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第五章 圆
5 确定圆的条件
第2课时 圆内接四边形
1.在圆内接四边形 ABCD中,∠A,∠B,∠C的度数之比为2：4：7，则∠D的度数为 ( )
A.140° B.100° C.80° D.40°
2.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,连接CO 交⊙O于点E,若∠E=25°,则∠D 的度数是 ( )
A.100° B.105° C.110° D.115°
第2题图 第3题图
3.如图,四边形 ABCD是⊙O的内接四边形,∠B=90°,∠BCD=120°,AB=2,CD=1,则 AD的长为 ( )
4.如图,在圆内接四边形ABCD中,∠BCD= 105°,连接 OB,OC,OD,BD,∠BOC=2∠COD,则∠CBD 的度数是 ( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
第4题图 第5题图
5.如图,在△ABC中,AB=AC=BC=2,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC两边于点D,E,则△CDE的面积为 ( )
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点 A 在x轴负半轴上，点B 在 y 轴正半轴上，⊙D 经过A,B,O,C 四点, 则圆心点 D 的坐标是 ( )
7.如图所示，已知⊙O的半径为2，内接于⊙O,则
第7题图 第8题图
8.如图,AB 为半圆直径， 点 C 为半圆上一点，点D 和点B 关于直线 AC 对称,连接 AD 交 于点E,连接CE.设 则y关于x 的函数关系式为____________.
9.如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,AE⊥CB交 CB 的 延长线 于 点 E,若 BA 平分则 _____________.
第9题图 第10题图
10.如图所示,点A,B,C,D,E在⊙O上，且为 则
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点 A 在x轴负半轴上，点B 在y轴正半轴上，⊙D经过A,B,O,C四点, 则圆心点 D 的坐标是 ( )
11.如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,AD,BC的延长线相交于点E，AB，DC的延长线相交于点 F. 若 则
12.如图,四边形 ABCD为⊙O的内接四边形.若四边形 ABCO 为菱形，则 的大小为___________.
13.如图所示,四边形 ABCD 是菱形,⊙O经过点A,C,D,与BC 相交于点E,连接AC,AE,若 则
14.如图,四边形 ABCD 是⊙O的内接四边形,连接 AC,BD,延长 CD 至点E.
(1)若 求证：
(2)若 BC = 3, ⊙O 的半径为 2,求
15.定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.
例：如图1，四边形内接于⊙O， 则四边形ABCD 是等补四边形.
探究与运用：如图2，在等补四边形ABCD中，其外角 的平分线交CD的延长线于点 F，若 求 DF 的长.
16.如图,在圆内接四边形 ABCD中，延长 AD至点 E，使 延长BA 至点 F,连接 EF,使
(1)若 CD为直径，求 的度数；
(2)求证:①EF∥BC;②EF=BD.
17.如图,圆内接四边形 ABCD的对角线 AC,BD 交于点 E,BD 平分
(1)求证:DB 平分 并求 的大小；
(2)过点 C作 ∥交AB的延长线于点 F,若 ，求此圆半径的长.
18.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,BC=CD,将 绕点C 旋转至△EDC，则下列说法不正确的是 ( )
A. AC平分∠BAD B.点 A，D，E在同一条直线上
C.若 则 D.若AD-AB=CD,则.
19.如图所示,四边形ABCD是半径为R 的⊙O 的内接四边形, AB是⊙O 的直径,直线与三条线段CD,CA,DA 的延长线分别交于点 E，F，G，且满足
(1)求证：直线 直线CE;
(2)若
①求证：
②若 求四边形 ABCD 的周长.
参考答案
1. B 2. D 3. C 4. A 5. A 6. B
8. 9. 2 cm 10. 155 11. 40 12. 60° 13. 27
14.解：(1)证明：∵圆内接四边形的外角等于内对角，
(2)如图,连接 BO 并延长,交⊙O 于点 F,连接FC,则 ∠BAC=∠BFC,
∵圆的半径为2，∴BF=4,又∵BC=3,
15.解:如图所示,连接AC,
∵四边形 ABCD 是等补四边形，
又 ∴∠EAD=∠BCD.
∵AF平分∠EAD,
∵四边形 ABCD 是等补四边形，∴A,B,C,D四点共圆.
∵AB=AD, ∴∠ACD=∠ACB. ∴∠FCA=∠FAD.
又∵∠AFC=∠DFA,∴△ACF∽△DAF. 即
16.解:(1)∵CD为直径,∴∠CAD=90°.
∵∠AFE=∠ADC=60°,∴∠ACD=90°-60°=30°.∴∠ABD=∠ACD=30°;
(2)证明:①如图,延长AB,
∵四边形 ABCD是圆内接四边形，∴∠CBM=∠ADC.
又∵∠AFE=∠ADC,∴∠AFE=∠CBM,∴EF∥BC;
②过点 D 作 DG∥BC 交圆上于点 G,连接AG,CG,
∵DG∥BC,∴∠GDC=∠DCB, ∴BD=CG.
∵四边形 ACGD 是圆内接四边形，∴∠GDE=∠ACG.
∵EF∥BC,GD∥BC,∴EF∥GD,∴∠DEF=∠GDE.∴∠DEF=∠ACG.
∵∠AFE=∠ADC,∠ADC=∠AGC,∴∠AFE=∠AGC.
∵AE=AC,∴△AEF≌△ACG(AAS).∴EF=CG.∴EF=BD.
17.解:(1)证明:∵∠BAC=∠ADB,∠BAC=∠CDB,∴∠ADB=∠CDB.∴DB平分∠ADC.
又∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.
∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°.
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°.
∴2(∠ABD+∠ADB)=180°.∴∠ABD+∠ADB=90°,∴∠BAD=180°-90°=90°;
(2)∵∠BAE+∠DAE = 90°,∠BAE =∠ADE,∴∠ADE+∠DAE=90°,∴∠AED=90°.
∵∠BAD=90°,∴BD 是圆的直径，∴BD垂直平分AC,∴AD=CD.
∵AC=AD,∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC=60°,
∵CF∥AD,∴∠F+∠BAD=180°.∴∠F=90°.
∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，∴∠FBC=∠ADC=60°.∴BC=2BF=4.
∵∠BCD=90°,∠BDC=30°,∴BD=2BC=8,
∵BD 是圆的直径，∴圆的半径长是4.
18. C
19.解:(1)证明:在⊙O中,
∴∠ACD=∠ABD=45°,即∠FCE=45°.
又∵∠CFE=45°,∴在△CFE中,∠FEC=180°-(∠FCD+∠CFE)=90°,即直线⊥直线 CE;
(2)①四边形 ABCD 是半径为 R 的⊙O 的内接四边形，∴∠ABC=∠GDE.
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.
由(1)可知∠GED=90°,∴∠ACB=∠GED.
在△ABC与△GDE中 ∴△ABC≌△GDE(AAS);
②在⊙O中,R=1,∴AB=2R=2.
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.
又∵∠ABD=45°,
在 中， 即 解得
由①可知
∴四边形 ABCD的周长为
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