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高二期末复习3(圆的方程)
【复习要求】
1．理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程；
2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
【内容梳理】
1．圆的定义和圆的方程：
2．点与圆的位置关系：
【强化训练】
1．已知点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为(　　)
A．－6 C．k>－6 D．k<
2．点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于(　　)
A．2 B． C．3 D．9
3．已知圆C过点A(－2,0)，B(2,4)，当圆心C到原点O的距离最小时，圆C的标准方程为(　　)
A．(x－1)2＋y2＝10 B．x2＋(y＋1)2＝10
C．(x－1)2＋(y－1)2＝10 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝10
4．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　)
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0 C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
5．(2024·滁州模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上存在两动点A，B满足△ABC为正三角形，O为坐标原点，则|＋|的最大值为(　　)
A．2 B．2 C．2－ D．2＋
6．(2023·清华附中模拟)在平面直角坐标系内，A(1,0)，B(2,0)，动点C在直线y＝x上，若圆M过A，B，C三点，则圆M面积的最小值为(　　)
A． B． C．π D．
7．(多选题)圆M与y轴相切，且经过A(1,0)，B(2,1)两点，则圆M可能是(　　)
A．(x－1)2＋(y－2)2＝4 B．(x－5)2＋(y＋3)2＝25
C．(x－1)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y＋1)2＝9
8．(多选题) (2024·宿迁模拟)已知圆C：(x－3k)2＋(y－4k＋1)2＝1＋25k2，则下列结论中正确的有(　　)
A．圆C过定点 B．点(0,0)在圆C外
C．直线4x－3y－3＝0平分圆周 D．存在实数k，使圆与x轴相切
9．已知圆M过曲线y＝－x2＋4与坐标轴的三个交点，则圆M的标准方程为____________．
10． (2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________．
11．若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y＝－2x＋3上运动，当半径最小时，圆的方程为___________．
12．已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0,0)，底边的一个端点B的坐标为(1,1)，则另一个端点C的轨迹方程为__________．
13．若直线x－y－3＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，动点P在圆x2＋(y－1)2＝1上，则△ABP面积的取值范围是__________．
14．已知O为坐标原点，点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
15．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．求：
(1)的最大值和最小值； (2)y－x的最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值．
16．已知圆C1经过点A(1,3)和B(2,4)，圆心在直线2x－y－1＝0上．
(1)求圆C1的方程；
(2)若M，N分别是圆C1和圆C2：(x＋3)2＋(y＋4)2＝9上的点，点P是直线x＋y＝0上的点，求PM＋PN的最小值，以及此时点P的坐标．
高二期末复习3(圆的方程)
【复习要求】
1．理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程；
2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
【内容梳理】
1．圆的定义和圆的方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆
方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b)
半径为r
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心C
半径r＝
2．点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)MC>r M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 M在圆外；
(2)MC＝r M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圆上；
(3)MC【二级结论】
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．
2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
3．圆心在任一弦的垂直平分线上．
【强化训练】
1．(2023·宁德模拟)已知点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为(　　)
A．－6 C．k>－6 D．k<
答案　A 解析　∵圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，
∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，∴圆心坐标为(1，－2)，半径r＝．
若点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则满足>，
且1－2k>0，即13>1－2k且k<，即－62．点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于(　　)
A．2 B． C．3 D．9
答案　C 解析　圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的标准方程为2＋(y＋1)2＝5＋，
则圆心坐标为，半径为r＝，因为点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以直线l：x－y＋1＝0经过圆心，
所以－＋1＋1＝0，解得k＝4．所以圆的半径r＝＝3．
3．已知圆C过点A(－2,0)，B(2,4)，当圆心C到原点O的距离最小时，圆C的标准方程为(　　)
A．(x－1)2＋y2＝10 B．x2＋(y＋1)2＝10
C．(x－1)2＋(y－1)2＝10 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝10
答案　C 解析　由A(－2,0)，B(2,4)可得线段AB中点坐标为(0,2)，
又kAB＝＝1，所以AB垂直平分线的方程为y＝－x＋2，
所以圆心C在线段AB垂直平分线上，当圆心C到原点O的距离最小时，则OC∥AB，所以直线OC的方程为y＝x，联立解得所以圆心C(1,1)，
又半径r2＝AC2＝(－2－1)2＋(0－1)2＝10，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝10．
4．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　)
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0 C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
答案　D 解析　由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图所示．设P(x，y)，由题意可知PQ＝PO，且PQ⊥CQ，
所以PO2＋r2＝PC2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，
即6x－8y－21＝0．
5．(2024·滁州模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上存在两动点A，B满足△ABC为正三角形，O为坐标原点，则|＋|的最大值为(　　)
A．2 B．2 C．2－ D．2＋
答案　D 解析　由题意可知△ABC是边长为1的正三角形，
设AB的中点为M，则CM＝，又C(1,1)，
所以点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－1)2＝，且OC＝．
因为＋＝2，所以|＋|＝2||，因为OM≤OC＋CM＝＋，
当且仅当点C在线段OM上时等号成立，所以||的最大值为＋，
所以|＋|的最大值为2＋．
6．(2023·清华附中模拟)在平面直角坐标系内，A(1,0)，B(2,0)，动点C在直线y＝x上，若圆M过A，B，C三点，则圆M面积的最小值为(　　)
A． B． C．π D．
答案　A 解析　由圆的几何性质知，圆心在A，B中垂线上，
故可设圆心M的坐标为，如图，当圆M与直线y＝x相切即圆心到y＝x的距离等于圆心到A点距离时，圆M的面积最小，
可得＝，解得a＝或－，
当a＝时，M，圆M的半径为MA＝＝，圆M的面积为；
当a＝－时，M，圆M的半径为MA＝＝，
圆M的面积为，所以圆M面积的最小值为．
7．(多选题)圆M与y轴相切，且经过A(1,0)，B(2,1)两点，则圆M可能是(　　)
A．(x－1)2＋(y－2)2＝4 B．(x－5)2＋(y＋3)2＝25
C．(x－1)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y＋1)2＝9
答案　BC 解析　设圆M的圆心为M(a，b)，则半径r＝|a|．
又点A(1,0)，B(2,1)在圆上，所以有MA＝MB，即＝，
整理可得a＋b＝2．又MA＝r＝|a|，即＝|a|，整理可得b2－2a＋1＝0．
联立解得或所以圆心坐标为(1,1)或(5，－3)．
当圆心坐标为(1,1)时，r＝1，圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1；
当圆心坐标为(5，－3)时，r＝5，圆M的方程为(x－5)2＋(y＋3)2＝25．
综上所述，圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y＋3)2＝25．
8．(多选题) (2024·宿迁模拟)已知圆C：(x－3k)2＋(y－4k＋1)2＝1＋25k2，则下列结论中正确的有(　　)
A．圆C过定点 B．点(0,0)在圆C外
C．直线4x－3y－3＝0平分圆周 D．存在实数k，使圆与x轴相切
答案　ACD 解析　对于选项A，由(x－3k)2＋(y－4k＋1)2＝1＋25k2，
得到x2－6kx＋9k2＋y2－2(4k－1)y＋16k2－8k＋1＝1＋25k2，
整理得x2＋y2＋2y－k(6x＋8y＋8)＝0，由
得或故圆C过定点和，所以选项A正确；
对于选项B，因为圆心为(3k，4k－1)，r＝，
点(0,0)到圆心的距离d＝＝，
又因为k∈R，当k>0时，d对于选项C，因为圆心为(3k，4k－1)，又4×3k－3(4k－1)－3＝0，
即圆心在直线4x－3y－3＝0上，所以选项C正确；
对于选项D，若圆与x轴相切，则|4k－1|＝，
即9k2＋8k＝0，解得k＝0或k＝－，所以选项D正确．
9．已知圆M过曲线y＝－x2＋4与坐标轴的三个交点，则圆M的标准方程为_________．
答案　x2＋2＝ 解析　曲线y＝－x2＋4与坐标轴的三个交点分别为A(－2,0)，B(2,0)，C(0,4)，设过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
∴过A，B，C的圆的方程为x2＋y2－3y－4＝0，即x2＋2＝．
10． (2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________．
答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝5 解析　方法一　设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则解得∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5．
方法二　设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则M，
∴解得
∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5．
方法三　设A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半径为r，则kAB＝＝－，AB的中点坐标为，
∴AB的垂直平分线方程为y－＝3，即3x－y－4＝0．
联立解得∴M(1，－1)，
∴r2＝MA2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5．
思维升华 求圆的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
11．若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y＝－2x＋3上运动，当半径最小时，圆的方程为___________．
答案　2＋2＝ 解析　设圆心坐标为(a，－2a＋3)，
则圆的半径r＝＝＝．
当a＝时，rmin＝．故所求圆的方程为2＋2＝．
12．已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0,0)，底边的一个端点B的坐标为(1,1)，则另一个端点C的轨迹方程为__________．
答案　x2＋y2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1)) 解析　设C(x，y)，根据在等腰△ABC中AB＝AC，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2．
考虑到A，B，C三点要构成三角形，因此点C不能为(1,1)和(－1，－1)．
所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1))．
13．(2023·酒泉统考)若直线x－y－3＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，动点P在圆x2＋(y－1)2＝1上，则△ABP面积的取值范围是__________．
答案　[，3] 解析　如图所示，因为直线x－y－3＝0与坐标轴的交点A(，0)，B(0，－3)，则AB＝＝2，
圆x2＋(y－1)2＝1的圆心C(0,1)，半径为r＝1，
则圆心C(0,1)到直线x－y－3＝0的距离为d＝＝2，
所以圆x2＋(y－1)2＝1上的点P到直线x－y－3＝0的距离的最小值为d－r＝2－1＝1，距离的最大值为d＋r＝2＋1＝3，
所以△ABP面积的最小值为×2×1＝，最大值为×2×3＝3，
即△ABP面积的取值范围为[，3]．
14．已知O为坐标原点，点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
解　设P(x，y)，N(x0，y0)，∵四边形MONP为平行四边形，则＝＋，
即(x，y)＝(－3,4)＋(x0，y0)，即则
又N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，∴x＋y＝4，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
易知直线OM的方程为y＝－x，
联立得或
∴点P的轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4除去点和．
思维升华 求与圆有关的轨迹问题的常用方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
15．(2024·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
解　(1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，为半径的圆．设＝k，即y＝kx，则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
由＝，解得k2＝3，∴kmax＝，kmin＝－．
∴max＝，min＝－．
(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆相切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得＝，即b＝－2±，故(y－x)min＝－2－．
(3)x2＋y2是圆上点与原点的距离的平方，
设圆与x轴相交于点B和C′(点B在点C′左侧)，
则(x2＋y2)max＝OC′2＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝OB2＝(2－)2＝7－4．
16．已知圆C1经过点A(1,3)和B(2,4)，圆心在直线2x－y－1＝0上．
(1)求圆C1的方程；
(2)若M，N分别是圆C1和圆C2：(x＋3)2＋(y＋4)2＝9上的点，点P是直线x＋y＝0上的点，求PM＋PN的最小值，以及此时点P的坐标．
解　(1)由题意知AB的中点坐标为，kAB＝＝1，
∴AB的垂直平分线为y－＝－，即y＝5－x，联立解得
即圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r＝1，其方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1．
(2)注意到点C1(2,3)和点C2(－3，－4)在直线x＋y＝0的两侧，
直线x＋y＝0与两圆分别相离，如图所示．
∴PM＋PN≥PC1－1＋PC2－3≥C1C2－4＝－4，
当且仅当M，N，P，C1，C2五点共线时等号成立，
则PM＋PN的最小值为－4，
此时点P为直线C1C2与x＋y＝0的交点，过C1，C2的直线方程为7x－5y＋1＝0，
联立解得∴点P的坐标为．

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