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专题6 一次函数
1.正比例函数及其性质
正比例函数的一般形式是 ，图象的性质有：(1)当k 时，图象经过第一、三象限，y随x 的增大而增大；(2)当k 时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小.
2.一次函数及其性质
一般地,如果 (k,b是常数,k≠0)，那么y叫作x的一次函数.一次函数的图象是必经过 ， 两点的一条直线.一般地,一次函数y= kx+b(k≠0)有下列性质:(1)当 k 时,y随x 的增大而增大；当k 时，y随x 的增大而减小；(2)当k>0且b>0时，函数图象经过第 象限；当k>0且b<0时，函数图象经过第 象限；当k<0且b>0时，函数图象经过第 象限；当k<0且b<0时，函数图象经过第 象限.一次函数 y=k(x+m)+b(k≠0)的平移法则是“左右平移 ，上下平移 ， 须牢记， 错不了”.
3.确定一个正比例函数，就是需要确定正比例函数 y= kx(k≠0)中的 .确定一个一次函数，就是需要确定一次函数 y= kx+b(k≠0)中的常数 和 .解这类问题的一般方法是 .求解与一次函数有关的图形的面积问题时，一般将其 易求解的三角形、四边形问题来解 决.利用一次函数求实际问题中的最值问题时首先 ，再根据其性质判断其 ，然后求出图象边缘的点的 所对应的函数值(最大或最小)即可.
实战演练
1.在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 的图象可能是 ( )
2.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数. 与 b2 的图象分别为直线 l1 和直线 l2，下列结论正确的是 ( )
3.在一次函数 y=-5ax+b(a≠0)中，y的值随x值的增大而增大,且 ab>0,则点 A(a,b)在 ( )
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限
4.一辆汽车油箱中剩余的油量 y(L)与已行驶的路程x(km)的对应关系如图所示，如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为35 L时，那么该汽车已行驶的路程为 ( )
A.150 km B.165 km
C.125 km D.350 km
5.已知(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)为直线 y=-2x+3上的三个点,且 则以下判断正确的是 ( )
A.若则
B.若则
C.若则
D.若则
6.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与y=mx+n(a①在一次函数 y= mx+n的图象中,y的值随着x值的增大而增大；
②方程组 的解为
③方程 mx+n=0的解为x=2;
④当x=0时, ax+b=-1.
其中结论正确的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
7.已知点A( ,m),B( ,m)在一次函数y=2x+1的图象上，则m与n的大小关系是 ( )
A. m>n B. m=n
C. m8.某品牌鞋子的长度 y cm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系.若22码鞋子的长度为 16 cm，44 码鞋子的长度为27 cm,则38码鞋子的长度为( )
A.23 cm B.24 cm
C.25 cm D.26 cm
在平面直角坐标系中，O为坐标原点.若直线 y=x+3分别与x轴、直线 y=-2x交于点A,B,则△AOB 的面
积为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.6
10.如图,函数 y= kx+b(k<0)的图象经过点 P，则关于x的不等式 kx+b>3的解集为 .
11.在正比例函数 y= kx 中,y的值 随着 x 值 的增大而增大，则点 P(3,k)在第 象限.
12.将直线 y=-2x向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为 .
13.物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度 y(cm)与所挂物体质量x(kg)满足函数关系 y= kx+15.下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系.
x 0 2 5
y 15 19 25
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量.
14.在平面直角坐标系 xOy中,函数y= kx+b(k≠0)的图象经过点(4,3),(-2,0),且与 y轴交于点A.
(1)求该函数的解析式及点 A 的坐标；
(2)当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于函数y= kx+b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围.
15.在“看图说故事”活动中,某学习小组结合图象设计了一个问题情境.
已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2km，超市离学生公寓 2k m.小琪从学生公寓出发，匀速步行了 12 min 到阅览室；在阅览室停留70 min后,匀速步行了 10 min到超市；在超市停留 20 min后，匀速骑行了8 min返回学生公寓.给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离 y km与离开学生公寓的时间x min 之间的对应关系.
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表:
离开学生公寓 的时间/ min 5 8 50 87 112
离学生公寓 的距离/ km 0.5 1.6
(2)填空:
①阅览室到超市的距离为 km；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为 km/ min;
③当小琪离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为 min.
(3)当0≤x≤92时,请直接写出 y关于x的函数解析式.
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压轴预测
1.如图，已知直角坐标系中的四个点：A(0，2),B(1,0),C(3,1),D(2,3).直线 AB 和直线CD 的函数表达式分别为 b1和 则 ( )
2.在平面直角坐标系中，过直线l：y=x+1上一点 A(1,a)作 AB⊥x轴于点 B,若平移直线 l过点 B 交 y 轴于 C 点,则点 C 的纵坐标为 ( )
C.-1 D. -2
3.某部队接到上级命令，乘车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回.设汽车从甲地出发x(h)时，汽车与甲地的距离为 y(km)，y与x 的函数关系如图所示，则汽车在路上行驶的总时长是( )
A.2 h B.2.5 h
C.4.5h D.5 h
4.小明和小军在一条直道上由西向东匀速行走，小明以每分钟 60 米的速度从 A 地出发，小军同时以每分钟 v米的速度从 A 地东边 80 米的 B 地出发. 小明和小军离A地的距离y(米)与行走时间x(分钟)的关系如图.
(1)求小军离A 地的距离y(米)与行走时间x(分钟)的函数表达式；
(2)当小明到达离 A 地 720 米的 C 地时,小军离C地还有多少米
5.已知函数 (m为常数,m≠0).
(1)若点(-1,1)在 y1 的图象上.
①求 m的值;
②求函数y1与 y2 的交点坐标.
(2)当m>0,且 时，求自变量x的取值范围.
参考答案
1. y= kx(k≠0) >0 <0
2. y= kx+b (0,b) (-b/k,0)
(1)>0 <0
(2)一、二、三 一、三、四 一、二、四二、三、四 在括号 在末梢 左正右负 上正下负
3. k k b 待定系数法 分割成 求出一次函数的解析式 增减性 横坐标
1. D 【解析】本题考查一次函数的图象与性质.由函数关系式可知，当a>0时，两条直线都是 y随x的增大而增大，可判断四个选项中的函数图象都不符合此条件；当a<0时，一次函数 的图象是 y随x的增大而减小，与y轴交于正半轴，一次函数 的图象是y随x的增大而增大，与y轴交于负半轴，且两直线交点的横坐标一定为1.综上，故选 D.
2. D 【解析】本题考查一次函数的图象和性质.由函数的图象知 所以 ,故选 D.
3. B 【解析】本题考查一次函数的图象与性质、平面直角坐标系内 点 的 坐标特征. 由题知，解得 所以点 A(a,b)在第三象限,故选 B.
4. A 【解析】本题考查一次函数图象的实际应用.由题图易知，y与x 为一次函数关系，其解析式为 50,令 解得x=150，所以该汽车已行驶的路程为150 km,故选 A.
5. D
6. B 【解析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次方程的关系.对于①，由图知，在一次函数y= mx+n的图象中，y的值随着x值的增大而减小，故①错误；对于②，方程组 的解的几何意义是直线y= ax+b与直线y= mx+n的交点坐标,由图知,交点坐标为(-3，2)，所以原方程组的解为 故②正确；对于③，方程 mx+n=0的解的几何意义是直线y= mx+n与x轴的交点的横坐标，由图知，交点的横坐标x=2，所以原方程的解为x=2，故③正确；对于④，由图知,当x=0时, ax+b=-2,故 ④错误.综上,正确结论的个数是2，故选 B.
7. C 【解析】本题考查一次函数的性质.在一次函数 y=2x+1中,k=2>0,∴y随x的增大而增大. ∴m8. B 【解析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式以及求函数值.设一次函数的解析式为 y= kx+b，根据题意可得 解得 当x=38时,y=19+5=24,故选B.
9. B 【解析】本题考查一次函数的性质、三角形的面积公式.在直线 y=x+3 中,令 y=0,得 x = - 3,由 得(2--1 ,∴ A ( - 3,0), B(-1,2),
∴△AOB的面积为 故选 B.
10. x<-1 【解析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系.由题意可知当x=-1时，kx+b=3.结合函数图象可得当x<-1时, kx+b>3.
11.一 【解析】本题考查正比例函数的图象与性质.根据题意可知，正比例函数 y随x 的增大而增大，∴k>0，∴点(3,k)在第一象限.
12. y=-2x+1 【解析】本题考查直线的平移.将直线y= -2x 向上平移1个单位长度后直线变为y=-2x+1.
13.(1)y=2x+15 (2)2.5kg
(1)利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
(2)将y=20代入函数关系式，求出x的值，即可求解.
解:(1)由表格知,当x=2时,y=19.
于是2k+15=19.
解得 k=2.
所求函数关系式为 y=2x+15.
(2)当y=20时,2x+15=20.
解得x=2.5.
答:当弹 簧 长 度 为 20 cm 时, 所 挂物 体 的 质 量是 2.5kg.
,A(0,1) (2)n≥1
(1)将点(4,3),(-2,0)代入 y= kx+b,解方程组求出k，b的值，从而可求出一次函数的解析式，再令x=0，即可求出点 A 的坐标；(2)根据题中条件建立不等式结合x>0，解不等式即可求出n的取值范围.
解:(1)将点(4,3),(-2,0)代入 y= kx+b(k≠0),
得 解得
所以一次函数的解析式为
令x=0,得y=1,
所以点 A 的坐标为(0,1).
(2)n≥1.
由题知，当x>0时， 所以x>2-2n,
所以2-2n≤0,解得n≥1,
所以 n的取值范围为n≥1.
15.(1)0.8,1.2,2 (2)①0.8 ②0.25③10 或 116 (3)当 0≤x≤12 时,y=0.1x;当12(1)根据题意求出0≤x≤12时的速度，结合图象即可填表；(2)根据题意，结合图象中的数据进行计算求解；(3)分0≤x≤12,12解:(1)0.8,1.2,2.
(2)①0.8;②0.25;③10或116.
(3)当0≤x≤12时,y=0. lx;
当12当82压轴预测
1. B 【解析】本题考查一次函数的图象与性质.如图，分别作出直线 AB 和CD,则AB∥CD,∴k =k .又知直线AB与y轴的交点在直线 DC 与 y 轴的交点的下方， 故选 B.
将点 A(0,2),点 B(1,0)代入 中，解得 将点 C(3,1),点 D(2,3)代入 中，求得k =-2,b =7,∴k =k ,b 2. C 【解析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数图象的平移.如图,∵点 A(1,a)在直线l:y=x+1上,AB⊥x轴于点B,∴点 B的坐标为(1,0),由图象的平移性质，可设直线BC的解析式为y=x+b，代入点 B坐标，得0=1+b,∴b=-1,∴点C的纵坐标为-1,故选 C.
3. C 【解析】本题考查一次函数的图象和性质.由图可知，卸货时间为2.5-2=0.5小时，执行任务总时长为5 小时，所以汽车在路上行驶的总时长是5-0.5=4.5(h)，故选 C.
4.(1)y=40x+80 (2)160
(1)由题意可求出m的值，得对应点的坐标，再利用待定系数法求出函数表达式；(2)先求出 p的值，再代入函数表达式，即可求解.
解:(1)由题意得,m=4×60=240.
由题图可设y= kx+80,
因为函数y= kx+80的图象过点(4,240),
所以k=40,
所以y=40x+80.
(2)因为
当x=12时,y=40×12+80=560,
所以720-560=160(米),
即此时小军离C地还有160米.
5.(1)①m=3,②(0,3) (2)0(1)①将已知点的坐标代入函数y1 的解析式，即可求出m的值；②根据m 的值得到两个函数的解析式，从而即可求出交点坐标；(2)根据已知条件列出不等式组，解不等式组即可求解.
解:(1)①由题意得,1=-2+m,解得m=3.
②令2x+3=-3x+3,解得x=0,当x=0时, ∴y 与y2 的交点坐标为(0,3).
(2)由题意得 解得0

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