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福建省厦门市英才学校 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = {1,2,3,4}，集合 = {1,2}， = {2,3}，则 ( ∩ ) =( )
A. {1,3,4} B. {3,4} C. {3} D. {4}
2.下列函数中与函数 = 相等的是( )
2 3
A. = (√ )2 B. = C. = √ 2 D. = √ 3

( 1), > 0
3.已知函数 ( ) = { 2 ，则 (1)的值为( ) , ≤ 0
A. 1 B. 0 C. 1 D. 0或1
4.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A. = + 1 B. = 2 C. = 2 D. = | |
5.若“ = ”是“ 2 = 4”的充分条件，则 的一个值可以是( )
A. 0 B. 2 C. 4 D. 16
6.命题“ ∈ ， 2 2 + 4 ≤ 0”的否定为( )
A. ∈ ， 2 2 + 4 > 0 B. ∈ ， 2 2 + 4 ≥ 0
C. ， 2 2 + 4 ≤ 0 D. ， 2 2 + 4 > 0
2 1
7.若 > 0, > 0，且 + = 1， + 2 > 2 + 7 恒成立，则实数 的取值范围是( )

A. ( 8,1) B. ( ∞, 8) ∪ (1,+∞)
C. ( ∞, 1) ∪ (8,+∞) D. ( 1,8)
1
( ) + 1, < 0
8.已知函数 ( ) = { 2 ，则不等式 (2 2 1) > (3 + 4)的解集为( )
2 2 , ≥ 0
5 5
A. 1 < < B. < 1或 >
2 2
5 5
C. ( ∞, 1) ∪ ( , +∞) D. ( 1, )
2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中正确的是( )
A. √ 4 = | | B. 2 2 = 4
3
C. ( √ 2 6√ ) ÷ √ = D. 10(√ 2 1)5 = √ √ 2 1
10.若 < < 0，则下列不等式成立的是( )
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1 1 1 1
A. < B. > C. 2 < 2 D. 2 > 2


11.某同学在研究函数 ( ) = 时，得出下面四个结论，其中正确的结论是( )
1+| |
A. 等式 ( ) = ( )在 ∈ 时恒成立
B. 方程 ( ) = 0有三个实数根
C. 若 1 ≠ 2，则一定有 ( 1) ≠ ( 2)
D. 函数 ( )的值域为( ∞, 1) ∪ ( 1,1) ∪ (1, +∞)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12.函数 ( ) = + √ 3的定义域是______．
4
13.已知幂函数 ( ) = 的图象经过点(2,4)，则 (3) = ．
14.在实数运算中，定义新运算“ ”如下：当 ≥ 时， = ；当 < 时， = 2 .则函数 ( ) =
(1 ) (2 )(其中 ∈ [ 2,2])的最大值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
+1
已知函数 ( ) = , ∈ [3,5]．
2
(1)判断函数 ( )在[3,5]上的单调性，并证明；
+1
(2)求函数 ( ) = , ∈ [3,5]的最大值和最小值．
2
16.(本小题15分)
已知全集 = ， = { | 3 < ≤ 6, ∈ }， = { | 2 5 6 < 0, ∈ }.求：
(1) 和 ∩ ；
(2) 和( ) ∪ ．
17.(本小题15分)
已知函数 ( ) = 2 2| | 1．
(1)证明函数 ( )是偶函数；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中作出函数 ( )的图象．
(3)根据图象求该函数的单调区间．
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18.(本小题17分)
某小型机械厂共有工人100名，工人年薪4万元/人．据悉该厂每年生产 台机器，除工人工资外，还需投入
1
2 + 10 (0 < < 70)
成本 ( )(万元)， ( ) = {3 ，且每台机器售价为50万元．通过市场分析，
10000
51 + 1450 (70 ≤ ≤ 150)

该厂生产的机器能全部售完．
(Ⅰ)写出年利润 ( )(万元)关于年产量 的函数解析式；
(Ⅱ)求年产量为多少台时，该厂在生产中所获利润最大？
19.(本小题17分)
2 +
已知定义域为 的函数 ( ) =
2 +1
是奇函数．
+
(1)求 ， 的值；
(2)判断 ( )的单调性，并用定义给出证明．
(3)若对任意的 ∈ ，不等式 ( 2 2 ) + (2 2 ) < 0恒成立，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】[3,4) ∪ (4, +∞)
13.【答案】9
14.【答案】2
15.【答案】解：(1) ( )在[3,5]上是单调增函数，
证明：设 1， 2是区间[3,5]上的两个任意实数，且 1 < 2，
+1 +1 3( )
则 ( 1) ( 2) =
1 2 = 1 2 ，
2 1 2 2 (2 1)(2 2)
∵ 3 ≤ 1 < 2 ≤ 5，
∴ 1 2 < 0，2 1 < 0，2 2 < 0，
∴ ( 1) < ( 2)，
∴ ( )在[3,5]上是单调增函数．
(2) ∵ ( )在[3,5]上是单调增函数，
所以，当 = 3时， ( )取最小值 4；
当 = 5时 ( )取最大值 2．
16.【答案】解：全集 = ， = { | 3 < ≤ 6, ∈ }， = { | 2 5 6 < 0, ∈ }．
(1)由 2 5 6 < 0，即( + 1)( 6) < 0，解得 1 < < 6，
所以 = { | 2 5 6 < 0, ∈ } = { | 1 < < 6}，
又 = { | 3 < ≤ 6, ∈ }，所以 ∩ = { | 1 < < 6}；
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(2)因为全集 = ，所以 = ( ∞, 1] ∪ [6, +∞)，
( ) ∪ = ．
17【. 答案】解：(1) ∵ ∈ ， ( ) = ( )2 2| | 1 = 2
2| | 1 = ( )，
∴ ( )是偶函数．
2 2 1, ≥ 0
(2) ∵ ( ) = { ，函数 ( )图象如图所示．
2 + 2 1, < 0
(3)根据函数的图象可得， ( )的单调增区间为[ 1,0]，[1,+∞)；
( )的单调减区间为( ∞, 1]，[0,1]．
18.【答案】解：(Ⅰ)利用售价减成本，减工人工资，可得年利润
1
50 2
1
10 400 (0 < < 70) 2 + 40 400 (0 < < 70)
( ) = { 3 = { 3 ；
10000 10000
50 51 + 1450 400 (70 ≤ ≤ 150) 1050 ( + ) (70 ≤ ≤ 150)

1
(Ⅱ)当0 < < 70时， ( ) = ( 60)2 + 800
3
∴ = 60时， ( )取得最大值800万元；
10000 10000
当70 ≤ ≤ 150时， ( ) = 1050 ( + ) ≤ 1050 2√ = 850

10000
当且仅当 = ，即 = 100时， ( )取得最大值850万元

综上，年产量为100台时，该厂在生产中所获利润最大，最大为850万元．
19.【答案】解：(1) ∵函数 ( )为奇函数，
∴ (0) = 0， (1) = ( 1)
得 = 1， = 2，
2 +1
故 ( ) =
2 +1
，
+2

2 +1 2 ( 2 +1) 2 1
∵ ( ) = +1 = = = ( )， 2 +2 2 (2 +1+2) 2 +1+2
∴ ( )为奇函数，
∴ = 2， = 1．
(2) ( )为减函数，证明如下：
2 +1
由(1)知， ( ) = +1 2 +2
任设 1， 2 ，且 1 < 2，
1 2 1 1 2 2
( 1) ( 2) = +1 2 1 +2 2 2 +1+2
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4(2 2 2 1)
=
(2 1 +1
，
+2)(2 2+1+2)
∵ 1 < 2，
∴ 2 2 2 1 > 0，
∴ ( 1) ( 2) > 0，
∴ ( )为减函数．
2 +1
(3)由(1)知 ( ) = +1 ， 2 +2
又 ( )在( ∞, +∞)上为减函数．
又因 ( )是奇函数，
从而不等式： ( 2 2 ) + (2 2 ) < 0
等价于 ( 2 2 ) < (2 2 ) = ( 2 2)，
因 ( )为减函数，由上式推得：
2 2 > 2 2．
即对一切 ∈ 有：3 2 2 > 0，
1
从而判别式 = 4 + 12 < 0 <
3
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