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2025高考数学一轮复习-10.6-事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-专项训练
【A级　基础巩固】
1.在一段时间内,若甲去参观市博物馆的概率为0.6,乙去参观市博物馆的概率为0.5,且甲、乙两人各自行动,则在这段时间内,甲、乙两人至少有一个去参观市博物馆的概率是(　　)
A.0.3 B.0.32
C.0.8 D.0.84
2.甲每天在6:30至6:50出发去上班,其中在6:30至6:40出发的概率为0.3,在该时间段出发上班迟到的概率为0.1;在6:40至6:50出发的概率为0.7,在该时间段出发上班迟到的概率为0.2,则甲某天在6:30至6:50出发上班迟到的概率为(　　)
A.0.13 B.0.17 C.0.21 D.0.3
3.已知P(B)=0.4,P(B|A)=0.8,P(B|)=0.3,则P(A)等于(　　)
A. B.
C. D.
4.在高三复习经验交流会上,共有3名女同学和6名男同学进行发言.现用抽签的方式决定发言顺序,事件Ak(1≤k≤9,k∈N*)表示“第k个发言的是女同学”,则P(A8|A2)等于(　　)
A. B.
C. D.
5.羽毛球单打实行“三局两胜”制(无平局),甲、乙两人争夺比赛的冠军.甲在每局比赛中获胜的概率均为,且每局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的条件下,比赛进行了三局的概率为(　　)
A. B.
C. D.
6.已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,如果A与B互斥,令m=P(AB);如果A与B相互独立,令n=P(A),则n-m=　　　　.
7.某小组有20名射手,其中一、二、三、四级射手分别为2,6,9,3名.又若选一、二、三、四级射手参加比赛,则在比赛中射中目标的概率分别为0.85,0.64,0.45,0.32,今随机选一人参加比赛,则该小组比赛中射中目标的概率为　　　　.
8.有一批同规格的产品,由甲、乙、丙三家工厂生产,其中甲、乙、丙工厂分别生产3 000件,3 000件,4 000件,而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%,5%,5%,现从这批产品中任取一件,则
(1)取到次品的概率为　　　　;
(2)若取到的是次品,则其来自甲厂的概率为　 .
9.某企业使用新技术对某款芯片进行试生产.在试产初期,该款芯片的生产有四道工序,前三道工序的生产互不影响,第四道是检测评估工序,包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中,前三道工序的次品率分别为P1=,P2=,P3=.
(1)求该款芯片在进入第四道工序前的次品率;
(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰,合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验.在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下,求工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品的概率.
【B级　能力提升】
10.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则(　　)
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大
11.甲的手机购物平台经常出现她喜欢的商品,这是电商平台推送的结果,假设电商平台第一次给甲推送某商品时,她购买此商品的概率为;从第二次推送起,若前一次不购买此商品,则此次购买的概率为;若前一次购买了此商品,则此次仍购买的概率为,那么电商平台在第二次推送时,甲不购买此商品的概率为　　　　.
12.甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为,且每场比赛结果互不影响.
(1)求甲连胜四场的概率;
(2)求需要进行第五场比赛的概率;
(3)求丙最终获胜的概率.
13.在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图.
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率;
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.000 1).
【C级　应用创新练】
现有一堆橙子用一台水果筛选机进行筛选,已知这一批橙子中大果与小果比例为3∶2,这台筛选机将大果筛选为小果的概率为0.02,将小果筛选为大果的概率为0.05.经过一轮筛选后,从筛选出来的“大果”里随机取一个,则这个“大果”是真的大果的概率为　 .
参考答案
【A级　基础巩固】
1.解析:依题意,在这段时间内,甲、乙都不去参观市博物馆的概率为P1=(1-0.6)×(1-0.5)=0.2,所以在这段时间内,甲、乙两人至少有一个去参观市博物馆的概率P=1-P1=1-0.2=0.8.故选C.
2.解析:由题意,在6:30至6:50出发上班迟到的概率为0.3×0.1+0.7×0.2=0.17.故选B.
3.解析:P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|),
即0.4=0.8P(A)+0.3[1-P(A)],
解得P(A)=0.2=.故选D.
4.解析:由题意,P(A8A2)===,P(A2)==,
所以P(A8|A2)===.故选A.
5.解析:甲获得冠军的概率为×+××+××=,
甲获得冠军,且比赛进行了三局,对应概率为××+××=,
所以在甲获得冠军的条件下,比赛进行了三局的概率为÷=.
故选A.
6.解析:因为P(A)=0.5,P(B)=0.2,
如果A与B互斥,则m=P(AB)=0,
如果A与B相互独立,n=P(A)=P(A)P()=0.5×(1-0.2)=0.4,
则n-m=0.4.
答案:0.4
7.解析:设B表示“该小组比赛中射中目标”,Ai(i=1,2,3,4)表示“选i级射手参加比赛”,则P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=×0.85+×0.64+×
0.45+×0.32=0.527 5.
答案:0.527 5
8.解析:设“任取一件产品来自甲厂”为事件A1,“任取一件产品来自乙厂”为事件A2,“任取一件产品来自丙厂”为事件A3,则A1,A2,A3彼此互斥,且A1∪A2∪A3=Ω,
P(A1)==,
P(A2)==,
P(A3)==,
设“任取一件产品,取到的是次品”为事件B,
则P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)
=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=×6%+×5%+×5%=.
如果取到的零件是次品,
那么它是来自甲厂的概率为P(A1|B)====.
答案:(1)　(2)
9.解:(1)该款芯片在进入第四道工序前的次品率
P=1-(1-)×(1-)×(1-)=.
(2)设“该款芯片智能自动检测合格”为事件A,“人工抽检合格”为事件B,则P(A)=,P(AB)=1-=,则工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品的概率P(B|A)===.
【B级　能力提升】
10.解析:法一　设棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P甲,在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为P乙,在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P丙,由题意可知,
P甲=2p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=2p1p2+2p1p3-4p1p2p3,
P乙=2p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=2p1p2+2p2p3-4p1p2p3,
P丙=2p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=2p1p3+2p2p3-4p1p2p3.
所以P丙-P甲=2p2(p3-p1)>0,P丙-P乙=2p1(p3-p2)>0,所以P丙最大.故选D.
法二(特殊值法)　不妨设p1=0.4,p2=0.5,p3=0.6,则该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率P甲=2p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=0.4;在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率P乙=2p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=0.52;在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率P丙=2p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=0.6.所以P丙最大.故选D.
11.解析:设事件A表示“电商平台第一次给甲推送某商品,她购买了此商品”,则事件表示“电商平台第一次给甲推送某商品,她未购买此商品”,事件B表示“电商平台第二次给甲推送某商品,她购买了此商品”,则事件表示“电商平台第二次给甲推送某商品,她未购买此商品”,由P(A)=,可知P()=1-P(A)=,由P(B|)=,可知P(|)=
1-P(B|)=,由P(B|A)=,可知P(|A)=1-P(B|A)=,
电商平台在第二次推送时,
甲不购买此商品的概率P()=P(A)·P(|A)+P()P(|)=×+×
=.
答案:
12.解:(1)甲连胜四场只能是前四场全胜,则P1=()4=.
(2)记事件A为“甲输”,事件B为“乙输”,事件C为“丙输”,故四场后结束比赛的概率
P=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BCBC)+P(BABA)=4×()4=,
故需要进行第五场比赛的概率P2=1-=.
(3)法一　记事件M为“甲最终获胜”,记事件N为“丙最终获胜”,则甲最终获胜的情况有BCBC,ABCBC,ACBCB,BABCC,BACBC,
BCACB,BCABC,BCBAC,则甲最终获胜的概率为P(M)=()4+()5×7=;
由对称性可知乙最终获胜的概率和甲最终获胜的概率相等,
所以丙最终获胜的概率P(N)=1-2×=.
法二　①只打四场比赛,此时丙只需赢三场,即第二场至第四场,其概率为()3=,
②打五场比赛,最后一场丙赢,则丙在第二、第三、第四场比赛必然输一场,因此需分情况进行讨论:
(ⅰ)若丙第二场输,则第四场和第五场丙赢,其概率为()3=;
(ⅱ)若丙第三场输,则第二场和第五场丙赢,其概率为()3=;
(ⅲ)若丙第四场输,则前三场必有一人被淘汰,其概率为2×()5=.
综上所述,丙获胜的概率P=+++=.
13.解:(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄=10×(5×0.001+15×
0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+
75×0.006+85×0.002)=47.9.
(2)法一　由于患者的年龄位于区间[20,70)是由患者的年龄位于区间[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70)组成的,且互斥,所以所求的概率P=(0.012+0.017×2+0.023+0.020)×10=0.89.
法二　由于患者的年龄位于区间[20,70)是由患者的年龄位于区间[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70)组成的,且互斥,所以所求的概率P=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=0.89.
(3)设“从该地区任选一人,年龄位于区间[40,50)”为事件A,“患这种疾病”为事件B,则P(A)=16%,
由频率分布直方图知这种疾病患者年龄位于区间[40,50)的概率为0.023×10=0.23,
结合该地区这种疾病的患病率为0.1%,
可得P(AB)=0.1%×0.23=0.000 23,
所以从该地区任选一人,若年龄位于区间[40,50),则此人患这种疾病的概率为P(B|A)==≈0.001 4.
【C级　应用创新练】
14.解析:根据题意,记事件A1=“放入水果筛选机的橙子为大果”,事件A2=“放入水果筛选机的橙子为小果”,事件B=“水果筛选机筛选的橙子为大果”,可得P(A1)=,P(A2)=,
且P(B|A1)=1-0.02=,P(B|A2)=0.05=,
则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=,
P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=×=,所以P(A1|B)==,即从筛选出来的“大果”里随机取一个,则这个“大果”是真的大果的概率为.
答案:2025高考数学一轮复习-10.8-二项分布、超几何分布与正态分布-专项训练
【A级　基础巩固】
1.若X～B(10,),则P(X≥2)等于(　　)
A. B.
C. D.
2.设随机变量ξ服从正态分布,ξ的正态曲线如图所示,若P(ξ≤0)=p,则P(0<ξ<1)与D(ξ)分别为(　　)
A.-p, B.p,
C.-p, D.p,
3.已知在10件产品中可能存在次品,从中抽取2件检查,记次品数为X,已知P(X=1)=,且该产品的次品率不超过30%,则这10件产品中次品数n为(　　)
A.1 B.2
C.8 D.2或8
4.设口袋中有黑球、白球共7个,从中任取2个球,已知取到白球个数的数学期望为,则口袋中白球的个数为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
5.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10 100),其中A的各位数中ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为,记X=a2+a3+a4+a5,则当程序运行一次时,下列选项错误的是(　　)
A.X服从二项分布
B.P(X=1)=
C.X的均值E(X)=
D.X的方差D(X)=
6.已知离散型随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=3-4P(X=1),则随机变量X的方差为　　　　.
7.某市高三年级男生的身高X(单位:cm)近似服从正态分布N(175,σ2),已知P(175≤X<180)=0.2,若P(X≤a)∈[0.3,0.5].写出一个符合条件的a的值为　 .
8.春天即将来临,某学校开展以“拥抱春天,播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成活的概率为p,各株是否成活相互独立.该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株,设X为其中成活的株数,若X的方差D(X)=2.1,P(X=3)9.盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个,随机一次取出3个小球.
(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率;
(2)记取出的3个小球上的最小数字为X,求X的分布列及数学期望E(X).
【B级　能力提升】
10.(多选题)一个袋子中有10个大小相同的球,其中有4个红球、6个黑球,试验一:从中随机地有放回摸出3个球,记取到红球的个数为X1,期望和方差分别为E(X1),D(X1);试验二:从中随机地无放回摸出3个球,记取到红球的个数为X2,期望和方差分别为E(X2),D(X2),则(　　)
A.E(X1)=E(X2) B.E(X1)>E(X2)
C.D(X1)>D(X2) D.D(X1)11.(多选题)某同学每天7:00从家里出发去学校,有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时30分钟,样本方差为36;骑自行车平均用时34分钟,样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布,则(　　)
A.P(X>32)>P(Y>32)
B.P(X≤36)=P(Y≤36)
C.该同学计划7:34前到校,应选择坐公交车
D.该同学计划7:40前到校,应选择骑自行车
12.如图,每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子,上一层每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间,从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白球,白球向下降落的过程中,首先碰到最上面的钉子,碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下,于是又碰到下一层钉子.如此继续下去.直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球,则下列说法正确的是　　　　.(填字母)
A.小球从起点到第③个格子一共跳6次;
B.小球从起点到第③个格子一共跳7次;
C.小球落在第③个格子的概率为;
D.小球落在第③个格子的概率为.
13.某工厂一台设备生产一种特定零件,工厂为了解该设备的生产情况,随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标(单位:cm),经统计得到下面的频率分布直
方图.
(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差s2;
(用每组的中点代表该组的均值)
(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布
N(μ,σ2),用直方图的平均数估计值作为μ的估计值,用直方图的标准差估计值s作为σ的估计值.
①为了监控该设备的生产过程,每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标,如果出现了关键指标在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就认为生产过程可能出现了异常,需停止生产并检查设备.下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标:
0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83
利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备;
②若设备状态正常,记X表示一个生产周期内抽取的10个零件的关键指标在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件个数,求P(X≥1)及X的数学
期望.
参考公式:直方图的方差s2=(xi-)2pi,其中xi为各区间的中点,pi为各组的频率.
参考数据:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3,≈0.105,0.997 310≈0.973 3.
【C级　应用创新练】
14.某商场推出一种抽奖活动:盒子中装有有奖券和无奖券共10张券,客户从中任意抽取2张,若至少抽中1张有奖券,则该客户中奖,否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动,一个月(30天)下来,发现自己共中奖11次,根据这个结果,估计盒子中的有奖券有(　　)
A.1张 B.2张 C.3张 D.4张
参考答案
【A级　基础巩固】
1.解析:P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1--=.故选A.
2.解析:根据题意,P(ξ≤0)=p,且正态曲线关于直线x=1对称,
则P(0<ξ<1)=-p,
由正态曲线得ξ～N(1,()2),
所以D(ξ)=()2=.故选C.
3.解析:由P(X=1)=得,=,
化简得n2-10n+16=0,
解得n=2或n=8,
又该产品的次品率不超过30%,
所以n≤3,应取n=2.故选B.
4.解析:法一　设口袋中有白球x个,由已知可得取得白球个数ξ的可能取值为0,1,2,则ξ服从超几何分布,P(ξ=k)=(k=0,1,2),
所以P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=.
所以E(ξ)=+=.
所以x(7-x)+x(x-1)=×21=18,
所以6x=18,所以x=3.故选B.
法二　依题意,取得白球个数ξ服从超几何分布,设口袋中有白球x个,则E(ξ)==,所以x=3.故选B.
5.解析:由二进制数的特点知每个数位上的数字只能填0,1,且每个数位上的数字互不影响,故二进制数A中后4位数字和的所有结果有5种情况:
①后4个数位出现4个0,X=0,
记其概率为P(X=0)=()4=;
②后4个数位出现1个1,X=1,
记其概率为P(X=1)=×()×()3=;
③后4个数位出现2个1,X=2,
记其概率为P(X=2)=×()2×()2=;
④后4个数位出现3个1,X=3,
记其概率为P(X=3)=×()3×()=;
⑤后4个数位出现4个1,X=4,
记其概率为P(X=4)=()4=,
所以X～B(4,),故A选项和B选项正确;
E(X)=4×=,故C正确;
D(X)=4××=,故D错误.故选D.
6.解析:设P(X=1)=p,则P(X=0)=1-p,
由题意1-p=3-4p,解得p=,
所以D(X)=×=.
答案:
7.解析:因为X～N(175,σ2),
且P(175≤X<180)=0.2,
则P(X≤170)=P(X≥180)=0.5-0.2=0.3,且P(X≤175)=0.5,
故若P(X≤a)∈[0.3,0.5],则a∈[170,175].
故a的值可为172([170,175]中的任意一个数均可).
答案:172([170,175]中的任意一个数均可)
8.解析:由题意可知X～B(10,p),
所以
即
所以p=0.7.
答案:0.7
9.解:(1)P==.
(2)依题意X的所有可能取值为1,2,3,
P(X=3)=+=,
P(X=2)=+=,
P(X=1)=1-P(X=3)-P(X=2)=1--=.
故X的分布列为
X 1 2 3
P
X的数学期望
E(X)=1×+2×+3×==.
【B级　能力提升】
10.解析:从中随机地有放回摸出3个球,则每次摸到红球的概率为=,则X1～B(3,),
故E(X1)=3×=,
D(X1)=3××=.
从中随机地无放回摸出3个球,记红球的个数为X2,则X2的所有可能取值是0,1,2,3,
则P(X2=0)==,
P(X2=1)==,
P(X2=2)==,
P(X2=3)==.
所以随机变量X2的分布列为
X2 0 1 2 3
P
E(X2)=0×+1×+2×+3×=,
D(X2)=(0-)2×+(1-)2×+(2-)2×+(3-)2×=,
故E(X1)=E(X2),D(X1)>D(X2).故选AC.
11.解析:由条件可知X～N(30,62),Y～N(34,22),根据对称性可知P(Y>32)>0.5>P(X>32),故A错误;
P(X≤36)=P(X≤μ+σ),P(Y≤36)=P(Y≤μ+σ),所以P(X≤36)=
P(Y≤36),故B正确;
P(X≤34)>0.5=P(Y≤34),故C正确;
P(X≤40)12.解析:小球在下落的过程中,向左与向右的概率相同,各为,向右的次数服从二项分布,小球落在第③个格子一共跳7次,需要向左5次,向右 2次,所以小球落在第③个格子的概率P=()2×()5=,故B和C中的说法正确.
答案:BC
13.解:(1)由频率分布直方图,得
=0.8×0.1+0.9×0.2+1×0.35+1.1×0.3+1.2×0.05=1.
s2=(0.8-1)2×0.1+(0.9-1)2×0.2+(1-1)2×0.35+(1.1-1)2×0.3+
(1.2-1)2×0.05=0.011.
(2)①由(1)可知=1,=≈0.105,
所以-3≈1-0.315=0.685,
+3≈1+0.315=1.315,
显然抽测中的零件指标1.33>1.315,
故需停止生产并检查设备.
②抽测一个零件的关键指标在[μ-3σ,μ+3σ]之内的概率约为0.997 3,
所以抽测一个零件的关键指标在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率约为1-0.997 3=0.002 7,
故X～B(10,0.002 7),
所以P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 310≈1-0.973 3=0.026 7,
X的数学期望E(X)=10×0.002 7=0.027.
【C级　应用创新练】
14.解析:设中奖的概率为p,30天中奖的天数为X,则X～B(30,p),
若盒子中的有奖券有1张,
则中奖的概率p==,
E(X)=30×=6;
若盒子中的有奖券有2张,
则中奖的概率p==,
E(X)=30×=;
若盒子中的有奖券有3张,
则中奖的概率p==,
E(X)=30×=16;
若盒子中的有奖券有4张,
则中奖的概率p==,
E(X)=30×=20,根据题意,若盒子中的有奖券有2张,更有可能30天中奖11次.故选B.2025高考数学一轮复习-10.5-古典概型、概率的基本性质-专项训练
【A级　基础巩固】
1.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
2.在一个不透明的容器中有6个小球,其中有4个黄球、2个红球,它们除颜色外完全相同,如果一次随机取出2个球,那么至少有1个红球的概率为(　　)
A. B.
C. D.
3.在一次随机试验中,事件A1,A2,A3发生的概率分别是0.2,0.3,0.5,则下列说法正确的是(　　)
A.A1∪A2与A3是互斥事件,也是对立事件
B.(A1∪A2)∪A3是必然事件
C.P(A2∪A3)=0.8
D.P(A1∪A2)≤0.5
4.甲、乙、丙三人玩传球游戏,每个人都等可能地把球传给另一人,由甲开始传球,作为第一次传球,经过3次传球后,球回到甲手中的概率为(　　)
A. B.
C. D.
5.从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形,则所得三角形是直角三角形的概率为(　　)
A. B.
C. D.
6.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为　　　　.
7.已知A,B为两个事件,P(A)=,P(B)=,写出P(AB)的一个可能的值为　　　　.
8.一个盒子里装有除颜色外完全相同的6个小球,其中有编号分别为1,2,3,4的红球4个,编号分别为4,5的白球2个,从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同).则在取出的3个小球中,小球编号最大值为4的概率是　　　　.
9.某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位:毫米)有关.据统计,当X=70时,Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近
20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,
160,200,140,110,160,220,140,160.
(1)完成如下的频率分布表;
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于
490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率.
【B级　能力提升】
10.(多选题)一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的四个球,除了标号外没有其他差异,现采用不放回方式从中任意摸球两次,设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”,事件B=“第二次摸出球的标号小于3”,则下列选项正确的是(　　)
A.P(A)= B.P(A∪B)=
C.P(AB)= D.P(B)=
11.某家族有X,Y两种遗传性状,该家族某成员出现X性状的概率为,出现Y性状的概率为,X,Y两种性状都不出现的概率为,则该成员X,Y两种性状都出现的概率为(　　)
A. B. C. D.
12.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33名成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.现随机选取一名成员,则他至少参加2个小组的概率为　　　　,他至多参加2个小组的概率为　 .
13.某学校团委组织了一次知识讲座活动,活动结束后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查,其中男生与女生的人数之比为1∶1,抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意,女生中有30名对讲座活动不满意.
(1)完成下面的2×2列联表,并依据小概率值α=0.1的独立性检验判断能否认为对讲座活动是否满意与性别有关;
性别 满意情况 合计
满意 不满意
男生
女生
合计 120
(2)从被调查的对讲座活动满意的学生中,利用分层随机抽样的方法抽取7名学生,再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会,求其中恰好抽中2名男生与1名女生的概率.
参考数据:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
14.研究表明,温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应,从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化.某数学建模兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒学生人数多少之间的关系,他们记录了某周连续六天的温差,查阅了这六天中每天新增患感冒而去校医室就诊的学生人数,得到数据如表所示.
日期 昼夜温 差x/℃ 新增就诊 人数y
第一天 4 y1
第二天 7 y2
第三天 8 y3
第四天 9 y4
第五天 14 y5
第六天 12 y6
参考数据:=3 160,(yi-)2=256,(xi-)(yi-)=120.
(1)已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有6名女生,从第一天新增的患感冒而就诊的学生中随机抽取3名,若抽取的3人中至少有一名男生的概率为,求y1的值;
(2)求出y关于x的经验回归方程=x+,且据此估计昼夜温差为16 ℃时,该校新增患感冒而就诊的学生人数(用四舍五入法,结果保留整数).
附:=,=-.
【C级　应用创新练】
15.甲、乙两人分别投掷两枚骰子与一枚骰子,设甲的两枚骰子的点数分别为a与b,乙的骰子的点数为c,则|a-b|=c的概率为　　　　(用最简分数表示).
参考答案
【A级　基础巩固】
1.解析:记“抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数”为事件A,用数组(x,y)表示可能的情况,x表示第一张卡片上的数字,y表示第二张卡片上的数字,
则事件A共包含以下10种情况:
(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),
而有放回连续抽取2张卡片共有5×5=25(种)不同情况,
则P(A)==.故选D.
2.解析:一次随机取出2个球,样本点总数为=15,至少有1个红球包含的样本点个数为+=9,所以至少有1个红球的概率P==.
故选B.
3.解析:由事件A1,A2,A3不一定两两互斥,
所以P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)≤0.5,
P(A2∪A3)=P(A2)+P(A3)-P(A2A3)≤0.8,且P[(A1∪A2)∪A3]≤1,
所以(A1∪A2)∪A3不一定是必然事件,无法判断A1∪A2与A3是不是互斥或对立事件,
所以A,B,C中说法错误.故选D.
4.解析:甲、乙、丙三人用a,b,c表示,由题意可知,传球的方式有以下形式,
(a,b,a,b),(a,b,a,c),(a,b,c,a),(a,b,c,b),(a,c,a,b),(a,c,a,c),
(a,c,b,a),(a,c,b,c),
故所求概率为=.故选C.
5.解析:任选3个不同顶点可有种情况,即共有20个三角形,
其中直角三角形有△ABD,△ABE,△BCF,△BCE,△ACD,△CDF,△BDE,△ADE,△ACF,△BEF,△CEF,△ADF,共12个,
故所得三角形是直角三角形的概率为=.
故选C.
6.解析:从甲、乙等5名同学中随机选3名,有种情况,其中甲、乙都入选有种情况,所以甲、乙都入选的概率P==.
答案:
7.解析:因为P(A)=,P(B)=,
所以≤P(A∪B)≤1,
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-P(AB)=-P(AB),
即≤-P(AB)≤1,
解得≤P(AB)≤.
答案:(答案不唯一)
8.解析:基本事件总数n==20,若编号为4的两个球有一个被取到,有·=6种取法;若编号为4的两个球都被取到,有=3种取法.
故小球编号最大值为4的基本事件数为9,所以小球编号最大值为4的概率为.
答案:
9.解:(1)在所给数据中,降雨量为110毫米的有3个,为160毫米的有
7个,为200毫米的有3个.故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
(2)根据题意,Y=460+×5=+425,
故P(发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时)=P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210)=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)=++=.
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为.
【B级　能力提升】
10.解析:采用不放回方式从中任意摸球两次,用数组(x,y)表示可能的情况,x表示第一次摸出球的标号,y表示第二次摸出球的标号,则所有的情况有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),
(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共12种,
对于A选项,事件A包含的情况有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),
(2,4),共6种,则P(A)==,A错误;
对于B选项,事件A∪B包含的情况有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),
(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),共10种,则P(A∪B)==,
B正确;
对于C选项,事件AB包含的情况有(1,2),(2,1),共2种,故P(AB)=
=,C正确;
对于D选项,事件B包含的情况有(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),
(4,2),共6种,故P(B)==,D错误.故选BC.
11.解析:记该家族某成员出现X性状为事件A,出现Y性状为事件B,则X,Y两种性状都不出现为事件∩,两种性状都出现为事件A∩B,
所以P(A)=,P(B)=,P(∩)=,所以P(A∪B)=1-P(∩)=,
又因为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),所以,P(A∩B)=P(A)+P(B)-
P(A∪B)=.故选B.
12.解析:记“恰好参加2个小组”为事件A,“恰好参加3个小组”为事件B,随机选取一名成员,恰好参加2个小组的概率P(A)=++=,恰好参加3个小组的概率P(B)==,则至少参加2个小组的概率为P(A)+P(B)=+=,至多参加2个小组的概率为1-P(B)=1-=.
答案:　
13.解:(1)2×2列联表如表所示.
性别 满意情况 合计
满意 不满意
男生 40 20 60
女生 30 30 60
合计 70 50 120
零假设为H0:对讲座活动是否满意与性别无关.根据列联表中数据,
经计算得χ2==≈3.429>2.706=x0.1,根据小概率值α=0.1的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为对讲座活动是否满意与性别有关.
(2)由(1)知,在样本中对讲座活动满意的学生有70人,从中抽取7人,
“男生满意”的人中抽取40×=4(人),
“女生满意”的人中抽取30×=3(人),
记“恰好抽中2名男生与1名女生”为事件A,则P(A)==,所以恰好抽中2名男生与1名女生的概率为.
14.解:(1)依题意,1-=,
整理得=,
即y1(y1-1)(y1-2)=720=10×9×8,
解得y1=10,所以y1的值是10.
(2)由题表知,xi=54,即=9,
则(xi-)2=(-5)2+(-2)2+(-1)2+02+52+32=64,
于是===,
又(yi-)2=-2·yi+6=-6=256,解得 =22,
因此=-=22-×9=,
则=+x,
当x=16时,=+×16≈35,
所以可以估计,昼夜温差为16 ℃时,该校新增患感冒而就诊的学生人数为35.
【C级　应用创新练】
15.解析:甲、乙两人分别投掷两枚骰子与一枚骰子,设甲的两枚骰子的点数分别为a与b,乙的骰子的点数为c,则样本点总数n=6×6×6=216.
掷出的点数满足|a-b|=c包含的样本点(a,b,c)有:
(1,2,1),(2,1,1),(3,2,1),(2,3,1),(3,4,1),(4,3,1),(4,5,1),
(5,4,1),(5,6,1),(6,5,1),(1,3,2),(3,1,2),(2,4,2),(4,2,2),
(3,5,2),(5,3,2),(4,6,2),(6,4,2),(1,4,3),(4,1,3),(2,5,3),
(5,2,3),(3,6,3),(6,3,3),(1,5,4),(5,1,4),(2,6,4),(6,2,4),
(1,6,5),(6,1,5),共30个,所以掷出的点数满足|a-b|=c的概率P==.
答案:2025高考数学一轮复习-10.1-分类加法计数原理与分步乘法计数原理-专项训练
【A级　基础巩固】
1.乘积(a1+a2+a3+a4)(b1+b2+b3)展开后的项数有(　　)
A.7项 B.9项
C.12项 D.16项
2.为了丰富学生的课余生活,某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程,甲、乙、丙3名学生从中各自任选一门活动课程参加,则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有(　　)
A.120种 B.150种
C.210种 D.216种
3.有不同的漫画书9本,不同的历史书7本,不同的科学书5本,从中选出不属于同一类的书2本,则不同的选法有(　　)
A.21种 B.315种 C.143种 D.153种
4.用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)
A.243 B.252 C.261 D.279
5.古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界,画出形状相同的两个阴阳鱼,阳鱼的头部有个阴眼,阴鱼的头部有个阳眼,表示万物都在相互转化,互相渗透,阴中有阳,阳中有阴,阴阳相合,相生相克,蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律,由八卦模型图可抽象得到正八边形,从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形,其中梯形的个数为(　　)
A.8 B.16 C.24 D.32
6.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为　　　　.
7.三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过
4次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有　　　　种.
8.从-1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2+bx+c的系数,可组成不同的二次函数共有　　　个,其中不同的偶函数共有　　　　个.(用数字作答)
9.现有高二学生共34人,其中来自一、二、三、四班的各有7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组.
(1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法
(2)从每班学生中各选一名组长,有多少种不同的选法
(3)推选二人作中心发言,这二人需来自不同的班级,有多少种不同的选法
【B级　能力提升】
10.(多选题)已知集合A={-1,2,3,4},a,b∈A,则对于方程+=1的说法正确的是(　　)
A.可表示3个不同的圆
B.可表示6个不同的椭圆
C.可表示3个不同的双曲线
D.表示焦点位于x轴上的椭圆有3个
11.据史书的记载,最晚在春秋末年,人们已经掌握了完备的十进位制计数法,普遍使用了算筹这种先进的计算工具.算筹计数的表示方法为:个位用纵式,十位用横式,百位再用纵式,千位再用横式,以此类推,遇零则置空.如图所示:
如:26记为=,71记为│.现有4根算筹,可表示出两位数的个数为(　　)
A.8 B.9 C.10 D.12
12.如图所示,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C,D中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有　　　　种.
13.假设今天是4月23日,某市未来六天的空气质量预报情况如表所示.该市有甲、乙、丙三人计划在未来六天(4月24日—4月29日)内选择一天出游,现有以下条件:①甲只选择空气质量为优的一天出游;②乙不选择4月27日出游;③丙不选择4月24日出游;④甲与乙不选择同一天出游,从这四个条件中任选三个,求这三人出游的不同方法的种数(所有情况都要求解).
未来六天空气质量预报
4月 24日 4月 25日 4月 26日 4月 27日 4月 28日 4月 29日
优 优 优 优 良 良
【C级　应用创新练】
集合A1,A2满足A1∪A2=A,则称(A1,A2)为集合A的一种分拆,并规定:当且仅当A1=A2时,(A1,A2)与(A2,A1)为集合A的同一种分拆,则集合A={a,b,c}的不同分拆种数为多少
参考答案
【A级　基础巩固】
1.解析:依题意从第一个括号中选一个字母有4种情况,从第二个括号中选一个字母有3种情况,按照分步乘法计数原理可得展开后的项数为4×3=12(项).故选C.
2.解析:依题意,每名学生都有6种选择方法,所以这3名学生所选活动课程不全相同的选法有63-6=210(种).故选C.
3.解析:选出不属于同一类的书2本,可分三类,
第一类:漫画、历史各1本,共有9×7=63(种);
第二类:漫画、科学各1本,共有9×5=45(种);
第三类:历史、科学各1本,共有7×5=35(种).
因此共有63+45+35=143(种)不同选法.
故选C.
4.解析:0,1,2,…,9共能组成9×10×10=900(个)三位数,
其中无重复数字的三位数有9×9×8=648(个),
故有重复数字的三位数有900-648=252(个).故选B.
5.解析:因梯形的上、下底平行且不相等,如图,
若以AB为底边,则可构成2个梯形,根据对称性可知此类梯形有
16个,
若以AC为底边,则可构成1个梯形,此类梯形共有8个,
所以梯形的个数是16+8=24.故选C.
6.解析:以1为首项的等比数列为1,2,4或1,3,9;
以2为首项的等比数列为2,4,8;
以4为首项的等比数列为4,6,9.
把这四个数列顺序颠倒,又得到四个新数列,
所以所求的数列共有2×(2+1+1)=8(个).
答案:8
7.解析:分两类:甲第一次踢给乙时,满足条件的有3种方法(如图),
同理,甲先踢给丙时,满足条件的有3种方法.由分类加法计数原理,共有3+3=6(种)传递方式.
答案:6
8.解析:可组成不同的二次函数共有3×3×2=18(个).
函数为偶函数,则b=0,共有3×2=6(个).
答案:18　6
9.解:(1)根据题意,要求从34人中,选其中一人为负责人,即有34种
选法.
(2)根据题意,分析可得:
从一班选一名组长,有7种情况,
从二班选一名组长,有8种情况,
从三班选一名组长,有9种情况,
从四班选一名组长,有10种情况,
所以每班选一名组长,不同的选法共有7×8×9×10=5 040(种).
(3)根据题意,分六种情况讨论,
①从一、二班学生中各选1人,有7×8种不同的选法;
②从一、三班学生中各选1人,有7×9种不同的选法;
③从一、四班学生中各选1人,有7×10种不同的选法;
④从二、三班学生中各选1人,有8×9种不同的选法;
⑤从二、四班学生中各选1人,有8×10种不同的选法;
⑥从三、四班学生中各选1人,有9×10种不同的选法.
所以不同的选法共有7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431(种).
【B级　能力提升】
10.解析:当a=b>0时,方程+=1表示圆,故有3个,选项A正确;当a≠b且a,b>0时,方程+=1表示椭圆,焦点在x,y轴上的椭圆各有3个,
故共有3×2=6(个),选项B正确;若椭圆的焦点在x轴上,则a>b>0,当a=4时,b=2,3;当a=3时,b=2,即所求的椭圆共有2+1=3(个),选项D正确;当ab<0时,方程+=1表示双曲线,故有3×1+1×3=6(个),选项C错误.故选ABD.
11.解析:由题意知,共有4根算筹.
当十位1根,个位3根,共有2个两位数;
当十位2根,个位2根,共有4个两位数;
当十位3根,个位1根,共有2个两位数;
当十位4根,个位0根,共有2个两位数.
所以一共有10个两位数.故选C.
12.解析:按要求涂色至少需要3种颜色,故分两类:一是4种颜色都用,这时A有4种涂法,B有3种涂法,C有2种涂法,D有1种涂法,共有4×3×2×1=24(种)涂法;二是用3种颜色,这时A,B,C的涂法有4×3×2=24(种),D只要与A或B同色即可,故D有2种涂法.所以不同的涂法共有24+24×2=72(种).
答案:72
13.解:分4种情况.
(1)若选择①②③,则三人出游的不同方法的种数为4×5×5=100.
(2)若选择①②④,则需分两类,
第一类:若甲选择4月27日出游,则三人出游的不同方法的种数为5×6=30;
第二类:若甲不选择4月27日出游,则三人出游的不同方法的种数为3×4×6=72.
故三人出游的不同方法的种数为30+72=102.
(3)若选择①③④,则三人出游的不同方法的种数为4×5×5=100.
(4)若选择②③④,则三人出游的不同方法的种数为5×5×5=125.
【C级　应用创新练】
14.解:当A1=时,A2=A,此时只有1种分拆;
当A1为单元素集(3种情况)时,A2= AA1或A(2种情况),故拆法为3×2=6(种);
当A1为双元素集时,如A1={a,b},则A2={c},{a,c},{b,c},{a,b,c},此时A1有3种情况,A2有4种情况,故拆法为3×4=12(种);
当A1为A时,A2可取A的任何子集,此时A2有8种情况,故拆法为8种.
综上,共有1+6+12+8=27(种)拆法.2025高考数学一轮复习-10.4-随机事件、频率与概率-专项训练
【A级　基础巩固】
1.从6个篮球、2个排球中任选3个球,则下列事件中,是必然事件的是(　　)
A.3个都是篮球 B.至少有1个是排球
C.3个都是排球 D.至少有1个是篮球
2.先后抛掷两枚质地均匀的硬币,观察它们落地时朝上的面的情况,该试验的样本空间中样本点的个数为(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
3.某饮料生产企业推出了一种有一定概率中奖的新饮料.甲、乙两名学生都购买了这种饮料,设事件A为“甲、乙都中奖”,则与A互为对立事件的是(　　)
A.甲、乙恰有一人中奖
B.甲、乙都没中奖
C.甲、乙至少有一人中奖
D.甲、乙至多有一人中奖
4.用2,3,4这3个数组成没有重复数字的三位数,则事件“这个三位数是偶数”与事件“这个三位数大于342”(　　)
A.是互斥但不对立事件 B.不是互斥事件
C.是对立事件 D.是不可能事件
5.随机掷两枚骰子,记“向上的点数之和是偶数”为事件A,记“向上的点数之差为奇数”为事件B,则(　　)
A.A∩B≠ B.A B
C.A,B互斥但不对立 D.A,B互为对立事件
6.打靶3次,设事件Ai=“击中i发”,其中i=0,1,2,3.那么A=A1∪A2∪A3表示的事件为　　　　.
7.某射击运动员平时100次训练成绩的统计结果如表:
命中环数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频数 2 4 5 6 9 10 18 26 12 8
如果这名运动员只射击一次,估计射击成绩是6环的概率为　　　　,不少于9环的概率为　 .
8.袋子中有六个大小质地相同的小球,编号分别为1,2,3,4,5,6,从中随机摸出两个球,设事件A为“摸出的小球编号都为奇数”,事件B为“摸出的小球编号之和为偶数”,事件C为“摸出的小球编号恰好只有一个奇数”,则下列说法正确的是　　　 　.
(填序号)
①A与B是互斥但不对立事件;
②B与C是对立事件;
③A与C是互斥但不对立事件.
9.如图,用A,B,C三个元件分别连接两个系统N1,N2,当元件A,B,C都正常工作时系统N1正常工作,当元件A,B,C至少有一个正常工作时系统N2正常工作,观察三个元件正常或失效的
情况.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用集合表示下列事件:E=“系统N1正常工作”;F=“系统N2失效”.
【B级　能力提升】
10.(多选题)小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次,每次朝上的点数都是2,则下列说法正确的是(　　)
A.朝上的点数是2的概率和频率均为1
B.若抛掷30 000次,则朝上的点数是2的频率约为0.17
C.抛掷第31次,朝上的点数一定不是2
D.抛掷6 000次,朝上的点数为2的次数大约为1 000
11.(多选题)一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件,给出以下四个事件:
事件A:恰有一件次品;
事件B:至少有两件次品;
事件C:至少有一件次品;
事件D:至多有一件次品.
下列选项正确的是(　AB　)
A.A∪B=C
B.B∪D是必然事件
C.A∩B=C
D.A∩D=C
12.用木块制作的一个四面体,四个面上分别标记1,2,3,4,重复抛掷这个四面体200次,记录每个面落在地上的次数(如表).下列四个说法中正确的是　　　　.(填序号)
四面体的面 1 2 3 4
频数 44 36 42 78
①该四面体一定不是均匀的;
②再抛掷一次,估计标记2的面落地的概率为0.72;
③再抛掷一次,标记4的面落地;
④再抛掷一次,估计标记3的面落地的概率为0.2.
13.某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如表:
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务
【C级　应用创新练】
14.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25 ℃,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20 ℃,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得到下面的频数分布表:
最高 气温 [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35) [35, 40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
参考答案
【A级　基础巩固】
1.解析:A,B是随机事件,C是不可能事件,D是必然事件.故选D.
2.解析:抛掷两枚质地均匀的硬币,且有先后顺序,则此试验的样本空间为{(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)}.故选C.
3.解析:甲、乙两名学生都购买这种饮料,则样本空间Ω={(甲中,乙中),(甲中,乙不中),(甲不中,乙中),(甲不中,乙不中)},由对立事件的定义可知,若A=“甲、乙都中奖”,则=“甲、乙至多有一人中奖”,即D选项正确.故选D.
4.解析:将2,3,4组成一个没有重复数字的三位数的情况有234,243,324,342,423,432,其中偶数有234,324,342,432,大于342的有423,432,所以两个事件不是互斥事件,也不是对立事件.故选B.
5.解析:两枚骰子的点数情况包括都是奇数,都是偶数和一个为奇数,另一个为偶数,事件A包含了前两种情况,事件B就是第三种情况,故事件A与事件B互为对立事件.故选D.
6.解析:A=A1∪A2∪A3所表示的含义是A1,A2,A3这三个事件中至少有一个发生,则可能击中1发、2发或3发,即至少击中1发.
答案:至少击中1发
7.解析:由题表得,如果这名运动员只射击一次,估计射击成绩是6环的概率为=,不少于9环的概率为=.
答案:　
8.解析:样本空间Ω中样本点有15个,
用(x,y)表示可能的结果,x表示一个小球的编号,y表示另一个小球的编号,
则A={(1,3),(1,5),(3,5)},
B={(2,4),(2,6),(4,6),(1,3),(1,5),(3,5)},
C={(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6)},
①A B,A与B不是互斥事件,①错误;
②B∩C=,B∪C=Ω,所以B与C是对立事件,②正确;
③A∩C=,A∪C≠Ω,所以A与C是互斥但不对立事件,③正确.
答案:②③
9.解:用x1,x2,x3分别表示元件A,B,C的工作状态,系统工作状态可用(x1,x2,x3)表示,“0”表示“失效”状态,“1”表示“正常工作”
状态.
(1)试验的样本空间为{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),
(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}.
(2)E=“系统N1正常工作”={(1,1,1)};
F=“系统N2失效”={(0,0,0)}.
【B级　能力提升】
10.解析:由题意知朝上的点数是2的频率为=1,概率为,故A错误;当抛掷次数很多时,朝上的点数是2的频率在≈0.17附近摆动,故B正确;抛掷第31次,朝上的点数可能是2,也可能不是2,故C错误;每次抛掷朝上的点数是2的概率为,所以抛掷6 000次,朝上的点数为2的次数大约为6 000×=1 000(理论和实际会有一定的出入),故D正确.故选BD.
11.解析:对于A选项,事件A∪B表示至少有一件次品,即事件C,故A选项正确;
对于B选项,事件B∪D表示至少有两件次品或至多有一件次品,次品件数包含0到5,即代表了所有情况,故B选项正确;对于C选项,事件A和B不可能同时发生,即事件A∩B=,故C选项错误;对于D选项,事件A∩D表示恰有一件次品,即事件A,而事件A和C不同,故D选项错误.故选AB.
12.解析:①就算该四面体是均匀的,理论上每个面落地的次数仍旧可能不一样(条件没有说均匀的正四面体),在均匀正四面体的条件下,随着试验次数的增多,每个面落地的次数将会变得越来越接近,换句话说,即使是均匀的正四面体,仅仅在200次试验下,得到落地的面的统计结果也可能不一样,故①错误;对于②③④,由于这200次试验2,3,4落在地面的频率分别为,,,即0.18,0.21,0.39,②中所估计的概率0.72和频率0.18差别过大,③认为再抛掷一次的话,标记4的面必定落地,是必然事件,概率为1,但频率只有0.39,因此不能认为必然发生,故②③错误;④中估计标记3的面落地的概率是0.2,和试验频率0.21非常接近,故④正确.
答案:④
13.解:(1)由试加工产品等级的频数分布表知,
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为=0.4;
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为=0.28.
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 65 25 -5 -75
频数 40 20 20 20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为
=15(元).
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 70 30 0 -70
频数 28 17 34 21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
=10(元).
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,厂家应选甲分厂承接加工业务.
【C级　应用创新练】
14.解:(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25 ℃,由题表数据可知,最高气温低于25 ℃的频率为=0.6.
所以六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,
若最高气温低于20 ℃,则Y=200×6+(450-200)×2-450×4=-100;
若最高气温位于区间[20,25),则Y=300×6+(450-300)×2-450×4=300;
若最高气温不低于25 ℃,则Y=450×(6-4)=900,
所以利润Y的所有可能取值为-100,300,900.
Y大于零,当且仅当最高气温不低于20 ℃,
由表格数据知,最高气温不低于20的频率为=0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.2025高考数学一轮复习-10.3-二项式定理-专项训练
【A级　基础巩固】
1.在(x2-)8的二项展开式中,第4项的二项式系数是(　　)
A.56 B.-56
C.70 D.-70
2.(2x-)5的展开式中x的系数为(　　)
A.-80 B.-40
C.40 D.80
3.已知(2x+)n的二项展开式中,第3项与第9项的二项式系数相等,则所有项的系数之和为(　　)
A.212 B.312 C.310 D.210
4.若(x-)8的二项展开式中x6的系数是-16,则实数a的值是(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
5.已知多项式(x-2)5+(x-1)6=a0+a1x+a2x2+…+a5x5+a6x6,则a1等于(　　)
A.11 B.74
C.86 D.-1
6.-+…-+的值为　　　　　.
7.已知多项式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2=　　　　,a1+a2+a3+a4+a5=　　　　.
8.在(x+1)4(y+z)6的展开式中,系数最大的项为　　　　　　.
9.已知在(-)n的展开式中第5项为常数项.
(1)求n的值;
(2)求展开式中所有的有理项.
【B级　能力提升】
10.(多选题)关于(1+x-)8的展开式,下列说法正确的是(　　)
A.各项系数之和为256
B.各项系数的绝对值之和为38
C.x8项的系数为1
D.x2项的系数为224
11.(多选题)设(2x+1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a6(x+1)6,则下列结论正确的是(　　)
A.a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36
B.a2+a3=-100
C.a1,a2,a3,…,a6中最大的是a2
D.当x=7时,(2x+1)6除以16的余数是1
12.已知n∈N*且n>1,x(x3-)n的展开式中存在常数项,写出n的一个值为　　　　　.
13.在下面两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并对其求解.
条件①:只有第5项的二项式系数最大;
条件②:所有项的二项式系数的和为256.
问题:在(ax-)n(a>0)的展开式中,　　　　.
(1)求n的值;
(2)若其展开式中的常数项为112,求其展开式中系数的绝对值最大
的项.
【C级　应用创新练】
14.设f(x)=(1+x2)m-(1+x)2n(m∈N*,n∈N*).
(1)当m=4,n=3时,
记f(x)的展开式中xi的系数为ai(i=0,1,2,3,4,5,6,8),求a3+a4的值;
若f(x)的展开式中x2的系数为20,求的最小值.
参考答案
【A级　基础巩固】
1.解析:第4项的二项式系数为=56.故选A.
2.解析:(2x-)5的展开式的通项为Tr+1=(2x)5-r(-)r=(-1)r25-rx5-2r,
令5-2r=1,得r=2,
所以(2x-)5的展开式中x的系数为(-1)2×25-2·=80.故选D.
3.解析:因为(2x+)n的二项展开式中第3项与第9项的二项式系数
相等,
所以=,解得n=10,取x=1,所以所有项的系数之和为310.故选C.
4.解析:根据(x-)8的二项展开式的通项Tr+1=·x8-r·(-)r=
(-a)rx8-2r.
令8-2r=6,得到r=1,
由x6的系数是-16,得到(-a)=-16,解得a=2.故选D.
5.解析:对于(x-2)5,其展开式的通项为Tr+1=x5-r(-2)r,
令5-r=1,得r=4,
故T5=x(-2)4=80x,对于(x-1)6,其展开式的通项为Tk+1=x6-k(-1)k,
令6-k=1,得k=5,
故T6=x(-1)5=-6x,
所以a1=80-6=74.故选B.
6.解析:-+…-+=×(·26-·25+·24-·23+·22-
·21+·20)==.
答案:
7.解析:由多项式展开式可知,a2=2(-1)2+(-1)3=12-4=8.令x=0可得a0=2,令x=1可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,所以a1+a2+a3+a4+a5=-2.
答案:8　-2
8.解析:因为(x+1)4的通项为x4-r,(y+z)6的通项为y6-kzk,
所以(x+1)4的展开式中系数最大的项为x2=6x2,(y+z)6的展开式中系数最大的项为y3z3=20y3z3,
所以在(x+1)4(y+z)6的展开式中,系数最大的项为120x2y3z3.
答案:120x2y3z3
9.解:(1)展开式的通项为Tr+1=()n-r(-)r=(-)r,
因为第5项为常数项,所以当r=4时,
有=0,解得n=8.
(2)由(1),Tr+1=(-)r,
由题意得,所以r=1,4,7,所以有理项分别为T2=-4x2,T5=,
T8=-.
【B级　能力提升】
10.解析:令x=1,则各项系数之和为(1+1-1)8=1,A不正确;
因为各项系数的绝对值之和与(1+x+)8的各项系数和相等,
则令x=1,各项系数的绝对值之和为(1+1+1)8=38,B正确;
因(1+x-)8表示8个(1+x-)因式的乘积,
则选8个x即可得x8的系数为=1,C正确;
根据C选项,要得到x2项,可以选6个1,2个x,
或者选3个1,4个x,1个(-),
或者选6个x,2个(-),
则x2项的系数为+·(-1)+·(-1)2=-224,D不正确.
故选BC.
11.解析:对A,令x=-2,则[2×(-2)+1]6=a0-a1+a2-…+a6=36,故A正确;
对B,(2x+1)6=[-1+2(x+1)]6=(-1)6·[2(x+1)]0+(-1)5[2(x+1)]1+
…+(-1)0·[2(x+1)]6,
可知a2+a3=(-1)4×22+(-1)3×23=60-160=-100,故B正确;
对C,ai=(-1)6-i·2i(i=0,1,2,3,4,5,6),当i=1,3,5时,ai<0;a0=1,
a2=(-1)4·22=60,a4=(-1)2·24=240,a6=(-1)0·26=64,最大的为a4,故C不正确;
对D,当x=7时,(2x+1)6=156=(16-1)6=166-165+164-163+162-
16+=16×(165-164+163-162+161-)+1,除以16的余数是1,故D正确.故选ABD.
12.解析:二项式(x3-)n的展开式的通项为Tr+1=x3(n-r)(-)r=(-2)r·
x3n-4r,r=0,1,2,…,n,
因为二项式x(x3-)n的展开式中存在常数项,所以3n-4r=-1有解,
即n=,
即n=4·+1,又n∈N*且n>1,
所以n=4k+1(k∈N*),
可得n的一个值为5.
答案:5(答案不唯一)
13.解:(1)选①,因为只有第5项的二项式系数最大,
所以=4,所以n=8.
选②,因为所有项的二项式系数的和为256,
所以2n=256,
所以n=8.
(2)二项式(ax-)8的展开式的通项为Tr+1=(ax)8-r(-)r=·a8-r·
(-1)r,
令8-r=0,得r=6,
所以展开式中的常数项为a2=112,得a2=4,
又因为a>0,所以a=2,
所以二项式(2x-)8的展开式的通项为=·28-r·(-1)r,
设第r+1项为系数绝对值最大的项,
则解得2≤r≤3,
又因为r∈N且r≤8,所以r=2,3,
所以展开式中系数的绝对值最大的项为T3=·26·(-1)2·=1 792和T4=·25·(-1)3·x4=-1 792x4.
【C级　应用创新练】
14.解:(1)由题意f(x)=(1+x2)4-(1+x)6.
(1+x2)4的展开式的通项为Tr+1=x2r,r∈{0,1,2,3,4},
(1+x)6的展开式的通项为Tk+1=xk,k∈{0,1,2,3,4,5,6},
故当k=3时,可得x3的系数为a3=-=-20,
当r=2,k=4时,可得x4的系数为a4=-=-9,因此a3+a4=-29.
(2)由二项式的展开式的特征可得(1+x2)m的展开式的通项为Tr+1=x2r,r∈{0,1,…,m},
(1+x)2n的展开式的通项为Tk+1=xk,k∈{0,1,…,2n},
当r=1,k=2时,x2的系数为-=m-=20,即m=2n2-n+20,
则==2(n+)-1,
又函数g(x)=x+在(0,)上单调递减,在[,+∞)上单调递增,
注意到n的取值为正整数,
因此g(n)=n+的最小值为min{g(3),g(4)}=.
因此的最小值为2×-1=.2025高考数学一轮复习-10.2-排列与组合-专项训练
【A级　基础巩固】
1.若=6,则m等于(　　)
A.9 B.8 C.7 D.6
2.某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有(　　)
A.·种 B.·种
C.·种 D.·种
3.甲、乙、丙等5人站成一排,且甲不在两端,乙和丙之间恰有2人,则不同排法共有(　　)
A.20种 B.16种 C.12种 D.8种
4.用0,2,3,5,7,8这6个数字可以组成N个无重复数字的六位数,其中偶数有M个,则等于(　　)
A. B. C. D.
5.某志愿小组共5人,随机分配4人去值班,每人只需值班一天,若前两天每天1人,第三天2人,且其中的甲、乙两人不同在第三天值班,则满足条件的排法共有(　　)
A.72种 B.60种 C.54种 D.48种
6.用1,2,3,4,5,6六个数字组成没有重复数字的六位数,其中百、十、个位的数字按从小到大的顺序排列,这样的六位数共有　　　个.
7.从5双不同尺码的鞋子中任取4只,使其中至少有2只能配成一双,则有　　　种不同的取法.
8.甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行数学创新能力比赛,决出第一到第五名的名次(无并列名次).甲、乙两名同学去询问成绩,老师说:“你们都没有得到第一,你们也都不是最后一名,并且你们的名次相邻.”从上述回答分析,5人的名次不同的排列情况有　　　种.
9.(1)已知:=21,求n;
(2)解不等式:3+12≤11,其中x∈N*.
【B级　能力提升】
10.(多选题)为了加深学生对农作物的了解,让学生更深刻地感受幸福生活的来之不易,现从某省范围内种植的
20种农作物中抽取5种进行调查研究,其中水稻和小麦必须至少选择其中一种进行调查研究,则不同的抽取方法种数为(　　)
A.+ B.
C.- D.-
11.将6名实习教师分配到3所学校进行培调,每名实习教师只能分配到1所学校,每所学校至少分配1名实习教师,则不同的分配方案共有(　　)
A.240种 B.360种
C.450种 D.540种
12.正三棱柱的各棱中点共9个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有　　　　种.
13.中华文化源远流长,为了让青少年更好地了解中国的传统文化,某培训中心计划利用暑期开设“围棋”“武术”“书法”“剪纸”“京剧”“刺绣”六门体验课程.
(1)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程,每人都选两门课程,甲和乙有一门共同的课程,丙和甲、乙的课程都不同,求所有选课的种数;
(2)计划安排A,B,C,D,E五名教师教这六门课程,每名教师至少任教一门课程,教师A不任教“围棋”课程,教师B只能任教一门课程,求所有课程安排的种数.
【C级　应用创新练】
14.(1)将5个不同的小球放入3个不同的盒子中,没有空盒子,共有多少种不同的放法
(2)将5个不同的小球放入3个不同的盒子中,盒子可空,共有多少种不同的放法
(3)将5个相同的小球放入3个不同的盒子中,没有空盒子,共有多少种不同的放法
(4)将5个相同的小球放入3个不同的盒子中,盒子可空,共有多少种不同的放法
(注:结果用数字表示)
参考答案
【A级　基础巩固】
1.解析:因为=6,所以m(m-1)(m-2)=6×,解得m=7.故选C.
2.解析:根据分层随机抽样的定义知从初中部共抽取60×=40(人),高中部共抽取60×=20(人),
根据组合数公式和分步乘法计数原理可知不同的抽样结果共有·种.
故选D.
3.解析:由题意知甲一定在乙、丙之间,先排列乙、丙,排法有种,再从除甲以外的两人中选一人排在乙、丙之间,选法为,再对甲与选中的人进行排列,排法为,再排最后一人,排法为,故有 ···=16种.故选B.
4.解析:从2,3,5,7,8中任选一个数字排在首位,其余5个数字全排可得N==25,
0排在个位的无重复数字的六位偶数有个,0不排在个位的无重复数字的六位偶数有=8个,故M=+8=13.所以=.
故选B.
5.解析:依题意可用间接法解决,
总的排法有=60种,
甲、乙两人同在第三天值班的排法有=6种,
所以满足条件的排法有60-6=54(种).故选C.
6.解析:从6个数字中选3个排在最左边的三个数位,共有=120种选法,剩下的3个数字按从小到大的顺序排列在百、十、个位,所以这样的六位数共有120个.
答案:120
7.解析:当恰好有2只能配成一双时有×××=120种取法;
当恰好有4只能配成两双时有=10种取法.
故共有120+10=130(种)不同的取法.
答案:130
8.解析:由题意甲、乙两人名次为2,3或3,4,所以5人名次的不同排列情况有2×=24种.
答案:24
9.解:(1)因为===21,
解得n=6或n=-7,
又n∈N*,所以n=6.
(2)不等式3+12≤11,
即3(x+2)(x+1)+12x(x-1)≤11(x+1)x,
即2x2-7x+3≤0,解得≤x≤3,
又即x≥2且x∈N*,所以x=2或
x=3,故不等式的解集为{2,3}.
【B级　能力提升】
10.解析:选项A,若在水稻和小麦中选1种,有种选法,若水稻和小麦2种都选,有种选法,所以A正确;选项B,先在水稻和小麦中选择1种,有种选法,再从剩余的19种农作物中选择4种,有种选法,但水稻和小麦都被选中的情况出现了重复计算,所以B错误;选项C,在20种农作物中任选5种,有种选法,除去水稻和小麦都不被选中的方法数,所以C正确;选项D,是在剔除选项B重复的部分,即水稻和小麦都被选中的情况重复计算了一次,减去即可,所以D正确.故选ACD.
11.解析:由题知,6名教师分3组,有3种分法,即1,2,3;1,1,4;2,2,2,共有++=90种分法,再分配给3所学校,可得90×=540种分配方案.故选D.
12.解析:如图所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D,E,F,G,H,R,S,T,U为相应棱的中点,
从上述9个点中任选4个点,共有=126种选法,
其中所选的4个点在同一侧面上,共3种情况;
若所选的4个点不在同一侧面上,且构成平行四边形,如D,E,U,S,共3种情况;
若所选的4个点构成梯形,如D,E,H,R,共6种情况.
综上所述,不同的取法共有126-(3+3+6)=114(种).
答案:114
13.解:(1)第一步,先将甲和乙的不同课程选出,有种情况;
第二步,将甲和乙的相同课程选出,有种情况;
第三步,因为丙和甲、乙的课程都不同,所以丙的选课情况有种;
因此,所有选课种数为=360.
(2)①当A只任教1科时:先排A的任教科目,有种;再从剩下5科中排B的任教科目,有种;接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教,分三组全排列,共有种.所以当A只任教1科时,共有=900种;
②当A任教2科时:先选A任教的2科,有种,其余4科由剩下四名老师每人任教1科,所以,当A任教2科时,共有=240种.
综上,所有课程安排共有900+240=1 140(种).
【C级　应用创新练】
14.解:(1)将5个不同的小球分为三组,每组的小球数量分别为2,2,1或3,1,1,
然后再将这三组小球放入3个盒子中,
因此,不同的放法种数为(+)=150种.
(2)将5个不同的小球放入3个不同的盒子中,盒子可空,每个小球有3种放法,由分步乘法计数原理可知,不同的放法种数为35=243(种).
(3)法一　将5个相同的小球分为三组,每组的小球数量分别为2,2,1或3,1,1,
对于2,2,1,只需选1个盒子放1个球,其余2个盒子各放2个球,有=3种放法,同理对于3,1,1,也有=3种放法,所以共有6种放法.
法二　将5个相同的小球放入3个不同的盒子中,没有空盒子,只需在5个相同的小球中间所形成的4个空位中插入2块板即可,所以不同的放法种数为=6种.
(4)法一　5个相同的小球都放入1个盒子显然有3种放法,
放入2个盒子时,每组小球数量为1,4或2,3,有×2×=12种放法,
放入3个盒子时,由(3)知有6种,所以共有21种.
法二　将5个相同的小球放入3个不同的盒子中,盒子可空,
等价于将8个相同的小球放入3个不同的盒子中,每个盒子不空,
只需在8个相同的小球中间所形成的7个空位中插入2块板即可,
所以不同的放法种数为=21种.2025高考数学一轮复习-10.7-离散型随机变量及其分布列、数字特征-专项训练
【A级　基础巩固】
1.已知下列随机变量:
①10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数X;
②一名射击选手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,该射击选手在一次射击中的得分X;
③一天内的温度X;
④在体育彩票的抽奖中,一次摇号产生的号码数X.
其中X是离散型随机变量的是(　　)
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.③④
2.若随机变量X的分布列为
X -2 -1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(XA.(-∞,2] B.[1,2]
C.(1,2] D.(1,2)
3.随机变量Y的分布列如表,且E(Y)=3,则D(3Y-5)等于(　　)
Y 0 2 a
P m
A.10 B.15 C.40 D.45
4.一袋中装有5个球,编号分别为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3个,以ξ表示取出的三个球中的最小号码,则随机变量ξ的分布列为(　　)
A.
ξ 1 2 3
P
B.
ξ 1 2 3 4
P
C.
ξ 1 2 3
P
D.
ξ 1 2 3
P
5.已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响,经统计,甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如表所示,
时间/分钟 10～20 20～30 30～40 40～50
甲的频率 0.1 0.4 0.2 0.3
乙的频率 0 0.3 0.6 0.1
某日工作单位接到一项任务,需要甲在30分钟内到达,乙在40分钟内到达,用X表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数,用频率估计概率,则X的数学期望和方差分别是(　　)
A.E(X)=1.5,D(X)=0.36
B.E(X)=1.4,D(X)=0.36
C.E(X)=1.5,D(X)=0.34
D.E(X)=1.4,D(X)=0.34
6.已知离散型随机变量X的分布列如表所示.若E(X)=0,D(X)=1,则a-b的值为　　　.
X -1 0 1 2
P a b c
7.现要发行10 000张彩票,其中中奖金额为
2元的彩票1 000张,10元的彩票300张,50元的彩票100张,100元的彩票50张,1 000元的彩票5张.1张彩票中奖金额的均值是　　元.
8.用数字1,2,3,4,5给3名男生和2名女生随机地编学号.
(1)男生和女生的学号都不相邻的编法有　　　　种(用数字作答);
(2)记随机变量ξ=X-Y,其中X,Y分别为男生、女生的学号之和,则随机变量ξ的数学期望E(ξ)=　　　　.
9.甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率;
(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.
【B级　能力提升】
10.(多选题)随机变量ξ的分布列如表所示 ,其中xy≠0,下列说法正确的是(　　)
ξ 0 1 2
P x
A.x+y=1
B.E(ξ)=
C.D(ξ)有最大值
D.D(ξ)随y的增大而减小
11.某次国际象棋比赛规定,胜一局得3分,平一局得1分,负一局得0分,某参赛队员比赛一局胜的概率为a,平局的概率为b,负的概率为c(a,b,c∈[0,1)),已知他比赛一局得分的均值为1,则ab的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
12.据统计,一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险,交保险费100元,若一年内万元以上财产被窃,保险公司赔偿a元(a>1 000),为确保保险公司有可能获益,则a的取值范围是　　　.
13.有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如表所示.
甲公司 乙公司
职位 A B C D 职位 A B C D
月薪/ 千元 5 6 7 8 月薪/ 千元 4 6 8 10
获得相 应职位 的概率 0.4 0.3 0.2 0.1 获得相 应职位 的概率 0.4 0.3 0.2 0.1
(1)若一人去应聘甲公司的C职位,另一人去应聘乙公司的C职位,记这两人被录用的人数为η,求η的分布列;
(2)若丙和丁分别被甲、乙两家公司录用,求丙月薪高于丁月薪的
概率;
(3)根据甲、乙两家公司的聘用信息,如果你是求职者,你会选择哪一家公司 说明理由.
【C级　应用创新练】
14.已知投资甲、乙两个项目的利润率分别为随机变量X1和X2.经统计分析,X1和X2的分布列分别为
表1
X1 0.3 0.18 0.1
P 0.2 0.5 0.3
表2
X2 0.25 0.15
P 0.2 0.8
(1)若在甲、乙两个项目上各投资100万元,Y1和Y2分别表示投资甲、乙两项目所获得的利润,求Y1和Y2的数学期望和方差,并由此分析投资甲、乙两项目的利弊;
(2)若在甲、乙两个项目总共投资100万元,求在甲、乙两个项目上分别投资多少万元时,可使所获利润的方差和最小 注:利润率=.
参考答案
【A级　基础巩固】
1.解析:①中,X的所有可能取值为0,1,2,符合要求;
②中,X的所有可能取值为0,1,符合要求;
③中,一天的温度变化是连续的,所以X不是离散型随机变量;
④中,在体育彩票的抽奖中,一次摇号产生的号码数是离散,且随机的,符合要求.故选B.
2.解析:由随机变量X的分布列知,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,故当P(X3.解析:由题意得+m+=1,得m=,
所以E(Y)=0×+2×+a=3,解得a=6,
所以D(Y)=(0-3)2×+(2-3)2×+(6-3)2×=5,
所以D(3Y-5)=32D(Y)=9×5=45.故选D.
4.解析:随机变量ξ的所有可能取值为1,2,3,
P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==.故选C.
5.解析:设事件A表示“甲在规定的时间内到达”,B表示“乙在规定的时间内到达”,P(A)=0.5,P(B)=0.9,A,B相互独立,所以P(X=0)=
P( )=P()P()=(1-0.5)×(1-0.9)=0.05,
P(X=1)=P(B)+P(A)
=P()P(B)+P(A)P()
=(1-0.5)×0.9+0.5×(1-0.9)=0.5,
P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.9=0.45,
所以E(X)=0×0.05+1×0.5+2×0.45=1.4,
D(X)=E(X2)-(E(X))2=0.34.故选D.
6.解析:由题知a+b+c=,-a+c+=0,
(-1-0)2·a+(1-0)2·c+(2-0)2×=1,
所以a=,b=,则a-b=-=.
答案:
7.解析:设每张彩票的中奖金额为随机变量X,则X的所有可能取值为0,2,10,50,100,1 000.
由题意可知,P(X=2)==0.1,P(X=10)==0.03,P(X=50)=
=0.01,
P(X=100)==0.005,P(X=1 000)==0.000 5,所以P(X=0)=
1-0.1-0.03-0.01-0.005-0.000 5=0.854 5.
所以X的分布列为
X 0 2 10 50 100 1 000
P 0.854 5 0.1 0.03 0.01 0.005 0.000 5
所以E(X)=0+2×0.1+10×0.03+50×0.01+100×0.005+1 000×
0.000 5=2.
答案:2
8.解析:(1)由已知男生的学号为1,3,5,女生的学号为2,4,
用1,3,5给男生编号有种编法,用2,4给女生编号有种编法,
所以满足条件的编法有=12种.
(2)用(x,y)表示可能的结果,其中x表示一名女生的学号,y表示另一名女生的学号,两名女生学号有可能为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),
(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),所以
Y 3 4 5 6 5 6 7 7 8 9
X 12 11 10 9 10 9 8 8 7 6
ξ 9 7 5 3 5 3 1 1 -1 -3
所以随机变量ξ的所有可能取值有-3,-1,1,3,5,7,9,
P(ξ=-3)=,P(ξ=-1)=,P(ξ=1)==,
P(ξ=3)==,P(ξ=5)==,P(ξ=7)=,P(ξ=9)=,
所以E(ξ)=(-3)×+(-1)×+1×+3×+5×+7×+9×=3.
答案:(1)12　(2)3
9.解:(1)设“甲学校获得冠军”为事件A,则甲学校必须获胜2场或者
3场.
P(A)=0.5×0.4×0.8+(1-0.5)×0.4×0.8+0.5×(1-0.4)×0.8+
0.5×0.4×(1-0.8)=0.6.
故甲学校获得冠军的概率为0.6.
(2)X的所有可能取值为0,10,20,30.
P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,
P(X=10)=(1-0.5)×0.4×0.8+0.5×(1-0.4)×0.8+0.5×0.4×
(1-0.8)=0.44,
P(X=20)=(1-0.5)×(1-0.4)×0.8+0.5×(1-0.4)×(1-0.8)+(1-0.5)×0.4×(1-0.8)=0.34,P(X=30)=(1-0.5)×(1-0.4)×(1-0.8)=0.06.
所以X的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
所以E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.
【B级　能力提升】
10.解析:由题意可知x++=1,即x+y=1,故A正确;
E(ξ)=0·x+1·+2·=,故B正确;
D(ξ)=x(0-)2+(1-)2+(2-)2=(1-y)(0-)2+(1-)2+
(2-)2=-y2+3y,
因为xy≠0,x+y=1,易得0f(y)=-y2+3y在(0,)上单调递增,在[,1)上单调递减,
故f(y)在y=处取得最大值,
所以D(ξ)随着y的增大先增大后减小,当y=时,取得最大值,故C正确,D错误.
故选ABC.
11.解析:由题意得,比赛一局得分的均值为3·a+1·b+0·c=1,
故3a+b=1,
又a,b,c∈[0,1),且a+b+c=1,故3a+b≥2,
解得ab≤,当且仅当3a=b,即a=,b=时,等号成立.故ab的最大值为.故选B.
12.解析:设保险公司的收益为X,则X的所有可能取值有100,100-
a(a>1 000),
由已知P(X=100)=0.995,
P(X=100-a)=0.005.
所以随机变量X的分布列为
X 100 100-a
P 0.995 0.005
所以E(X)=100×0.995+(100-a)0.005=100-0.005a,
令100-0.005a>0,解得a<20 000,
故1 000所以为确保保险公司有可能获益,a的取值范围是(1 000,20 000).
答案:(1 000,20 000)
13.解:(1)随机变量η的所有可能取值为0,1,2.
P(η=0)=0.8×0.8=0.64,P(η=1)=2×0.2×0.8=0.32,P(η=2)=
0.2×0.2=0.04.
所以随机变量η的分布列为
η 0 1 2
P 0.64 0.32 0.04
(2)丙月薪高于丁月薪的概率
P=0.4×0.4+0.3×0.4+0.2×(0.4+0.3)+0.1×(0.4+0.3)=0.49.
(3)记随机变量X为入职甲公司的月薪,Y为入职乙公司的月薪.
入职甲公司,月薪的期望为E(X)=0.4×5+0.3×6+0.2×7+0.1×8=6,
方差D(X)=0.4×(5-6)2+0.3×(6-6)2+0.2×(7-6)2+0.1×(8-6)2=1.
入职乙公司,月薪的期望为E(Y)=0.4×4+0.3×6+0.2×8+0.1×10=6,
方差D(Y)=0.4×(4-6)2+0.3×(6-6)2+0.2×(8-6)2+0.1×(10-6)2=4.
乙公司月薪高于甲公司的概率为P=0.3×0.4+0.2×(0.4+0.3+0.2)+
0.1=0.4,
即E(X)=E(Y),D(X)所以两家公司月薪的期望相同,但甲公司月薪的波动性小,乙公司月薪的波动性更大,且甲公司月薪高于乙公司月薪的概率更大,故选甲公司.
【C级　应用创新练】
14.解:(1)由题意得E(X1)=0.3×0.2+0.18×0.5+0.1×0.3=0.18,
D(X1)=(0.3-0.18)2×0.2+(0.18-0.18)2×0.5+(0.1-0.18)2×0.3=
0.004 8,
E(X2)=0.25×0.2+0.15×0.8=0.17,
D(X2)=(0.25-0.17)2×0.2+(0.15-0.17)2×0.8=0.001 6,
又Y1=100X1,Y2=100X2,所以E(Y1)=100×0.18=18,D(Y1)=1002×
0.004 8=48.
E(Y2)=100×0.17=17,D(Y2)=1002×0.001 6=16.
因此投资甲所获利润的期望18万元大于投资乙所获利润的期望17万元,但投资甲的方差48也远大于投资乙的方差16.所以投资甲所获利润的期望大,方差也大,相对不稳定,而投资乙所获利润的期望小,方差也小,相对稳定.
(2)设x万元投资甲,则(100-x)万元投资了乙,由题意,0≤x≤100.则投资甲的利润Z1=xX1,投资乙的利润Z2=(100-x)X2.
设f(x)为投资甲所获利润的方差与投资乙所获利润的方差和,则f(x)=D(Z1)+D(Z2)=x2D(X1)+(100-x)2D(X2)=0.004 8x2+0.001 6×
(100-x)2=0.001 6×(4x2-200x+10 000).
当x=-=25时,f(x)的值最小.
故此时甲项目投资25万元,乙项目投资75万元,可使所获利润的方差和最小.

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