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专题8 二次函数
1.一般地，如果 是常数，a≠0)，那么y叫作x的二次函数.其中， 是二次项， 是一次项， 是常数项.
2.二次函数的图象的性质：二次函数的图象是 ，对称轴是 .(1)若a>0，当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x 的增大而减小；当 时，函数有最小值，为 .(2)若a<0,当 时,y随x的增大而减小；当 时，y随x 的增大而增大；当 时，函数有最大值，为 .
3.二次函数 (a,b,c是常数,a≠0)中,a,b,c 的含义:a 的符号与 有关， 时抛物线开口向上， 时抛物线开口向下；b的符号与对称轴有关，对称轴为 先根据开口方向确定 a 的符号，再根据对称轴的 确定b的符号；c的符号与抛物线和 的交点有关，抛物线和 y 轴的交点坐标为 ，当抛物线和 y 轴正半轴相交时， ，当抛物线和 y 轴负半轴 相交时, .
4.二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程的解是其对应的 的图象与x轴的交点坐标的 ；一元二次方程中的 可以判定二次函数的图象与x轴是否有交点，当 时，图象与x轴有 ；当 时，图象与x轴有 ; 当 时, 图象 与x轴 .
5. 二次函数的平移法则: 、 .
6.二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式: ;(2)顶点式: ;(3)交点式： .若已知抛物线上任意三点，通常选择 ，利用待定系数法列 来解；当已知抛物线的 或 时，常设其解析式为顶点式来解；结合题设的具体情况，亦可选择顶点式的 为所求函数的解析式；当已知抛物线与x轴有 时，则选择设函数解析式为 来解.
7.用二次函数解决实际问题
(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的 值.
(2)二次函数的应用包括以下几个方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的 关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的 值.
实战演练
1.抛物线. 的顶点坐标是 ( )
A.(9,-3) B.(-9,-3)
C.(9,3) D.(-9,3)
2.点A(m-1,y1),B(m,y2)都在二次函数 的图象上.若y1A. m>2
C. m<1
3.已知抛物线 (a,b,c是常数,0①2a+b<0;
②当x>1时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程 有两个不相等的实数根.
其中，正确结论的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
如图,二次函数 bx+c的图象与x轴相交于A(--1,0),B两点，对称轴是直线x=1，下列说法正确
的是 ( )
A. a>0
B.当x>-1时，y的值随x值的增大而增大
C.点 B的坐标为(4,0)
D.4a+2b+c>0
5.抛物线的函数表达式为 y= ，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为 ( )
6.下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x -2 0 1 3
y 6 -4 -6 -4
下列各选项中，正确的是 ( )
A.这个函数的图象开口向下
B.这个函数的图象与x轴无交点
C.这个函数的最小值小于--6
D.当x>1时，y的值随x值的增大而增大
7.二次函数 (a>0)的图象过A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3),D(4,y4)四个点，下列说法一定正确的
是 ( )
A.若 则y1y2>0
B.若 则
C.若 则
D.若 则
8.“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃.臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，“可食用率” p与加工煎炸时间t(单位：分钟)近似满足的函数关系为： ,a,b,c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )
A.3.50分钟 B.4.05分钟
C.3.75分钟 D.4.25分钟
9.设抛物线 其中a为实数.
(1) 若抛 物 线 经 过 点 ( -1, m),则m= ;
(2)将抛物线 向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 .
10.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度 y(单位： m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系 (a<0).
某运动员进行了两次训练.
(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 2 5 8 11 14
竖直高度 y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 y=
(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x 近似满足函数关系y= 记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为 d1，第二次训练的着陆点的水平距离为 d2，则d1 d2(填“>”“=”或“<”).
11.如图,在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 A(4,0),与y轴交于点 B(0,3).
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点P 为直线 AB 上方抛物线上一动点,过点 P 作PQ⊥x轴于点Q,交 AB 于点 M,求 的最大值及此时点 P 的坐标；
12.在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在 A 处开始减速，此时白球在黑球前面70 cm处.
小聪测量黑球减速后的运动速度 v(单位： cm/s)、运动距离 y(单位: cm)随运动时间t(单位：s)变化的数据，整理得下表.
运动时间t/s 0 1 2 3 4
运动速度 v/ cm/s 10 9.5 9 8.5 8
运动距离 y/ cm 0 9.75 19 27.75 36
小聪探究发现，黑球的运动速度 v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t 之间成二次函数关系.
(1)直接写出 v关于t的函数解析式和y关于t 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)当黑球减速后运动距离为 64 cm时，求它此时的运动速度；
(3)若白球一直以 2cm /s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球 请说明理由.
13.已知二次函数 bx+c 的图象经过(-2,1),(2,-3)两点.
(1)求b的值;
(2)当c>-1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 ；
(3)设(m，0)是该函数的图象与x轴的一个公共点.当--114.在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为 A.
(1)求顶点 A 的坐标(用含有字母m 的代数式表示)；
(2)若点B(2,yB),C(5, yc)在抛物线上，且yB> yc,则m的取值范围是 ；(直接写出结果即可)
(3)当1≤x≤3时,函数 y的最小值等于6,求 m 的值.
15.某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件.
(1)如图,设第x(0(2)设第x个生产周期生产并销售的设备为y件,y与x 满足关系式 y=5x+40(0压轴预测
1.若点 A(-1,m),B(3,m)在同一个函数图象上，这个函数可能为 ( )
2.已知二次函数 当自变量x的值满足aB. C. -1 D.1
3.已知二次函数 的图象与x轴交于(x ,0),(x ,0)两点,且满足 则下列说法正确的个数是 ( )
①a+b+c<0;
②b<0;
③abc>0;
④若则
A.1 B.2
C.3 D.4
4.运动场上，小明投球时，发现篮球轨迹最高点距离地面3 米，小明距离最高点的水平距离为1米，篮球落地处距离小明3米，那么你能计算出小明投篮的最高点距离地面为多少米吗
5.如图已知二次函数 图象与直线y=-x+2交于点 A(-2,m),点 B.
(1)求m,a的值;
(2)求点 B 坐标;
(3)连接OA,OB,求△AOB 的面积.
参考答案
1. ax bx c
2.抛物线
3.开口方向 a>0 a<0 位置 y轴(0,c) c>0 c<0
4.二次函数 横坐标 △>0 两个交点 △=0 一个交点△<0 没有交点
5.左加右减 上加下减
(a,b,c是常数,a≠0)
(2)y=a(x-h) +k(a,h,k是常数,a≠0)
是常数，a≠0) 一般式 三元一次方程组 顶点 对称轴 特殊形式 两个交点 交点式
7.(1)最大(小) (2)二次函数最大(小)
1. B 【解析】本题考查抛物线的顶点坐标.抛物线 y= 的顶点坐标是(-9,-3),故选 B.
2. B 【解析】本题考查二次函数的性质、解不等式.∵点A(m-1,y )和点 B(m,y )都在二次函数 y=(x-1) +n的图象上,
n,即( ,整理得-2m+3<0,∴m> ,故选 B.
3. C 【解析】本题考查二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式.对于①，∵抛物线经过点((1,0),∴a+b+c=0.∵04. D 【解析】本题考查二次函数的图象与性质.
选项 逐项分析 正误
A ∵抛物线开口向下，∴a<0
B 由图象可知，当x>-1时，在对称轴的右 边，y随x的增大而减小
C ∵点A(-1,0)和点 B关于直线x=1对称,∴点 B的坐标为(3,0) ×
D 由题可知,当x=2时,y=4a+2b+c>0
故选 D.
5. C 【解析】本题考查二次函数的图象与性质、函数图象的平移变换.由题意可知，将x轴向上平移2个单位长度，即将函数图象向下平移2 个单位长度；同理，将y轴向左平移3个单位长度，即将函数图象向右平移3个单位长度.∵抛物线的表达式为 ∴平移后的函数表达式为. 即为 y=3(x- 故选C.
6. C 【解析】本题考查二次函数的图象和性质.∵当x=0和x=3时，函数值y相等，∴二次函数的图象关于直线 对称，∴对称轴为 ∴当 时，函数 y最小值小于-6，且抛物线开口向上，A选项错误，C选项正确;函数 y经过(-2,6),(0,-4),∴其图象与x轴有交点，B选项错误；当x>1时，y的值随x的增大先减小后增大，D选项错误，故选 C.
7. C 【解析】本题考查二次函数的图象和性质.∵y= 抛物线的对称轴为.x=1，∴四点中距离对称轴远近关系为A>D>B>C，∵a>0,∴抛物线开口向上,∴y >y >y >y ,当y > 时,y y >0,y y <0,且y y >0,y y <0,故选项 A,B,D错误;当y >y >0>y >y 时,y y <0,y y <0,故选项C正确,故选C.
8. C 【解析】本题考查二次函数的应用.将图象中的三个点(3,0.8),(4,0.9),(5,0.6)代入函数关系. bt+c中得 解得 所以函数关系式为 .由题意可知，加工煎炸臭豆腐的最佳时间应为抛物线顶点的横坐标 t= 则当t=3.75分钟时，为最佳时间，故选 C.
9.(1)0；(2)2 【解析】本题考查二次函数的性质、函数图象的平移.(1)将(-1,m)代入 得m=1--(a+1)+a=0;(2)原抛物线顶点的纵坐标为 向上平移2个单位长度后的 纵 坐 标 为 当a=1时，所得抛物线顶点的纵坐标存在最大值，最大值为2.
10.(1)23.20, (2)<
(1)由表格中的数据确定抛物线的顶点坐标，从而可得h，k的值，k的值即为运动员竖直高度的最大值，再将(0，20.00)代入函数关系式即可求出a的值，据此可得函数关系式；(2)设着陆点的纵坐标为 t，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的水平距离，比较大小即可作出判断.
解:(1)由题知,抛物线的顶点坐标为(8,23.20),所以h=8,k=23.20,
即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m.
根据表格中的数据可知,当x=0时,y=20.00,代入 ,得20.00=64a+23.20,解得a=-0.05,
所以函数关系式为
(2)<.
由题意，设着陆点的纵坐标为t(t<20.00)，
则第一次训练时，
解得
由图知，第一次训练着陆点的水平距离
第二次训练时,t=-0.04(x-9) +23.24,
解得
由图知，第二次训练着陆点的水平距离
因为20(23.20-t)<25(23.24-t),
所以d (1)将点 A，B的坐标分别代入抛物线解析式，解出b，c的值即可求解；(2)根据待定系数法求出直线 AB 的解析式，设出 P点的坐标(t为待定系数)，进而得出点 M的坐标，用含t的式子表示出 PM，MQ的长，利用勾股定理及锐角三角函数的定义用含 t的式子表示出AM的长，进而表示出 利用二次函数的性质可得答案.
解:(1)∵抛物线 经过点A(4,0),B(0,3),
解得
∴抛物线的函数表达式为
(2)∵直线 AB经过点 A(4,0),B(0,3),
∴直线 AB的函数表达式为
设
则 其中0∵AO=4,BO=3,∴AB= +4 =5.
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∴t=1时, 1取得最大值，最大值为 此时，点 P的坐标为(1， ).
(2)6 cm/s (3)不会,理由略
(1)根据表中数据由待定系数法即可求得两函数解析式；(2)把y=64代入函数解析式求得时间t，再由 t的值即可求解；(3)根据题意建立两球距离与时间的函数关系式，再根据函数的性质即可求解.
解：
(2)依题意，得
解得.
当t =8时,v=6;
当t =32时,v=-6(舍).
答:黑球减速后运动64 cm时的速度为 6 cm/s.
(3)设黑白两球的距离为 wcm.
∴当t=16时,w的值最小为6,
∴黑、白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球.
另解1:当ω=0时, 判定方程无解.
另解2：当黑球的速度减小到2cm/s时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球.先确定黑球速度为2cm/s时，其运动时间为16s，再判断黑白两球的运动距离之差小于 70 cm.
13.(1)b=-1 (2)1 (3)a<0或
(1)将已知点的坐标代入二次函数，列出三元一次方程组，两式相减，可直接求出b的值；(2)根据(1)中结论得到a与c 的等量关系，代入顶点坐标公式，构造关于顶点纵坐标的不等式，即可求解；(3)根据题意得x=-1和x=3时函数值一正一负，即可求解.
解:(1)把点(-2,1),(2,-3)代入
得
两式相减,得4=-4b,
解得b=-1.
(2)1.
把b=-1代入4a-2b+c=1,
得4a+2+c=1,
∴顶点纵坐标为
∵c>-1,∴c+1>0.
下证对于任意的正数a，b，都有
，当a=b时取等号，
即
∴顶点纵坐标的最小值为1.
(3)a<0或
由4a-2+c=-3得c=-4a-1.
当x=-1和x=3时函数值一正一负，
∴(a+1-4a-1)(9a-3-4a-1)<0,
∴-3a(5a-4)<0,
∴a(5a-4)>0,
或a<0.
14.(1)(-m,m -m) (2)m<-3.5
(3)m=-2或
(1)根据配方法或顶点公式法即可求得顶点坐标；
(2)根据开口方向、函数的增减性确定对称轴位置，从而求出m的取值范围;(3)分-m≤1,1<-m≤3,-m>3三种情况讨论x取何值时，y有最小值6，代入 函数y中，解方程即可求值.
解:(1)解法一:
∴顶点
解法二：
∴顶点 A 的坐标为(
(2)m<-3.5.
(3)分三种情况讨论：
①-m≤1,即 m≥-1.
当x=1时,y=6.
解方程，得 (不符合题意，舍去).
②1<-m≤3即-3≤m<-1.
当x=-m时,y=6.
解方程，得 (不符合题意，舍去).
∴m=-2.
③-m>3即m<-3.当x=3时,y=6.
解方程，得 (均不符合题意，舍去).
综上所述：m=-2或
(2)工厂在第 14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元.
(1)分0解:(1)由图可知,当0当12即
∴z关于x的函数解析式为
(2)设第x个生产周期工厂创造的利润为W 万元.
①0W=(16-10)×(5x+40)=30x+240,
当x=12时,
W最大值=30×12+240=600(万元).
②12当x=14时, (万元).
综上所述，工厂在第14个生产周期创造的利润最大，最大是605 万元.
压轴预测
1. A 【解析】本题 考查二 次 函 数 的 图象 与性质.∵点A(-1,m)和点 B(3,m)在同一抛物线上,∴点 A和点B 关于抛物线的对称轴对称，且对称轴为直线x=1，∴这个函数的解析式可能是. 故选 A.
2. B 【解析】本题考查二次函数的性质. ∴对称轴为x=1,当x=1时,y取得最大值为4.当x=2时,y=3,恰好满足4-3=1,∴当a3. A 【解析】本题考查二次函数的图象与性质.对于①，当a<0时，二次函数 的图象开口向下，由 ,当x=1时,y=a+b+c>0,故①错误；对于②，抛物线的对称轴为 则 0< 所以 ab<0，无法判断a的正、负情况，所以b<0不一定成立,故②错误;对于③,当c>0时, abc<0,故③错误；对于④，由二次函数的图象的对称性得x ，x 关于直线 对称，所以 所以0< ，故④正确.综上，正确说法的个数是1，故选 A.
4.2.25
解：根据题意建立如图所示的平面直角坐标系(其中小明的身高用 AB来表示).
设抛物线的解析式为
由题意可知BC=3,OB=1,
∴点C的坐标为(2,0).
∵抛物线的顶点坐标为(0,3),且过点 C(2,0),
将(2,0)代入 中得
∴抛物线的解析式为
将x=-1代入 中得y=2.25,
∴小明投篮的最高点距离地面为2.25米.
5.(1)4 1 (2)(1,1) (3)3
(1)将点 A(-2,m)代入直线解析式,求出 m 的值,得点 A 的坐标，再代入二次函数解析式，即可求出a的值；
(2)将直线解析式与二次函数解析式联立，即可求出点 B的坐标；(3)先求出直线y=-x+2与x轴的交点坐标，再利用三角形面积之间的关系求出△AOB 的面积.
解:(1)将点 A(-2,m)代入 y=-x+2得m=-(-2)+2=4,∴点A的坐标是(-2,4),代入 中得4=4a,∴a=1.
(2)由(1)得二次函数的解析式为 联立 解得∴点 B的坐标是(1,1).
(3)在直线y=-x+2中,令y=0,则x=2,∴直线 y=-x+2与x轴的交点C 的坐标为(2,0), 即△AOB的面积为3.

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