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大题精练01 动力学与能量综合问题
一、考向分析
1.本专题是力学两大观点在多运动过程问题、传送带问题和滑块——木板问题三类问题中的综合应用，高考常以计算题压轴题的形式命题。
2.用到的知识有:动力学方法观点(牛顿运动定律、运动学基本规律)，能量观点(动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律)。
二、动力学
牛顿第二运动定律 F合 = ma 或或者 Fx = m ax Fy = m ay
向心力
牛顿第三定律
传送带分析思路
板块分析思路
三、运动学
匀变速直线运动 平均速度： Vt/ 2 == Vs/2 = 匀加速或匀减速直线运动：Vt/2 自由落体运动
竖直抛体运动 (注意：时间和速度的对称性)
四、功和能
内容 重要的规律、公式和二级结论
1.重力势能 (1)重力势能：Ep＝mgh，与参考平面的选取有关，而重力势能的变化量与参考平面的选取无关。 (2)重力做功只与初、末位置有关，而与路径无关；重力做正功，重力势能减小；重力做负功，重力势能增大。
2.弹性势能 (3)弹簧的弹力做功只与位置有关，而与路径无关。 (4)弹性势能：Ep＝kx2。
3.机械能守 恒定律 (5)机械能守恒的条件：只有重力和弹簧的弹力做功，其他力做功为0。 (6)表达式：mgh1＋mv＝mgh2＋mv或者Ep减＝Ek增。
五、连接体的机械能守恒问题
共速率模型 分清两物体位移大小与高度变化关系
共角速度模型 两物体角速度相同，线速度与半径成正比
关联速度模型 此类问题注意速度的分解，找出两物体速度关系，当某物体位移最大时，速度可能为0
轻弹簧模型 ①同一根弹簧弹性势能大小取决于弹簧形变量的大小，在弹簧弹性限度内，形变量相等，弹性势能相等 ②由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端连接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小(为零)
（2024 济南三模）如图所示，倾角为θ＝37°的光滑斜面OP底端固定一挡板。劲度系数为k＝6.25N/m的轻质弹簧一端固定在挡板上，弹簧原长时另一端刚好位于斜面最高点P点。质量为m2＝1kg的长木板B静止在另一倾角为θ＝37°的粗糙斜面上，长木板的上表面刚好和斜面OP共线。将质量为m1＝3kg的小木块A从图中位置由静止释放，小木块A刚滑上长木板时的速度为v0＝7.2m/s。已知小木块和长木板之间的动摩擦因数为μ1，长木板和斜面之间的动摩擦因数为μ2＝0.05，弹簧始终在弹性限度内，弹簧的弹性势能为，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧形变量，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
（1）若μ1＝0.25，求小木块刚滑上长木板时小木块和长木板的加速度大小a和a'；
（2）若μ1＝0.5，小木块在运动过程中始终不滑离长木板，求长木板长度的最小值L；
（3）在第（2）条件下，长木板从开始运动到第一次回到初始位置经过的路程s；
（4）已知小物块A在斜面上做简谐运动的周期为T＝2，其中k为弹簧的劲度系数，m为小物块A的质量，求小木块A从释放到第一次运动P点所用的时间t。
1．（2024 运城二模）如图所示，倾角θ＝37°的传送带以v0＝1m/s的速度沿顺时针方向匀速转动，将物块B轻放在传送带下端的同时，物块A从传送带上端以v1＝1m/s的初速度沿传送带下滑，结果两物块恰好没有在传送带上相碰，两物块与传送带间的动摩擦因数均为0.8，不计两物块大小，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：
（1）两物块刚在传送带上运动时各自的加速度大小；
（2）两物块从在传送带上运动到刚好要相碰所用的时间；
（3）若A的质量mA＝0.1kg，求A在整个运动过程中与传送带摩擦产生的热量。
2．（2024 江阴市模拟）如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。质量为m的小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。则：
（1）求小物块到达C点时重力的瞬时功率大小；
（2）证明：BD两点等高；
（3）求小物块在A点的初速度大小。
3．（2024 全国模拟）如图为某种赛车轨道简化示意图，其中AB、BC、DE段为直轨道，CD为半圆形水平弯道，圆心O到弯道中心线半径R0＝10m，两竖直圆轨道半径R1＝5m，R2＝10m。AB长度LAB＝100m，若该赛车的质量m＝100kg（（包括人），额定功率P0＝5.0×103W，赛车在水平直轨道动摩擦因数μ＝0.1，在半圆形水平弯道所受的最大径向静摩擦力是车重的1.25倍，不计竖直圆轨道的阻力，某次比赛中，赛车恰好过竖直圆轨道O1、O2最高点。已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2。
（1）求赛车在竖直圆轨道O2最高点的速度的大小及赛车在B点受到轨道的支持力大小；
（2）若赛车在AB段发动机的功率为额定功率，求发动机在额定功率下的工作时间；
（3）若某赛车从弯道的C点进入，从同一直径上的D点驶离，有经验的赛车手会利用路面宽度，用最短时间匀速率安全通过弯道。设路宽d＝10m，求此最短时间（C、D两点都在轨道的中心线上，计算时赛车视为质点）。
4．（2024 湖南三模）如图所示，水平轨道与光滑的竖直圆轨道底部平滑连接，每个圆轨道的进口与出口稍微错开，圆轨道的顶端都有一个缺口，关于通过圆轨道中心O的竖直线对称，已知圆轨道的半径都为R，第一个圆轨道缺口圆心角∠P1O1Q1＝2θ1，且θ1＝60°，以后每个圆轨道缺口圆心角依次减小10°，即θ1＝60°，θ2＝55°，θ3＝50°……，AB段水平轨道光滑，长度为2.5R，连接之后每两个圆轨道之间的水平轨道出口、进口处有一段长度为R的光滑水平轨道，两段光滑轨道用一段长度合适的粗糙水平轨道连接，动摩擦因数为0.02。现一质量为m的小球从A点由静止开始在水平恒力F＝mg的作用下开始运动，当小球到达B点时撤去恒力F，重力加速度为g。求：
（1）小球经过P1点时对轨道压力的大小；
（2）通过计算说明小球能否从P1点飞过缺口，并从Q1点无碰撞的经过Q1点回到圆轨道；
（3）通过调节两个圆轨道间粗糙水平部分的长度，保证每次小球飞过下一个圆轨道的缺口后能无碰撞地经过飞出的对称点回到圆轨道，问总共最多能设计出几个符合这样要求的圆轨道，并求出所有圆轨道间粗糙水平轨道的总长度。
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大题精练01 动力学与能量综合问题
一、考向分析
1.本专题是力学两大观点在多运动过程问题、传送带问题和滑块——木板问题三类问题中的综合应用，高考常以计算题压轴题的形式命题。
2.用到的知识有:动力学方法观点(牛顿运动定律、运动学基本规律)，能量观点(动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律)。
二、动力学
牛顿第二运动定律 F合 = ma 或或者 Fx = m ax Fy = m ay
向心力
牛顿第三定律
传送带分析思路
板块分析思路
三、运动学
匀变速直线运动 平均速度： Vt/ 2 == Vs/2 = 匀加速或匀减速直线运动：Vt/2 自由落体运动
竖直抛体运动 (注意：时间和速度的对称性)
四、功和能
内容 重要的规律、公式和二级结论
1.重力势能 (1)重力势能：Ep＝mgh，与参考平面的选取有关，而重力势能的变化量与参考平面的选取无关。 (2)重力做功只与初、末位置有关，而与路径无关；重力做正功，重力势能减小；重力做负功，重力势能增大。
2.弹性势能 (3)弹簧的弹力做功只与位置有关，而与路径无关。 (4)弹性势能：Ep＝kx2。
3.机械能守 恒定律 (5)机械能守恒的条件：只有重力和弹簧的弹力做功，其他力做功为0。 (6)表达式：mgh1＋mv＝mgh2＋mv或者Ep减＝Ek增。
五、连接体的机械能守恒问题
共速率模型 分清两物体位移大小与高度变化关系
共角速度模型 两物体角速度相同，线速度与半径成正比
关联速度模型 此类问题注意速度的分解，找出两物体速度关系，当某物体位移最大时，速度可能为0
轻弹簧模型 ①同一根弹簧弹性势能大小取决于弹簧形变量的大小，在弹簧弹性限度内，形变量相等，弹性势能相等 ②由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端连接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小(为零)
（2024 济南三模）如图所示，倾角为θ＝37°的光滑斜面OP底端固定一挡板。劲度系数为k＝6.25N/m的轻质弹簧一端固定在挡板上，弹簧原长时另一端刚好位于斜面最高点P点。质量为m2＝1kg的长木板B静止在另一倾角为θ＝37°的粗糙斜面上，长木板的上表面刚好和斜面OP共线。将质量为m1＝3kg的小木块A从图中位置由静止释放，小木块A刚滑上长木板时的速度为v0＝7.2m/s。已知小木块和长木板之间的动摩擦因数为μ1，长木板和斜面之间的动摩擦因数为μ2＝0.05，弹簧始终在弹性限度内，弹簧的弹性势能为，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧形变量，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
（1）若μ1＝0.25，求小木块刚滑上长木板时小木块和长木板的加速度大小a和a'；
（2）若μ1＝0.5，小木块在运动过程中始终不滑离长木板，求长木板长度的最小值L；
（3）在第（2）条件下，长木板从开始运动到第一次回到初始位置经过的路程s；
（4）已知小物块A在斜面上做简谐运动的周期为T＝2，其中k为弹簧的劲度系数，m为小物块A的质量，求小木块A从释放到第一次运动P点所用的时间t。
【解答】解：（1）以小木块A为研究对象，由牛顿第二定律得
m1gsinθ+μ1m1gcosθ＝m1a
解得 a＝8m/s2
以长木板B为研究对象μ1m1gcosθ＜m2gsinθ+μ2（r1+m2）gcosθ
所以木板加速度为0
（2）以小木块A为研究对象，由牛顿第二定律得
m1gsinθ+μ1m1gcosθ＝m1a1
解得
以长木板B为研究对象，由牛顿第二定律得
μ1m1gcosθ﹣m2gsinθ﹣μ2（m1+m2）gcosθ＝m2a2
解得
当达到共速时，满足
v共＝v0﹣a1t＝a2t
解得t＝0.5s，v共＝2.2m/s
木块的位移
木板的位移
木板的长度至少为 L＝s1﹣s2
解得L＝1.8m
（3）达到共速后，设木块和木板一起运动，上滑过程，对整体有
μ2（m1+m2）gcosθ+（m1+m2）gsinθ＝（m1+m2）a3
以小木块A为研究对象
m1gsinθ+f1＝m1a3
解得 f1＝1.2N＜μ1m1gcosθ，假设成立。
小木块A和长木板B一起匀减速运动的位移为
下滑过程，设木块和木板一起运动，对整体有
a4＝gsinθ﹣μ2gcosθ＝5.6m/s2
以小木块A为研究对象
m1gsinθ﹣f2＝m1a4
解得 f1＝1.2N＜μ1m1gcosθ，假设成立。
所以长木板B从开始运动到第一次与斜面交界处碰撞经过的路程为
s＝2（s2+s3）
解得sm
（4）小木块A从释放到P点的过程中，根据动能定理可得
解得 x1＝8.64m
小木块A做简谐运动的平衡位置满足
m1gsinθ＝kx2
解得x2＝2.8m
小木块A从释放到第一次运动到P点的时间为
解得t
1．（2024 运城二模）如图所示，倾角θ＝37°的传送带以v0＝1m/s的速度沿顺时针方向匀速转动，将物块B轻放在传送带下端的同时，物块A从传送带上端以v1＝1m/s的初速度沿传送带下滑，结果两物块恰好没有在传送带上相碰，两物块与传送带间的动摩擦因数均为0.8，不计两物块大小，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：
（1）两物块刚在传送带上运动时各自的加速度大小；
（2）两物块从在传送带上运动到刚好要相碰所用的时间；
（3）若A的质量mA＝0.1kg，求A在整个运动过程中与传送带摩擦产生的热量。
【解答】解：（1）刚开始物块A沿传送带向下减速运动有
μmAgcosθ﹣mAgsinθ＝mAa1
解得
对于物块B，向上加速运动有
μmBgcosθ﹣mBgsinθ＝mBa2
解得
（2）物块B在传送带上加速的时间
解得
t0＝2.5s
物块A从冲上传送带到速度为零所用时间
解得
t1＝2.5s
两个物块在与传送带共速时恰好不相碰，物块A从速度为零向上加速到与传送带速度相同所用时间为
解得
t2＝2.5s
所以，两物块从在传送带上运动到刚好要相碰所用时间为
t＝t1+t2
解得
t＝5s
（3）在t1时间内，物块A与传送带的相对位移大小为
解得
x1＝3.75m
在t2时间内，物块A与传送带的相对位移大小为
解得
x2＝1.25m
则物块A与传送带间因摩擦产生的热量
Q＝μmAgcosθ （x1+x2）
代入数据解得
Q＝3.2J
答：（1）物块A刚在传送带上运动时的加速度大小为0.4m/s2，物块B刚在传送带上运动时的加速度大小为0.4m/s2；
（2）两物块从在传送带上运动到刚好要相碰所用的时间为5s；
（3）A在整个运动过程中与传送带摩擦产生的热量为3.2J。
2．（2024 江阴市模拟）如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。质量为m的小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。则：
（1）求小物块到达C点时重力的瞬时功率大小；
（2）证明：BD两点等高；
（3）求小物块在A点的初速度大小。
【解答】解：（1）物块恰好到达D点时，由牛顿第二定律可知
物块从C→D，根据动能定理
解得
物块在C点时，其竖直方向速度
vCy＝vCsin60°
故物块在C时重力的瞬时功率大小
P＝mgvCy
解得P
（2）B→C平抛运动，竖直方向自由落体
解得
由图可得
hDC＝R+Rcos60°
解得hDC
所以BD两点等高；
（3）因为BD等高，由能量守恒可知
A→B过程，根据动能定理
解得
答：（1）小物块到达C点时重力的瞬时功率大小为；
（2）证明见解析；
（3）小物块在A点的初速度大小为。
3．（2024 全国模拟）如图为某种赛车轨道简化示意图，其中AB、BC、DE段为直轨道，CD为半圆形水平弯道，圆心O到弯道中心线半径R0＝10m，两竖直圆轨道半径R1＝5m，R2＝10m。AB长度LAB＝100m，若该赛车的质量m＝100kg（（包括人），额定功率P0＝5.0×103W，赛车在水平直轨道动摩擦因数μ＝0.1，在半圆形水平弯道所受的最大径向静摩擦力是车重的1.25倍，不计竖直圆轨道的阻力，某次比赛中，赛车恰好过竖直圆轨道O1、O2最高点。已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2。
（1）求赛车在竖直圆轨道O2最高点的速度的大小及赛车在B点受到轨道的支持力大小；
（2）若赛车在AB段发动机的功率为额定功率，求发动机在额定功率下的工作时间；
（3）若某赛车从弯道的C点进入，从同一直径上的D点驶离，有经验的赛车手会利用路面宽度，用最短时间匀速率安全通过弯道。设路宽d＝10m，求此最短时间（C、D两点都在轨道的中心线上，计算时赛车视为质点）。
【解答】解：（1）赛车恰好过竖直圆轨道O2最高点，由牛顿第二定律得：
，
解得赛车在竖直圆轨道O2最高点的速度的大小为：
v2＝10m/s，
赛车从竖直圆轨道O2最高点运动至B点，根据动能定理得：
，
赛车在B点时，由牛顿第二定律得：
，
联立可得，赛车在B点受到轨道的支持力大小为：
FN＝6000N；
（2）赛车恰能过竖直圆轨道O1最高点，由牛顿第二定律可得：
，
赛车从竖直圆轨道O1最高点运动至A点，根据动能定理可得：
，
赛车从A点运动至B点，根据动能定理可得：
，
联立可得，发动机在额定功率下的工作时间为：
t＝4.5s；
（3）由题知，赛车在半圆形水平弯道所受的最大径向静摩擦力是车重的1.25倍，若赛车用最短时间匀速率安全通过弯道，则最大径向静摩擦力提供向心力，可得：
解得：
，
由此可知，用最短时间匀速率安全通过弯道时，赛车的运动半径最大，赛车的运动半径最大时如图所示：
根据几何关系可得：
其中：
r1＝R0＝10m。
联立可得：
r′＝12.5m，
则赛车的运动速率为：
v'，
设运动轨迹的圆心角为2θ，根据几何关系可得：
，
则：θ＝53°，
则最短时间为：
t；
答：（1）赛车在竖直圆轨道O2最高点的速度的大小为10m/s，赛车在B点受到轨道的支持力大小为6000N；
（2）若赛车在AB段发动机的功率为额定功率，发动机在额定功率下的工作时间为4.5s；
（3）若某赛车从弯道的C点进入，从同一直径上的D点驶离，有经验的赛车手会利用路面宽度，用最短时间匀速率安全通过弯道。设路宽d＝10m，此最短时间为。
4．（2024 湖南三模）如图所示，水平轨道与光滑的竖直圆轨道底部平滑连接，每个圆轨道的进口与出口稍微错开，圆轨道的顶端都有一个缺口，关于通过圆轨道中心O的竖直线对称，已知圆轨道的半径都为R，第一个圆轨道缺口圆心角∠P1O1Q1＝2θ1，且θ1＝60°，以后每个圆轨道缺口圆心角依次减小10°，即θ1＝60°，θ2＝55°，θ3＝50°……，AB段水平轨道光滑，长度为2.5R，连接之后每两个圆轨道之间的水平轨道出口、进口处有一段长度为R的光滑水平轨道，两段光滑轨道用一段长度合适的粗糙水平轨道连接，动摩擦因数为0.02。现一质量为m的小球从A点由静止开始在水平恒力F＝mg的作用下开始运动，当小球到达B点时撤去恒力F，重力加速度为g。求：
（1）小球经过P1点时对轨道压力的大小；
（2）通过计算说明小球能否从P1点飞过缺口，并从Q1点无碰撞的经过Q1点回到圆轨道；
（3）通过调节两个圆轨道间粗糙水平部分的长度，保证每次小球飞过下一个圆轨道的缺口后能无碰撞地经过飞出的对称点回到圆轨道，问总共最多能设计出几个符合这样要求的圆轨道，并求出所有圆轨道间粗糙水平轨道的总长度。
【解答】解：（1）设小球在P1点的速度大小为v1。
小球从A点运动到P1点，根据动能定理有
解得：
小球在P1点时，根据牛顿第二定律有
解得：
根据牛顿第三定律，小球对轨道压力大小等于轨道对小球的支持力大小，即
（2）小球从P1点飞出后，做斜抛运动，在竖直方向有
vy1＝v1sinθ1
小球下落到与P1点同一水平高度的时间为
在水平方向有
vx1＝v1cosθ1
此过程中，小球的水平位移为
x1＝vx1t
联立解得：
P1点和Q1点的距离为
所以，小球能从P1点飞过缺口，并从Q1点无碰撞的经过Q1点回到圆轨道；
（3）设总共最多能设计出n个符合这样要求的圆轨道，由（2）同理可得
tn
小球做斜抛运动的水平位移满足
2Rsinθn＝vncosθn t
即2Rsinθn＝vncosθn
可得
设此过程克服摩擦力做功为W，根据动能定理
联立解得：
当W取极大值时，克服摩擦力做功最多，经过符合这样要求的圆轨道最多，由数学知识可得，当
即当θn＝45°时，符合这样要求的圆轨道最多，此时
n1
解得：n＝4
此时，克服摩擦力做功最多为
根据动能定理Wm＝μmgL
解得所有圆轨道间粗糙水平轨道的总长度为
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