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截长补短
【题目】
如图1所示，直线AB，CD交于点O，点 E 是∠BOC平分线上的一点，点 M，N分别是射线OA,OC上的点,且ME=NE.
(1)求证:∠MEN=∠AOC.
(2)点 F在线段 NO上,点G在线段 NO的延长线上,连接EF,EG,若EF=EG,依题意补全图形，用等式表示线段 NF，OG，OM之间的数量关系，并证明.
【读题】
本题是角平分线背景的几何综合题，具体分析时需要借助角平分线的相关辅助线的构造方法.本题考查三条线段的数量关系，因为本题没有特殊的角度，所以可以大胆猜测属于“截长补短”类型.
【分析】
(1)结合题意，可以采取两种方法进行分析，分析图形如图2 和图3所示.
方法一：角平分线作垂直.
如图2所示,作EH⊥CD,EK⊥AB,垂足分别是 H,K,可得EH=EK,又 NE=ME,可以证明Rt△EHN≌Rt△EKM,∠ENH=∠EMK,再结合线段NO和ME 组成的“8字型”进行角度推导,可得∠MEN=∠AOC.
这种思路可以看作角平分线类型的“通法”，具体过程可以参考答案.
方法二：角平分线作对称.
如图3所示,在OB上截取OQ=ON,易证△OEN≌△OEQ,∠ONE=∠OQE,EN=EQ=EM,可得∠EMO=∠EQO,于是可得∠EMO=∠ENO.仿照方法一结合线段 NO和ME 组成的“8字型”可得∠MEN=∠AOC.
这一小问，结合角平分线这个已知条件，用到了角平分线的两个非常重要的作图方法，一个是作垂直，一个是作轴对称.
(2)可依题意补全图形如图4所示，要求用等式表示线段 NF，OG，OM之间的数量关系，并证明.
没有特殊的角度，不太可能是含有特殊的系数，也不可能是二次型的关系.由几何直观可得OM=NF+OG.下面采用不同的方法进行证明，分析图形如图5~8所示.
思路一：截长.
截长，就是在较长线段 MO上进行截取，具体在作辅助线时，辅助线的交代形式可以有所变化，根据截取方式的不同，可以有不同的方法.
方法一：
如图5所示，在线段OM上截取( ,连接EG ,先证△EOG ≌△EOG.
再证△ENF≌△EMG ,可得 NF=MG .因为( 所以OM=NF+OG.
方法一也是答案采用的思路，具体的证明过程可以参考答案，此处从略.这种方法，辅助线的交代形式也可以有所变化，如下面方法二所示.
方法二：
如图 5 所示，在线段 OM 上截取. 结合(1)和已知信息，可得△ENF≌△EMG ,EF=EG ,∠EFN=∠EG M,于是可得
∠EFG=∠EG O
因为EF=EG,所以∠EFG=∠EGO,于是可得
∠EGO=∠EG O
又可证∠EOG=∠EOG ,可证得
于是 可得
思路二：补短.
方法三：
如图6所示,在 FG上截取FS=OG,连接SE.
可证△EFS≌△EGO,ES=EO,∠ESO=∠EOS=∠EOB,于是∠ESN=∠EOM,结合(1)可证△ESN≌△EOM,OM=SN=SF+FN=OG+NF.
方法四：
如图6所示,在NO上截取NS=MO,先证△ESN≌△EOM,再证△EFS≌△EGO,可得结论成立.
方法五：
如图7 所示,在 OD 上截取GT=NF,连接ET,通过两次全等,即△EFN≌△EGT,△EOM≌△EOT,同样可得结论成立.
方法六：
与方法五有所区别，在OD上截取OT=OM，也可以证得结论成立，这种方法与方法五既有区别，也有联系.
思路三：角平分线作垂线段.
方法七：
如图8所示,作EH⊥CD,EK⊥AB,垂足分别是 H,K,可得EH=EK.又EF=GE,可得FH=GH.
由(1)可得 Rt△EHN≌Rt△EKM,NH=MK.
设OM=m,NF=n,OG=t,OH=OK=x,则NH=MK=OM+OK=m+x,于是GH=FH=NH-NF=m+x-n.另外,GH=OG+OH=t+x,于是m+x-n=t+x,于是可得m-n=t,即OM-NF=OG,即OM=NF+OG.
【答案】
(1)证明:作 EH⊥CD,EK⊥AB,垂足分别是 H,K,如图2所示.
因为OE 是∠BOC 的平分线，
所以EH=EK
因为ME=NE,所以Rt△EHN≌Rt△EKM
∠ENH=∠EMK
记ME与OC 的交点为 P，因此
∠EPN=∠OPM
∠MEN=∠AOC
(2)OM=NF+OG.
证明：依题意补全图形，在线段OM上截取( ,连接EG ,如图5所示.
因为OE 是∠BOC 的平分线，所以
∠EON=∠EOB
因为∠MOF=∠DOB,所以
∠EOM=∠EOD
因为OE=OE,
所以
因为EF=EG,
所以EF=EG ,∠EFG=∠EGO
因为∠ENF=∠EMG ,
所以△ENF≌△EMG
因为
所以OM=NF+OG
【反思】
1.角平分线模型最重要的思路就是“对称”，可以借助角平分线的性质进行辅助线的构造，或者直接构造对称的全等三角形.
2.三条线段的数量关系，如果属于“截长补短”的类型，虽然细分的方法比较多，但是大同小异，本质上的区别不大.结合具体的问题进行具体分析，选择最恰当的一种方法即可.
3.对于线段关系的推导，可以借助参数进行.角度推导同样适用.

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