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2024-2025学年人教版八年级上册数学期末模拟试题
一、单选题(每题3分，共30分)
1．下列关于体育运动的图标是轴对称图形的为（ ）
A．B． C． D．
2．若，则等于（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
3．如图，在三角形中，平分平分，其角平分线相交于D，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．要使分式有意义，则应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，通过计算，比较图，图中阴影部分的面积，可以验证的算式是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，若，则（　　）
A． B． C． D．
8．如图，中，的平分线与的垂直平分线相交于点D，于点F，，，则的长度是（ ）
A． B． C．1 D．
9．某城建局对某一条街的改造工程要限期完成，甲工程队独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期天，现由两工程队合做天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为天，则所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，， ，分别是、边上的高且相交于点P，的平分线分别交、于M、N、以下四个结论，①等边三角形；②除了外，还有4个等腰三角形；③；④当时，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每题3分，共30分)
11．因式分解： ．
12．已知，则 ．
13．如图，，则 度．
14．如图，在中，是的平分线，M是的中点，交于F，交的延长线于E．则
15．如图，直线，交于点，于点，于点，若，且，则的度数为 ．
16．如图，中，，点在上，，，延长至点，使，过点作于点，交于点，若点为的中点，则 ．
17．已知，则 ．
18．对于非的两个实数，，规定，那么将进行因式分解的结果为 ．
19．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿折叠成图，若，则 °．
20．学习新知时，我们利用图形的拼接得到完全平方公式，小红也想探究一下图形的奥秘，她利用四块长为，宽为的长方形纸片，拼成如图形状．观察图片，写出代数式，，之间的等量关系 ；
三、解答题（共60分）
21．（8分）因式分解：
(1)； (2)．
22．（6分）先化简，再求值：，其中．
23．（8分）如图，是的高，、是的角平分线，且．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．
(1)在图中画出关于轴对称的图形；
(2)若与点关于某条直线成轴对称，则这条直线是______，此时点关于这条直线的对称点的坐标是______．
(3)在轴上确定一点，使的周长最小．（不写做法，不求坐标，保留作图痕迹）
25．（8分）如图，在中，平分，E、F分别是上的点．
(1)当时，求证：；
(2)若，求的面积．
26．（10分）“冬吃萝卜夏吃姜，不劳医生开药方”，冬季吃萝卜好处多．某蔬菜批发店销售圆萝卜和长萝卜，已知圆萝卜每箱售价是长萝卜每箱售价的2倍，销售600元的圆萝卜箱数比销售400元的长萝卜箱数要少5箱．
(1)求圆萝卜和长萝卜每箱售价分别为多少元？
(2)该蔬菜批发店11月第一周销售圆萝卜200箱，长萝卜300箱．第二周该店调整价格，圆萝卜打折销售，长萝卜售价不变，结果第二周圆萝卜的销量比上周增加了，长萝卜的销量比上周减少了50箱，最后发现第二周的销售总金额比第一周的销售总金额少了840元，请问圆萝卜打了几折？
27．（12分）如图，、，且满足．
(1)如图，直接写出两点的坐标；
(2)如图，点在线段上（不与重合）移动，，且，猜想线段之间的数量关系并证明你的结论；
(3)如图，若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，以线段为边作等腰直角，使得，直线交轴，当点在轴上移动时，线段和线段中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值．
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C B D B C C D D
1．A
【分析】本题考查轴对称图形定义，注意图形细节的不同之处．利用轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：沿一条直线对折，两部分完全重合的图形称为轴对称图形，选项A中沿中间竖直线对折，两部分完全重合，其他选项图形均无法找到符合条件的对折直线，故只有A选项图形为轴对称图形，
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，掌握同底数幂的运算法则是解答本题的关键．
根据同底数幂的乘除法法则求解即可．
【详解】∵
∴
∴．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，理解三角形内角和定理是解题的关键．根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求得．
【详解】解：，，平分，平分，
，
．
故选：C．
4．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点，根据全等三角形的的性质和三角形的内角和定理求出的度数，再利用，进行求解即可，熟练掌握全等三角形的性质和三角形的内角和定理是解决此题的关键．
【详解】解：，
，，
，，
，
，
，
，
，
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了分式有意义的条件，关键是掌握：分式有意义，分母不为0．
根据分式有意义的条件可得，再解即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故选：D．
6．B
【分析】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式运算，要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解，解题的关键是正确表示出图和图中阴影部分的面积列出等式．
由题意知：图和图中阴影部分的面积相等，正确表示出图和图中阴影部分的面积列出等式即可解答．
【详解】解：由题意知：图和图中阴影部分的面积相等，
图中，阴影部分面积，
图中，阴影部分面积，
，
故选：B．
7．C
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数，根据补角的定义求出的度数，根据三角形的内角和即可求出的度数，即可求出结果．本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形内角和性质，难度适中．
【详解】解：是中的平分线，是的外角的平分线，且，
，
，
．
，
，
故选C．
8．C
【分析】连接，过点作于点，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，根据证明，可得，再根据证明，可得，继而可求得答案．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，
是的平分线，，，
，，
在和中，
，
∴，
，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，，
．
故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
9．D
【分析】本题考查了列分式方程解决实际问题，列方程解决实际问题的关键找相等关系，本题中的相等关系是甲工程队的工作量乙工程队的工作量工作总量，把甲、乙工程除的工作量用含未知数的代数式表示出来，即可列出方程．
【详解】解：设工程期限为天，则甲工程除单独做需要天，乙工程队单独做需要天，
根据题意可得：．
故选：D．
10．D
【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于、角的平分线的性质求得各个内角的度数可判断①，根据已知条件分别证明为等腰三角形可判断②，利用②的结论可证明可判断③，当时，利用角直角三角形的性质和等腰三角形的性质可求得，即可判断④，从而可得正确答案．
【详解】解： ， ，分别是，边上的高，，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
的平分线分别交，于，，
，
又，
为等腰三角形，
中，，
，
，
，
为等腰三角形，
， ，，
，
为等边三角形，故①正确；
，，
，
，
，
为等腰三角形；
除了外，为等腰三角形，还有4个等腰三角形，故②正确；
，分别是，边上的高，
，
，
，，
，故③正确；
在直角三角形中，
，，
，在等腰三角形中，，
，
在等腰直角三角形中，，
，故④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定、角的平分线的定义及三角形内角和定理、外角性质；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．
11．
【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
利用提取公因式法分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12．2025
【分析】本题主要考查代数式的值及提公因式，熟练掌握代数式的值及提公因式是解题的关键；由题意易得，然后整体代入进行求解即可．
【详解】解：由可得，
∴
；
故答案为2025．
13．40
【分析】本题考查了多边形的外角和，熟记多边形的外角和等于是解题的关键．
根据多边形的外角和等于即可得到结论．
【详解】解：，，
，
故答案为：．
14．5
【分析】作交的延长线于点N，再根据“角角边”证明，可得，然后根据角平分线的定义和平行线的性质得是等腰三角形，进而得出，最后根据可得答案．
【详解】如图，过点B作交的延长线于点N，
∴．
∵M为的中点，
∴，
∴，
∴．
∵，平分，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴．
∵
∴，
∴，则，
即．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．/28度
【分析】本题考查了四边形内角和定理、同角的补角相等、角平分线的判定与性质．根据平角的定义和四边形内角和为可得，，根据同角的补角相等可得，根据到角两边距离相等的点在角平分线上可知是的平分线，从而可求的度数.
【详解】解：根据平角的定义可知：，
在四边形中，，
于点，于点，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
16．/
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，过点作于点，设，则，再根据的角所对的直角边等于斜边的一半得，，故，然后证明，根据全等三角形的性质得，然后解出的值即可，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．
【详解】解：如图，过点作于点，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，解得：，
故答案为：．
17．3
【分析】本题考查异分母分式的加减法，首先通分化为同分母分式，再按照分母不变，把分子相加减的方法计算．已知等式右边两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件即可．
【详解】解： ∵
∴；
化简得：；
所以，
故答案为：3
18．
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
由题意给出的定义新运算可得，然后利用提公因式法及平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
19．
【分析】本题考查的是平行线的性质和折叠的性质，由折叠的性质得到角相等是解题关键．先根据求出的度数，进可得出和的度数，根据和三角形的内角和可得的度数，再由折叠的性质可得的度数．
【详解】解：∵长方形纸带，
∴，
∴，，
即，
∴．
∵，
∴．
由折叠可得：，
∴．
故答案为：．
20．
【分析】本题考查乘法公式与图形面积关系，根据图形面积及面积和找到关系式，
【详解】解：由图形面积得：
，
故答案为：．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键：
（1）利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
22．，
【分析】此题考查分式的混合运算，分式的化简求值，正确掌握分式的运算顺序运算是解题的关键．
根据分式乘除混合运算法则先计算括号内的异分母分式减法，再化除为乘，然后约分，代入求值即可．
【详解】解：原式
=，
当时，原式．
23．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的性质，三角形高的定义：
（1）由角平分线的定义得到，由三角形高的定义得到，据此根据三角形内角和定理可得答案；
（2）由三角形外角的性质求出，再由三角形内角和定理得到，接着由角平分线的定义得到，据此可得答案．
【详解】（1）解：平分，，
，
是的高，
，
；
（2）解：，，
，
，
平分，
，
．
24．(1)见详解
(2)轴，；
(3)见详解
【分析】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题．
（1）利用轴对称的性质分别作出的对应点，，，再连接即可；
（2）利用轴对称的性质求解问题即可；
（3）连接交轴于点，连接，点即为所求，
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是直线，即为轴，此时点关于这条直线的对称点的坐标为．
故答案为：轴，；
（3）解：如图，点即为所求．
；
25．(1)见解析；
(2)22
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，作出恰当辅助线是解题的关键．
（1）过D作于M，于N，根据角平分线性质求出，根据四边形的内角和定理和平角定义求出，证明即可得解；
（2）依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到，进而得出，过D作于G，依据角平分线的性质以及三角形面积公式，即可得到的面积．
【详解】（1）证明：如图，过D作于M，于N，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图，过D作于G，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴的面积．
26．(1)长萝卜每箱售价为20元，圆萝卜每箱售价为40元；
(2)圆萝卜打了折
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的实际应用：
（1）设长萝卜每箱售价为x元，则圆萝卜每箱售价为元，根据销售600元的圆萝卜箱数比销售400元的长萝卜箱数要少5箱列出方程求解即可；
（2）设圆萝卜打了m折，分别求出第一周和第二周两种萝卜的销售额，再根据第二周的销售总金额比第一周的销售总金额少了840元建立方程求解即可．
【详解】（1）解：设长萝卜每箱售价为x元，则圆萝卜每箱售价为元，
由题意得，，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：长萝卜每箱售价为20元，圆萝卜每箱售价为40元；
（2）解：设圆萝卜打了m折，
由题意得，，
解得，
答：圆萝卜打了折．
27．(1)，
(2)，理由见解析
(3)是定值，
【分析】（）根据非负数的性质解答即可求解；
（）如图 ，延长至，使得，连接，证明得到 ， ，即得，进而可证，得到，据此即可求证；
（）如图，作于，在上截取，证明得到，进而得到，即得到，得到，据此即可求解．
【详解】（1）解：∵,
∴，，
∴，，
∴，；
（2）解：；
理由如下：
如图，延长至，使得，连接，
由（）知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在与中
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：是定值．
如图，作于，在上截取，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在与中
，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，全都三角形的判定和性质，余角性质，正确作出辅助线证明三角形全等是解题的关键．
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