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第6讲 电磁场中的空间立体问题和摆线问题
角度1 空间立体问题
角度2 摆线问题
跟踪训练
备用习题
角度1 空间立体问题
1.粒子在三维空间中运动，求解的基本方法是先转化为平面问题，再加以
合成.
(1)情况1：粒子运动从全过程来看是立体问题，分阶段来看是平面运动.
(2)情况2：粒子在三维空间中运动，可以沿一定方向把运动投影到平面内
进行处理.
2.带电粒子在磁场中做平面运动，运动涉及三个方向：磁场方向、粒子的
运动方向和粒子的受力方向，这三个方向构成立体结构，处理这类问题时，
有时需要先选择一个平面对粒子受力分析，再选择另一个平面对粒子进行
运动分析，画立体示意图和平面示意图是解决问题的关键.
例1 (不定项)如图所示是离子注入工作原理示意图，离子经加速后沿水平
方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，经偏
转系统后注入到处在水平面内的晶圆(硅片).速度选择器、磁分析器和偏转
系统中的匀强磁场的磁感应强度大小均为 ，方向均垂直于纸面向外；速
度选择器和偏转系统中的匀强电场的电场强度大小均为 ，方向分别为竖
直向上和垂直于纸面向外.磁分析器截面是内外半径分别为和 的四分
之一圆环，其两端中心位置和 处各有一个小孔；偏转系统中电场和磁
场的分布区域是同一边长为 的正方体，其底面与晶圆所在水平面平行，
间距也为 .当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好由上表面中心竖直进
入系统，并竖直注入到晶圆上的点(即图中坐标原点， 轴垂直于纸面向
外).整个系统置于真空中，不计离子重力，经过偏转系统直接打在晶圆上
的离子偏转的角度都很小，离子能从底面穿出偏转系统.当 很小时，有
, ，
下列说法正确的是( )
A.可以利用此系统给晶圆同时注入带正电的
离子和带负电的离子
B.从磁分析器下端孔 离开的离子其比荷为
C.若偏转系统仅加电场，则离子注入晶圆的
位置为
D.若偏转系统同时加上电场和磁场，则离子
注入晶圆的位置为
√
√
[解析] 根据左手定则可知，只有正离子才能通过磁分
析器，负离子不能通过磁分析器，故A错误；离子通
过速度选择器时，根据平衡条件有 ，可得离
子速度为，离子从磁分析器中心孔射出时运动半径为 ，
根据洛伦兹力提供向心力有
，联立解得 ，故B正确；
若偏转系统仅加电场，则经过电场后，离子在 方向偏转的距离为
，其中加速度为，运动时间为 ，
速度偏转角 的正切值为 ，
联立解得, ，离开电场后，粒
子在方向偏移的距离为 ，则离子
注入晶圆时在 方向偏移的总距离为
，位置坐标为 ，故C正确；
若偏转系统同时加上电场和磁场，则可将离子在偏转
系统中的运动分解，沿 方向上离子仅在电场力作用
下运动,在垂直于 方向上离子只在磁场作用下做匀速
圆周运动，运动的半径为 ，运动轨迹
如图所示，根据几何关系可知，由于 很小，
则 ，即,经过磁场时，离子在 方向偏
转的距离 ，
离开磁场后，离子在 方向偏移的距离为
，则离子注入晶圆时在 方
向偏移的总距离为 ，所以离子注
入晶圆的位置坐标为 ，故D错误.
例2 [2024·余姚模拟] 如图所示，足够大的荧光屏正前方有一平行于
轴、长度为的线形粒子源，中点与 的连线垂直于荧光屏；粒
子源与荧光屏之间正对放置半径为、间距为 的圆形金属极板，圆心连
线平行于轴，中点在上.粒子源上各处沿平行于 方向均匀
发射速度为、比荷为的相同带正电粒子，极板间有沿 方向的匀强电
场.不计重力及粒子间相互作用，
忽略边缘效应.
(1) 若粒子能全部飞出极板，求极板间电场强度的最大值 ；
[答案]
[解析] 只要在平行极板间运动时间最长的粒子能飞出极板，所有粒子就
都能飞出极板.当 点发射的粒子恰好能飞出极板时，极板间电场强度取最
大值.粒子在极板间做类平抛运动，有
联立解得
(2) 若将极板间电场强度调至，已知 ，通过计算求出荧光
屏上图形的方程；
[答案] ，其中
[解析] 俯视图如图甲所示，由几何关系可知，横
坐标为 的粒子通过极板间时沿初速度方向的位移
为
所用的时间为
沿电场方向的加速度为
飞出极板时沿方向偏转的距离为
联立解得
根据类平抛的推论得
解得荧光屏上图形的方程为 ，其中
(3) 若只将极板间电场强度调至，或者将电场强度调至 并同
时在极板间沿电场方向加一磁感应强度大小为 的匀强磁场，都只有
的粒子能射出极板，求与 的比值.
[答案]
[解析] 只有电场时，有 的粒子能射出极板，则发
射时距离点为 的粒子恰能射出，俯视图如图乙所示，
由几何关系可知，该粒子通过极板间时沿初速度方向
的位移为
所用时间为
沿电场方向有
有电场并加磁场时，粒子在极板间沿电场方向做匀加
速直线运动,在垂直
于电场(即磁场)方向做匀速圆周运动,运动的半径
由于轨迹圆半径与磁场圆半径相等,粒子入射速度方向
平行，所以当只有磁场时所有粒子经磁场偏转后恰能
交于磁场圆的圆周上一点.
有电场并加磁场时，若有 的粒子能射出极板,则从
点发出的粒子应恰能射出极板,该粒子在磁场中运动
的时间为
沿电场方向有
联立解得
角度2 摆线问题
当空间存在正交的匀强磁场与匀强电场(或重力场)时，若带电粒子以初速
度为零或者垂直于磁场方向的初速度进入这一空间，则会在垂直于磁场方
向的平面内做“摆线”运动，这一“摆线”是由一个匀速圆周运动和一个匀速
直线运动的合运动的轨迹.一般用“配速法”进行分析，即将初速度分解成两
个分速度，其中一个分速度可以满足在对应的洛伦兹力的分力与电场力
(或重力)平衡，带电粒子以此分速度做匀速直线运动，同时以另一个分速
度仅在磁场作用下做匀速圆周运动.由于做匀速圆周运动的分速度大小不
变但方向周期性变化，做匀速直线运动的分速度大小和方向都不变，这两
个分运动在一个平面内，所以带电粒子运动时的合速度在周期性变化，表
现出来就是“摆线”.
例3 如图甲所示，空间存在一范围足够
大的垂直于 平面向外的匀强磁场，
磁感应强度大小为 .让一带正电的粒子
从坐标原点沿 平面以大小和方向不同的初速度入射到该磁场中，不
计重力和粒子间的影响.如图乙所示，若在此空间再加入沿 轴正方向、电
场强度大小为的匀强电场，一粒子从点以初速度沿 轴正方向发射.
研究表明：粒子在 平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的
分量与其所在位置的坐标成正比，比例系数与电场强度大小 无关.求
该粒子运动过程中的最大速度 .
[答案]
[解析] 方法一：用动量定理解决该题.
在最高点时粒子速度最大，由动能定理得
粒子在水平方向上仅受洛伦兹力，由动量定理得
即
联立解得
方法二：用配速法解决该题.
构造沿轴正方向的速度，速度大小 满
足：
于是带电粒子以速度 向右做匀速直线运
动，以大小为 、方向斜向左上的
初速度在同一平面内做匀速圆周运动，当
两运动方向相同时，速度最大，即最大速
度为
联立解得
导思
本题是一个关于摆线的问题，但是此题只是将摆线问题作为题设背景，通
过给予信息条件的方式引导学生建模，即：粒子在平面内做周期性运
动，且在任一时刻，粒子速度的分量与其所在位置的坐标成正比，比
例系数与电场强度大小无关.
例4 霍尔推进器某局部区域可抽象成
如图所示的模型. 平面内存在竖直
向下的匀强电场和垂直于坐标平面向
里的匀强磁场，磁感应强度为 .质量
为、电荷量为的电子从点沿 轴
正方向水平入射，入射速度为时，电子沿 轴做直线运动；入射速度小
于 时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受
的合力大小相等.不计重力及电子间相互作用.
(1) 求电场强度的大小 ；
[答案]
[解析] 入射速度为时电子沿 轴做直线
运动，则受力平衡，有
解得
(2) 若电子入射速度为，求运动到速度为时电子的位置的纵坐标 ；
[答案]
[解析] 电子在竖直向下的匀强电场和垂
直于坐标平面向里的匀强磁场的复合场中
运动，洛伦兹力不做功，由于电子入射速
度为 ，则电子受到的电场力大于洛伦兹
力，电子向上偏转，根据动能定理有
联立解得
(3) 若电子入射速度在 范围内均匀分布，求能到达纵坐标
的位置的电子数占总电子数的百分比.
[答案]
[解析] 设电子以速度 入射时能达到的最
高点的位置的纵坐标为 ，则根据动能定理
有
由于电子在最高点与在最低点所受的合力
大小相等，则有
联立解得
要让电子能到达纵坐标 的位置，
应使
解得
由于电子入射速度在 范围内均
匀分布，所以能到达纵坐标
的位置的电子数占总电子数的百
分比为 .
1.　 某科研小组在如图坐标系中研究质量为m、电荷量为q的带正电小球在复合场中的运动情况,重力加速度为g,请解答以下问题:
(1)如图甲,若沿x轴正向加匀强电场,沿y轴正向加匀强磁场.小球以某速度在xOz平面内做匀速直线运动;某时刻撤去电场和磁场,小球在此后运动过程中的最小动能为其初始动能的,求所加匀强电场的电场强度大小E1;
[答案] 　
[解析] x轴方向有
mg=qv0xB
z轴方向有
qv0zB=qE1
该质点在运动过程中的最小动能为其初始动能的,最小动能即为z方向的速度减为0时的动能 Ekmin=m
根据题意有 Ekmin=m
解得 v0x=v0z
所以 mg=qE1
解得 E1=
(2)如图乙,若在坐标原点O固定一正点电荷,沿z轴加匀强磁场,小球恰好能以z轴上O1(0,0,a)点为圆心做匀速圆周运动其轨迹平面与xOy平面平行,角速度为ω,运动方向如图中箭头所示求磁感应强度大小B1并说明其方向;
[答案] ,方向沿z轴负方向　
[解析] 设圆轨道半径为R,圆周上一点和坐标原点连线与y轴的
夹角为α,则 mg=F电sin α , qωRB1-F电cos α=mω2R
其中 tan α=
解得B1=方向沿z轴负方向;
(3)如图丙,若沿z轴正向加电场强度大小E2=的匀强电场,沿y轴负向加磁感应强度大小B2=的匀强磁场,沿y轴正向还存在电场强度E3=2E2的匀强电场.现让小球在yOz平面内从z轴O2(0,0,R)点以初速度2v0与z轴正向成60°角射入,设C点(图丙中未画出)为小球运动过程中z坐标最大的点,求O2C的可能距离.
[答案] ,
其中
[解析] 离子的运动为复杂的旋进运动.将该运动分解为xOz平面内的匀速圆周运动和y轴正方向的匀加速直线运动,根据
B2=
r=
又vy=2v0cos 60°=v0
即r=
离子在圆柱体截面上做匀速圆周运动的周期为
T=
O2到C的时间 t=T
离子在y轴的正方向做匀加速直线运动,根据匀变速直线运动规律可得:
O2C在z轴方向上的距离Lz=r,O2C在x轴方向上的距离Lx=r,O2C在y轴方向上的距离
Ly=v0t+at2 , a==2g
所以
O2C=(n=0,1,2,3,…)
2. 如图所示,空间坐标系O-xyz内有一由正方体ABCO-A'B'C'O'和半圆柱体BPC-B'P'C'拼接而成的空间区域,立方体区域内存在沿z轴负方向的匀强电场半圆柱体区域内存在沿z轴正方向的匀强磁场.M、M'分别为AO、A'O'的中点,N、N'分别为BC、B'C'的中点,P、P'分别为半圆弧BPC、B'P'C'的中点,Q为MN的中点.质量为m、电荷量为q的正粒子在竖直平面MNN'M'内由M点斜向上射入匀强电场,入射的初速度大小为v0,方向与x轴正方向夹角为θ.一段时间后,粒子垂直于竖直平面BCC'B'射入匀强磁场.已知正方体的棱长和半圆柱体的直径均为L,匀强电场的电场强度大小E=,匀强磁场的磁感应强度大小B=,不计粒子重力.求:
(1)夹角θ;
[答案] 45°　
[解析] 粒子在电场中运动时,沿x轴方向
L=v0cos θ·t1
沿z轴方向 v0sin θ=at1
由牛顿第二定律可知 a=
解得θ=45°
t1=
(2)粒子在电场中的运动时间与在磁场中的运动时间之比;
[答案] 　
[解析] 粒子进入匀强磁场的速度 v1=v0cos 45°=v0
进入后,由牛顿第二定律可知 qv1B=
解得R1=
由几何关系可知,粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为60°,粒子在磁场中运动的周期 T=
粒子在匀强磁场中运动的时间 t2=T=
故粒子在电场中的运动时间与在磁场中的运动时间之比
(3)若粒子以相同的初速度自O点射入匀强电场,粒子离开匀强磁场时的位置坐标.
[答案] (L,L,)
[解析] 若粒子以相同的初速度自O点射入匀强电场,则粒
子仍垂直于平面BCC'B'射入匀强磁场,此时进入磁场时
距离O点的距离
z=t1=
进入磁场后做圆周运动的半径为 R1=
圆心恰在N'N的中点,则从B'B中点出离磁场,则出离磁场时的位置坐标(L,L,).
1.[2024·嵊州模拟] 如图所示，磁控管内局部区域
分布有竖直向上的匀强电场和垂直于纸面向里的
匀强磁场.电子从 点由静止释放，沿图中轨迹依
次经过、两点，且 点离虚线最远.已知磁感应
A.电子在点的速率为 B.点离虚线的距离为
C.电子在点的电势能为 D.、两点的距离为
强度为，电场强度为，电子质量为、电荷量为， 点为零电势点，
电子重力不计，则 ( )
√
[解析] 电子从点到 点,由动能定理得
，在水平方向上，由动量定理得
，即 ,联立解得
，，故A、B错误.由于 点为零
电势点，故电子在 点的电势能为
，C正确；电子的运动具有
周期性，也可认为电子
的运动是一个沿平面的匀速圆周运动和一个沿水
平方向的匀速直线运动的合运动，匀速圆周运动
的周期为 ，设匀速直线运动的速度大小
为，匀速圆周运动的速度大小为 ，根据速度
的合成，在点时有,在 点时有
，联立解得,电子从
点运动到点的时间为，所以、
两点的距离为 ，故D错误.
2.[2024·慈溪中学模拟] 某实验装置的基本原理如
图所示，平行正对放置半径均为、间距为 的圆
形金属板、的圆心分别为、，位于 处
的粒子源能向两板间各个方向发射质量为 、电
荷量为 的带正电的粒子，不计粒子重力及相互
间作用，忽略边缘效应.
(1) 仅在两板间加电压，两板间产生方向沿 方向的匀强电场，则粒
子源发射出的粒子速度大小满足什么条件时能全部击中 板
[答案]
[解析] 只要速度方向垂直于电场方向发射的粒子能击中 板，则发射的粒
子就能全部击中 板.对于速度方向垂直于电场方向发射的粒子，当粒子恰
好打在 板圆周时，有
其中
联立解得
所以粒子速度 .
(2) 仅在两板间加沿方向的有界匀强磁场，磁感应强度大小为 ，则
粒子源发射出的方向与连线成角的粒子速度大小 满
足什么条件时能全部击中 板？
[答案]
[解析] 粒子源发射出的方向与 连线成
角的粒子做螺旋等距运动，粒子垂直于
磁场方向的分速度
根据洛伦兹力提供向心力，有
根据题意可知
解得
(3) 若两板间同时存在方向都沿 方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应
强度大小为，粒子源发射出速度大小均为、方向垂直于 连线的粒
子，粒子击中板时全部落在半径为的圆周上 ，求电场强度
的大小.
[答案]
[解析] 设粒子在两板间运动时间为 ，粒子在磁场中做圆
周运动的周期为
，运动的半径 ，由于粒子全部落在半径为
的圆周
上，所以粒子击中板时做的圆周运动的时间 应该满足
,其中,1,2,
粒子沿电场方向做匀变速直线运动,有
其中
联立解得

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