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21．2　解一元二次方程
第二十一章　一元二次方程
21．2.1　配方法
第2课时　配方法
1．(金华中考)用配方法解方程x2－6x－8＝0时，配方结果正确的是( )
A．(x－3)2＝17 B．(x－3)2＝14
C．(x－6)2＝44 D．(x－3)2＝1
2．(2020·泰安)将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋a)2＝b(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是( )
A．－4，21 B．－4，11
C．4，21 D．－8，69
A
A
±6x
±3
4．用配方法解方程x2＋10x＋16＝0.
解：移项，得__________________．
两边同时加52，得____________＋52＝____＋52.
左边写成完全平方的形式，得________________．
直接开平方，得_______________．
解得_______________________．
x2＋10x＝－16
x2＋10x
－16
(x＋5)2＝9
x＋5＝±3
x1＝－2，x2＝－8
5．(例题1变式)用配方法解方程：
(1)(无锡中考)x2－2x－5＝0；
(2)(齐齐哈尔中考)x2＋6x＝－7.
A
C
2或－6
10．用配方法解下列方程，其中应在等号左右两边同时加上9的方程是( )
A．3x2－3x＝8 B．x2＋6x＝－3
C．2x2－6x＝10 D．2x2＋3x＝3
11．(泰安中考)一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5根的情况是( )
A．无实数根
B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3
D．有两个正根，且有一根大于3
B
D
B
13．(益阳中考)规定：a b＝(a＋b)b，如：2 3＝(2＋3)×3＝15，
若2 x＝3，则x＝______________．
14．(青海中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程
x2－6x＋8＝0的根，则该三角形的周长为____．
1或－3
10
(2)2x2－3x＋3＝0.
解：无实数根
四
17．用配方法说明代数式x2－8x＋17的值恒大于0.再指出当x取何值时，
这个代数式的值最小，并求出这个最小值．
解：∵x2－8x＋17＝(x－4)2＋1>0，∴不论x取何值，这个代数式的值恒大于0.当(x－4)2＝0，即当x＝4时，这个代数式的值最小，最小值是1(共18张PPT)
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单元复习(一)　一元二次方程
第二十一章　一元二次方程
1．若关于x的方程a(x－1)2＝2x2－2是一元二次方程，则a的值( )
A．等于2 B．等于－2
C．等于0 D．不等于2
2．(2020·枣庄)已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0
有一个根为x＝0，则a＝____．
D
－1
B
A
C
6．(呼和浩特中考)用配方法求一元二次方程(2x＋3)(x－6)＝16的实数根．
7．(1)(泰州中考)解方程：2x2－4x－1＝0；
(2)(广州中考)已知多项式A＝(x＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3.
①化简多项式A；
②若(x＋1)2＝6，求A的值．
D
A
C
A
12．(通辽中考)若关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2(k＋1)x＋k－2＝0
有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A
－1
15．(2020·黔东南州)若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2－10x＋24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为( )
A．16 B．24 C．16或24 D．48
16．(2020·山西)如图是一张长12 cm，宽10 cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为_____cm.
B
2
17．(大连中考)某村2016年的人均收入为20000元，
2018年的人均收入为24200元．
(1)求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；
(2)假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，
请你预测2019年该村的人均收入是多少元？
解：(1)设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，根据题意得20000(1＋x)2＝24200，解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去).答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%　(2)24200×(1＋10%)＝26620(元).答：预测2019年该村的人均收入是26620元
18．(宜昌中考)某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12.经过三年治理，境内长江水质明显改善．
(1)求n的值；
(2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
(3)该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加一个相同的数值a.在(2)的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．(共20张PPT)
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21．3　实际问题与一元二次方程
第二十一章　一元二次方程
第1课时　传播问题
1．某种疾病，传染性很强，曾有2人同时患上这种疾病，
在一天内，一人可传染x人，
两天后共有128人患上这种疾病，则x的值为( )
A．10 B．9 C．8 D．7
2．(2020·通辽)有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了____个人．
D
12
3．(鸡西中考改编)(教材P22习题4变式)某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？
解：设每个支干长出x个小分支，则1＋x＋x·x＝43，即x2＋x－42＝0，解得x1＝6，x2＝－7(不合题意，舍去)，故每个支干长出6个小分支
4．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件．如果全组有x名同学，
则根据题意列出的方程是( )
A.x(x＋1)＝182 B．x(x－1)＝182
C．2x(x＋1)＝182 D．x(x－1)＝182×2
B
B
6．在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，会议结束后统计签订了78份合同，问有多少家公司出席了这次交易会？
7．若两个连续整数的积是56，则它们的和为( )
A．11 B．15
C．－15 D．±15
8．两个数的和是14，积是33，则这两个数分别为________.
D
3，11
9．一个两位数，个位数字比十位数字大3，
且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数．
解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(x－3)，
由题意得x2＝10(x－3)＋x，解得x1＝6，x2＝5，当x＝6时，x－3＝3；
当x＝5时，x－3＝2，则这个两位数是36或25
10．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，
一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
B
11．(新疆中考)周口体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？
12．有一个人收到短信后，再用手机转发该短信，每人只转发一次，
经过两轮转发后共有133人收到该短信，
问每轮转发中平均一个人转发给几个人？
解：设每轮转发中平均一个人转发给x个人，由题意得1＋x＋x2＝133，
解得x1＝11，x2＝－12(不合题意，舍去)，
则每轮转发中平均一个人转发给11个人
13．(襄阳中考)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则1＋x＋x(x＋1)＝64，
解得x1＝7，x2＝－9(舍去)，则每轮传染中平均一个人传染了7个人　
(2)64×7＝448(人)，即第三轮将又有448人被传染
14．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小2，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小36，求原来的两位数．
解：设个位数字为x，则十位数字为x2－2，
由题意得10(x2－2)＋x－(10x＋x2－2)＝36，整理得x2－x－6＝0，
解得x1＝3，x2＝－2(不合题意，舍去)，∴十位数字为32－2＝7，
则原来的两位数为73
15．(1)n边形(n＞3)中一个顶点的对角线有________条；
(2)一个凸多边形共有14条对角线，它是几边形？
(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？
如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由．
(n－3)(共22张PPT)
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21．2　解一元二次方程
第二十一章　一元二次方程
21．2.3　因式分解法
1．方程x(x＋2)＝0的根是( )
A．x＝2 B．x＝0
C．x1＝0，x2＝－2 D．x1＝0，x2＝2
2．(河南中考)方程(x－2)(x＋3)＝0的解是( )
A．x＝2 B．x＝－3
C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3
C
D
C
C
5．用因式分解法解下列方程：
(1)x(x－2)＝x；
解：x1＝0，x2＝3
(2)5x2＋20x＋20＝0；
解：x1＝x2＝－2
(3)(2＋x)2－9＝0；
解：x1＝－5，x2＝1
(4)(巴中中考)3x(x－2)＝x－2.
6．解方程(x＋4)2＝3(4＋x)，最适当的解法是( )
A.直接开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
D
7．请选择你认为适当的方法解下列方程．
(1)(x－1)2＝3；
(2)x2＝2x＋4；
(3)(徐州中考)2x2－x－1＝0；
(4)3(2x－5)＝2x(2x－5).
8．方程3x(x＋1)＝3x＋3的解为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x1＝0，x2＝－1 D．x1＝1，x2＝－1
9．已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为x1＝3，x2＝－4，
则二次三项式x2＋px＋q可分解为( )
A．(x＋3)(x＋4) B．(x－3)(x＋4)
C．(x＋3)(x－4) D．(x－3)(x－4)
D
B
10．若一元二次方程式x2－8x－3×11＝0的两根为a，b，且a＞b，
则a－2b的值为( )
A．－25 B．－19 C．5 D．17
11．方程x2＝4|x|的解为( )
A．±4 B．0或4
C．4 D．±4或0
D
D
12．请你写出一个以x为未知数的一元二次方程，
使它的两根为－1，5：____________________．
x2－4x－5＝0
13．(教材P17习题6变式)用因式分解法解方程：
(1)(丽水中考)(x－3)(x－1)＝3；
解：x1＝0，x2＝4
(2)(3x＋2)2－4x2＝0；
(3)(齐齐哈尔中考)2(x－3)＝3x(x－3)；
(4)(2x－1)2＝x2－6x＋9.
14．用适当的方法解下列方程：
(1)(2020·徐州)2x2－5x＋3＝0；
(2)x2＋6x－8＝0；
(3)x(2x－5)＝4x－10.
15．已知三角形的两边长分别为3和7，
第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根，求这个三角形的周长．
解：解方程得x1＝7，x2＝10，当x＝10时，3＋7＝10，不合题意，舍去；
当x＝7时，符合题意，∴这个三角形的周长为3＋7＋7＝17
16．(原创)先阅读下列材料，然后解决后面的问题：
材料：∵二次三项式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)，
∴方程x2＋(a＋b)x＋ab＝0可以这样解：
(x＋a)(x＋b)＝0，x＋a＝0或x＋b＝0，
∴x1＝－a，x2＝－b.
问题：
(1)方程x2－3x＋2＝0的两个根是( )
A．x1＝－1，x2＝1 B．x1＝x2＝－1
C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝x2＝2
C
(2)(2020·张家界)已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程
x2－6x＋8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为( )
A．2 　　B．4 　　C．8　 　　D．2或4
A
3或－3
(4)用因式分解法解方程x2－kx－16＝0时，得到的两根均为整数，
则k的值可以为_______________________；
(5)如果x2－x－1＝(x＋1)0，那么x的值为____．
－15，－6，0，6，15
2(共12张PPT)
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专题课堂(二)　一元二次方程的实际应用
第二十一章　一元二次方程
1．某市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排36场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？
2．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件，如果每件涨价1元(售价不能高于45元)，那么每星期少卖出10件，设每件涨价x元，每星期销量为y件．
(1)求y关于x的函数关系式；(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)如何定价才能使每星期的利润为1560元？每星期的销量是多少？
解：(1)y＝150－10x　(2)依题意得(10＋x)(150－10x)＝1560，解得x1＝2，x2＝3，∵售价不高于45元，∴x1＝2，x2＝3均符合题意，当涨价2元时，每星期的销量是150－10×2＝130(件)；当涨价3元时，每星期的销量是150－10×3＝120(件)，则该商品每件定价为42元或43元才能使每星期的利润为1560元，此时每星期的销量是130件或120件
3．(广州中考)随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
(1)计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
(2)按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
解：(1)1.5×4＝6(万座).答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座　(2)设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，依题意，得6(1＋x)2＝17.34，解得x1＝0.7＝70%，x2＝－2.7(舍去).答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%
5．如图，若要建一个矩形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2 m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33 m，围成矩形的鸡场除门之外四周不能有空隙．
(1)若墙长为18 m，要围成鸡场的面积为150 m2，则鸡场的长和宽各为多少米？
(2)围成鸡场的面积可能达到200 m2吗？
(3)若墙长为a m，对建150 m2面积的鸡场有何影响？
解：(1)设养鸡场的宽为x m，根据题意得x(33－2x＋2)＝150，解得x1＝10，x2＝7.5，当宽为10 m时，33－2x＋2＝15＜18；当宽为7.5 m时，33－2x＋2＝20＞18，不合题意，应舍去，则养鸡场的宽为10 m，长为15 m　(2)设养鸡场的宽为x m，根据题意，得x(33－2x＋2)＝200，整理得2x2－35x＋200＝0，Δ＝(－35)2－4×2×200＝1225－1600＝－375＜0，因为方程没有实数根，所以围成养鸡场的面积不能达到200 m2　(3)当0＜a＜15时，问题无解；当15≤a<20时，问题有一解，即长为15 m，宽为10 m；当a≥20时，问题有两解，即长为20 m，宽为7.5 m或长为15 m，宽为10 m(共21张PPT)
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21．3　实际问题与一元二次方程
第二十一章　一元二次方程
第3课时　几何图形问题
1．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，
设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，
设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( )
A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900
C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝900
B
2．(兰州中考)王叔叔从市场上买了一块长80 cm，宽70 cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长x cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000 cm2的无盖矩形工具箱，
根据题意列方程为( )
A.(80－x)(70－x)＝3000
B．80×70－4x2＝3000
C．(80－2x)(70－2x)＝3000
D．80×70－4x2－(70＋80)x＝3000
C
3．从一块正方形的木板上锯掉2 dm宽的矩形木条，
剩下的面积是48 dm2，则原来这块木板的面积是( )
A.100 dm2 B．64 dm2　
C．121 dm2 D．144 dm2
B
4．(深圳中考)一个矩形周长为56厘米．
(1)当矩形面积为180平方厘米时，长，宽分别为多少？
(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由.
解：(1)设矩形的长为x厘米，则另一边长为(28－x)厘米，依题意有x(28－x)＝180，解得x1＝10(舍去)，x2＝18，28－x＝28－18＝10.故长为18厘米，宽为10厘米　(2)设矩形的长为x厘米，则宽为(28－x)厘米，依题意有x(28－x)＝200，即x2－28x＋200＝0，则Δ＝282－4×200＝784－800＜0，原方程无解，故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形
5．(2020·衡阳)如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为( )
A．35×20－35x－20x＋2x2＝600
B．35×20－35x－2×20x＝600
C．(35－2x)(20－x)＝600
D．(35－x)(20－2x)＝600
C
6．(2020·济南)如图，在一块长15 m，宽10 m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126 m2，则修建的路宽应为____米．
1
7．(襄阳中考)改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长(AD)16 m，宽(AB)9 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112 m2，则小路的宽应为多少？
解：设小路的宽应为x m，根据题意得(16－2x)(9－x)＝112，
解得x1＝1，x2＝16.∵16＞9，∴x＝16不符合题意，应舍去，∴x＝1.
答：小路的宽应为1 m
8．(2020·西藏)列方程(组)解应用题
某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600 m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35 m，另外三面用69 m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1 m宽的门(不包括篱笆).求这个茶园的长和宽．
解：设茶园垂直于墙的一边长为x m，则另一边的长度为(69＋1－2x)m，
根据题意，得x(69＋1－2x)＝600，整理，得x2－35x＋300＝0，解得x1＝15，x2＝20，当x＝15时，70－2x＝40＞35，不符合题意，舍去；当x＝20时，70－2x＝30，符合题意．答：这个茶园的长和宽分别为30 m，20 m
9．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过几秒钟，使△PBQ的面积等于8 cm2
10．(徐州中考)如图，有一块矩形硬纸板，长30 cm，宽20 cm.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200 cm2
11．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，
并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
12．(常州中考)阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3＋x2－2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x(x2＋x－2)＝0，解方程x＝0和x2＋x－2＝0，可得方程x3＋x2－2x＝0的解．
－2
1(共20张PPT)
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21．2　解一元二次方程
第二十一章　一元二次方程
21．2.1　配方法
第1课时　直接开平方法
D
C
3．若代数式3x2＋1的值等于28，则x的值为__________．
4．对于方程x2＝m－1，若方程有两个不相等的实数根，则m____；
若方程有两个相等的实数根，则m____；
若方程无实数根，则m____．
3或－3
>1
＝1
<1
5．用直接开平方法解方程：
(1)9x2＝25；
(2)x2－144＝0.
解：x1＝12，x2＝－12
D
C
8．(南京中考)若方程(x－5)2＝19的两根为a和b，且a＞b，
则下列结论中正确的是( )
A．a是19的算术平方根
B．b是19的平方根
C．a－5是19的算术平方根
D．b＋5是19的平方根
C
5
x1＝1，x2＝－3
解：x1＝3，x2＝－1
12．(枣庄中考)x1，x2是一元二次方程3(x－1)2＝15的两个解，且x1下列说法正确的是( )
A．x1小于－1，x2大于3
B．x1小于－2，x2大于3
C．x1，x2在－1和3之间
D．x1，x2都小于3
A
B
4
3
16．用直接开平方法解方程：
(1)4(x－2)2－3＝0；
(2)x2＋6x＋9＝7；
(3)4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0.
17．已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是x＝3，
求k的值和方程的另一个根．
20．(教材P5问题1变式)如图，在边长为a的正方形纸片的四个角
都剪去一个长为m，宽为n的矩形．
(1)用含a，m，n的式子表示纸片剩余部分的面积；
(2)当m＝3，n＝5，且剩余部分的面积等于229时，求正方形的边长a的值．
解：(1)a2－4mn　
(2)由题意得a2－4×3×5＝229，则a2＝289，解得a＝±17，
∵a＞0，∴a＝17，∴正方形的边长a的值是17(共12张PPT)
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易错课堂(一)　一元二次方程
第二十一章　一元二次方程
－4
C
3．已知关于x的方程kx2－4kx＋k－5＝0有两个相等的实数根，求k的值．
4．用公式法解方程：2x2＋5x＝3.
5．小华在解一元二次方程x2＝4x时，只得出一个根是x＝4，
则被他漏掉的一个根是x＝____．
6．用配方法解方程：4x2－12x－1＝0.
0
7．(广州中考)关于x的一元二次方程x2－(k－1)x－k＋2＝0有两个实数根x1，x2，若(x1－x2＋2)(x1－x2－2)＋2x1x2＝－3，则k的值( )
A．0或2 B．－2或2
C．－2 D．2
D
8．若x1，x2是关于x的方程x2＋mx－3m＝0的两个根，且x12＋x22＝7，
那么m的值是____．
1
9．(2020·十堰)已知关于x的一元二次方程x2－4x－2k＋8＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若x13x2＋x1x23＝24，求k的值．
解：(1)由题意可知，Δ＝(－4)2－4×1×(－2k＋8)≥0，整理得16＋8k－32≥0，解得k≥2，∴k的取值范围是k≥2　(2)由题意得x13x2＋x1x23＝x1x2[(x1＋x2)2－2x1x2]＝24，∵x1＋x2＝4，x1x2＝－2k＋8，故有(－2k＋8)[42－2(－2k＋8)]＝24，整理得k2－4k＋3＝0，解得k1＝3，k2＝1，由(1)中可知k≥2，∴k的值为3
10．有一块长为80 cm，宽为60 cm的薄铁片，在四个角截去四个相同的小正方形，然后做成一个底面积为1500 cm2的没有盖的长方体盒子，求截去的小正方形的边长．
解：设截去的小正方形的边长为x cm，由题意得(80－2x)(60－2x)＝1500，整理得x2－70x＋825＝0，解得x1＝55，x2＝15.当x＝55时，80－2x＜0，60－2x＜0，不符合题意，应舍去；当x＝15时，80－2x＞0，60－2x＞0，符合题意，所以x＝15，所以截去的小正方形的边长为15 cm(共18张PPT)
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21．2　解一元二次方程
第二十一章　一元二次方程
21．2.2　公式法
1．以下是方程3x2－2x＝－1的解的情况，其中正确的是( )
A．∵b2－4ac＝－8<0，∴方程有实数根
B．∵b2－4ac＝－8<0，∴方程无实数根
C．∵b2－4ac＝8>0，∴方程有实数根
D．∵b2－4ac＝8>0，∴方程无实数根
2．(2020·河南)定义运算：m☆n＝mn2－mn－1.
例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7.则方程1☆x＝0的根的情况为( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
B
A
3．(2020·安徽)下列方程中，有两个相等实数根的是( )
A．x2＋1＝2x B．x2＋1＝0
C．x2－2x＝3 D．x2－2x＝0
A
C
6．不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：
(1)9x2＋6x＋1＝0; 　(2)16x2＋8x＝－3.
解：(1)∵a＝9，b＝6，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝36－36＝0，∴此方程有两个相等的实数根　(2)化为16x2＋8x＋3＝0，∵a＝16，b＝8，c＝3，∴Δ＝b2－4ac＝64－4×16×3＝－128<0，∴此方程没有实数根
C
B
5
－5
1
5
11．(河北中考)小刚在解关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝－1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2.则原方程的根的情况是( )
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝－1 D．有两个相等的实数根
12．(2020·广州)直线y＝x＋a不经过第二象限，
则关于x的方程ax2＋2x＋1＝0实数解的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
A
D
2
2
15．用适当的方法解方程：
(1)(x－5)(x＋3)＝1；
(2)2x2＝3x＋1；
(3)(x＋2)(x－2)＋4(x＋3)＝13.
解：x1＝－5，x2＝1
16．(洛阳模拟)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0.
(1)当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，
并求此时方程的根．
解：(1)a≠0，Δ＝b2－4a＝(a＋2)2－4a＝a2＋4a＋4－4a＝a2＋4，∵a2＞0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根　(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4a＝0，若b＝2，a＝1，则方程变形为x2＋2x＋1＝0，解得x1＝x2＝－1
17．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，
其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形　(2)△ABC是直角三角形．理由：∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形　(3)∵△ABC是等边三角形，∴(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0可整理为2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1(共18张PPT)
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21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系
第二十一章　一元二次方程
A
A
3．(玉林中考)若一元二次方程x2－x－2＝0的两根为x1，x2，
则(1＋x1)＋x2(1－x1)的值是( )
A．4 B．2 C．1 D．－2
4．(2020·江西)若关于x的一元二次方程x2－kx－2＝0的一个根为x＝1，
则这个一元二次方程的另一个根为____．
A
－2
5．(2020·泸州)已知x1，x2是一元二次方程x2－4x－7＝0的两个实数根，
则x12＋4x1x2＋x22的值是____．
2
6．(教材P16例题4变式)不解方程，求下列方程的两根的和与积：
(1)x2－2x－5＝0；
解：和为2，积为－5
(2)3x2＋2x－1＝0；
B
B
A
A
12．(烟台中考)已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m－1＝0的实数根x1，x2，
满足3x1x2－x1－x2＞2，则m的取值范围是______________．
3＜m≤5
13．已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，
则以x1，x2为根的一元二次方程是( )
A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0
C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝0
14．(广东中考)已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两个实数根，
下列结论错误的是( )
A．x1≠x2 B．x12－2x1＝0
C．x1＋x2＝2 D．x1·x2＝2
A
D
15．(2020·青海)在解一元二次方程x2＋bx＋c＝0时，
小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；
小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，
x2＝5.请你写出正确的一元二次方程_________________．
16．(2020·南通)若x1，x2是方程x2－4x－2020＝0的两个实数根，
则代数式x12－2x1＋2x2的值等于_____.
x2－6x＋6＝0
2028
1
19．(2020·随州)已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0.
(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根x1，x2，且x1＋x2＋3x1x2＝1，求m的值．(共22张PPT)
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21．1　一元二次方程
第二十一章　一元二次方程
C
D
3．将一元二次方程3x2＝－2x＋5化为一般形式，
其一次项系数与常数项的和为____．
－3
4．(教材P3例题变式)将下列一元二次方程化为一般形式，
并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)4x2＋2＝5x；
解：一般形式为4x2－5x＋2＝0，二次项系数是4，
一次项系数是－5，常数项是2
(2)y(2y－3)＝(y＋2)(y－2).
解：一般形式为y2－3y＋4＝0，二次项系数是1，
一次项系数是－3，常数项是4
5．下表是某同学求代数式x2＋x的值的情况，
根据表格可知方程x2＋x＝2的解是( )
A.x＝－2 B．x＝1
C．x＝－2和x＝1 D．x＝－1和x＝0
C
x … －3 －2 －1 0 1 2 …
x2＋x … 6 2 0 0 2 6 …
6．(盐城中考)已知一元二次方程x2＋kx－3＝0有一个根为1，
则k的值为( )
A．－2 B．2 C．－4 D．4
7．(2020·常州)若关于x的方程x2＋ax－2＝0有一个根是1，则a＝____．
B
1
8．(2020·遵义)如图，把一块长为40 cm，宽为30 cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600 cm2，设剪去小正方形的边长为x cm，则可列方程为( )
A．(30－2x)(40－x)＝600
B．(30－x)(40－x)＝600
C．(30－x)(40－2x)＝600
D．(30－2x)(40－2x)＝600
D
D
(x＋1)2－1＝24
B
B
m≥0且m≠2
15．小明用30厘米的铁丝围成一个斜边长等于13厘米的直角三角形，
设该直角三角形的一条直角边长为x厘米，则另一条直角边长
为__________厘米，可列出方程：_______________________.
(17－x)
x2＋(17－x)2＝132
16．(教材P4习题2变式)根据下列问题列出一元二次方程，并将其化成一般形式．
(1)某市2018年平均房价为每平方米8000元，2020年平均房价降到每平方米7000元，求这两年平均房价年平均降低率；
(2)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，求道路的宽；
(3)某种服装平均每天可销售20件，每件盈利30元，若单价每件降价1元，则每天可多销售5件，如果每天要盈利1445元，求每件服装应降价多少元．
解：(1)设这两年平均房价年平均降低率为x，
根据题意得8000(1－x)2＝7000，化成一般形式为8x2－16x＋1＝0　
(2)设道路的宽为x米，则由题意得(22－x)(17－x)＝300，
化成一般形式为x2－39x＋74＝0　
(3)设每件应降价x元，则由题意得(20＋5x)(30－x)＝1445，
化成一般形式为x2－26x＋169＝0
17．已知m是方程x2＋x－1＝0的一个根，
求代数式(m＋1)2＋(m＋1)(m－1)的值．
解：把x＝m代入方程，得m2＋m－1＝0，即m2＋m＝1，
则原式＝m2＋2m＋1＋m2－1＝2(m2＋m)＝2
18．已知关于x的方程(k2－9)x2＋(k＋3)x＝0.
(1)当k为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当k为何值时，此方程是一元二次方程？
并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
你认为上述两位同学的解法是否正确？为什么？
如果都不正确，请给出正确的解法．(共19张PPT)
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专题课堂(一)　一元二次方程的解法
第二十一章　一元二次方程
1．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )
A．x2－5x＝6 B．－4x2＝0
C．x2＋3＝0 D．(x＋2)2＝0
2．(南通中考)用配方法解方程x2＋8x＋9＝0，变形后的结果正确的是( )
A．(x＋4)2＝－9 B．(x＋4)2＝－7
C．(x＋4)2＝25 D．(x＋4)2＝7
C
D
3．解下列方程：
(1)x2＋x－1＝0(公式法)；
(2)(山西中考)2(x－3)2＝x2－9(因式分解法)；
解：x1＝3，x2＝9
(3)x2＋4x－1＝0(配方法)；
(4)x(2x＋3)－2x－3＝0(因式分解法).
B
D
x1＝－2，x2＝4
8．解下列方程：
(1)x2－1＝2(x＋1)；
解：x1＝－1，x2＝3
(2)2x2－4x－5＝0；
(3)(梧州中考)2x2－4x－30＝0；
解：x1＝5，x2＝－3
(4)9(2a－5)2＝16(3a－1)2.
9．选用适当的方法解一元二次方程：
(1)x2－6x－1＝0；
(2)2x2－5x－1＝0；
(3)4x(2x－1)＝3(2x－1).
10．若方程(a2＋b2)2－2(a2＋b2)－8＝0，则a2＋b2的值为( )
A．4 B．－2
C．4或－2 D．－4或2
A
x2－x－1＝0
13．解下列方程：
(1)(x－2)2－5(x－2)－6＝0；
解：x1＝8，x2＝1
(2)(2x－3)2－2(2x－3)－3＝0.
解：x1＝3，x2＝1
根据上面的解答，解决下面的问题：
(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用____法达到了降次的目的，体现了____的数学思想；
(2)解方程：x4－x2－12＝0.
解：(2)令a＝x2，则原方程可化为a2－a－12＝0，解得a＝－3或a＝4，当a＝－3时，x2＝－3，方程无解；当a＝4时，x2＝4，解得x1＝2，x2＝－2，故原方程的解是x1＝2，x2＝－2
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阶段自测(一)
第二十一章　一元二次方程
1．把一元二次方程(x＋2)(x－3)＝4化成一般形式，得( )
A．x2＋x－10＝0 B．x2－x－6＝4
C．x2－x－10＝0 D．x2－x－6＝0
2．(兰州中考)x＝1是关于x的一元二次方程x2＋ax＋2b＝0的解，
则2a＋4b＝( )
A．－2 B．－3 C．－1 D．－6
C
A
3．(山西中考)一元二次方程x2－4x－1＝0配方后可化为( )
A．(x＋2)2＝3 B．( x＋2)2＝5
C．(x－2)2＝3 D．( x－2)2＝5
4．一元二次方程4x2－4x＋1＝0的根的情况是( )
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
D
B
5．(泰州中考)已知x1，x2是关于x的方程x2－ax－2＝0的两根，
下列结论一定正确的是( )
A．x1≠x2 B．x1＋x2＞0
C．x1·x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
6．(2020·铜仁)已知m，n，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋2＝0的两个根，则k的值等于( )
A．7 B．7或6
C．6或－7 D．6
A
B
7．(2020·镇江)一元二次方程x2－2x＝0的两根分别为_____________．
8．(2020·东营)如果关于x的一元二次方程x2－6x＋m＝0有实数根，
那么m的取值范围是____．
9．若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两根分别为－2和6，
则多项式x2＋bx＋c因式分解的结果是__________________．
10．菱形的两条对角线长分别是方程x2－14x＋48＝0的两实数根，
则菱形的面积为____．
x1＝0，x2＝2
m≤9
(x＋2)(x－6)
24
0
13．(16分)解方程：
(1)x2－4x＝1；
(2)2x2－7x＋5＝0；
(3)9(x－1)2－4(2－3x)2＝0；
(4)(2y＋1)2＋3(2y＋1)＋2＝0.
16．(10分)(孝感中考)已知关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)若a为正整数，求a的值；
(2)若x1，x2满足x12＋x22－x1x2＝16，求a的值．
解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－2(a－1)]2－4(a2－a－2)＞0，解得a＜3，∵a为正整数，∴a＝1，2　(2)∵x1＋x2＝2(a－1)，x1x2＝a2－a－2，∵x12＋x22－x1x2＝16，∴(x1＋x2)2－3x1x2＝16，∴[－2(a－1)]2－3(a2－a－2)＝16，解得a1＝－1，a2＝6，∵a＜3，∴a＝－1(共19张PPT)
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21．3　实际问题与一元二次方程
第二十一章　一元二次方程
第2课时　增长率及商品利润问题
1．(2020·河南)国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为( )
A．500(1＋2x)＝7500
B．5000×2(1＋x)＝7500
C．5000(1＋x)2＝7500
D．5000＋5000(1＋x)＋5000(1＋x)2＝7500
C
2．(衡阳中考)国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得( )
A．9(1－2x)＝1 B．9(1－x)2＝1
C．9(1＋2x)＝1 D．9(1＋x)2＝1
3．(青海中考)某种药品原价每盒60元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元，则平均每次下调的百分率为____．
B
10%
4．(邵阳中考)2019年1月14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指出：在2018年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元人民币．有望继续保持全球货物贸易第一大国地位．预计2020年我国外贸进出口总值将达36.3万亿元人民币．求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率．
解：设年平均增长率为x，根据题意列方程得30(1＋x)2＝36.3，解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(舍去).答：我国外贸进出口总值的年平均增长率为10%
5．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是( )
A.(3＋x)(4－0.5x)＝15 B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15
C．(x＋4)(3－0.5x)＝15 D．(x＋1)(4－0.5x)＝15
6．某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可多销售10件，如果每天要盈利1080元，则每件应降价_________元．
A
2或14
7．(盐城中考)一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降价3元，则平均每天销售数量为____件；
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
解：(1)若降价3元，则平均每天销售数量为20＋2×3＝26(件).故答案为26　(2)设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1200，整理，得x2－30x＋200＝0，解得x1＝10，x2＝20.∵要求每件盈利不少于25元，∴x2＝20应舍去，故x＝10.答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元
26
8．(日照中考)某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是( )
A．1000(1＋x)2＝3990
B．1000＋1000(1＋x)＋1000(1＋x)2＝3990
C．1000(1＋2x)＝3990
D．1000＋1000(1＋x)＋1000(1＋2x)＝3990
B
9．(乌鲁木齐中考)宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有( )
B
10．(2020·上海)去年某商店十一黄金周进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%.
(1)求该商店去年十一黄金周这七天的总营业额；
(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8，9月份营业额的月增长率相同，十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8，9月份营业额的月增长率．
解：(1)450＋450×12%＝504(万元).答：该商店去年十一黄金周这七天的总营业额为504万元　(2)设该商店去年8，9月份营业额的月增长率为x，依题意，得350(1＋x)2＝504，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去).答：该商店去年8，9月份营业额的月增长率为20%
11．(郑州模拟)为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系．
(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
(2)设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为(x－30)万元，销售数量为(－10x＋1000)台，根据题意得(x－30)(－10x＋1000)＝10000，整理，得x2－130x＋4000＝0，解得x1＝50，x2＝80.∵此设备的销售单价不得高于70万元，∴x＝50.答：该设备的销售单价应是50万元/台
12．(重庆中考)某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．
(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？
(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．
解：(1)设该果农今年收获樱桃x千克，根据题意得400－x≤7x，解得x≥50，答：该果农今年收获樱桃至少50千克　(2)由题意，得100(1－m%)×30＋200×(1＋2m%)×20(1－m%)＝100×30＋200×20，令m%＝y，原方程可化为：3000(1－y)＋4000(1＋2y)(1－y)＝7000，整理可得8y2－y＝0，解得y1＝0，y2＝0.125，∴m1＝0(舍去)，m2＝12.5，答：m的值为12.5

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