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2024年北京市海淀区高考数学一模试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则的共轭复数是( )
A. B. C. D.
3.已知为等差数列，为其前项和若，公差，，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知向量满足，且，则( )
A. B. C. D.
5.若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
6.设，是两个不同的平面，，是两条直线，且，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则，的值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
8.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在第三象限则( )
A. B.
C. D.
9.函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，设是的导函数，则关于的不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
10.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规
律：黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉分叉的角度约为，再沿直线繁殖，；每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称，，若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径，单位：至少为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知，则 ______．
12.已知：，线段是过点的弦，则的最小值为______．
13.若，则 ______； ______．
14.已知函数，则 ______；函数的图象的一个对称中心的坐标为______．
15.已知函数，给出下列四个结论：
函数是奇函数；
，且，关于的方程恰有两个不相等的实数根；
已知是曲线上任意一点，，则；
设为曲线上一点，为曲线上一点若，则．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，．
Ⅰ求；
Ⅱ若，，求的面积．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，为的中点，平面．
Ⅰ求证：；
Ⅱ若，，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥存在且唯一确定．
求证：平面；
(ⅱ)设平面平面，求二面角的余弦值．
条件：；
条件：；
条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.本小题分
某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分现从该校随机抽取名学生，获得其科普测试成绩百分制，且均为整数及相应过程性积分数据，整理如下表：
科普测试成绩 科普过程性积分 人数
Ⅰ当时，
从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于分的概率；
(ⅱ)从该校科普测试成绩不低于分的学生中随机抽取名，记为这名学生的科普过程性积分之和，估计的数学期望；
Ⅱ从该校科普过程性积分不高于分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，上述名学生科普测试成绩的平均值记为若根据表中信息能推断恒成立，直接写出的最小值．
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为分别是的左、右顶点，是的右焦点．
Ⅰ求的值及点的坐标；
Ⅱ设是椭圆上异于顶点的动点，点在直线上，且，直线与轴交于点比较与的大小．
20.本小题分
已知函数．
Ⅰ求的单调区间；
Ⅱ若函数，存在最大值，求的取值范围．
21.本小题分
已知：：，，，为有穷正整数数列，其最大项的值为，且当，，，时，均有设，对于，定义，其中，表示数集中最小的数．
Ⅰ若：，，，，，，，，，写出，的值；
Ⅱ若存在满足：，求的最小值；
Ⅲ当时，证明：对所有，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. 答案不唯一
15.
16.解：Ⅰ，
由正弦定理得，，
，，
，
，
，
，，
，
；
Ⅱ，，，
由余弦定理，得，
解得，
，
的面积．
17.解：Ⅰ证明：取的中点，连接，，
因为为的中点，所以，，
因为，所以，所以，，，四点共面．
因为平面，平面平面，所以，
所以所以．
Ⅱ取的中点，连接，，
由Ⅰ知，所以．
因为，所以四边形是平行四边形．
所以，．
因为，所以，所以，即．
选条件：．
证明：因为，，所以≌，所以．
因为，所以，所以，即所以平面．
由知平面，所以．
因为，，如图建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以，
因为为平面的法向量，且，，
所以二面角的余弦值为．
选条件：．
证明：所以因为，，所以≌．
所以，即因为，所以平面．
(ⅱ)由知平面，所以．
因为，，如图建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以，
因为为平面的法向量，且，，
所以二面角的余弦值为．
不可选条件，理由如下：
由可得，又，
，，平面，平面，
平面，，
是由已知条件可推出的条件，
故不可选条件．
18.解：Ⅰ当时，
由表可知，科普过程性积分不少于分的学生人数为，
所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于分的频率为，
所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于分的概率估计为；
根据题意，从样本中成绩不低于分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为分的频率为，
所以从该校学生活动成绩不低于分的学生中随机抽取一名，
这名学生的科普过程性积分为分的概率估计为，
同理，从该校学生活动成绩不低于分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为分的概率估计为，
由表可知的所有可能取值为，，，
，，，
所以的数学期望；
Ⅱ．
19.解：Ⅰ由题意知，设，，
则，
因为的离心率为，
所以，
即，
所以，，
所以的值为，点的坐标为；
Ⅱ由题意可设，，，，则，，
，
因为，
所以，
所以，
因为，，三点共线，，
所以，
由可得，
由Ⅰ可知，，
所以
，
所以，
即
20.解：Ⅰ因为，
所以，
令，得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
Ⅱ令，则，
由Ⅰ得，函数得单调递增区间为，单调递减区间为，
所以在处取得最大值，
所以当时，，
当时，，
即当时，，
所以在上存在最大值的充分必要条件是，
即，
令，则，
因为，
所以是增函数，
因为，
所以的充要条件是，
所以的取值范围为．
21.解：Ⅰ由：，，，，，，，，，，
则，故，
，故，
，故；
Ⅱ由题意知，
当时，因为，，所以，
因为，且，均为正整数，
所以，或，
所以，
因为，，是互不相等的正整数，所以必有一项大于，
所以，
所以，不合题意，
当时，对于数列：，，，，，，，，，，，，，，，，有，
综上所述，的最小值为．
Ⅲ证明：因为，，，，，
所以，，，，，
若，则当时，至少以下情况之一成立：
，这样的至多有个；
存在，，这样的至多有个．
所以小于的至多有个，
所以，
令，解得，
所以；
(ⅱ)对，若，且，
因为，所以当时，至少以下情况之一成立：
，这样的至多有个；
存在，且，这样的至多有个．
所以．
令，解得，即，
其中表示不大于的最大整数．
所以当时，，
综上所述，定义，，则，
依次可得：，，，，，
，，，．
所以．
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