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第3章　章末复习课
一、圆锥曲线的定义及标准方程
1．求圆锥曲线方程的常用方法
(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程．
(2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量．
(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．
(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数．
2．求圆锥曲线方程体现了逻辑推理、数学运算和直观想象的数学素养．
例1　(1)已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．以上都不对
(2)双曲线16x2－9y2＝144的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1·PF2＝64，则∠F1PF2＝________.
反思感悟　(1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．
(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．
(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离和到准线的距离进行相互转化，结合几何图形，利用几何意义去解决．
跟踪训练1　(1)已知抛物线y2＝4x，F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，与双曲线的渐近线在第二象限交于点A，若∠F1F2A＝，则双曲线的标准方程为(　　)
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
(2)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
二、圆锥曲线的几何性质
1．本类问题主要有两种考查类型：
(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中与离心率、双曲线的渐近线相关的问题为考查重点．
(2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”．
2．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．
例2　(1)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
(2)已知双曲线的中心是坐标原点，它的一个顶点为A(，0)，两条渐近线与以A为圆心，1为半径的圆都相切，则该双曲线的渐近线方程是________，该双曲线的标准方程是________．
反思感悟　求解离心率的三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
跟踪训练2　(1)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若△ABO的面积是c2，则此椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且FA＝c，则双曲线的渐近线方程为__________．
三、直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中的变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，通过研究该一元二次方程的判别式与0的关系来确定直线和圆锥曲线公共点的情况，当然，还要注意二次项系数有没有为0的情况．
2．设直线与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率存在且为k，则弦长公式：AB＝|x1－x2|＝，
当k存在且不为零时， 弦长公式还可以写成
AB＝|y1－y2|＝.
3．借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的核心素养．
例3　已知圆M：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点和上顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l：y＝x＋m与椭圆C交于A，B两点，若AB＝，求m的值．
反思感悟　将直线的方程与圆锥曲线方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的方程．
(1)若方程为一元二次方程，其判别式为Δ.
①Δ＞0 直线和圆锥曲线相交 直线和圆锥曲线有两个交点(或两个公共点)；
②Δ＝0 直线和圆锥曲线相切 直线和圆锥曲线有一个切点(或一个公共点)；
③Δ＜0 直线和圆锥曲线相离 直线和圆锥曲线无公共点．
(2)若方程为一元一次方程(与双曲线或抛物线方程联立时可能出现)，则直线和圆锥曲线(双曲线或抛物线)有一个交点，但不相切．
跟踪训练3　已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，其焦点为F1，F2，离心率为，直线l：x＋2y－2＝0与x轴，y轴分别交于点A，B.
(1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；
(2)若线段AB上存在点P满足PF1＋PF2＝2a，求a的取值范围．
四、圆锥曲线的综合问题
1．圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定点、定值、最值、探索性问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解．
2．圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养．
例4　已知过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的中点E的横坐标为，AB＝5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点D(1,2)，过点(4,0)作直线l交抛物线于M，N两点，求·的最大值，并求·取得最大值时直线l的方程．
反思感悟　(1)解决最值问题常见的题型，可用建立目标函数的方法求解．
(2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比，使问题获解．
跟踪训练4　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点M与焦点F的距离为，且点M的纵坐标为2.
(1)求抛物线C的方程和点M的坐标；
(2)若直线l与抛物线C相交于A，B两点，且MA⊥MB，证明直线l过定点．
五、圆锥曲线的实际应用
1．用圆锥曲线知识解决实际问题，要注意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线概念，充分利用曲线的几何性质，这样才能顺利获得相应的数学模型．
2．通过对圆锥曲线的实际应用问题的探究，可以提高学生的数学运算核心素养．
例5　外形是双曲面的冷却塔具有众多优点，如自然通风和散热效果好，结构强度和抗变形能力强等，其设计原理涉及物理学、建筑学等学科知识．如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示，已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米．求最小直径圆面的面积．
反思感悟　应先建立平面直角坐标系，根据条件抽象出对应的圆锥曲线，即可得结果．此类问题若与最值有关，有两种方法解决：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题或用不等式法求解．
跟踪训练5　如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．已知椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的中心与F在同一直线上，设椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长半轴长分别为a1，a2，半焦距分别为c1，c2，则有(　　)
A.＝ B．a1－c1C.> D．a1－c1>a2－c2
章末复习课
例1　(1)C　[把轨迹方程5＝|3x＋4y－12|写成＝.
∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等，
∴点M的轨迹是以原点为焦点，以直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．]
(2)60°
解析　双曲线方程16x2－9y2＝144，
化简为－＝1，
即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25，
解得a＝3，c＝5，
所以F1(－5,0)，F2(5,0)．
设PF1＝m，PF2＝n，
由双曲线的定义知|m－n|＝2a＝6，
又已知mn＝64，
在△PF1F2中，由余弦定理知
cos∠F1PF2＝
＝
＝
＝＝.
所以∠F1PF2＝60°.
跟踪训练1　(1)C　[由题意可得抛物线的准线为x＝－，
又抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，
∴c＝，联立
可得yA＝，
又∠F1F2A＝，
∴yA＝F1F2，
∴＝2c，
∴b＝2a，∴b2＝4a2，
又c2＝a2＋b2，
∴5＝a2＋4a2，
∴a2＝1，b2＝4，
∴双曲线的标准方程为x2－＝1.]
(2)C　[方法一　因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以解得
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.依题意，不妨设A，B到直线y＝x的距离分别为d1，d2，因为d1＋d2＝6，所以＋＝6，所以＋＝6，解得a＝，所以b＝3，所以双曲线的方程为－＝1.
方法二　因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以解得
如图所示，
由d1＋d2＝6，即AD＋BE＝6，可得CF＝3，故b＝3，所以a＝，所以双曲线的方程为－＝1.]
例2　(1)D　[由题意知直线AP的方程为y＝(x＋a)，①
直线PF2的方程为y＝(x－c)．②
联立①②，得P点纵坐标y＝(a＋c)，
如图，过P向x轴引垂线，垂足为H，
则PH＝(a＋c)．
因为∠PF2H＝60°，PF2＝F1F2＝2c，
所以sin 60°＝＝＝，
即a＋c＝5c，即a＝4c，
所以e＝＝.]
(2)y＝±x　－＝1
解析　由双曲线的一个顶点为A(，0)，
可知焦点在x轴上，则a＝，
故设双曲线的标准方程为－＝1(b>0)，
则渐近线方程为bx±y＝0，
又＝1，解得b2＝2，
所以渐近线方程为y＝±x，
双曲线的标准方程为－＝1.
跟踪训练2　(1)A　[由ab＝c2，即a2(a2－c2)＝12c4，
所以(a2＋3c2)(a2－4c2)＝0，所以a2＝4c2，a＝2c，
故e＝＝.]
(2)x±y＝0
解析　在双曲线中易得c2＝a2＋b2，①
由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c知，
双曲线过点，
即－＝1.②
由FA＝c，得c2＝a2＋，③
由①③得p2＝4b2.④
将④代入②，得＝2.
∴＝2，即＝1，
故双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.
例3　解　(1)对于圆M：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，
令x＝0得y2－2y＋1＝0，解得y＝1，即与y轴的交点为(0,1)，
令y＝0得x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，即与x轴的交点为(－1,0)．
因为圆M经过椭圆C的左焦点和上顶点，椭圆C的焦点在x轴上，
所以(－1,0)为椭圆的左焦点，(0,1)为椭圆的上顶点，
所以c＝1，b＝1，a2＝b2＋c2＝2，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)因为直线l：y＝x＋m与椭圆C交于A，B两点，
所以联立方程
得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，
所以Δ＝16m2－12(2m2－2)＝－8m2＋24>0，
解得－设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以AB＝＝＝·＝·，
整理得m2＝1，解得m＝±1，满足－所以m＝±1.
跟踪训练3　解　(1)由椭圆的离心率为，得a＝c，
由A(2,0)，得a＝2，
∴c＝，b＝，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由e＝，设椭圆的方程为＋＝1，
联立得6y2－8y＋4－a2＝0，
若线段AB上存在点P满足PF1＋PF2＝2a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0,1]上有解．
设f(y)＝6y2－8y＋4－a2，
∴即
∴≤a2≤4，
故a的取值范围是.
例4　解　(1)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由于线段AB的中点E的横坐标为，
则＝，
由抛物线的焦点弦公式得AB＝x1＋x2＋p＝3＋p＝5，解得p＝2，
因此抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设点M(x3，y3)，N(x4，y4)，
设直线l的方程为x＝my＋4，
联立
消去x并整理得y2－4my－16＝0.
由根与系数的关系得y3＋y4＝4m，y3y4＝－16.
＝(x3－1，y3－2)＝(my3＋3，y3－2)，
同理可得＝(my4＋3，y4－2)，
·＝(my3＋3)(my4＋3)＋(y3－2)(y4－2)＝(m2＋1)y3y4＋(3m－2)(y3＋y4)＋13＝－16(m2＋1)＋4m(3m－2)＋13＝－4m2－8m－3＝－4(m＋1)2＋1.
当m＝－1时，·取得最大值1，此时，直线l的方程为x＋y－4＝0.
跟踪训练4　(1)解　设M(x0,2)，则
解得∴抛物线C：y2＝2x，M(2,2)．
(2)证明　由题意知，直线l的斜率不为零，
可设l：x＝my＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得y2－2my－2n＝0，
∴Δ＝4m2＋8n>0，即m2＋2n>0，
∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－2n.
kMA＝＝＝，
同理kMB＝，又MA⊥MB，
∴kMA·kMB＝
＝＝＝－1，
则n＝2m＋4(此时m2＋2n＝m2＋4m＋8＝(m＋2)2＋4>0成立)，
∴直线l：x＝my＋2m＋4＝m(y＋2)＋4，
当y＝－2时，x＝4，∴直线l恒过定点(4，－2)．
例5　解　如图，由题意设－＝1，则A(40，－80)，B(20,10)在双曲线上，
∴
解得
又最小直径的圆面是以双曲线的实轴为直径的圆面，
∴此时圆面的面积为πa2＝π.
跟踪训练5　C　[设圆形轨道 Ⅲ 的半径为R，
a1－c1＝a2－c2＝R，＝＝1－，
＝＝1－，
由a1>a2知>.]

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