刚体分离
(与始终接触假定不符)
上述两接触点的速度在法向的投影相等.
2、加速度的投影
如图1：
两刚体上的A、B两接触点的
加速度在法向的垂直投影不相等.
两物两接触点的加速度在
法向的投影并非总是相等！
图1
如图2：
两刚体上的A、B两接触点的
加速度在法向的垂直投影相等.
两物两接触点在法向的速度分
量的大小的变化率总是相等.
研究问题
什么情况下A、B两接触点的加速度在
法向的垂直投影相等？
如图所示，AB杆的A端以匀速v沿水平地面向右运动，在运动时杆恒与一固定
的半圆柱相切，半圆柱的半径为R，当杆与水平线的交角为θ 时，求：（1）杆上的与半
圆柱接触的点C的速度及杆的角速度ω ；（2）杆与半圆柱的切点C′的速度大小.
解
杆上的C点的速度在圆半径R方向的投
影为零，
C点速度沿杆长方向.
如图，正交分解A点速度：
则C点速度大小为
以C为基点，则A点绕C点以速度v2转动.
角速度为
C′是不是前面说的“两平
面光滑曲线的交点”？
能不能直接判断在地面参照
系中C点速度的方向？
（1）
（2）
例3
尝试让杆转动一角度
由如图的几何关系可知，当杆
转动时，圆周上C′点转过的角度等于等
于杆转过的角度.
所以C′转动的角速度为
进而
（2）
注意到图中
于是
或者：
求C、C′的加速度，并比较其在半径R
方向的投影的大小.
题后思考
1、平面运动刚体的瞬心可能在刚体内也可能在刚体外（或者说在刚体扩展部位上）
纯滚动的轮子：
滑动的杆：
三、速度瞬心（简称瞬心、又称瞬时转动中心）的运动性质
瞬心在刚体上.
瞬心在刚体外.
定义：平面运动刚体上的瞬时速度为零的点.
2、速度瞬心位置（瞬心在定系中瞬时所占据的“座位”）一般会变动
刚体作定轴转动的平面运动时，瞬心即固定轴, 瞬心位置不动.
上图滚动的轮子，瞬心不断变更位置，轨迹为平行斜面的直线.
3、瞬心速度为零但加速度不一定为零
上图滑动杆的各时刻瞬心的位置变更的迹线为四分之一圆周(自己证明) .
瞬心位置变动的速度不是瞬心的速度.
滑动的杆
纯滚动的轮子
瞬心的加速度不是瞬心位置变动的加速度.
上图中纯滚动的轮子瞬心加速度
上图中滑杆的瞬心加速度
x
y
证明
（1）
（2）
即得
所以
瞬心M相对圆心转动的向心加速度为
式中，
（此即为圆周上任一点绕圆心转动的切线加速度）
对任何在静止参考系K′中于平面上作变速纯滚动的圆柱体（设其半径为R, 某时
刻其圆心速度为vo、加速度为ao）. 证明：（1）圆周上的点绕圆心转动的切向加速度为
ao ；（2）瞬心相对圆心转动的总加速度等于 （3）瞬心在静止参照系K′
中的加速度大小为 ,方向指向圆心.
例5
（3）
瞬心在静止参照系K′中的加速度
所以
半径为r的圆环A沿着半径为R的固定圆环B的外侧作纯滚动，A的环心o绕着B
的环心作圆周运动的角速度记为 , 角加速度记为 . 试求：
（1）A环绕着环心o转动的角速度 ;
（2）A环瞬心M对地的加速度a′M .
解
（1）
由此便得
（2）
A环环心o对地及瞬心M相对o的加速度情
况如图(b) .
图(b)
图(a)
环心o的角速度、速度情况如图(a) .
o对环B的中心，
有
o对瞬心M，
又有
于是
例6
方向：
大小：
方向：
大小：
方向：
大小：
方向：
大小：
最终得到
方向：向上.
图(b)
向下.
向上.
向右.
向左.
方向：
即得
向上.
题后总结思考
两题不难，须概念清楚；
比较此两例的异同之处.
位矢长度的
变化率
位矢转动的
角速度
类似向心加速度
类似切向
加速度
位矢长度变化率
的变化引起
科里奥利加速度：位矢长度
变化，结合旋转因素造成横
向速度变化所引起
极坐标系中的加速度：
在极坐标系中描述运动
极坐标系中的速度：

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