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第7讲 电磁感应中的单杠模型
角度1 单杆与电阻构成回路
角度2 单杆电容器模型
角度3 单杆的振动（简谐运动）
跟踪训练
备用习题
常见的单杆模型分析
示意图 ___________________________________________ __________________________________________ __________________________________ _______________________________________
运动 分析 ______________________________________ _____________________________________ __________________________________ ____________________________________
能量 分析 动能转化为内能, 电能转化为动能 和内能, 外力做功转 化为动能和 内能, 外力做功转化
为电场能和动
能,
续表
角度1 单杆与电阻构成回路
例1 [2024·丽水模拟] 如图甲所示，两间距为 的光滑平行金属导轨固定在
水平面内，左端用导线连接，导轨处在竖直向上的匀强磁场中.一根长度
也为、电阻为的金属棒放在导轨上，在平行于导轨向右、大小为 的恒
力作用下向右运动，金属棒运动过程中，始终与导轨垂直并接触良好，金
属棒运动的加速度与速度关系如图乙所示，图乙中的、 均为已知量.
若不计金属导轨及左边导线电阻，金属导轨足够长，则下列说法不正确的
是( )
A.金属棒的质量为
B.匀强磁场的磁感应强度大小为
C.当拉力做功为时，通过金属棒横截面的电荷量为
D.某时刻撤去拉力，此后金属棒运动过程中加速度大小与速度大小成正比
√
[解析] 由牛顿第二定律可知，整理得 ，结合
图像可知，解得，故A正确；结合图像可知 ，解
得，故B正确；当拉力做功为 时，金属棒运动的距
离为，则通过金属棒截面的电荷量 ，故
C错误；某时刻撤去拉力，此后有，则 ，故D正确.
角度2 单杆 电容器模型
例2 如图所示,光滑平行金属导轨弯折成
对称的“”字形,导轨间距为,倾角为
(很小)的倾斜部分与底部平滑连接,导轨
位于方向竖直向上的匀强磁场中,磁感应
强度大小为(未知);在导轨左侧通过单刀双掷开关可分别与电动势为 的
电源 内阻为和极板为和的不带电的电容为 的电容器连接.将开关掷
向1,长为、质量为的导体棒恰好能静止在倾斜导轨上高为 处.已知电
容器始终工作在额定电压范围内,导体棒 在运动过程中始终与导轨垂直
且接触良好,重力加速度为 ,不计其他电阻和电磁辐射.
(1) 求磁感应强度 的大小;
[答案]
[解析] 将开关掷向1,导体棒 恰好静止在倾斜
导轨上,故安培力沿导轨方向的分力与重力沿导
轨方向的分力平衡,有
根据闭合电路欧姆定律得
联立解得
(2) 若将 掷向2，分析棒的运动情况.
[答案] 见解析
[解析] 将开关掷向2，电容器两端电压与导体
棒产生的感应电动势大小相等.以导体棒为研究
对象,在左侧导轨上,由牛顿第二定律有
回路中的电流
联立解得
所以 为定值,即棒在左侧导轨上做匀加速直线
运动.同理,在右侧导轨上,由牛顿第二定律有
回路中的电流
联立解得
所以 为定值,即棒在右侧导轨上做匀减速运动,
其运动情况与在左侧导轨上时对称.
角度3 单杆的振动(简谐运动)
例3 如图所示，、 是两条固定在
水平面内的间距 的平行轨道，
两轨道在、 处各有一小段长度可以
忽略的绝缘体，绝缘体两侧为金属导轨，
金属导轨电阻不计.轨道左端连接一个
的电阻，轨道右端连接一个
“恒流源”，使导体棒在、 右侧时
电流恒为.沿轨道建立
轴， 为坐标原点，在两轨道间存在垂
直于轨道平面向下的有界磁场，
区域磁感应强度大小随坐标 的变化
规律为； 区
域为匀强磁场，磁感应强度大小
.开始时，质量 、
长度、电阻 的导体棒
在外力作用下静止在 处，
棒与导轨间的动摩擦因数 .现
撤去外力，发现 棒沿轨道向左运动.
重力加速度取 .
(1) 求撤去外力瞬间棒中的电流方向和 棒的加速度大小；
[答案] 到;
[解析] 撤去外力瞬间 棒沿轨道向左运动，
说明受到向左的安培力作用，根据左手定
则可判断出电流的方向从到 .
对棒 ，由牛顿第二定律可得
其中
解得
(2) 求撤去外力后棒由静止运动到 处的速度大小；
[答案]
[解析] 撤去外力后棒由静止运动到
处的过程，由动能定理得
由于磁感应强度与 成线性关
系，则安培力也与 成线性关系，
所以
其中
联立解得
(3) 若棒最终停在处，其运动的总时间为多少？
已知：质量为 的物体做简谐运动时，回复力与物体偏离平衡位置的位
移满足，且振动周期
[答案]
[解析] 在 区域中，棒受到的合力为
由简谐运动的性质可知,棒在到之间区域以 处
为平衡位置做简谐运动，,周期为
棒从处运动到处所需时间
设棒从处运动到处所需时间为 ,由于
,故
设棒在左侧匀强磁场中运动时间为 ，由动量定理得
其,
联立解得
则全程总时间
1. 如图甲,倾角θ=30°的足够长光滑平行金属导轨,导轨间距L=1 m,底端接有R=3 Ω的定值电阻,导轨处在磁感应强度大小B=1 T、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中.质量m=0.5 kg、阻值r=1 Ω的金属棒,在平行于导轨的拉力F作用下,由静止开始从CD处沿导轨向上加速运动,金属棒的速度—位移图像如图乙所示,金属棒始终与导轨垂直并接触良好,导轨电阻忽略不计,重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)通过金属棒的电荷量为1 C时,金属棒的位移大小;
[答案] 4 m　
[解析] 由q=t=t=t=
可得x=4 m
(2)速度v=2 m/s时,电阻R的发热功率;
[答案] 0.75 W　
[解析] 速度v=2 m/s时I==0.5 A
所以电阻R的发热功率PR=I2R=0.75 W
(3)金属棒从CD处沿导轨向上运动x=2 m的过程中,外力F做的功.
[答案] 10 J
[解析] 极短位移内安培力做功Wi=-xi
金属棒从CD处沿导轨向上运动x=2 m的过程中对vixi求和即为图乙图线与x轴所围面积S.所以安培力做功为W安=-=-1 J
由动能定理可得WF+W安-mgxsin 30°=m,v1=4 m/s
解得WF=10 J
2. 某研发小组设计了一个臂力测试仪.装置的简化原理图如图甲所示,两平行金属导轨MM'、NN'竖直放置,两者间距为L=1 m,在M、N间和M'、N'间分别接一个阻值为R=1.5 Ω的电阻,在两导轨间EFGH矩形区域内有垂直导轨平面向里、宽为d=0.5 m的磁场,磁感应强度变化如图丙所示,已知B0=0.75 T,t0=0.25 s.一质量为m=0.5 kg、长为L=1 m、电阻也为R的导体棒垂直放置在导轨上,导体棒与弹簧相连,弹簧下端固定,弹簧伸至原长后其顶端恰好与EF在同一条直线上.测试者利用臂力将导体棒向下压至某位置后释放,导体棒向上运动经过HG时,会与HG处的压力传感器发生撞击(图乙为装置的侧视图),压力传感器可以显示撞击力的大小,以此来反映臂力的大小.
[答案] A,方向为N流到M　
[解析] 由丙图可知,0~t0时间内磁感应强度的
变化率为
根据法拉第电磁感应定律有 E=
由闭合电路欧姆定律,可得 I=
联立解得I= A ， 根据楞次定律,可得此时流过MN的电流为N流到M.
(1)为测试其电特性,进行如下实验:磁场区域内的磁感应强度如图丙所示,求0~t0时间内流过MN的电流I的大小和方向;
(2)为测试其力特性,在t>t0这段时间内进行如下实验:设某次测试中,将弹簧压缩至AB位置后释放,AB与EF间的竖直距离为2d,当导体棒进入磁场的瞬间,加速度为2g,导体棒运动到HG时压力传感器示数恰好为0.已知弹簧的弹性势能与弹簧形变量的平方成正比,导体棒运动中与导轨始终保持接触良好且导轨电阻不计,重力加速度g取10 m/s2,求:
[答案] 26.25 J　
[解析] 导体棒进入磁场瞬间,由牛顿第二定律得
mg+B0IL=2mg
又I= 解得v=
设导体棒运动到HG时弹簧的弹性势能为Ep,由弹性势能
与形变量的关系可知释放导体棒时弹簧的弹性势能为4Ep,
对导体棒由AB上升至EF这一过程,由能量守恒定律得 4Ep=2mgd+mv2
解得Ep=26.25 J
①导体棒出磁场时弹簧的弹性势能;
②导体棒向上运动过程中产生的焦耳热.
[答案] 47.5 J
[解析] 对导体棒上升过程,由能量守恒定律得
4Ep=Ep+3mgd+Q总
导体棒向上运动过程中产生的焦耳热
Q=Q总=47.5 J
3.　如图甲所示,倾角α=30°的粗糙斜面上放置矩形金属框MM1N1N,质量M=5 kg.其中水平边MN=M1N1=1.0 m,阻值均为R=0.2 Ω;MM1=NN1足够长,电阻不计.空间中存在方向垂直斜面向上的匀强磁场,磁感应强度B=1 T.一质量m=1.0 kg、阻值r=0.1 Ω、长l=1.0 m的光滑导体棒ab放置在金属框上,并平行MN边.t=0时刻,在平行斜面的外力F作用下从x=-0.2 m位置由静止开始做简谐运动,简谐运动的平衡位置在坐标原点O处,导体棒ab的速度随时间变化的图像是如图乙所示的正弦曲线,正弦曲线的周期T= s.导体棒ab始终沿垂直MM1的方向运动,金属框始终保持静止，g取10 m/s2.
(1)求导体棒ab在0至0.25T内通过的电荷量;
[答案]1 C　
[解析] 电路总电阻R总=+r=0.2 Ω
根据R总
通过导体棒的电荷量q=·Δt=
解得q=1 C
(2)求MN边在一个周期内产生的焦耳热;
[答案] J　
[解析] 通过棒ab的电流随时间变化规律为
i==10sin 10t(A)
可得电流的有效值
I=5 A
故一个周期内MN边中产生的热量
Q=RT= J
(3)求在0至0.25T内外力F的冲量;
[答案] N·s　
[解析]由动量定理得
IF-mgsin α·Δt-Bl·Δt=mvm
其中Bl·Δt=Blq
解得IF= N·s
(4)已知简谐运动的回复力系数k=100 N/m,求矩形金属框受到的摩擦力与外力F等大同向时导体棒的位置.
[答案] x=-0.2 m或0
[解析] 金属框受到的摩擦力
Ff=Mgsin α-Bil=(25-10sin 10t) N
由于导体棒ab做简谐运动,故可知 F-mgsin a-Bil=-kx
且有x=-0.2cos 10t
解得F=(5+10sin 10t+20cos 10t) N
由于F=Ff
可得x=0或-0.2 m
1.[2024·宁波模拟] 如图所示，在水平桌面上固定两间距为 、长度足够的
平行金属导轨，导轨间存在方向垂直于桌面向上、磁感应强度大小为 的
匀强磁场.一质量为 的导体棒搁置于导轨间，通过水平绝缘细绳跨过轻质
定滑轮与质量为的重物相连.在导轨左侧，通过开关 可分别与含电阻、
电容器和电感线圈的支路连接.在各种情况下导体棒均从静止开始运动，
且在运动过程中始终垂直于导轨且接触良好，不计其他电阻、空气阻力、
摩擦阻力和电磁辐射，当电感线圈中通有电流 时，电感线圈存储的磁能
为，重力加速度为 .
(1) 若掷向1，串接电阻，阻值为 ，求导体棒运动的加速度与速度的关系；
[答案]
[解析] 若掷向1,串接电阻,则闭合回路
产生电流.设经过时间 ，导体棒的
速度为，由牛顿第二定律，对重物
有
对导体棒有
其中,,
联立解得
(2) 若掷向2，串接一不带电的电容器，电容为 ，求导体棒的速度与时
间的关系；
[答案]
[解析] 若 掷向2,串接一不带电的电容器,则电容器两端电压与导体棒产生
的感应电动势大小始终相等.同(1),有
其中,
联立解得 ，
所以 为定值
则
(3) 若掷向3，串接一阻值为的电阻和电感为 的电感线圈相串联的电路，
当重物下降高度为 时，重物开始做匀速运动.
① 求重物匀速运动的速度大小 ；
[答案]
[解析] 若 掷向3,串联一电阻和一电感线圈,则重物匀速运动时，电路稳恒，
电感不起作用，有
解得
② 重物从静止开始下降高度为的过程中，求回路产生的焦耳热 .
[答案]
[解析] 由能量守恒定律有
其中,
联立解得
2.[2024·金华模拟] 某发光二极管D的伏安特性曲线如图甲所示，在达到正
向导通电压 后它才能够发光.因其发光时的伏安特性曲线斜率极
大，可近似认为它发光后两端电压保持不变；电压小于 或加
反向电压时，它均处于截止状态，通过的电流为0.如图乙所示，现将其连
接在固定于水平面上的电阻不计的两条平行导轨之间，两导轨间距离为
，整个导轨处于方向竖直向下、磁感应强度大小为 的匀
强磁场中.取一根长度也为、质量为、电阻为 的匀
质导体棒，将其垂直置于两导轨上面，与两导轨间的动摩擦因数为
.现给该导体棒一个水平向右、大小为 的初速度，
后续过程中导体棒与两导轨始终保持良好接触，经过 后发光二极
管熄灭，取 .试求：
(1) D刚熄灭时，导体棒的速度大小；
[答案]
[解析] D刚熄灭时，有
解得导体棒的速度大小为
(2) 初始时刻，回路中的电流大小和导体棒的加速度大小；
[答案] ，
[解析] 初始时刻，导体棒产生的
电动势为
根据闭合电路欧姆定律可得
解得回路中的电流大小为
以导体棒为对象，根据牛顿第二定律可得
解得导体棒的加速度大小为
(3) 导体棒运动的整个过程中的位移大小；
[答案]
[解析] 在发光二极管发光过程中，以导体棒为对象，根据动量定理可得
其中
则有
联立解得该过程导体棒的位移大小为
发光二极管熄灭后，根据动能定理可得
解得该过程中导体棒的位移大小为
所以导体棒运动的整个过程中的位移大小为
(4) 导体棒运动的整个过程中其产生的焦耳热.
[答案]
[解析] 导体棒运动的整个过程中，
因摩擦产生的热量为
发光二极管发光过程中,发光二极管
消耗的电能为
根据能量守恒定律可知,导体棒运动的整段过程中，导体棒产生的焦耳热
为
联立解得

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