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5.3.2简单复合函数的导数教学设计
学习目标：
1、通过具体实例理解复合函数的概念，在对复合函数的拆分和复合的过程中，提升逻辑推理素养；
2、通过具体实例学会复合函数的求导法则，提高数学抽象素养；
3、能利用复合函数的求导法则，并结合基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则求一些简单复合函数的导数，提升数学运算素养。
重点：了解和认识复合函数的概念及求导法则；
难点：掌握简单复合函数求导法则并能进行求导运算。
测：
1、基本初等函数的导数公式
（c）ˊ=_____， （xα）ˊ=______， （sinx）ˊ=______， （cosx）ˊ=__________
（ax）ˊ=______， （ex）ˊ=______， （logax）ˊ=_____， （lnx）ˊ=___________
2、导数的四则运算法则
（f(x)+g(x)）ˊ=_______________
（f(x)g(x) ）ˊ=____________________ 特别的：（cg(x)）ˊ=_________
（）ˊ=_____________________
3、求函数y=sin2x的导数：
Y’x=(sin2x)’=(2sinxcosx)’
=2[(sinx)’cosx+sinx(cosx)’]
=2[cosxcosx+sinx(-sinx)]
=2[cos2x-sin2x]
=2cos2x
导：求函数y=ln(2x+1) 的导数。
思，议，展，评：
问题1、能否运用基本初等函数的导数公式或导数的四则运算法则求该函数的导函数？
现有方法无法求出它的导数：（1）用定义不能求出极限；（2）不是基本初等函数，没有求导公式；（3）不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的四则运算法则解决这个问题.
问题2、函数y=ln(2x+1)的结构特点是什么？
函数 y＝ln(2x-1)可以看成是由 y＝lnu 和 u＝2x-1 复合而成
问题3、阅读课本并填空：
复合函数的定义：一般的，对于两个函数________和__________,如果通过中间变量__，___可以表示成___的函数，那么就称这个函数为函数___________和_____________的复合函数，记作______________.
复合函数的定义：一般的，对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么就称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
问题4、必修一中涉及到复合函数的单调性和值域，你还记得它是怎么判断的吗？那么，一个合理的猜想就是：复合函数的导数和它的内、外层函数的导数可能也有某种关系。不妨以函数y=sin2x为例探究一下。
函数y=sin2x由外层函数_____________、内层函数__________复合而成。
函数 导函数
y=sin2x yx=2cos2x
外层函数_______ y＝lnu ________y’u=
内层函数______ u＝2x-1 _________u’x=2
所以，三者之间的关系：_________y’x=2cos2x=coxu*2=y’u*u’x
总结:简单复合函数的求导法则：
一般地，对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)).它的导数与函数y=f(u)、u=g(x)的导数间的关系为______________________ y’x=y’u*u’x
文字表述为：___________________________________________
Y对x的导数等于y对u的导数与u对x 的导数的乘积。
问题5、试一试：求函数y=ln(2x+1)的导数，并总结复合函数的求导步骤。
解：函数 y＝ln(2x-1)可以看成是由 y＝lnu 和 u＝2x-1 复合而成
以y’u 表示y对 u 求导, 以_u’x表示u对x求导
因为y'u＝(lnu)'＝ , u'x＝2,
y’ 2=y’u*u’x x=*2=
复合函数y＝f (g(x))的导数的一般步骤吗？
(1)观察函数结构，识别构成复合函数的基本初等函数；分解
(2)引入中间变量，运用基本初等函数的求导公式，即先求y′u，再求u′x，然后计算y′u·u′x；求导
(3)用中间变量关于自变量的函数替换掉中间变量，得到关于自变量的导数. 回代
练：求下列函数的导数
y=(3x+5)3
解：函数 y=(3x+5)3以看成是由 y＝(u)3和 u＝3x+5 复合而成
因为y'u＝(u)3'＝3(u)2, u'x＝3,
y’ x=y’u*u’x x=3(u)2*3=6(3x+5)2
（2）y=e-0.05x+1
解：函数 y= e-0.05x+1以看成是由 y＝eu和 u＝-0.05x+1 复合而成
因为y'u＝eu'＝eu, u'x＝-0.05,
y’ x=y’u*u’x x= eu *(-0.05)= (-0.05) e-0.05x+1
(3)y=(1-2x)3
解：函数 y=(1-2x)3以看成是由 y＝(u)3和 u＝1-2x 复合而成
因为y'u＝(u)3'＝3(u)2, u'x＝-2,
y’ x=y’u*u’x x=-2(u)2*3=-6(1-2x)2
（4）y=log2(2x+1)
解：函数 y= log2(2x+1)以看成是由 y＝log2u和 u＝2x+1 复合而成
因为y'u＝log2u'＝, u'x＝2,
y’ x=y’u*u’x x=*2=
（5）y=cos()
解：函数 y= cos()以看成是由 y＝cosu和 u＝ 复合而成
因为y'u＝cosu'＝-sinu, u'x＝,
y’ x=y’u*u’x x=-sinu *=-sin()
（6）y=sin()
解：函数 y= sin()以看成是由 y＝sinu和 u＝ 复合而成
因为y'u＝sinu'＝cosu, u'x＝-3,
y’ x=y’u*u’x x= cosu *(-3)=-3 cos()
小结：
1.复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x)).
2.复合函数的求导法则
复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系
为y′x＝yu'×ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积
3.复合函数求导的步骤：分解→求导→回代
反思：
复合函数求导公式的证明高中阶段不需要掌握，所以我早讲课时是有一个实例引出复合函数的求导公式，我觉得这样比较自然一些。但经过实践发现，一个实例是不够的，至少应举两例，这样能给学生一个缓冲的时间。使结论的出现不至于太突兀。更有说服力，本节课还有一个缺点，在讲新课之前没有给学生复习复合函数的概念。此概念在必修一中已经学过。但时间太久，大部分学生已经忘记此处。教学要考虑到学生的情况，就是认为简单的学生不一定会，要结合学生实际进行教学。
本节的教学设计应该这样改一改，首先复习简单函数复合函数的概念，然后给出一个函数。复合函数，让学生判断这个函数是简单函数还是复合函数。再问，学生能否用学过的导数的四则运算来求导？如果能，所求的结果与原函数有什么关系？进而才想出复合函数的求导法则。紧接着再用一个实例去验证，从而总结出复合函数的求导法则，最后再讲解例题和做练习。这样的设计会让这些过程更自然一些，学生更易接受。5.3.2简单复合函数的导数 导学案
学习目标：1、了解和认识复合函数的概念及求导法则；
2、掌握简单复合函数求导法则并能进行求导运算。
测：
1、基本初等函数的导数公式
（c）ˊ=_____， （xα）ˊ=______， （sinx）ˊ=______， （cosx）ˊ=__________
（ax）ˊ=______， （ex）ˊ=______， （logax）ˊ=_____， （lnx）ˊ=___________
2、导数的四则运算法则
（f(x)+g(x)）ˊ=_______________
（f(x)g(x) ）ˊ=____________________ 特别的：（cg(x)）ˊ=_________
（）ˊ=_____________________
3、求函数y=sin2x的导数：
导：求函数y=ln(2x+1) 的导数。
思，议，展：
问题1、能否运用基本初等函数的导数公式或导数的四则运算法则求该函数的导函数？
问题2、函数y=ln(2x+1)的结构特点是什么？
问题3、阅读课本并填空：
复合函数的定义：一般的，对于两个函数________和__________,如果通过中间变量__，___可以表示成___的函数，那么就称这个函数为函数___________和_____________的复合函数，记作______________.
问题4、必修一中涉及到复合函数的单调性，你还记得它是怎么判断的吗？那么，一个合理的猜想就是：复合函数的导数和它的内、外层函数的导数可能也有某种关系。不妨以函数y=sin2x为例探究一下。
函数y=sin2x由外层函数_____________、内层函数__________复合而成。
函数 导函数
y=sin2x yx=2cos2x
外层函数____________ _________________
内层函数____________ _________________
所以，三者之间的关系：__________________________
总结:简单复合函数的求导法则：
一般地，对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)).它的导数与函数y=f(u)、
u=g(x)的导数间的关系为______________________
文字表述为：___________________________________________
问题5、试一试：求函数y=ln(2x+1)的导数，并总结复合函数的求导步骤。
练：求下列函数的导数
（1）y=(3x+5)3 （2）y=e-0.05x+1
（3）y=(1-2x)3 （4）y=log2(2x+1)
（5）y=cos() （6）y=sin()
小结：

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