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4.4 两个三角形相似的判定(3)
基础巩固
1.已知△ABC的三边长分别为6cm,7.5cm,9cm,△DEF的一边长为4cm,若这两个三角形相似，则△DEF的另两边长可能是( ).
A.2cm,3cm B.4cm,5cm C.5cm,6cm D.6cm,7cm
2.如图所示，在正方形网格中，与△ABC相似的三角形是( ).
A.△AFD B.△AED C.△FED D.不能确定
3.在△ABC与△A'B'C'中,有下列条件:(∠C'.若从中任取两个条件组成一组,则能判定△ABC∽△A'B'C'的共有( ).
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
4.现有下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.其中，属于真命题的有 (填序号).
5.如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,N是AC上的点,且AN=AB,连结BN,作AD⊥BN于点D,M是BC上的动点,则当BM= 时,△BMD∽△BCN.
6.如图所示,在△ABC中,点D在AC上,AE分别交BD,BC于点F,G, 求证：
能力提升
7.如图所示,在正方形网格中有 6 个斜三角形:①△ABC;②△BCD;③△BDE;④△BFG;⑤△FGH;⑥△EFK.在②~⑥中,与三角形①相似的为( ).
A.②③④ B.③④⑤ C.④⑤⑥ D.②③⑥
8.图中的每个点(包括△ABC的各个顶点)都在边长为1的小正方形的顶点上，在P，Q，G，H中找一个点，使它与点 D，E构成的三角形与△ABC相似，这个点可以是 (写出满足条件的所有的点).
9.如图所示,已知点A(1,0),点 B(b,0)(b>1),P是第一象限内的动点,且点 P 的纵坐标为 ,若△POA 和△PAB 相似,则符合条件的点 P 的坐标是 .
10.如图所示,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,AH是边BC上的高.
(1)求证：四边形ADEF 是平行四边形.
(2)求证:∠DHF=∠DEF.
11.如图所示,在正方形ABCD中,E是BC 上的一点,连结AE,作 BF⊥AE 交AE 于点H,交 CD于点F,作CG∥AE,交 BF于点G.求证:
(1)CG=BH.
夯实演练
12.下列条件中,能判定△ABC∽△A'B'C'的是( ).
B.∠A=∠A'=130°,AB=4,AC=10,A'B'=10,A'C'=24
40
D.∠A=∠A'=90°,AB=1,AC=2,A'C'=3,B'C'=6
13.在每个小正方形的边长为1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形.如图所示，已知Rt△ABC 是 6×6 网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是 .
14.如图所示,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,P是线段AB 上的一个动点.
(1)若AD=2,BC=6,AB=8,且以A,D,P为顶点的三角形与以B,C,P为顶点的三角形相似，求AP 的长.
(2)若AD=a,BC=b,AB=m,则当a,b,m满足什么关系时,一定存在点 P使△ADP∽△BPC 请说明理由.
4.4 两个三角形相似的判定(2)
1. C 2. B 3. C 4.△APB∽△CPA 5.4 或9
6.(1)△ABC∽△ADE,△ABD∽△ACE.
(2)∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE.
∵∠ABC=∠ADE,∴△ABC∽△ADE.∴AB=ACE.
∵∠BAD=∠CAE,∴△ABD∽△ACE.
7.(1)∵BD∥AC,点 B,A,E在同一条直线上,
∴∠DBA=∠CAE.
(2)∵AB=3AC=3BD,AD=2 BD,
∵△ABD∽△CAE,∴∠E=∠D=90°.
8. D 9.155° 10.8
11.(1)∵△ABC≌△DCE≌△FEG,
∵∠BGF=∠FGE,∴△BFG∽△FEG.
∵△FEG是等腰三角形，∴△BFG是等腰三角形.
∴BF=BG=3.
(2)略
12.(1)∵CD·CA=CE·CB,∴CD=CA.
∵∠ECA=∠DCB,
∴△CAE∽△CBD.
∴∠CAE=∠CBD.
(2)如答图所示，过点C作CG∥AB，交AE的延长线于点G.
∴CG=CA.∴∠G=∠CAG.
∵∠G=∠BAG,∴∠CAG=∠BAG.
∵∠CAE=∠CBD,∠AFD=∠BFE,
∴∠ADF=∠BEF.∴△ADF∽△AEB.
13. D 【解析】∵四边形 ABCD、四边形 AEFG 都是正方形,∴∠EAG=∠BAD=90°,∠FAG=∠AFG=∠DAC
∴∠EAG-∠BAG=∠BAD-∠BAG.
∴∠EAB=∠DAG,故①正确.
∵∠FAG=∠CAD=45°,∴∠FAC=∠DAG.
∴△FAC∽△GAD,故②正确.
∴∠ADG=∠ACB=45°.
如答图所示，延长 DG 交 AC于点 N.
∵ ∠CAD = 45°, ∠ADG
∴∠AND=90°.
∴DG⊥AC,故④正确.
∵∠FAC=∠FAH,∠AFG=∠ACF=45°,∴△AFH∽ AH·AC,故③正确.
故选 D.
14.(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵∠BDE = 180°-∠B-∠DEB,∠CEF = 180°-∠DEF-∠DEB,∠DEF=∠B,
∴∠BDE=∠CEF.∴△BDE∽△CEF.
(2)∵△BDE∽△CEF,∴BEF=DEF.
∵点 E 是BC 的中点,
∵∠DEF=∠B=∠C,∴△DEF∽△ECF.
∴∠DFE=∠CFE.∴FE平分∠DFC.
15.(1)当t=1时,AE=2,EB=10,BF=4,FC=4,CG=
(2)①如答图1所示,当0≤t≤2时,点 E,F,G分别在边AB,BC,CD上移动,
此时AE=2t,EB=12-2t,BF=4t,FC=8-4t,CG=2t,
②当点 F追上点G时,4t=2t+8,解得t=4.
如答图2所示,当2FG=CG-CF=2t-(4t-8)=8-2t,
(3)如答图1所示,当点 F 在矩形 BC上移动时,0≤t≤2.在△EBF 和△FCG中,∠B=∠C=90°.
①若 即 解得
当 时,△EBF∽△FCG.
②若 即 解得
当 时,△EBF∽△GCF.
综上所述，当 或 时，以点 E，B，F为顶点的三角形与以F，C，G为顶点的三角形相似.

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