资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
相似三角形的存在性问题专项练习
1.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A、B(点A在点 B 右侧)，点D 为抛物线的顶点.点C在y轴的正半轴，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A 恰好旋转到点F，连接BE.
(1)求点A、B、D的坐标;
(2) 求证:四边形 BFCE 是平行四边形;
(3)如图2,过顶点D作DD ⊥x轴于点D ,点 P 是抛物线上一动点,过点 P 作PM⊥x轴,点M 为垂足,使得△PAM 与△DD A 相似(不含全等).
① 求出一个满足以上条件的点 P 的横坐标；
②直接回答这样的点 P 共有几个
2.如图1，抛物线 与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0),与y轴交于点C,且过点 D(2,-3).点 P、Q 是抛物线 上的动点.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 当点 P 在直线OD 下方时,求△POD 面积的最大值.
(3)如图2,直线OQ 与线段BC 相交于点E,当△OBE 与△ABC 相似时,求点Q的坐标.
3. 如图1，在直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交于点B、点C，对称轴为x=1的抛物线过B、C两点，且交x轴于另一点A，连接AC.
(1) 直接写出点A、点B、点C 的坐标和抛物线的解析式；
(2)已知点 P 为第一象限内抛物线上一点，当点 P 到直线BC 的距离最大时，求点 P 的坐标；
(3)抛物线上是否存在一点 Q(点C 除外)，使以点 Q，A，B 为顶点的三角形与△ABC 相似 若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由.
4. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线L 经过点A(-3,0)和点B(0,-6), L 关于原点O对称的抛物线为L'.
(1) 求抛物线L 的表达式；
(2) 点P 在抛物线L'上,且位于第一象限,过点 P 作PD⊥y轴,垂足为D.若△POD与△AOB 相似，求符合条件的点 P 的坐标.
5. 如图1，已知抛物线 经过原点O(O,O)、A(2,0),直线y=2x经过抛物线的顶点B，点C是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧,联结BC、OC、AB,过点C作CE∥x轴,分别交线段OB、AB于点E、F.
(1) 求抛物线的表达式；
(2)当BC=CE时,求证:△BCE∽△ABO;
(3)当∠CBA =∠BOC时,求点 C的坐标.
6. 如图1，抛物线 过点A(6,0)、B(3, ),与y轴交于点C.联结AB 并延长，交 y轴于点D.
(1) 求该抛物线的表达式；
(2) 求△ADC 的面积;
(3) 点 P 在线段AC上,如果△OAP 和△DCA 相似,求点 P 的坐标.
7. 如图1，直线 与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，抛物线 c 经过点A、B.
(1) 求点 B 的坐标和抛物线的解析式；
(2)M(m，0)为x轴上一动点，过点 M且垂直于x轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点 P、N.
①点M在线段OA 上运动，若以 B、P、N 为顶点的三角形与△APM 相似，求点 M 的坐标；
②点M在x轴上自由运动，若三个点M、P、N中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称 M、P、N三点为“共谐点”.请直接写出使得M、P、N三点成为“共谐点”的m的值.
8. 如图1,已知抛物线经过点 A(0,3)、B(4,1)、C(3,0).
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 联结AC、BC、AB,求∠BAC 的正切值;
(3) 点P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点 P 作PG⊥AP交y轴于点G，当点G在点A 的上方，且△APG与△ABC 相似时，求点P 的坐标.
9. 如图1，已知抛物线 经过点A(1,0)和B(0,3),其顶点为 D.
(1) 求此抛物线的表达式；
(2)求△ABD 的面积;
(3)设P 为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH⊥对称轴,垂足为 H,若△DPH 与△AOB 相似,求点 P 的坐标.
10. 如图1，在平面直角坐标系中，直线y= kx+3与x轴、y轴分别相交于点A、B，并与抛物线 的对称轴交于点C(2, 2),抛物线的顶点为 D.
(1)求k 和b的值;
(2)点G是y轴上一点，且以点B、C、G为顶点的三角形与△BCD 相似,求点G 的坐标;
(3)在抛物线上是否存在点 E，它关于直线AB 的对称点F 恰好落在y轴上，如果存在，直接写出点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由.
11. 如图1，在直角坐标平面内，抛物线 与y轴交于点A，与x轴分别交于B(-1,0)、C(3,0)两点,点 D 是抛物线的顶点.
(1) 求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标；
(2) 联结DC,求△ACD 的面积;
(3)点 P 在直线DC 上,联结OP,若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC 相似,求点 P 的坐标.
12. 如图1，已知直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线经过A、B两点，点P 是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点 D.
(1) 若抛物线的解析式为 设其顶点为 M，其对称轴交AB于点N.
①求点 M、N 的坐标;
② 是否存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形 并说明理由；
(2) 当点 P 的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB 相似 若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.
1.满分解答
(1) 由 得A(1, 0),B(-7,0), D(3,-2 ).
(2)如图3,由CF=CA,CO⊥FA,得FO=AO=1.所以F(-1,0).
在Rt△DD F中, 所以DF=4,∠DFD =60°.
所以△CFA 是等边三角形.
所以∠ECF=∠DCA=∠CFA=60°.所以EC∥x轴.
由 所以DC=6.所以EC=6.
又因为BF=BA-FA=8-2=6,所以BF=EC.
所以四边形 BFCE 是平行四边形.
(3)①如图4,设 作 PH ⊥x 轴于H.
如果 那么解得x=-11.
② 这样的点 P 共有3个.
考点伸展
这样的点 P 为什么共有3个呢
因为 的两个锐角不相等，过点 A 可以画4条直线：直线 DA；直线 DA 关于x轴对称的直线；还有两条直线关于x轴对称，与x轴正半轴的夹角等于
这4条直线，每条直线与抛物线都有两个交点，其中一个交点是点A，另一个交点是点 P.在这4个点 P 中，有1个就是点 D.所以这样的点 P 共有3个.
2.满分解答
(1)设抛物线的解析式为y=a(x-3)(x+1),代入D(2,-3).得-3a=-3.解得a=1.所以抛物线的解析式为
(2) 如图3,作 PF⊥x轴交OD 于点 F.
由O(0,0)、D(2,3),得直线OD 的解析式为
设 所以
① 如图3，当点 P 在y轴右侧时，
②如图4，当点 P 在y轴左侧时，
所以
所以当 时,S△POD取得最大值，最大值时
(3)由B(3,0)、C(0, - 3),得直线BC 的解析式为y=x-3.
已知A(--1,0)、B(3,0)、C(0,-3),设E(x,x-3),所以.
因为∠OBE=∠ABC,所以分两种情况讨论△OBE与△ABC 相似.
①如图5，当 时. 解得x=1.所以E(1,-2).
如图6,作EG⊥x轴于G,QH⊥x轴于H,所以EG∥QH.所以
设C 所以 整理，得
解得 所以 或
②如图7,当 时， 解得 所以
如图8,由EG∥QH,得
设Q( 所以 整理，得
解得
所以 或
考点伸展
第(2)题还可以这样考虑：如图9，设直线OD 与抛物线交于点G.
联立 解得
所以
所以
又因为 与 是等高三角形，
所以 所以
3.满分解答
(1) A(-4,0), B(6,0), C(0,3).
抛物线的解析式为：
(2)如图2,作PH⊥BC于H, PE⊥x 轴交BC 于点E.
在Rt△COB 中,OB=6,OC=3,所以.
在△PHE 和△BFE 中,∠PEH=∠BEF,∠PHE=∠PFB,所以∠HPE=∠CBO.
所以 所以
所以当 PE 取得最大值时，PH 也取得最大值.
设
所以
所以当x=3时，PE、PH 取得最大值.此时
(3)已知A(-4,0),B(6,0),C(0,3),所以AC=5,AB=10,BC=3
所以
分两种情况讨论△QAB 与△ABC 相似.
① 如图3，点 Q在x轴上方，此时∠Q为钝角.
当△QAB∽△CAB时,点 Q 与点C 重合,不符合题意舍去.
当△QAB∽△CBA时,点Q与点C关于直线x=1对称.所以Q(2,3).
② 点Q在x轴下方，不妨设∠ABQ为钝角.
如图4，当△BAQ∽△CAB 时, 所以AQ=2AB=20.
作QH ⊥x轴于H.在 Rt△AQH 中, 所以QH=12,AH=16.
所以OH=AH-AO=16-4=12.此时Q(12,--12).
经检验,点 Q(12, — 12)在抛物线 上.
根据对称性,点Q(12,-12)关于直线x=1的对称点Q'(-10, - 12)也在抛物线上.
如图5,当△BAQ∽△CBA 时, 所以
在Rt△AQH 中, 所以
所以 此时
经检验，点 不在抛物线 上.
考点伸展
第(1)题求抛物线的解析式可以这样考虑：
由 得B(6,0)、C(0, 3).
因为对称轴为x=1，所以抛物线与x轴另一点A(-4，0).
所以抛物线的解析式为
4.满分解答
(1) 将A(-3,0)、B(0, - 6)分别代入. 得
解得a=-1，c=-6.所以抛物线L 的表达式为
(2) 如图2，由抛物线L 的表达式为 得抛物线L'的表达式为.
已知A(-3,0)、B(0,-6),设.
因为∠PDO=∠AOB=90°,分两种情况讨论△POD 与△AOB 相似.
①如图3，当 时,DO=2DP.所以
整理，得 解得x =1,x =6.所以P(1,2)或(6, 12).
②如图4，当 时,DP=2DO.所以
整理，得 解得 所以 或(4,2).
考点伸展
第(2)题还可以这样考虑：
已知A(-3,0)、B(0, - 6),设P(m, n).
因为∠PDO=∠AOB=90°,分两种情况讨论△POD 与△AOB 相似.
①如图3，当 时 所以点 P 在直线y=2x 上.
联立 解得所以 P(1, 2)或(6,12).
② 如图4,当 时. 所以点 P 在直线 上.
联立 解得所以 或(4,2).
5.满分解答
(1)因为抛物线与x轴交于O(0,0)、A(2,0)两点,所以对称轴为直线x=1.
因为顶点 B 在直线y=2x上,所以B(1,2).
设抛物线的表达式为y= ax(x--2),代入点B(1,2),得2=-a.
解得a=-2.所以抛物线的表达式为
(2)如图2,因为CE∥x轴,所以∠CEB=∠BOA.
因为BA=BO,当BC=CE时,等腰三角形BCE 与等腰三角形ABO的底角都相等.
所以△BCE∽△ABO.
(3)如图3,因为∠BFE=∠BEF,∠BFE=∠CBA+∠BCF,∠BEF=∠BOC+∠OCE,所以∠BCF=∠OCE.
如图4,作 BM⊥CE 于M.设CE 与y 轴交于点 N.设 C(x,
由tan∠BCF =tan∠OCE,得
所以 整理，得
因为点C与点B、O不重合,所以x≠1,x≠0.
化简,得2(x--1)=-2(x--2).解得 所以
考点伸展
第(1)题求抛物线的表达式，先要确定点B 的坐标，然后可以设一般式，代入O、A、B三点的
坐标列方程组；也可以设顶点式，代入点O或点A 的坐标列关于a的方程；还可以设交点式，代入点 B 的坐标列关于a 的方程.
第(2)题当( 时， 与 是两个有公共底角的等腰三角形，这两个三角形相似.又因为. ，根据相似三角形的传递性，可得.
6.满分解答
(1)将A(6, 0)、B(3, 分别代入 得 解得
所以抛物线的表达式为
(2) 如图2,由A(6,0)、B(3, ),得直线 AB 的解析式为 +3.
所以D(0,3),CD=OC+OD=9.
所以
(3)如图3,由A(6,0)、C(0,-6)、D(0,3),得CD=9,OC=OA=6,
所以∠CAO=∠ACO=45°.
分两种情况讨论△OAP 和△DCA 相似.
①如图4，当 时， 所以
作PH⊥OA,得等腰直角三角形△PHA,所以PH=AH=4.
所以OH=OP-PH=6-4=2.此时P(2,-4).
② 如图5,当 时， 所以
在等腰直角三角形△PHA 中，
所以 此时
考点伸展
图4、图5中点 P 的位置又是经典.
图4中， 图5中，
如果 那么α+β=45°.
7.满分解答
(1)将点 A(3, 0)代入 得c=2.所以
设抛物线的交点式为 代入点B(0,2),得-4n=2.
解得 所以
(2) ①在Rt△APM 中,
因为△BPN 与△APM有一组对顶角，如果它们相似，那么△BPN 是直角三角形.
(i)如图2,当∠BNP=90°时,BN∥x轴,点 N 与点B 关于抛物线的对称轴对称.抛物线的对称轴为直线 ，所以点N 的横坐标为 .所以，
(ii)如图3,当∠NBP=90°时,作BH⊥MN 于H,那么
由 得 解得 所以
②m的值为 或--1.
考点伸展
最后一小题分三种情况讨论：
①如果 P 为NM的中点,那么yN=2yp.
解方程 整理，得
解得 (如图4所示),或m=3(舍去).
② 如果 N 为PM 的中点,那么 yp=2yN.
解方程 整理，得
解得 (如图5所示),或m=3(舍去).
③如果M为PN 的中点,那么 yp=-yN.
解方程 整理，得
解得m=-1(如图6所示),或m=3(舍去).
8.满分解答
(1) 设抛物线的解析式为
将A(0,3)、B(4,1)、C(3,0)分别代入,得
解得 所以
(2)如图2,由A(0,3)、B(4,1)、C(3,0),得AC =18,BC =2,
所以
所以△ABC 是直角三角形,∠ACB=90°.
所以
(3) 设点 P 的坐标为
如图3,作 PH⊥y轴于H,那么△AHP∽△APG.
如果△APG 与△ABC 相似,那么△AHP 与△ABC 也相似.
分两种情况讨论△AHP 与△ABC 相似:
①如图4,当 时,HA=3HP.
解方程 得x=11,或x=0.此时P(11,36).
②如图5，当 时，
解方程 得 或.x=0.此时
考点伸展
如果第(3)题求点G 的坐标，也需要先求点 P 的坐标.
如图4， 此时 所以
如图5,HG=3HP=17,此时 所以
9.满分解答
(1) 已知抛物线 与x轴交于点A(1,0),可设y=(x-1)(x-x ).
代入点 B(0, 3),得.
所以. 顶点 D 的坐标为(2,-1).
(2)如图2，设抛物线的对称轴与x轴交于点M，作BN⊥DM于N.
已知A(1,0)、B(0,3)、D(2,-1),那么M(2,0), N(2,3).
所以S△ABD =S四边形BADN—S△BDN =S梯形BAMN +S△ADM—S△BDN
(3) 设点 P 的坐标为
分两种情况讨论△DPH 与△AOB 相似:
①当 时.
整理，得 解得x=5,或x=2.此时P(5,8)(如图3所示).
②当 时，
整理，得 解得 或x=2.此时 (如图4所示).
考点伸展
第(2)题也可以这样分割△ABD:如图5,设BD 与x轴交于点E,那么AE 将△ABD 分为两个有公共底边的△BAE 和△DAE，这两个三角形高的和等于 B、D两点间的竖直距离.
由 B(0,3)、D(2,—1),得直线 BD 为. 所以 所以
10.满分解答
(1)将点C(2,2)代入y= kx+3,得2k+3=2.解得
由抛物线的对称轴x=2b=2,得b=1.
(2) 如图2,由 得B(0, 3).
由 得D(2, ）
由B(0, 3)、C(2,2)、D(2, 得
因为BG∥CD,当G在B下方时,∠GBC=∠BCD.分两种情况讨论相似:
①当 时， 此时G(0, (如图2所示).
②当 时 此时G(0,1)(如图3所示).
(3)点E 的坐标为(2, )或(
考点伸展
第(3)题的解题思路是这样的：如图4，作EH⊥y轴于H.
当点 F 落在y轴上时,设AB 垂直平分EF 于G,那么∠EFH=∠A.
由于 可设EH=m,FH=2m,那么
在 中， 所以
所以 所以
所以
将点 代入 得
整理，得 解得m=2,或m=--1.
所以点E 的坐标为( (如图4所示)，或( (如图5所示，局部放大).
11.满分解答
(1)因为抛物线与x轴交于B(-1,0)、C(3,0)两点,所以y=a(x+1)(x-3).
对照 根据常数项相等,得-3a=-3.解得a=1.
所以. 顶点为D(1,-4).
(2)如图2,由A(0,-3)、C(3,0)、D(1, - 4),可得
所以 所以△ACD 是直角三角形,∠CAD=90°.
所以
(3)第一步,先探求∠OCD=∠BAC.
如图3,由C(3,0)、D(1, - 4),可得
如图4,作BH⊥AC于H.由OA=OC,得AC=3 ,∠C=45°.
在等腰直角三角形BCH 中，BC=4，所以.
在Rt△BAH 中, 所以
所以∠OCD=∠BAC.
第二步，当点 P 在射线CD 上时，∠OCP=∠BAC，分两种情况讨论相似.
如图5,作 PM⊥x轴于M,那么
①当 时， 解得
此时CM=1, PM=2.所以P(2,-2)(如图6所示).
② 当 时， 解得
此时 所以 (如图7所示).
考点伸展
第(2)题求 的面积方法多样.
例如，如图8，用梯形ONDC 的面积减去直角三角形AOC 和直角三角形AND 的面积.再如,如图9, DF 把 分割为两个三角形，DF 是公共底边，高的和等于OC.还可以由 ，先证明直角三角形ACD，再计算面积.
12.满分解答
(1)①如图2,由y=-2x+4,得A(2,0),B(0,4).所以tan∠A=2.
设抛物线的对称轴与x轴交于点 H.
由 得抛物线的对称轴为 所以
在 Rt△NHA 中, 所以NH=AH·tan∠A =3.所以N( ,3).
当 时， 所以
②如图2，由 得
设D(x,-2x +2x+4), P(x,-2x+4),那么
如果DP=MN，那么四边形 MNPD 是平行四边形.
解方程 整理，得
解得 或 与N重合，舍去).
当 时，P、N两点间的水平距离为1，所以
所以MN≠PN,平行四边形MNPD 不是菱形.
(2)如图3,当点 P 的横坐标为1时,P(1,2).所以
在△BPD中,∠BPD=∠APC=∠ABO为定值,
如果△BPD 与△AOB 相似,那么△BPD 是直角三角形.
①如图3,当. 时,BD ∥x轴.所以D(1,4).
由A(2,0)、B(0,4)、D(1,4),得抛物线的解析式为
②如图4，当∠DBP=90°时,由 得 所以
由A(2,0)、B(0,4)、D(1, ),得抛物线的解析式为
考点伸展
在第(1)题情景下，如果探求以M、N、P、D为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的平行四边形有3个.如图5所示，点P 在点D 上方，存在两种情况.

展开更多......

收起↑