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第4讲 质谱仪、回旋加速器等组合场问
题
角度1 质谱仪及其拓展
角度2 回旋加速器及其拓展
角度3 组合场收集带电粒子
跟踪训练
备用习题
组合场是指空间不同区域存在不重叠的多个电场或磁场，带电粒子依次通
过这些区域，这类问题称作组合场问题，质谱仪和回旋加速器类问题都是
属于组合场问题.求解组合场问题的基本思路：
角度1 质谱仪及其拓展
例1 [2024·福建福州模拟] 质谱仪是
分析研究同位素的重要仪器.如图甲
所示为某质谱仪的截面图，速度很小
的带电粒子从点进入电压为 的加
速电场，加速后经狭缝 进入磁感应
强度为的速度选择器，沿直线运动从狭缝垂直于直线边界 进入磁
分析器，速度与磁感应强度为 的匀强磁场垂直，经偏转最终打在照相底
片上.粒子质量为、电荷量为 .不计粒子重力.
(1) 求速度选择器中匀强电场的电场强度大小 ；
[答案]
[解析] 粒子经过加速电场过程，根
据动能定理有
粒子在速度选择器中做匀速直线运动，
根据平衡条件有
联立解得
(2) 和是互为同位素的原子核，若保持、、不变，改变 ，使
原子核、 均沿直线通过速度选择器，最终打到照相底片上的位置到狭
缝的距离之比为，求、的质量之比 ；
[答案]
[解析] 粒子在磁分析器的磁场中做
匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，
有
粒子打到底片上的位置的狭缝 距离为
联立解得
根据题意，和 是互为同位素的原
子核，电荷量大小相等，原子核 、
沿直线通过速度选择器，最终打到
照相底片上的位置到狭缝 的距离之
比为，即,则
(3) 某次实验，由于加速电场和速度选择器的电场强度出现微小波动，并
考虑狭缝有一定的宽度且为，使得粒子从 射出时速度大小范围为
，速度方向与边界的垂线间的夹角范围为 ，如图乙
所示，则粒子打在照相底片上沿 方向的宽度为多少？
[答案]
[解析] 结合上述可知，从狭缝 右端以
的速度垂直于边界射出的粒子到达
底片上的位置到狭缝 的距离最远，对该粒
子有
该粒子打在底片上的位置到狭缝右侧的距离为
从狭缝左端以的速度与边界 的垂线
方向成 角射出的粒子到达底片上的位置
到狭缝 的距离最近，对该粒子有
该粒子打在底片上的位置到狭缝 左侧的距
离为
所以粒子打在底片上沿 方向的宽度
联立解得
技法点拨
质谱仪中存在加速区域和偏转区域，带电粒子在电场中的加速由动能定理
求解,带电粒子的偏转分两种情况：一是在辐向电场中做匀速圆周运动,满
足；二是在磁场中做匀速圆周运动,满足.
角度2 回旋加速器及其拓展
例2 1932年美国物理学家劳伦斯发明了回旋加
速器，巧妙地利用带电粒子在磁场中运动的特
点，解决了粒子的加速问题.现在回旋加速器被
广泛用于科学研究和医学设备中.回旋加速器的
工作原理如图甲所示，置于真空中的D形金属盒半径为 ，两盒间的狭缝
很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计，磁感应强度为 的匀强磁场与
盒面垂直，加速器接一定频率的高频交流电源，保证粒子每次经过电场都
被加速，加速电压为 .D形金属盒中心粒子源产生粒子，初速度不计，在
加速器中被加速，加速过程中不考虑相对论效应和重力作用.
(1) 求把质量为、电荷量为 的静止粒子加速到最大动能所需的时间；
[答案]
[解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦
兹力提供向心力,当从D形盒导出时,粒子动能最
大,此时有
解得
粒子电场中每加速一次，动能增加 ，则加速次数
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期
粒子在磁场中运动的时间
一般地可忽略粒子在电场中运动的时间， 可
视为总时间
(2) 若此回旋加速器原来加速 粒子，获得的最大动能为 ，现改
为加速氘核，它获得的最大动能为多少？要想使氘核获得与 粒子相
同的动能，请你通过分析，提出一种简单可行的办法；
[答案] ; 磁感应强度增大为原来的 倍，
高频交流电源的周期变为原来的
[解析] 设 粒子质量为、电荷量为 ，氘
核质量为、电荷量为 ,
对 粒子，其最大速度 ,则其
最大动能为
对氘核，其最大速度 ，则其最大动
能为
要想使氘核获得与 粒子相同的动能，可将磁
感应强度变为 ，使得
解得
即磁感应强度需增大为原来的 倍
高频交流电源原来的周期
磁感应强度改变后，高频交流电源的周期
即高频交流电源的周期应变为原来的
(3) 已知两D形盒间的交变电压如图乙所示，设 粒子在此回旋加速器中
运动的周期为，现对核进行加速，已知该核的电荷量为，在
时进入加速电场，求该核在加速器中能获得的最大动能.(在此过程中，粒
子未飞出D形盒)
[答案]
[解析] 粒子在此回旋加速器中运动的周期
对粒子 分析，其在磁场中运动的周期
每次 进入加速电场时与前一次进入加速电
场时相比，相对加速电场方向改变时刻延后的
时间为
当 次延后至该核逆着加速电场方向进入时，
该核不能再被加速，该核的动能已达到最大，
此时有
解得
根据动能定理得
技法点拨
回旋加速器中,带电粒子在电场中加速,在磁场中回转,如图所示.
(1)同步条件:交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等,使粒子每经过一次
D形盒缝隙就被加速一次.
(2)粒子获得的最大动能:由， ,联立可得
,粒子获得的最大动能由磁感应强度和盒半径 决定,与加速
电场的电压无关.
(3)加速次数和粒子在磁场中运动的总时间:粒子在磁场中运动一个周期,被
电场加速两次(加速的时间忽略不计),每次动能增加 ,加速次数
,粒子在磁场中运动的总时间 .
角度3 组合场收集带电粒子
例3 某离子诊断测量装置的简化结构如图所示.在第一象限中
存在一沿 轴正方向的匀强电场，在第二、三象限存在垂直于
平面向外的匀强磁场.有一块长度为的探测板 ，仅可在
第四象限范围内移动，且始终接地.在第一象限的抛物线
上有一簇粒子源，沿 轴负方向发射大量
同种负离子，离子的质量为，电荷量为，速度大小均为 ，
单位时间内发射的离子数为，这些离子沿 轴均匀分布.稳定工作后，若
探测板在某处平行于轴固定，则从 点出射的离子恰能击
中探测板的点，从点 出射的
离子恰能击中探测板的点.已知匀强电场的电场强度 ，
匀强磁场的磁感应强度 ,不计离子的重力及相互作用，
不考虑离子间的碰撞.
(1) 求探测板上点的纵坐标 ；
[答案]
[解析] 从 点出射的离子直接进入第三象限做匀速圆周运
动，由洛伦兹力提供向心力有
解得
该离子恰能击中探测板的点，故 点的纵坐标为
(2) 求探测板的横坐标 ；
[答案]
[解析] 从 点出射的离子在电场中做类平抛运动,有
联立解得,
说明该离子从原点 进入磁场.如图甲所示，设进入磁场时
该离子速度为，速度方向与轴方向的夹角为 ，该离子
在磁场中运动,由洛伦兹力提供向心力,有
由几何关系可知
该离子从磁场中射出的点记为,则点到 点的距离
联立解得
由几何关系可知
探测板的横坐标为
解得
(3) 求离子第二次经过轴时的纵坐标与其出发点的横坐标 的关系；
[答案] ，与 无关
[解析] 在抛物线上任取一点，则
该点处发射的离子在电场中做类平抛运动，有
联立解得
可见 说明所有离子均从 点进入磁场.
设该点处发射的离子进入磁场时速度为，速度方向与 轴方
向的夹角为， 该离子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心
力，有
由几何关系可知
该离子第二次经过轴时的纵坐标为
联立解得
所以任意离子第二次穿过轴时的纵坐标均为， 与
其出发点的横坐标 无关
(4) 若探测板沿轴平移，求单位时间内的探测板上接收到的离子数 与探
测板的横坐标 之间的关系.
[答案]
[解析] 由(2)和(3)的结论得
①当时，
②当时，设从抛物线上 点处发射的离子打在探
测板的 点，如图乙所示
由几何关系得
该离子在电场中做类平抛运动，有
由于离子发射时沿着 轴均匀分布，则击中探测板的离子个
数为
联立解得
综上所述，可得
1. 如图甲所示为某质谱仪核心部件结构图.半径为R的圆内有垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场,圆心为O,OO'为竖直方向的轴线,O点右侧S处有一粒子源(OS⊥OO')可以均匀地以各个方向向圆形磁场内发出速度大小相同、质量为m、电荷量为q的带正电粒子,圆形磁场上方有关于轴线OO'对称放置的两块平行金属板,两金属板之间的距离为1.6R,长为2R,两平行板间加如图乙所示的匀强电场,其中U0=,平行金属板上方有垂直于纸面向内范围足够大的匀强磁场,其磁感应强度也为B,磁场下边缘处有一只可左右平移的接收板PQ.从S点正对圆心O射出的粒子,恰好沿轴线进入电场中.不计离子之间的相互作用,不计重力,电场变化的周期远大于带电粒子在磁场中运动的时间.(取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6)
(1)求进入圆形磁场中的粒子的速度大小;
[答案] 　
[解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动,轨迹半径为
R=
解得v0=
(2)电容器不加电压时,求能从电容器中穿出的粒子数占总粒子数的比;
[答案] 　
[解析] 根据几何关系可知
Rcos θ1=0.8R
R(1-cos θ2)=0.2R
解得
θ1=37°
θ2=37°
从电容器穿出的粒子数占总粒子数的比值为 η=
(3)两极板M、N之间加上如图乙所示的电压,要使接收板能接收到所有从平行板电容器中射出的粒子,则板的长度至少多长
[答案] 1.6R　
[解析] 粒子在上方磁场中偏转距离 L=2cos θ ，v=
可得L=2=2R
因而所有进入上方磁场中的粒子在磁场中向右偏转的距离都相等,且为2R,要使所有粒子都能到达PQ上,即使电容器电压为零时进入的粒子能到达PQ板上即可.
探测板PQ长度至少为 Lmin=1.6R
(4)当U=U0时,若接收板可以上下左右平移,要使接收板能接挡住所有从平行板电容器中射出的粒子,则板的长度至少为多长
[答案] 0.4R
[解析] 带电粒子在电场中偏转为
y==0.8R
如图所示,①为从电容器边缘射出的粒子的轨迹
③为从电容器边缘射入的粒子出磁场时的轨迹
②为其①③中间的圆.当图中PQ移到P'Q'时,所有粒子都被挡住,
因而板的长度为0.4R
2.如图所示为某种离子加速器的设计方案.两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场,其中MN和M'N'是间距为h的两平行极板,其上分别有正对的两个小孔O和O',O'N'=ON=d,P为靶点,O'P=kd(k为大于1的整数),极板间存在方向向上的匀强电场,两极板间电压为U.质量为m、带电荷量为q的正离子从O点由静止开始加速,经O'进入磁场区域.当离子打到极板上O'N'区域(含N'点)或外壳上时将会被吸收.两虚线之间的区域无电场和磁场存在,离子可匀速穿过.忽略相对论效应和离子所受的重力.求:
(1)离子经过电场仅加速一次后能打到P点所需的磁感应强度大小;
[答案] 　
[解析] 离子经电场加速,由动能定理得qU=mv2，可得v=
离子在磁场中做匀速圆周运动,有qvB=m
离子刚好打在P点,轨迹为半圆,由几何关系可知r=
联立解得B=
[答案] (n=1,2,3,…,k2-1)
[解析] 若磁感应强度较大,离子经过一次加速后速度较小,
做圆周运动的半径较小,不能直接打在P点,做圆周运动到达N'右端,
再做匀速直线运动到另一侧磁场中,将重新回到O点再加速,直到打在P点.设共加速了n次,有nqU=m
qvnB=m
且rn=
(2)能使离子打到P点的磁感应强度的所有可能值;
解得B=
要求离子第一次加速后不能打在板上,有r1>,且qU=m,qv1B=m
解得n故加速次数n为正整数,且最大值为k2-1
即B=(n=1,2,3,…,k2-1)
(3)打到P点的能量最大的离子在磁场中运动的时间和在电场中运动的时间.
[答案] 　h
[解析] 打在P点的离子中加速次数最多的离子速度最大,
取n=k2-1,离子在磁场中做n-1个完整的匀速圆周运动和半个圆周
打到P点.
匀速圆周运动的周期T=
在磁场中运动的时间t磁=(n-1)T+
离子在电场中一共加速n次,可等效成连续的匀加速直线运动.由运动学公式得
(k2-1)h=a
a=
解得t电=h
3. 如图所示为某种粒子注入机的原理模型,在坐标系xOy平面内,正离子质量为m,带电荷量为q,以速度v0从A点射入磁感应强度大小为B,宽度为d(未知)的匀强磁场,A点坐标为,离子从y轴上的H点与y轴负方向成θ角射入第一象限,此时在第一象限内加与离子速度方向垂直的匀强电场,使离子在第一象限内做类平抛运动且垂直x轴射出电场.随后离子进入第四象限的圆形磁场中,经该磁场偏转,打到很长的离子收集板上,该板离圆形磁
场最低点M为处,不计离子受到的重力及离子间的相互作用.
(1)求第二象限的磁场宽度d;
[答案] 　
[解析] 离子在磁场中做匀速圆周运动,则有
qv0B=m
根据几何关系有
Rcos θ=d
解得d=
(2)求匀强电场的电场强度E的大小;
[答案] 或Bv0　
[解析] 电场线与x轴所成的角为θ,由于A点坐标为,根据
qv0B=m解得R=
即离子圆周运动的圆心在磁场左侧边界与x轴的交点位置,令离子射出匀强电场时的速度大小为v,将E、v0沿x轴和y轴分解,在y轴方向有
v2-=2Rsin θ
将v沿电场和垂直于电场方向分解,则有
v0=vcos θ
解得E=或Bv0
[解析] 结合上述分析,并由几何知识可得圆形磁场中轨迹半径R'满足
L≤R'≤L
所以离子轨迹如图所示
当R'=L时由几何知识可知,离子竖直向下离开,落点到N点距离 x1=L
[答案] L
(3)若去掉电场,调整系统,让离子从K点与x轴正方向成30°射入圆形磁场,磁场半径为L=,方向垂直纸面向外的圆形偏转磁场系统内,磁感应强度大小取值范围B≤B偏≤B,求收集板上离子注入的宽度.
当R'=L时,由几何知识可知,离子从M点与水平方向成30°离开,落点到N的距离
x2=L
则宽度为x=x1+x2=L
1.[2024·杭州模拟] 如图甲所示为
某质谱仪核心部件结构图.半径为
的圆内有垂直于纸面向外、磁
感应强度大小为 的匀强磁场，
圆心为， 为竖直方向的轴
线，点右侧 处有一粒子源
可以均匀地沿各个方向向圆形磁场内发出速度大小相同、质量
为、电荷量为的同种带正电粒子，圆形磁场上方有关于轴线 对称放
置的两块平行金属板，两平行板
之间的距离为，板长为 ，
两平行板间加如图乙所示的匀强
电场，其中
，平行金属板上方
有
垂直于纸面向内、范围足够大的
匀强磁场，其磁感应强度也为 ，
磁场下边缘处有一只可左右平移
的接收板.从点正对圆心 射
出的粒子恰好沿轴线进入电场中.
不计粒子之间的相互作用，不计
重力，电场变化的周期远大于带
电粒子在电场中运动的时间.
(取， )
(1) 求进入圆形磁场中的粒子的速度大小；
[答案]
[解析] 从点正对圆心 射出的粒子恰好
沿轴线进入电场，由几何关系可知，该
粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为
，由洛伦兹力提供向心力，有
解得进入圆形磁场中的粒子的速度
(2) 两平行板间不加电压时，求能从两平行板间射出的粒子数占总粒子数
的比例；
[答案]
[解析] 由于粒子做圆周运动的轨迹圆半径与磁场圆半径
相等，所以根据磁聚焦特点可知，所有粒子射出磁场时
速度方向均平行于轴线.设从、 板处射出两平行板
间的粒子在点射出时速度方向与 方向的夹角分别为
、 .如图甲所示，根据几何关系可知
解得 ,
能从两平行板间射出的粒子数占总粒子数的比例为
(3) 两平行板、 之间加上如图乙所示的电压，要使接收板能接收到所
有从两平行板间射出的粒子，则接收板至少为多长？
[答案]
[解析] 粒子在上方磁场中偏转的距离
其中,
联立可得
即所有进入上方磁场中的粒子在磁场中向左偏转的距
离都为 .
要使所有粒子都能打到接收板 上，由于接收板可左
右平移，所以可移动接收板至端与板相距为 处, 保证当两平行板间
电压为零时射出两平行板间的粒子能都打到探测板 上即可.
探测板的长度至少为
(4) 当 时，若接收板可以上下左右平移，要使接收板能接收到所有
从两平行板间射出的粒子，则接收板至少为多长？
[答案]
[解析] 当 时，带电粒子在电场中
偏转的位移为
其中,
又知
联立可得
如图乙所示，①为从右边缘射出平行板间
的粒子进入磁场运动的轨迹，③为从左边
缘射入平行板间的粒子经电场偏转后进入
磁场运动的轨迹，②为①③中间的圆.当
接收板移到位置 为②③的交
点，为①②的交点 时，所有粒子都被
挡住，因而接收板 的长度至少为
2.质子重离子治疗系统设备由离子源、
直径较大的环形同步加速器和偏转系统
组成,整个系统置于真空中.回旋加速器的
原理如图甲所示,和 是两个中空的半
径为 的半圆金属盒,它们接在电压一定、
频率为的交流电源上,位于圆心附近的质子源 能不断产生质子
(初速度可以忽略,重力不计),它们在两盒之间被电场加速(忽略质子在电场
中运动的时间,其最大速度远小于光速),、 置于与盒面垂直的磁感应强
度为 的匀强磁场中,已知质子每次经过狭缝均做加速运动,最后从边缘处
飞出.
(1) 已知质子的电荷量为 ,求质子的质量.
[答案]
[解析] 根据题意可知,质子在磁场中运动
周期与交流电源的周期相等,则有
质子在磁场中运动时,由牛顿第二定律有
又知
联立解得
(2) 若质子束从开始加速到从回旋加速器输出的过程中回旋加速器的平均
功率为,求此过程质子束的平均等效电流(用、、、 表示).
[答案]
[解析] 设质子离开加速器时速度大小为 ,由
牛顿第二定律有
输出时质子束的平均等效电流为
设在时间内离开加速器的质子数为 ,则质子
束从回旋加速器输出时的平均功率 满足
联立解得
(3) 已知偏转系统中电场和磁场的分布区域是边长为 的同一正方体,其偏
转系统的底面与目标所在水平面平行,间距也为 .当偏转系统不加电场及磁
场时,质子恰好沿偏转系统对称轴运动,竖直到达图中 点(即图中坐标原
点, 轴垂直于纸面向外).偏转系统同时加上电场和磁场时,要求打在目标平
面上处.已知角度 很小时,有
, . 求偏
转系统中、 的大小.
[答案] ;
[解析] 由上述分析可知,粒子出加速器时
的速度
根据运动的分解,只考虑电场存在时,经过
电场后,质子在 方向偏转的距离
速度偏转角的正切值
离开电场后,质子在 方向偏移的距离
则有
解得
只考虑磁场存在时,质子进入磁场后做圆周
运动的半径
又有
经过磁场后,质子在 方向偏转的距离
离开磁场后,质子在 方向偏移的距离
则有
解得

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