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天津市双港中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.若角 的终边过点 ( 2,1)，则 的值为( )
2 2√ 5 √ 5 √ 5
A. √ 5 B. C. D.
5 5 5 5
1 1
2.已知 ∈ ，则“ > 5”是“ < ”的( )
5
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4
3.函数 = 2 的图象大致为( ) +1
A. B.
C. D.
4.已知 = 30.5， = log 330.5， = 0.5 ，则 ， ， 的大小关系是( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
5.集合 = { | 2 2 15 < 0}， = { |log2( + 1) ≤ 3}，则 ∩ =( )
A. [ 3,5] B. ( 1,7) C. [ 3,7) D. ( 1,5)
6.函数 ( ) = 2 + log2 的零点所在区间为( )
1 1 1 1 3 3
A. (0, ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , 1)
4 4 2 2 4 4
2 2
7.函数 ( ) = 是( )
2
A. 偶函数，在(0, +∞)是增函数 B. 奇函数，在(0, +∞)是增函数
C. 偶函数，在(0, +∞)是减函数 D. 奇函数，在(0, +∞)是减函数

8.如图，在扇形 中，∠ = ， = = 2，则下列说法正确的个数是( )
3
①∠ = 30°；
2
② 的长等于 ；
3
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2
③扇形 的周长为 + 4；
3
4
④扇形 的面积为 ．
3
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

9.若 ( ) = 1为奇函数，则 ( ) = ln[( 1)( )]的单调递增区间是( ) +1
3
A. (0,1) B. (1, +∞) C. ( , +∞) D. (2, +∞)
2
2 4 + 1, ≤ 0
10.已知函数 ( ) = { 1 ，若关于 的方程( ( ) 1)( ( ) ) = 0恰有5个不同的实数根，2 ( ) , > 0
2
则实数 的取值范围是( )
A. (1,2) B. (1,5) C. (2,3) D. (2,5)
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11.若对数函数 = log ( > 0且 ≠ 1)的图像经过点(4,2)，则实数 =______．
12.如图所示，终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是______．
+ 2, ≤ 1
13.在函数 = { 2, 1 < < 2中，若 ( ) = 1，则 的值是______．
2 , ≥ 2
4
14.已知实数 > 0，则2 3 的最大值是 ．

15.已知函数 ( )是定义在 上的偶函数，且在( ∞, 0]上是增函数， (2) = 0，则不等式 ( 1 ) > 0的解
4
集为 ．
, ≥ 1 ( ) ( )
16.若函数 ( ) = { 满足对任意的实数 1 ≠ 2都有
1 2 > 0成立，则实数 的取值范
(4 ) + 2, < 1 1 2 2
围是______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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17.(本小题12分)
1
(1)若log5 log36 log6 = 2，求 的值； 3
1 1 1
(2)计算：0.252 × ( )4 + 25 + 2 log 9 × log 2.
√ 2 2 2 3
18.(本小题12分)
12
(1)已知 ∈ [0, ]，且 = ，求 + 的值；
2 25
(2)如果 + 3 = 0，求sin2 + 2 的值．
19.(本小题12分)
已知二次函数 ( ) = 2 + 6， ∈ ．
(Ⅰ)若函数 ( )是偶函数，求实数 的值；
(Ⅱ)若 = 5，求不等式 ( ) < 0的解集；
(Ⅲ)若函数 ( )在区间[3,5]上具有单调性，求实数 的取值范围．
20.(本小题12分)
2 +
已知定义域为 的函数 ( ) =
2
是奇函数．
+
(1)求 ， 的值；
(2)判断函数 ( )的单调性，并用定义证明；
(3)当 ∈ [1,3]时， ( 2) + (2 1) > 0恒成立，求实数 的取值范围．
21.(本小题12分)

已知函数 ( ) = 2 2(2 )，函数 ( ) = 4
2 +1 3．
8
(1)求不等式 ( ) ≤ 5的解集；
(2)求函数 ( )的值域；
(3)若不等式 ( ) ( ) ≤ 0对任意实数 ∈ [1,2]恒成立，试求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】2
12.【答案】{ | 45° + 360° < < 120° + 360°, ∈ }
13.【答案】±1
14.【答案】2 4√ 3
1
15.【答案】( , 16)
16
16.【答案】[4,8)
1
17.【答案】解：(1)log5 log36 log6 = 2， 3
3 6 1
则 log53 log36 log6 = 2，即 × × = 2，即 log = 2，解得 = ； 5 3 6 5 25
1 1 1 7
(2)原式= 0.5 × + 5 + 2 2 23 × 32 = + 10 2 = + 1 2 = ． 4 8 8 8

18.【答案】解析：(1)因为 ∈ [0, ]，所以 + > 0，
2
49 7
+ = √ ( + )2 = √ 1 + 2 = √ = ，
25 5
(2)因为 + 3 = 0，
所以 = 3，
sin22 +2 tan
2 +2 3
sin + 2 = = = ．
sin2 +cos2 tan2 +1 10

19.【答案】解：二次函数 ( ) = 2 + 6， ∈ ，可知开口向上，对称轴方程为 = ，
2

(Ⅰ)要使函数 ( )是偶函数，则函数关于轴对称，即 = 0，
2
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解得 = 0；
(Ⅱ) = 5时，不等式为 2 5 + 6 < 0，即( 2)( 3) < 0，
解得2 < < 3，
即不等式的解集为(2,3)；

(Ⅲ)当函数在[3,5]上单调递增时，则 ≤ 3，即 ≤ 6，
2

当函数在[3,5]上单调递减时，则 ≥ 5，即 ≥ 10；
2
所以要使函数 ( )在区间[3,5]上具有单调性， 的范围为( ∞, 6] ∪ [10, +∞)．
2 +
20.【答案】解：(1)因为定义域为 的函数 ( ) = 是奇函数， 2 +
所以 (0) = 0，
1+
即 = 0，
1+
∴ = 1，
又由∵ ( 1) = (1)，
1
+1
2 1即 1 = ，
+ 2+
2
∴ = 1，
检验知，当 = 1， = 1原函数为奇函数；
证明：(2) ( )在( ∞, +∞)上为减函数；
证明如下：
1 2 2
由(1)知 ( ) = = 1 + ，
1+2 2 +1
任取 1， 2 ∈ ，设 1 < 2，
2 2 2(2 1 2 2)
则 ( 2) ( 1) = 2
= ，
2+1 2 1+1 (2 1+1)(2 2+1)
因为函数 = 2 在 上是增函数目 1 < 2，
∴ 2 1 < 2 2，∴ 2 1 2 2 < 0，
又(2 1 + 1)(2 2 + 1) > 0，
∴ ( 2) ( 1) < 0即 ( 2) < ( 1)，
∴ ( )在( ∞, +∞)上为减函数；
(3)因 ( )是奇函数，当 ∈ [1,3]时， ( 2) + (2 1) > 0恒成立，
等价于 ( 2) > (2 1) = (1 2 )，
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因 ( )为减函数，由上式推得： 2 < 1 2 ，
1 2
即对一切 ∈ [1,3]有： < 2 恒成立，
1 2 1 1
设 ( ) = 2 = ( )
2 2 ，

1 1
令 = , ∈ [ , 1]，
3
1
则有 ( ) = 2 2 , ∈ [ , 1]，
3
∴ ( ) = ( ) = (1) = 1，
∴ < 1，即 的取值范围为( ∞, 1)．
21.【答案】解：(1)由 ( ) ≤ 5，得4 2 +1 8 ≤ 0，整理得(2 4)(2 + 2) ≤ 0，解得2 ≤ 4， ≤ 2，
∴ ( ) ≤ 5的解集为( ∞, 2]；
(2) ( ) = (log2 3)(log2 + 1) = ( 2 )
2 2 2 3 = ( 2 1)
2 4，
∵ log2 ∈ ，
∴ ( ) = ( 1)22 4 ≥ 4，
即 ( )的值域为[ 4, +∞)．
(3)不等式 ( ) ≤ ( )对任意实数 ∈ [1,2]恒成立
∴ ( ) ≤ ( ) ．
( ) = 4 2 +1 3 = (2 )2 2 × 2 3 = (2 1)2 4，
令 = 2 ，∵ ∈ [1,2]，∴ ∈ [2,4]，
设 ( ) = ( 1)2 4， ∈ [2,4]，
当 = 2时， ( )取得最小值 3，即 ( ) = 3，
∴ ( ) ≤ 3，即( 22 1) 4 ≤ 3，
∴ 1 ≤ log2 1 ≤ 1，即0 ≤ log2 ≤ 2，解得1 ≤ ≤ 4，
∴实数 的取值范围为[1,4]．
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