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专题2 整式与分式
整式的有关概念
1.用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把 或表示 连接而成的式子叫作代数式，代数式分为 、 和 .
2.(1)由数与字母的 组成的代数式叫作单项式(单独一个数或 也是单项式).单项式中的 叫作这个单项式的系数；单项式中的所有字母的指数的 叫作这个单项式的次数.
(2)几个单项式的 叫作多项式.在多项式中，每个单项式叫作多项式的 ，其中次数最高的项的 叫作这个多项式的次数. 不含字母的项叫作 .
(3)整式: 与 统称整式.
3.同类项：在一 个 多项 式中，所含 相同并且相同字母的 也分别相等的项叫作同类项.合并同类项的法则是 .
4.幂的运算性质： (a≠0,n 为正整数);( ; (a" )" = ; (ab)" = ;a ÷a =_.
5.整式的乘法公式：
(1)(a+b)(c+d)= ;
(2)(a+b)(a-b)= ;
6.整式的除法
(1) 单项式除以 单项式的法则：把 、 分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的 ，则连同它的 一起作为商的一个因式.
(2)多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以这个 ，再把所得的商 .
分式的概念
7.分式：整式A除以整式B，可以表示成AB的形式，如果除式B中含有 ，那么称AB为分式.若 ，则AB有意义；若 ,则A/B无意义;若 ,则
8.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个 的整式，分式的 .用式子表示为 9.约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分.
10.通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 的分式，这一过程称为分式的通分.
11.分式的运算
(1)加减法法则：
①同分母的分式相加减： .
②异分母的分式相加减： .
(2)乘法法则: .
乘方法则： .
(3)除法法则: .
12.因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的 的形式.分解因式要进行到每一个因式都不能 为止.
13.因式分解的方法：
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
14.提公因式法: ma+ mb+ mc= .
15.平方差与完全平方公式法：
16.十字相乘法： pq= .
17.因式分解的一般步骤：一 ，二 .
实战演练
1.下列运算一定正确的是 ( )
化简 的结果是 ( )
B. a-3
C. a+3
3.下列计算正确的是 ( )
B.2(m-n)=2m-n
4.为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲，乙两种读本共 100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为 8 元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为 ( )
A.8x元 B.10(100-x)元
C.8(100-x)元 D.(100-8x)元
5.因式分解:
A.(1-2y)(1+2y) B.(2-y)(2+y)
C.(1-2y)(2+y) D.(2-y)(1+2y)
6.已知 9m = 3,27n = 4. 则 ( )
A.1 B.6 C.7 D.12
7.下列整式中，是二次单项式的是 ( )
B. xy
C. x y D.-3x
8.已知x+y=4,x-y=6,则
9.分 解 因 式:
10.以下是某同学化简分式 的部分运算过程：
解：原式
①
②
③
…
解：
(1)上面的运算过程中第 步出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程.
11.先化简，再求值： 其中
12.计算
压轴预测
1.下列分解因式正确的是 ( )
A. a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)
2.化简 的结果是 ( )
3.化简:
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4.先化简，再求值： 其中
参考答案
1.数 数的字母 整式 分式 无理式
2.(1)积 一个字母 数字因数 和
(2)和 一个项 次数 常数项
(3)单项式 多项式
3.字母 指数 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变
5.(1) ac+ ad+ bc+ bd
6.(1)单项式的系数 同底数幂
字母指数
(2)单项式 相加
7.字母 B≠0 B=0 B≠0且A=0
8.不等于零 值不变
9.公因式
10.同分母
11.(1)①分母不变，把分子相加减 ②先通分，再按同分母分式的加减法法则进行运算
(2)把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母 分子与分母分别乘方
(3)把除式的分子与分母颠倒位置后再与被除式相乘
12.积 分解
13.(1)提公因式法 (2)公式法
(3)十字相乘法 (4)分组分解法
14. m(a+b+c)
15.(1)(a+b)(a-b)
16.(x+p)(x+q)
17.提公因式 运用公式
1. A
2. A 【解析】本题考查分式的化简. 故选 A.
3. D
4. C 【解析】本题考查列代数式.设购买甲种读本x本，则购买乙种读本(100-x)本，所以购买乙种读本的费用为8(100-x)元,故选 C.
5. A 【解析】本题考查因式分解.1-4y =(1+2y)·(1-2y), 故选 A.
在把一个多项式进行因式分解时，一般按以下步骤进行：①观察多项式的各项是否有公因式，若有，则先提公因式；②当一个多项式的各项没有公因式(或有公因式提出公因式后)时，观察多项式是否符合平方差公式或完全平方公式，若符合公式，就按照公式进行分解；③当用上述方法不能直接分解时，可根据多项式的特点将其适当进行分组变形成能提公因式或运用公式的形式，再进行分解.
6. D
7. B 【解析】本题考查单项式的概念.根据已知的四个选项 是多项式，不符合题意； xy是二次单项式，符合题意；x y是三次单项式，不符合题意；-3x是一次单项式，不符合题意，故选 B.
8.24 【解析】本题考查代数式求值.由题意可得. (x+y)(x-y).∵x+y=4,x-y=6,∴原式=4×6=24.
9.5(x+y)(x-y)【解析】本题考查因式分解.
10.(1)3
解:(1)③.
(2)原式
11.0
解：原式
当 时,原式=1-1=0.
先对括号内分式分母进行因式分解，再利用分配律去掉括号，并将除法转化为乘法，根据完全平方公式和平
方差公式化简，约分后可得最简分式.
解：原式
压轴预测
1. A 【解析】本题考查因式分解.a(2a-b)+b(b-2a)=a(2a-b)-b(2a-b)=(a-b)(2a-b),A选项正确; 选项错误； (--3)]=(a--2)·(a-3),C 选项错误; ，D选项错误，故选 A.
2. C 【解析】本题考查分式的化简. 故选C.
3. x+9
利用完全平方公式及单项式与多项式的乘法运算计算，然后去括号、合并同类项即可得到答案.
解：原式：
4.
解：原式
当 时，原式

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