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第三章 函数的概念与性质
奇偶性
人民教育出版社A版 必修第一册 高中数学 高一年级
情景引入
观察下列图片，看看这些图片有什么共同特点？
学习目标
1.了解函数奇偶性的含义(难点)
2.掌握判断函数奇偶性的方法(重点)
3.能利用函数奇偶性的图象特征解决一些简单的问题
观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征
x
y
o
1
2
3
4
5
-1
1
2
3
-1
-2
-3
x
y
o
1
2
3
4
5
-1
1
2
3
-1
-2
-3
图象关于y轴对称
新知探究
如果 ① x∈D，-x∈D，
②f(-x)=f(x)
那么函数f(x)就叫做偶函数.
函数的定义域关于原点对称
概念生成
偶函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D
O
a
-a
b
-b
函数f(x)=x2, x∈[-2,2]是偶函数吗？
是偶函数
函数g(x)=x2, x∈[-1,2]是偶函数吗？
不是偶函数
-a
a
O
g(x)=2-|x|
函数g(x)=2-|x|的定义域为R, x∈R,都有-x∈R,
请你用偶函数的定义证明:
函数g(x)=2-|x|是偶函数.
学以致用
且g(-x)=2-|-x|=2-|x|=g(x)，
即g(x)=2-|x|是偶函数.
观察函数 和 的图象，并完成下面的两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？
图象关于原点对称
这两个函数的图象都关于原点成中心对称
类比探究
列出x,y的对应值表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)=x … …
x∈R，都有f(-x)=-x=-f(x)
这时我们称f(x)=x为奇函数.
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
-x
f(x)
f(-x)
类比探究
奇函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果
① x∈D，-x∈D，
②f(-x)=-f(x)
那么函数f(x)就叫做奇函数.
函数的定义域关于原点对称
概念生成
请你用奇函数的定义证明:
函数 是奇函数.
函数 的定义域为{x|x≠0},
x∈{x|x≠0},都有-x∈{x|x≠0},
学以致用
且
即 是奇函数.
判断函数的奇偶性.
判断函数奇偶性，首先要看定义域.
典型例题
定义法
∴f(x)为奇函数
解：f(x)的定义域为{x|x≠0}，
∵ x∈{x|x≠0},都有-x∈{x|x≠0}，
且
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
一看
看定义域
定义域是否
关于原点对称
非奇非偶函数
否
二算
计算
否
非奇非偶函数
三判断
偶函数
奇函数
既奇又偶函数
是
是
反思感悟
函数
既是奇函数，又是偶函数
解：f(x)的定义域为R，
∵ x∈R,都有-x∈R，
且f(-x)=(-x)4=x4=f(x)
∴f(x)为偶函数
判断下列函数的奇偶性.
课堂检测
解：f(x)的定义域为
{x|x≠1}，
不关于原点对称,
∴f(x)非奇非偶
方法总结 判断函数奇偶性的两种方法：
【思考】（1）如何判断函数 的奇偶性？
【解】(1)利用函数奇偶性定义来判断，函数 的定义域为R，关于原点对称，且有 所以此函数是奇函数.
（2）已知函数 图像分，如何
画出剩余部分？
（3）一般地，如果知道函数为偶（奇）函
数，那么我们可以怎样简化对它的研究？
拓广探索
注意在函数奇偶性判断中加强数形结合：
对于一个奇函数或偶函数，根据它的图像关于原点
或y轴对称的特性，就可由自变量取正值时的图像和性
质，来推断它在整个定义域内的图像和性质。
其实，这也是研究函数奇偶性的好处所在--简化对函数的认识过程。
知识拓展
P85 1.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整.
O
x
y
f(x)
O
x
y
g(x)
巩固练习
这节课你学到了什么？
知识 1.奇偶函数定义；
2.判断函数奇偶性的方法：
①定义法：一看、二算、三判断；
②图象法：奇(偶)函数的等价条件是它的图象关于原点(y轴)对称；
思想方法特殊到一般、抽象概括、数形结合等。
课堂小结

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