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(共62张PPT)
第3讲 力与曲线运动
题型1 运动的合成与分解 抛体运动
题型2 圆周运动动力学问题
题型3 万有引力定律的应用
网络构建
备用习题
【关键能力】
理解曲线运动的运动条件及其
轨迹分析,掌握平抛运动和圆
周运动的公式和规律.注重将
实际问题转化为物理模型的能
力.掌握用分解的方法实现化
曲为直、化繁为简的科学思维,
培养运用牛顿第二定律、能量观念解决曲线运动问题的综合分析能力.
题型1 运动的合成与分解 抛体运动
1.解决抛体运动的思维过程:
2.建好“两个模型”
(1)常规的平抛运动及类平抛运动模型.
(2)与斜面相结合的平抛运动模型:
①从斜面上水平抛出又落回到斜面上,位移方向恒定,落点速度方向与斜面
间的夹角恒定,此时往往分解位移,构建位移三角形.
②从斜面外水平抛出垂直落在斜面上,速度方向恒定,此时往往分解速度,构
建速度三角形.
例1 [2023·浙江1月选考] 如图所示，在考虑空气阻力的情况下，一小石子
从点抛出沿轨迹运动，其中 是最高点.空气阻力大小与瞬时速度大
小成正比，则小石子竖直方向分运动的加速度大小( )
A.点最大 B. 点最大
C. 点最大 D.整个运动过程保持不变
√
[解析] 在小石子运动整个过程中，一直都有速度，存在阻力，且阻力大
小随速度变化，因此合力不可能恒定，加速度不可能保持不变，选项D错
误；空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，即，从到 的过程中，
空气阻力有竖直向下的分量，设速度与竖直方向夹角为 ，则
，可知在点最大，而从到 的过程中，空气阻力有竖
直向上的分量，根据，可知在处 最大，综上可知，小
石子从到的整个过程，在 点竖直方向分运动的
加速度最大，选项A正确，B、C错误.
技法点拨
小石子运动过程中，速度的大小和方向都在变化，阻力大小和方向也随之
变化，受力情况非常复杂，解决此类曲线运动问题的基本方法是运动的合
成与分解.本题在题干中已明确研究“竖直方向分运动的加速度”，所以只需
要研究小石子在竖直方向的受力即可.
例2 [2024·丽水模拟] 如图所示是杂技团一门水平放置的大炮，左前方地
面上有一直径为的圆形靶区，炮口在靶区边缘 点正上方距离为
处且正对靶心正上方点.为靶区的一条水平直径，、、 、
、 五点在同一竖直平面内.现保持炮口位置不变，炮管以炮口为圆心水
平旋转，所发射玩具炮弹的速率恒为 .不计炮管口径的大小及炮弹
的大小、空气阻力，取 ，下列说法正确的是( )
A.正对 点水平射出时炮弹会落到靶心处
B.炮管从与 方向平行的位置开始水平转
动角度等于 时，炮弹将落在靶区外
C.炮管从与 方向平行的位置开始水平转
动角度小于 时，炮弹一定会落在靶区内
D.炮管水平转动角度越大，射出去的炮弹单
位时间内速度的变化量越大
√
[解析] 由平抛运动规律得， ，联立解得
，所以正对C点水平射出时炮弹不会落到靶心处，
A错误；如图所示，当炮弹恰好落在靶区边缘时，有
，解得发射速度方向与的夹角为 ，故炮管从与
方向平行的位置开始水平转动角度小于 时，炮弹一定会落在靶区
内，B错误，C正确；射出去的炮弹单位时间内速度的变化量为 ，
即单位时间内速度变化量不变，D错误.
技法点拨
平抛运动的处理核心思路是利用分解的知识，通过审题判断是分解速度还
是分解位移.另外平抛运动中位移的偏转方向与速度偏转方向是有关联的.
【迁移拓展】
1.如图所示是一个小球从水平向右的横风区正上方自由下
落的闪光照片，除横风区外，其他位置的空气作用力可不
计，则( )
A.小球在横风区中水平速度不变
B.小球刚进入横风区时加速度水平向右
C.小球刚从横风区飞出时速度最大
D.小球从横风区飞出后，做匀变速曲线运动
√
[解析] 小球刚进入横风区时，受重力和水平向右的风力，
根据牛顿第二定律可知加速度方向斜向右下方，且水平方
向的速度增大，A、B错误；小球从横风区飞出后，只受重
力作用，加速度方向竖直向下，而速度方向斜向右下，由
于两个方向不共线，所以小球做匀变速曲线运动，向下运
动过程中速度不断增大，所以小球刚从横风区飞出时速度
不是最大，C错误，D正确.
2.[2024·浙江1月选考] 如图所示，小明取山泉水时发现水
平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上
平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿 .已
知桶高为，直径为,重力加速度为 ，则水离开出水口
的速度大小为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设细水管管口到桶右侧的水平距离为 时实现
题中所述现象，示意图如图所示,水平抛运动到桶口
过程，有， ，水落入A点过程，
有，，联立解得 ，
，选项C正确.
3.如图所示，从混合放射源射出的正离子、、先后从 点水平射入竖直
向下的匀强电场中，、打到倾斜的绝缘板上不同的点， 打在水平绝
缘板 上，不计重力，则( )
A.的初速度一定大于 的初速度
B.从到板的时间一定大于从到 板的
时间
C.打在板上时的速度方向一定与打在 板
上时的速度方向不平行
D.、打在 板上时的速度方向可能不平行
√
[解析] 正离子、、 均做类平抛运动，尽
管从到B板的水平位移和竖直位移都比
从 到A板的大，但由于在竖直方向上的加
速度的大小关系无法确定，所以与 的运动
时间及初速度大小关系无法确定，A、B错
误；根据类平抛运动的二级结论，设速度偏
转角为 ，位移偏转角为 ，则
，由于 打在B板上时的位移
偏转角与 打在A板上时的位移偏转角不同，
所以打在B板上时的速度方向与 打在A板
上时的速度方向不平行，C正确；、 打在
A板上时的位移偏转角相等，则速度偏转角
也相等，即速度方向一定平行，D错误.
题型2 圆周运动动力学问题
例3 [2021·浙江6月选考] 质量为 的小
明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如
图所示，重力加速度为 ,对该时刻，下
列说法正确的是( )
A.秋千对小明的作用力小于
B.秋千对小明的作用力大于
C.小明的速度为零，所受合力为零
D.小明的加速度为零，所受合力为零
√
[解析] 小明荡秋千时，绳子拉力和重力
的合力提供向心力，设在最高点时绳子
与竖直方向夹角为 ，在最高点时速度
为零，所以向心力为零，则
，选项A正确，B错误；
在最高点时速度为零，但重力沿切线方
向的分力为 ，所以合力不
为零，加速度不为零，选项C、D错误.
技法点拨
荡秋千是在竖直面内做变速圆周运动，只有在最低点时才满足合力提供向
心力，在其他位置时，物体所受合力沿半径方向的分力提供向心力，沿切
线方向的分力提供切向力，荡秋千到最高点时，向心力为0，切向力不为0.
例4 如图所示，半径为的四分之一光滑圆弧 在最
低端与竖直杆固定连接，圆弧的圆心 在竖直杆上，
一个带孔小球套在圆弧上，使小球随圆弧一起绕竖直
杆以角速度 匀速转动.不计小球的大小，重力加速度
为，小球和点的高度差与转动的角速度 的关系
正确的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设小球和圆弧圆心 连线与竖直方向的夹角为
，以小球为研究对象，根据牛顿第二定律可得
，由几何关系可得 ，
联立解得 ，故A正确.
技法点拨
1.水平面内做圆周运动的物体其向心力可能由弹力、摩擦力等力提供,常涉
及绳的张紧与松弛、接触面分离等临界状态.
2.常见临界条件:①绳的临界:张力;②接触面滑动的临界:;③
接触面分离的临界:
【迁移拓展】
1.[2024·宁波模拟] 如图所示,可视为质点的
木块、 叠放在一起,放在水平转台上随转
台一起绕固定的竖直转轴 匀速转动,木块
、与转轴的距离为, 的质量为
,的质量为.已知与 间的动摩擦
A. B. C. D.
因数为,与转台间的动摩擦因数为,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,
取.若木块、与转台始终保持相对静止,则转台角速度 的最大
值为( )
√
[解析] 对A,当最大静摩擦力提供向心力时，
有 ,解得最大
角速度 ;对A、B整体,当
最大静摩擦力提供向心力时，
有 ,解得最大
角速度
，所以若木块A、B与
转台始终保持相对静止,则转
台角速度 的最大值为 ,选项B正确.
2.(不定项)如图所示，在竖直向下的匀强电场中，一质
量为、带电荷量为的小球用长为 的轻绳悬
挂于点，让小球在竖直平面内做圆周运动，其中、
分别是圆周上的最高点和最低点，重力加速度为 ，电
场强度大小 .下列说法正确的是( )
A.若要完成完整的圆周运动，则小球到达 点的速度至少
为
B.若要完成完整的圆周运动，则小球到达 点的速度至少
为
C.小球由点运动到 点的过程中，绳子拉力逐渐减小
D.小球由点运动到 点的过程中，小球电势能的增加量
等于重力势能减少量
√
√
[解析] 小球受到的重力与电场力的合力
，方向竖直向上，故A点为圆周运动
中的等效最低点，B点为等效最高点，若要完成完整的圆
周运动，则小球应能过B点且在恰好过B点情况下对应速
度最小，当小球恰好过B点时，根据圆周运动规律可得
，解得 ，从A点运动到B点的过程
中，由动能定理可 得，
解得 ，故A错误，B正确；小球由A点运动到
B点的过程中，设绳子与竖直向上方向的夹角为 ，根据
沿绳方向的合力提供向心力，有 ，
此过程中小球速率 减小， 增大， 减小，所以
减小，即绳子拉力逐渐减小，故C正确；小球由A点运
动到B点的过程中，只有重力和电场力做功，且动能减
少，根据能量守恒定律可知，小球电势能的增加量大于
重力势能的减少量，故D错误.
题型3 万有引力定律的应用
天体质量和密度的计算
例5 [2024·湖州模拟] 第二宇宙速度(又称为逃逸速度)是指物体完全摆脱
地球引力束缚，飞离地球所需的最小发射速度.已知第二宇宙速度为
，其中、、 分别为引力常量、地球的质量、地球的半径.在
目前的天文观测范围内，宇宙内物质的平均密度为 .若将宇宙看成一个
密度均匀的球体，任何物体都不能脱离宇宙，则宇宙的半径至少为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设整个宇宙的半径为，则宇宙的质量 ，根据
，可得宇宙的第一宇宙速度 ，宇宙的第二
宇宙速度为，依题意可知，解得 ，
故C正确.
技法点拨
跟天体质量相关问题的一个求解思路:在忽略星球自转情况下，可近似认
为万有引力等于重力，由建立天体质量与星球表面重力加
速度的关系，再由、建立与天体密度的关系.
例6 [2024·慈溪模拟] 中国空间站“天和”核心
舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知
其轨道距地面的高度为，运行周期为 ，地
球半径为，引力常量为 ，由此可得到地球
的平均密度为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 中国空间站“天和”核心舱绕地球的运
行可视为匀速圆周运动，由万有引力提供向
心力，有 ，可得地球
的质量 ，地球可近似看作球体，
根据密度的定义式得
，故C正确.
天体运行参量的比较
例7 [2023·浙江6月选考] 木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周
运动的周期之比为.木卫三周期为 ，公转轨道半径是月球绕地球轨
道半径的倍.月球绕地球公转周期为 ，则( )
A.木卫一轨道半径为 B.木卫二轨道半径为
C.周期与之比为 D.木星质量与地球质量之比为
√
[解析] 设木卫一、木卫二、木卫三的轨道半径分别为、、 ，由万
有引力提供卫星做圆周运动的向心力，有 ,
,且，联立解得 ,选项D正确；若地球、木
星质量相等，则根据上式可知 ，但木星、地球质量并不相等，所以
选项C错误；根据开普勒第三定律 可知，
，所以木卫一的轨道半径应该为 ，木
卫二的轨道半径为 ，选项A、B错误.
技法点拨
天体环绕运动时由万有引力提供向心力，满足
，解得，，
，，由此可知，各运动参量大小取决于中心天体质量
与轨道半径大小，在同一环绕系中，中心天体相同，各运动参量大小仅取
决于轨道半径大小.在比较问题或比值问题中，可在推得上述结论后结合
半径关系求解.
例8 [2024·台州一中模拟] 2024年2月23日，“长征5号”遥七运载火箭搭载
通信技术试验卫星十一号发射成功，被誉为龙年首发.卫星进入地球同步
轨道后，主要用于开展多频段、高速率卫星通信技术验证.设地球同步卫
星的轨道半径是地球半径的 倍，下列说法中正确的是( )
A.地球同步卫星可以静止在北京上空
B.同步卫星运行速度是第一宇宙速度的
C.同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转获得的速度的
D.若忽略地球的自转效应，则同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速
度的
√
[解析] 地球同步卫星静止在赤道上空，不可能静止在北京上空，故A错误；
根据万有引力提供向心力，有，可得 ，则
，故B正确；同步卫星运行的角速度与地球赤道上物体随地
球自转的角速度相同，根据，则 ，故C错误；根据万有
引力与重力的关系有，根据牛顿第二定律有 ，联立
可得 ，故D错误.
技法点拨
1.静止卫星位于赤道平面内，自西向东绕行，公转周期与地球自转周期相
同，由周期是定值可推算轨道半径是定值，从而得到向心加速度、线速度、
角速度大小均是定值.
2.地球相对于静止卫星的张角 取决于地球半径 和
静止卫星轨道半径，满足 ，而静止卫星信
号能覆盖的赤道弧长对应的圆心角 与 互补，如
图所示.要注意，在实际问题中，卫星信号的覆盖范围不局限在轨道平面
内，而是立体的.
卫星变轨问题和天体相遇问题
1.卫星变轨时轨道半径的变化可根据万有引力和所需向心力的大小关系判
断;卫星在稳定的轨道上的运行速度变化由 判断.
2.同一卫星在不同轨道上运行时机械能不同,轨道半径越大,机械能就越大.
3.卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等,在外轨道上的速度大于在
内轨道上的速度.
例9 [2022·浙江1月选考] “天问一号”
从地球发射后，在如图甲所示的 点沿
地火转移轨道到 点，再依次进入如图
乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天
问一号 ( )
A.发射速度介于与 之间
B.从点转移到 点的时间小于6个月
C.在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D.在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
√
[解析] “天问一号”发射后需要摆脱地
球引力的束缚，说明发射速度肯定要
超过 ，选项A错误；根据开
普勒第三定律可知 ，由图可
知地火转移轨道的半长轴大于地球轨
道的半径，故其在地火转移轨道上的
运行周期大于12个月，因此从 点转移
到 点的时间大于6个月，选项B错误；
同理，根据开普勒第三定律可知，在
环绕火星的停泊轨道运行的周期比在
调相轨道上小，选项C正确；“天问一
号”在地球轨道上 处点火加速，沿地
火转移轨道做离心运动，即在地火转
移轨道上 点时的速度比地球环绕太阳
的速度大，但在到达 处之后，要加速
进入火星轨道，则其在地火
转移轨道上 点时的速度小于火星绕太
阳的速度，由 可知，火星
绕太阳的速度小于地球绕太阳的速度，
所以“天问一号”在地火转移轨道上 点
时的速度小于地球绕太阳的速度，选
项D错误.
技法点拨
关于卫星在变轨前后相关联的轨道上的运动，比较周期大小时可由开普勒
第三定律判断，比较不同圆轨道上的线速度大小时可由判断，比
较同一椭圆轨道上速度的大小时可由开普勒第二定律判断，比较两轨道相
切点的线速度大小时可由圆周运动、近心运动和离心运动的知识判断.
【迁移拓展】
1.如果航天员登月后做了一个小实验,用轻绳拉着小球在竖直面内转动,绳
长为,当小球运动到最高点的速度为 时,小球恰能做完整的圆周运动,已
知月球半径为 ,则月球的第一宇宙速度大小为( )
A. B. C. D.
[解析] 当小球运动到最高点的速度为 时,小球恰能做完整的圆周运动,则
有,根据重力和万有引力的关系有 ,根据第一宇宙速度
的定义得,联立解得 ,故B正确.
√
2.[2024·嘉兴模拟] 探月卫星的发射过程可简化为如图所示：首先进入绕
地球运行的停泊轨道，在该轨道的 处，通过变速，进入转移轨道，在到
达月球附近的 点时，再次变速，卫星被月球引力俘获后成为环月卫星，
最终在距月球表面高度为 的工作轨道上绕月飞行(视为圆周运动)，工作
轨道周期为.已知月球半径为，引力常量为 ，卫星绕月飞行时忽略月
球以外天体的影响，则( )
A.月球的质量为
B.卫星分别在转移轨道与停泊轨道上
经过 点时，受到地球的万有引力不
相同
C.卫星在 点变轨时需减速
D.卫星在 点变轨时需减速
√
[解析] 卫星在工作轨道上绕月飞行
过程中，由月球的万有引力提供做圆
周运动的向心力，则有
，解得
，故
A错误；根据万有引力定律有
，可知卫星分别在转移
轨道与停
泊轨道上经过 点时，受到地球的万
有引力相同，故B错误；卫星在 点
变轨是由高轨道到低轨道，所以卫星
在 点变轨时需减速，故C正确；卫
星在 点变轨是由低轨道到高轨道，
所以卫星在 点变轨时需加速，故D
错误.
1.　如图所示,从混合放射源射出的正离子a、b、c先后从O点水平射入竖直向下的匀强电场中,a、b打到倾斜的绝缘板A上不同的点,c打在水平绝缘板B上,不计重力,则 (　　)
A.c的初速度一定大于a的初速度
B.c从O到B板的时间一定大于a从O到A板的时间
C.c打在B板时的速度方向一定与b打在A板时的速度方向不平行
D.a、b打在A板上的速度方向可能不平行
√
[解析] 正离子a、b、c均做类平抛运动,尽管c从O到B板的水平位移和竖直位移都比a从O到A板的大,但由于在竖直方向上的加速度的大小关系无法确定.所以c与a的运动时间及初速度大小关系无法确定,A、B错误;
根据类平抛运动的二级结论,设速度偏转角为α,位移偏转角为θ,则tan α=2tan θ,c打在B板时的位移偏转角与b打在A板时的位移偏转角不同,则c打在B板时的速度方向与b打在A板时的速度方向不平行,C正确;
a,b打在A板上时的位移偏转角相等,则速度方向一定平行,
D错误.
2. (多选)天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转.一根轻绳穿过P,两端连接质量分别为m1和m2的小球A、B(m1≠m2).设两球同时做如图所示的圆锥摆运动,且在任意时刻两球均在同一水平面内,则 (　　)
A.两球运动的周期相等
B.两球的向心加速度大小相等
C.球A、B到P的距离之比等于m2∶m1
D.球A、B到P的距离之比等于m1∶m2
√
√
[解析] 对其中一个小球受力分析,其受到重力和绳的拉力FT,绳的拉力在竖直方向上的分力与重力平衡,设轻绳与竖直方向的夹角为θ,则有FTcos θ=mg,绳的拉力在水平方向上的分力提供向心力,设该小球到P的距离为l,则有FTsin θ=mgtan θ=mlsin θ,解得周期T=2π=2π,因为任意时刻两球均在同一水平面内,即两球到悬点的高度h相等,故两球运动的周期T相等,选项A正确.
连接两球的绳的张力FT相等,由于向心力Fn=FTsin θ=mlsin θ,
故m与l成反比,即;向心加速度a=htan θ,由于θ不同,
故向心加速度大小不相等,选项C正确,B、D错误.
3.　黑洞是宇宙中最神秘的天体之一,由于其极端的引力场和密度,人们一直认为黑洞是信息的终结者,任何进入黑洞的物质都会被完全吞噬并永远消失.某黑洞半径R约为45 km,质量M和半径R的关系满足,(其中光速c=3×108 m/s,G为引力常量),则该黑洞表面的重力加速度(以 m/s2为单位)的数量级是 (　　)
A.108 B.1010 C.1012 D.1014
√
[解析] 黑洞实际为一天体,天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力,对黑洞表面的某一质量为m物体有=mg,又,可得g=,代入数据得重力加速度的数量级为1012,故选C.

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