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专题12 圆
1.圆的有关概念
(1)圆上各点到圆心的距离都等于 .圆由两个元素决定，分别是 和 ，圆心确定圆的 ，半径确定圆的 .圆心相同，半径不等的圆是 ；圆心不同，半径相等的圆是 .
(2)连接圆上任意两点 的线段叫作 .直径是经过 的弦，是圆中 的弦.
(3)圆上任意两点间的部分叫作 ，大于半圆的弧叫作 ，小于半圆的弧叫作 .
2.圆周角与圆心角的关系
顶点在圆心的角叫作 ；顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作 .在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 .同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 .直径所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 .
3.垂径定理
垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦(不是直径)的 垂直于弦，并且平分 .
4.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种：① ，② ,③ .
5.直线与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系共有三种：① ,② ,③ .对应的圆心到直线的距离d 和圆的半径r 之间的数量关系分别为④d r,⑤d r,⑥d r.
(2)切线的判定方法有：①与圆有 公共点的直线是圆的切线；②到 的距离等于 的直线是圆的切线；③经过半径的 并且 这条半径的直线是圆的切线.在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫作这点到圆的 ；从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ，圆心和这一点的连线 两条切线的夹角.
6.圆与圆的位置关系
(1)圆与圆的位置关系共有三大种：① ,③ ,② ,也可分为五小 种: ① , ③ , ③ ,④ ,⑤ .
(2)两圆的圆心距 d 和两圆的半径R，r(R≥r)之间的数量关系分别为①d R--r,②d R--r,③R--r d R + r, ④d R + r,⑤d R+r.
7.圆的有关计算
(1)弧长、扇形面积的计算
已知⊙O的半径为R，圆心角为 n°的弧长l的计算公式为 ；圆心角为 n°的扇形的面积为 或 .
(2)圆锥侧面积、全面积的计算
圆锥的侧面积就是其侧面展开图的扇形面积；圆锥的全面积就是它的 与它的 的和.
8.圆中常见的辅助线
(1)遇到 时，一般要引直径上的圆周角，将直径这一条件转化为 的条件.
(2)遇到 时，一般要引 的半径，以便利用切线的性质定理；或连接 的弦，以便利用弦切角定理.
(3) 遇到过圆外一点作圆的两条 时，常常引这点到圆心的 ，以便利用切线长定理及其推论.
(4)遇两圆 ,要添加 ,或者连心线，特别是 ，它在相交两圆中起着桥梁作用.
实战演练
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=4.以点 A 为圆心,r为半径作圆,当点 C在⊙A 内且点 B 在⊙A 外时，r的值可能是 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
2.如图,AD,BC是⊙O的直径,点 P 在BC 的延长线上,PA 与⊙O相切于点A, 连接BD, 若∠P = 40°, 则∠ADB的度数为 ( )
A.65° B.60°
C.50° D.25°
3.某款“不倒翁”(图1)的主视图是图2,PA,PB分别与所在圆相切于点 A,B,若该圆半径是9 cm,∠P=40°,则的长是 ( )
A.11πcm
C.7πcm
4.如图,△ABC内接于⊙O,AD是⊙O 的直径,若∠B=20°,则∠CAD 的度数是 ( )
A.60°
B.65°
C.70°
D.75°
5.如图,△ABC 内接于⊙O,∠C=46°,连接OA,则∠OAB= ( )
A.44°
B.45°
C.54°
D.67°
如图,AB 是圆O 的直径,弦 AD 平分∠BAC,过点 D 的切线交AC 于点 E,∠EAD=25°,则下列结论错误
的是 ( )
A. AE⊥DE
B. AE∥OD
C. DE=OD
D.∠BOD=50°
7.如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为 10厘米，AB=16 厘米.若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为 16分钟，则“图上”太阳升起的速度为 ( )
A.1.0厘米/分
B.0.8厘米/分
C.1.2厘米/分
D.1.4厘米/分
8.如图,在矩形 ABCD 中, 以点 A 为圆心，AD长为半径画弧交边BC 于点E，连接AE，则 的长为 ( )
A.4π/3
B.π
C.2π/3
D.π/3
9.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD交AB 于点E,连接 AC,AD.若∠BAC=28°,则∠D= °.
10.如图,⊙O 是四边形ABCD的 外 接 圆, 若 ∠ABC= 110°,则∠ADC= °.
11.如图,在□ABCD中,AD=12,以 AD为直径的⊙O与BC相切于点 E,连接 OC.若 OC=AB,则□ABCD 的周长为
12.已知圆锥的母线长为3，底面半径为 1，该圆锥的侧面展开图的面积为 .
13.已知 AB 为⊙O 的直径,AB=6,C为⊙O上一点,连接CA,CB.(1)如图①,若 C 为 的中点,求∠CAB的大小和AC 的长；(2)如图②,若 AC=2,OD 为⊙O 的半径,且OD⊥CB,垂足为 E,过点 D 作⊙O的切线，与AC 的延长线相交于点 F，求FD的长.
14.如图,AB为⊙O的直径,CD是⊙O的切线,C为切点,连接BC. ED垂直平分OB，垂足为 E，且交BC-于点F，交BC于点 P,连接 BF,CF.
(1)求证:∠DCP=∠DPC;
(2) 当BC平分 ∠ABF时, 求 证:CF∥AB;
(3)在(2)的条件下,OB=2,求阴影部分的面积.
15.如图，圆O中两条互相垂直的弦AB,CD交于点E.
(1)M是CD 的中点,OM=3,CD=12,求圆O的半径长；
(2)点 F 在 CD 上,且 CE=EF,求证:AF⊥BD.
压轴预测
如图,矩形 ABCD 中,AB=6cm,BC=12 cm,以B为圆心,BC为半径画弧交AD于点 E，则扇形 EBC的面
积为 ( )
2.如图,△ABC中,AB=2,AC= 以点 A为圆心，1为半径的圆与 BC 相切，分别交AB,AC于点D,E,则 的长是 ( )
C.π/2
D.
3.如图，一个宽为 2cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位: cm),那么该圆的半径为 cm.
4.如图,扇形 AOB 中,半径OA=2,圆心角∠AOB=60°.以 OA 为直径的半圆交 OB于点C，则图中两个阴影部分面积的差的绝对值是 .
5.如图,△ABC为⊙O的内接三角形,且 AB为⊙O的直径,DE 与⊙O相切于点 D,交AB 延长线于点 E,OD 与 BC 交于点 F,∠E=∠ADC.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)若CF=2DF,AC=6,求⊙O的半径r.
参考答案
1.(1)圆的半径 圆心 半径 位置 大小 同心圆 等圆
(2)弦 圆心 最长
(3)弧 优弧 劣弧
2.圆心角 圆周角 相等 相等 相等一半 直角 圆的直径
3.弦 弦所对的两条弧 直径 弦所对的两条弧
4.点在圆内 点在圆上 点在圆外
5.(1)相离 相切 相交 > = <
(2)唯一 圆心 半径 外端 垂直于切线长 相等 平分
6.(1)相离 相切 相交 内含 内切相交 外切 外离
(2)< = < < = >
(2)底面积 侧面积
8.(1)直径 直角
(2)切线 过切点 过切点
(3)切线 连线
(4)相交 公共弦 公共弦
1. C 【解析】本题考查勾股定理、点和圆的位置关系.在Rt△ABC中,AB=5,BC=4,由勾股定理可得AC=3.∵点C在⊙A 内,∴r>3.又点 B 在⊙A 外,∴r<5,∴32. A 【解析】本题考查切线的性质、三角形的外角性质、圆周角定理.因为 PA 与⊙O 相切,所以∠OAP=90°.又∠P=40°,所以∠AOB=∠OAP +∠P = 130°,所以 故选 A.
3. A 【解析】本题考查圆的切线的性质、弧长公式.设圆心为O，连接 OA，OB，由题意得OA⊥PA,OB⊥PB,由四边形的性质知 所以AMB的度数是 所以 故选 A.
4. C 【解析】本题考查圆周角定理的推论.连接 BD.因为AD是圆O的直径,所以∠ABD=90°.又∠ABC=20°,所以 ,所以∠CAD=∠CBD=70°,故选 C.
5. A 【解析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质.如图,连接 OB.∵∠C= 46°,∴∠AOB = 2∠C = 92°.又 故选 A.
6. C 【解析】本题考查切线的性质、平行线的判定与性质、圆周角定理.因为OA=OD,所以∠OAD=∠ODA.因为AD平分∠BAC,所以∠OAD=∠CAD,所以∠ODA=∠CAD,所以AE∥OD,故 B选项正确;因为 DE 是圆O的切线,所以OD⊥DE,所以 AE⊥DE,故 A 选项正确;在直角梯形 ODEA 中,OA>DE. 又 OA=OD,所以OD>DE,故 C 选 项错误;因为∠EAD= 25°, 所 以∠BAD=∠EAD=25°,所以∠BOD=2∠BAD=50°,故D选项正确，故选C.
7. A 【解析】本题考查圆的性质、勾股定理、垂径定理.如图,过点O作OH⊥AB于点H,连接OA,则AH=BH= 厘米,在 Rt△AOH 中,∠OHA=90°,OA=10厘米，所以由勾股定理得 6厘米.又因为从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，所以“图上”太阳升起的速度为(6+10)÷16=1.0厘米/分,故选 A.
8. C 【解析】本题考查矩形的性质、勾股定理、弧长公式.在矩形 ABCD 中,∠DAB=∠B=90°,AD=BC=2,∴AE=AD= 2. 在 Rt△ABE 中,AB= ,∴BE= 故选 C.
9.62 【解析】本题考查圆周角定理的推论.如图，连接BC.∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°.∵∠BAC=28°,∴∠ABC=90°-28°=62°,∴∠D=∠ABC=62°.
10.70 【解析】本题考查圆内接四边形的性质.∵四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=110°,∴∠ADC=180°-
【解析】本题考查圆的性质、圆的切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质.如图，连接OE，过点C作CH⊥OD于点 H,则OE⊥BC,OE∥CH.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC.又AD=12,所以CH=OE=6.因为AB=CD,OC=AB,所以OC=CD,所以( 在Rt△CDH中,由勾股定理得 所以AB=CD= ，所以平行四边形 ABCD 的周长为(
12.3π 【解析】本题考查圆锥的侧面展开图、扇形的面积.∵圆锥的侧面展开图是扇形，.
3π，∴该圆锥的侧面展开图的面积为3π.
掌握圆锥的侧面展开图的扇形面积公式是解答本题的关键.
13.(1)45°,3 (2)2
(1)根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，再根据等弧所对的弦相等，进而证明△ABC是等腰直角三角形，利用勾股定理可求出AC的长；(2)根据切线的性质和已知垂直关系以及∠ACB=90°，可判定四边形ECFD是矩形，得对边相等，求出 FD 与CB 的数量关系，在 Rt△ABC中，利用勾股定理求出CB 的长，即可求出FD的长.
解:(1)∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
由C为AB的中点，得.
∴AC=BC.得∠ABC=∠CAB.
在 Rt△ABC中,∠ABC+∠CAB=90°,
∴∠CAB=45°.
根据勾股定理，有
又AB=6,得
(2)∵FD是⊙O的切线,
∴OD⊥FD.即∠ODF=90°.
∵OD⊥CB,垂足为E,
同(1)可得∠ACB=90°,有∠FCE=90°.
∴∠FCE=∠CED=∠ODF=90°.
∴四边形 ECFD为矩形.
∴FD=CE.于是
在 Rt△ABC中,由AB=6,AC=2,得
14.(1)略 (2)略
(1)连接OC，根据切线的性质及 ED⊥OB 得到两组互余的角，再根据等边对等角结合等角的余角相等进行等量代换，即可得证；(2)连接OF，证明△OFB是等边三角形，根据等边三角形的性质与圆周角定理求出∠FCB的度数，结合角平分线的性质求出∠OBC 的度数，然后利用平行线的判定即可证明结论成立；(3)根据圆周角定理及半径相等证明△COF 是等边三角形，再结合垂直平分线及勾股定理求出EF的长，然后利用三角形的面积公式与扇形的面积公式求解即可.
解:(1)证明:连接OC.
∵CD是⊙O的切线,
∴∠OCB+∠DCP=90°.
∵ED⊥OB,
∴∠OBC+∠EPB=90°.
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC.
∴∠DCP=∠EPB.
∵∠EPB=∠DPC,
∴∠DCP=∠DPC.
(2)证明:连接OF.
∵ED垂直平分OB,∴OF=FB.
又∵OF=OB,
∴△OFB是等边三角形.
∴∠FOB=∠FBO=60°.
∵BC平分∠ABF,
∴∠OBC=∠FCB.
∴CF∥AB.
(3)由(2)得∠FBC=30°,
∴∠COF=60°.
∵OF=OC,
∴△COF 是等边三角形.
∵OB=2,∴OF=OC=CF=2.
∵ED垂直平分OB,OF=2,
∴∠OEF=90°,OE=1,
∴由勾股定理，得
15.(1)3 (2)略
(1)连接OC,OD.根据 M 是CD 的中点可得DM= 在 Rt△OMD 中，利用勾股定理即可得出半径OD 的长;(2)连接AC,延长AF 交BD 于点 N,证明△AEC≌△AEF, 可 得 ∠EAC = ∠EAF, 根 据∠BAC=∠BDC 以及三角形外角的性质即可证明∠AND=90°.
解:(1)如图,连接OC,OD,
因为M是CD的中点且CD=12,
所以CM=DM=6且OM⊥DM.
在 Rt△OMD 中,由勾股定理得
所以圆O的半径长为3
(2)证明:如图,连接AC,延长AF交 BD 于点 N.
在△AEC与△AEF中,
因为AE=AE,∠AEC=∠AEF,EC=EF,
所以△AEC≌△AEF.
于是∠EAC=∠EAF.
又因为∠BAC=∠BDC.
所以∠AND=∠BAN+∠ABN
=∠CDB+∠ABD=90°.
于是AF⊥BD.
压轴预测
1. C 【解析】本题考查矩形的性质、特殊角的三角函数值、扇形的面积公式.在矩形ABCD中,∠A=∠ABC=90°.在Rt△ABE中,AB=6,BE=BC=12,∴cos∠ABE=ABE= = , ∴ ∠ABE = 60°, ∴∠EBC = 30°, 即扇形 EBC 的面积为12πcm ,故选C.
2. D 【解析】本题考查圆的切线的性质、弧长的计算公式.设 BC 与圆相切于点 F,连接 AF,则 AF⊥BC. 在Rt△AFB中,AB=2,AF=1,∴∠ABF=30°,∴∠BAF=60°.在 Rt△AFC中,AC= ,AF=1,∴CF=1,∴∠CAF= 故选 D.
3. 【解析】本题考查垂径定理、勾股定理.如图，取圆心O，设切点为点 C，直尺与圆相交于 A，B两点，连接OA,OC,OC交AB 于点D,则线段AB=8-2=6(cm),由垂径定理可得 设⊙O的半径为r cm,则OA=OC=r cm.∵CD=2cm,∴OD=OC-CD=(r-2)(cm).在 Rt△AOD 中,由勾股定理可得 即 解得 即该圆的半径为 cm.
4.π/6【解析】本题考查扇形的面积公式、三角形的面积公式、等边三角形的判定与性质.如图，取OA 的中点 D，连接CD,则点 D为半圆的圆心.因为DO=DC=1,∠AOB=60°,所以△OCD是等边三角形,所以∠ODC=60°,所以∠ADC=120°.过点C作CH⊥OD于点 H,则CH=CD· 因为 所以 所以图中两个阴影部分面积的差的绝对值是
5.(1)略(2)5
(1)根据切线的性质得到 DE⊥OD，再根据已知条件得到BC∥DE，最后由圆周角定理的推论证明结论即可；(2)根据三角形中位线定理求出OF，在 Rt△BOF 中根据勾股定理即可求得半径r.
解:(1)证明:∵DE与⊙O相切于点 D,
∴DE⊥OD.
∵∠ABC=∠ADC,∠E=∠ADC,
∴∠ABC=∠E,
∴BC∥DE,
∴OD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD,
∴AD平分∠BAC.
(2)∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
由(1)得OD⊥BC,∴OF∥AC,
又O是AB 的中点，
∴CF=BF,
又OD=r,则DF=OD-OF=r-3,
则 BF=2DF=2r-6,
在 Rt△BOF中,
解得r1=3(舍去),r2=5,
∴⊙O的半径r为5.

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