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北京市海淀区 2024 年高考数学一模试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知全集 = { | 2 ≤ ≤ 2}，集合 = { | 1 ≤ < 2}，则 =( )
A. ( 2, 1) B. [ 2, 1] C. ( 2, 1) ∪ {2} D. [ 2, 1) ∪ {2}
2.若复数 满足 = 1 + ，则 的共轭复数是( )
A. 1 B. 1 + C. 1 + D. 1
3.已知{ }为等差数列， 为其前 项和.若 1 = 2 2，公差 ≠ 0， = 0，则 的值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4.已知向量 , 满足| | = 2, = (2,0)，且| + | = 2，则 , =( )
2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6
2 2
5.若双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)上的一点到焦点( √ 5, 0)的距离比到焦点(√ 5, 0)的距离大 ，则该双曲
线的方程为( )
2 2 2 2
A. 2 = 1 B. 2 = 1 C. 2 = 1 D. 2 = 1
4 2 2 4
6.设 ， 是两个不同的平面， ， 是两条直线，且 ， ⊥ .则“ ⊥ ”是“ // ”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3, ≤ 0,
7.已知 ( ) = { 函数 ( )的零点个数为 ，过点(0,2)与曲线 = ( )相切的直线的条数为 ，
lg( + 1), > 0.
则 ， 的值分别为( )
A. 1，1 B. 1，2 C. 2，1 D. 2，2
8.在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，终边在第三象限.则( )
A. ≤ B. ≥
C. < D. >
9.函数 ( )是定义在( 4,4)上的偶函数，其图象如图所示， (3) = 0.设 ′( )是
( )的导函数，则关于 的不等式 ( + 1) ′( ) ≥ 0的解集是( )
A. [0,2] B. [ 3,0] ∪ [3,4) C. ( 5,0] ∪ [2,4) D. ( 4,0] ∪ [2,3)
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10.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规
律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉(分叉的角度约为60°)，再沿直线繁殖，…；
②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象
为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心 开始，沿直线繁殖到 11，然后分叉向 21与 22方
1
向继续繁殖，其中∠ 21 11 22 = 60°，且 11 21与 11 22关于 11所在直线对称， 11 21 = 11 22 = 11，2
….若 11 = 4 ，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径 ( ∈
，单位： )至少
为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。

11.已知ln = 2，则 2 2 = ______．

12.已知⊙ ：( 1)2 + 2 = 3，线段 是过点(2,1)的弦，则| |的最小值为______．
+
13.若( 2)4 = 4 + 3 + 2 + + ，则 = ______； 1 34 3 2 1 0 0 = ______． 0+ 2+ 4
5
14.已知函数 ( ) = sin( + ) 2 ，则 ( ) = ______；函数 ( )的图象的一个对称中心的坐标为______．
4 4
15.已知函数 ( ) = √ 3 ，给出下列四个结论：
①函数 ( )是奇函数；
② ∈ ，且 ≠ 0，关于 的方程 ( ) = 0恰有两个不相等的实数根；
1 1
③已知 是曲线 = ( )上任意一点， ( , 0)，则| | ≥ ；
2 2
④设 ( 1, 1)为曲线 = ( )上一点， ( 2, 2)为曲线 = ( )上一点.若| 1 + 2| = 1，则| | ≥ 1．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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16.(本小题13分)
在△ 中， + √ 3 = 2 ．
(Ⅰ)求∠ ；
(Ⅱ)若 = 2√ 3， + = 4，求△ 的面积．
17.(本小题14分)
如图，在四棱锥 中， // ， 为 的中点， //平面 ．
(Ⅰ)求证： = 2 ；
(Ⅱ)若 ⊥ ， = = = = 1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已
知，使四棱锥 存在且唯一确定．
( )求证： ⊥平面 ；
(ⅱ)设平面 ∩平面 = ，求二面角 的余弦值．
条件①： = ；
条件②： ⊥ ；
条件③：∠ = ∠ ．
注：如果选择的条件不符合要求，第( )问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计
分．
18.(本小题13分)
某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从
该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩(百分制，且均为整数)及相应过程性积分数据，整理如下表：
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科普测试成绩 科普过程性积分 人数
90 ≤ ≤ 100 4 10
80 ≤ < 90 3
70 ≤ < 80 2
60 ≤ < 70 1 23
0 ≤ < 60 0 2
(Ⅰ)当 = 35时，
( )从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；
(ⅱ)从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记 为这2名学生的科普过程性积分之和，估计
的数学期望 ( )；
(Ⅱ)从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为 1，上述100名学生科普
测试成绩的平均值记为 2.若根据表中信息能推断 1 ≤ 2恒成立，直接写出 的最小值．
19.(本小题15分)
2 2 √ 2已知椭圆 ： + = 的离心率为 , 1, 2分别是 的左、右顶点， 是 的右焦点． 2
(Ⅰ)求 的值及点 的坐标；
(Ⅱ)设 是椭圆 上异于顶点的动点，点 在直线 = 2上，且 ⊥ ，直线 与 轴交于点 .比较| |2与
| 1| | 2|的大小．
20.(本小题15分)
1
已知函数 ( ) = 2 ．
(Ⅰ)求 ( )的单调区间；
(Ⅱ)若函数 ( ) = | ( ) + 2 |， ∈ (0, +∞)存在最大值，求 的取值范围．
21.(本小题15分)
已知： ： 1， 2，…， 2( ≥ 2, ∈
)为有穷正整数数列，其最大项的值为 ，且当 = 0，1，…， 1
时，均有 + ≠ + (1 ≤ < ≤ ).设 0 = 0，对于 ∈ {0,1, … , 1}，定义 +1 = { | > , > }，
其中， 表示数集 中最小的数．
(Ⅰ)若 ：3，1，2，2，1，3，1，2，3，写出 1， 3的值；
(Ⅱ)若存在 满足： 1 + 2 + 3 = 11，求 的最小值；
(Ⅲ)当 = 2024时，证明：对所有 ， 2023 ≤ 20240．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】4
12.【答案】2
40
13.【答案】16
41

14.【答案】 1 ( , 0)(答案不唯一)
4
15.【答案】②③④
16.【答案】解：(Ⅰ) ∵ + √ 3 = 2 ，
∴由正弦定理得， + √ 3 = 2 ，
∵ ∈ (0, )，∴ ≠ 0，
∴ + √ 3 = 2，
1 √ 3
∴ + = 1，
2 2

∴ sin( + ) = 1，
3
4
∵ ∈ (0, )，∴ + ∈ ( , )，
3 3 3

∴ + = ，
3 2

∴ = ；
6

(Ⅱ) ∵ = ， = 2√ 3， + = 4，
6
√ 3
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，得 2 = 12 + (4 )2 2 × 2√ 3 × (4 ) × ，
2
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解得 = 2，
∴ = 2，
1 1 1
∴△ 的面积 = = × 2√ 3 × 2 × = √ 3．
2 2 2
17.【答案】解：(Ⅰ)证明：取 的中点 ，连接 ， ，
1
因为 为 的中点，所以 = ， // ，
2
因为 // ，所以 // ，所以 ， ， ， 四点共面．
因为 //平面 ，平面 ∩平面 = ，所以 // ，
所以 = .所以 = 2 ．
(Ⅱ)取 的中点 ，连接 ， ，
由(Ⅰ)知 = 2 ，所以 = ．
因为 // ，所以四边形 是平行四边形．
所以 = = 1， = ．
1
因为 = = 1，所以 = 1 = ，所以∠ = 90°，即 ⊥ ．
2
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选条件①： = ．
( )证明：因为 = = 1， = ，所以△ ≌△ ，所以∠ = ∠ ．
因为 ⊥ ，所以∠ = 90°，所以∠ = 90°，即 ⊥ .所以 ⊥平面 ．
( )由( )知 ⊥平面 ，所以 ⊥ ．
因为 ⊥ ， = 1，如图建立空间直角坐标系 ，
则 (0,0,1)， 1 √ 3 (0, √ 3, 0)， ( , , 0)，
2 2
所以 1 √ 3 1 √ 3 = ( , , 0)， = ( , , 1)， = (0, √ 3, 0)，
2 2 2 2
1 √ 3
= 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ = 0，即{ 2 2 ，
= 0 1 √ 3 + = 0
2 2
令 = √ 3，则 = 1， = √ 3，所以 = (√ 3, 1, √ 3)，

因为
√ 7
为平面 的法向量，且cos < ， >= = ，
| || | 7
所以二面角 的余弦值为 √ 7 ．
7
选条件③：∠ = ∠ ．
( )证明：所以 = .因为 = = 1， = ，所以△ ≌△ ．
所以∠ = ∠ = 90°，即 ⊥ .因为 ⊥ ，所以 ⊥平面 ．
(ⅱ)由( )知 ⊥平面 ，所以 ⊥ ．
因为 ⊥ ， = 1，如图建立空间直角坐标系 ，
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则 (0,0,1)
1 √ 3
， (0, √ 3, 0)， ( , , 0)，
2 2
所以 1 √ 3 1 √ 3 = ( , , 0)， = ( , , 1)， = (0, √ 3, 0)，
2 2 2 2
1 √ 3
= 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ = 0，即{ 2 2 ，
= 0 1 √ 3 + = 0
2 2
令 = √ 3，则 = 1， = √ 3，所以 = (√ 3, 1, √ 3)，
√ 7
因为 为平面 的法向量，且cos < ， >= = ，
| || | 7
所以二面角
√ 7
的余弦值为 ．
7
不可选条件②，理由如下：
由( )可得 ⊥ ，又 ⊥ ，
∩ = ， ， 平面 ，∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ，
∴ ⊥ 是由已知条件可推出的条件，
故不可选条件②．
18.【答案】解：(Ⅰ)当 = 35时，
( )由表可知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为10 + 35 = 45，
45
所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为 = 0.45，
100
所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为0.45；
( )根据题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频率
35 7
为 = ，
35+10 9
所以从该校学生活动成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，
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7
这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为 ，
9
同理，从该校学生活动成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估
2
计为 ，
9
由表可知 的所有可能取值为6，7，8，
7 7 49 7 2 28 2 2 4
( = 6) = × = ， ( = 7) = 2 × × = ， ( = 8) = × = ，
9 9 81 9 9 81 9 9 81
49 28 4 58
所以 的数学期望 ( ) = 6 × + 7 × + 8 × = ；
81 81 81 9
(Ⅱ)7．
19.【答案】解：(Ⅰ)由题意知 > 1，设 2 = ， 2 = 1，
则 2 = 2 2 = 1，
√ 2
因为 的离心率为 ，
2
所以 2 = 2 2，
即 = 2( 1)，
所以 = 2， = 1，
所以 的值为2，点 的坐标为(1,0)；
(Ⅱ)由题意可设 ( 0, 0)， ( 0, 0)( 0 0 ≠ 0)， (2, )， ( , 0)，则 0 < 2， 0 ≠ ，
20 + 2
2
0 = 2，①
因为 ⊥ ，
所以( 0 1, 0) (1, ) = 0，
1
所以 =
0，②
0
因为 ， ， 三点共线， 0 ∈ ( √ 2, 0) ∪ (0, √ 2)，
0
所以 = 0 ，③
2 0 0
2
由①②③可得 = ， 0
由(Ⅰ)可知 1( √ 2, 0)， 2(√ 2, 0)，
2 2 2
所以| |2 | 1| |
2 2
2| = ( 0 ) + 0 ( + √ 2)( √ 2) 0 0 0
2 2
= 2
4 4
0 4 + 2 + 1
0 2 + 2 =
0 1，
0 2 0 2
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2
所以| |2 | 01| | 2| = 1 < 0， 2
即| |2 < | 1| | 2|.
1
20.【答案】解：(Ⅰ)因为 ( ) = 2 ，
1 1 1
所以 ′( ) = 2 2 = 2 (1 )，
2 2
令 ′( ) = 0，得 = 2，
所以在( ∞, 2)上 ′( ) > 0， ( )单调递增，
在(2, +∞)上 ′( ) < 0， ( )单调递减，
所以函数 ( )的单调递增区间为( ∞, 2)，单调递减区间为(2, +∞)．
(Ⅱ)令 ( ) = ( ) + 2 ，则 ′( ) = ′( )，
由(Ⅰ)得，函数 ( )得单调递增区间为( ∞, 2)，单调递减区间为(2, +∞)，
所以 ( )在 = 2处取得最大值 (2) = 2 1 + 2 ，
1
所以当 > 2时， ( ) = 2 + 2 > 2 = (0)，
当0 < < 2时， ( ) > (0)，
即当 ∈ (0, +∞)时， ∈ ( (0), (2)]，
所以 ( ) = | ( )|在(0, +∞)上存在最大值的充分必要条件是|2 1 + 2 | ≥ | 2 |，
2 1+ 2 + 2
即 = 1 + 2 ≥ 0，
2
令 ( ) = 1 + 2 ，则 ′( ) = 1 + 2，
因为 ′( ) = 1 + 2 > 0，
所以 ( )是增函数，
因为 ( 1) = 2 2 = 0，
所以 ( ) = 1 + 2 ≥ 0的充要条件是 ≥ 1，
所以 的取值范围为[ 1, +∞)．
21.【答案】解：(Ⅰ)由 ：3，1，2，2，1，3，1，2，3， 0 = 0，
则 1 = { | > 0, > 0}，故 1 = 1，
2 = { | > 1, > 1}，故 2 = 3，
3 = { | > 3, > 2}，故 3 = 6；
(Ⅱ)由题意知 ≥ 3，
当 = 3时，因为 1 ≥ 1， 0 = 0，所以 1 = 1，
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因为 2 ≠ 3，且 2， 3均为正整数，
所以 2 > 1，或 3 > 1，
所以 2 ≤ 3，
因为 4， 5， 6是互不相等的正整数，所以必有一项大于2，
所以 3 ≤ 6，
所以 1 + 2 + 3 ≤ 10，不合题意，
当 = 4时，对于数列 ：4，1，3，2，1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，有 1 + 2 + 3 = 1 + 3 + 7 = 11，
综上所述， 的最小值为4．
(Ⅲ)证明：因为 +1 = { | > , > }， = 0，1，…，2023，
所以 +1 > ， = 0，1，…，2023，
( )若 +1 ≤ 2024，则当 < +1时，至少以下情况之一成立：
① ≤ ，这样的 至多有 个；
②存在 ≤ ， = ，这样的 至多有 个．
所以小于 +1的 至多有2 个，
所以 +1 ≤ + + 1 = 2 + 1，
令2 + 1 ≤ 2024，解得 + 1 ≤ 1012，
所以 1012 ≤ 2024；
(ⅱ)对 ∈ ，若 ≤ 2024 < +1，且2024 < + +1 ≤ 2024( + 1)，
因为 + +1 = { | > + , > + }，所以当 ∈ (2024 , + +1)时，至少以下情况之一成立：
① ≤ + ，这样的 至多有 + 个；
②存在 ， < ≤ + 且 = ，这样的 至多有 个．
所以 + + 1 ≤ 2024 + + + + 1 = 2024 + + 2 + 1．
2023 2025+
令 + 2 + 1 ≤ 2024，解得 ≤ [ ]，即 + + 1 ≤ [ ]，
2 2
其中[ ]表示不大于 的最大整数．
所以当 ≤ 2024 < +1时， 2025+ ≤ 2024( + 1)， [ ]
2
2025+
综上所述，定义 1 = 1012， +1 = [ ]，则 ≤ 2024 ， 2
依次可得： 2 = 1518， 3 = 1771， 4 = 1898， 5 = 1961， 6 = 1993，
7 = 2009， 8 = 2017， 9 = 2021， 10 = 2023．
所以 2023 ≤ 2024 × 10 = 20240．
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