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【名师导航】2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第四章 三角形及四边形
4.4 锐角三角函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 特珠角的三角函数值 ☆ 数学中考中，有关锐角三角函数的部分，每年考查1~2道题,分值为3~10分，通常以选择题、填空题、解答题的形式考查。锐角三角函数的实际应用属于全国各省市必考题，希望复习时强化训练。
考点2 直角三角形的边角关系 ☆☆
考点3 锐角三角函数的实际应用 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
考点1 特珠角的三角函数值
1.锐角∠A的正弦、余弦、正切的定义
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。
（1）我们把锐角 A 的对边与_____的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即
sin A==，
（2）我们把锐角A的_____与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，
cos A==，
（3）我们把锐角A的对边与_____的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即
tan A==．
2.锐角三角函数的定义
sin A、cos A、tan A分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数．
3. 30°、45°、60°角的三角函数值
4. 通过三角函数值求角度
考点2 直角三角形的边角关系
1. 解直角三角形
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形。
注意：在直角三角形中，除直角外有个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素。
2. 直角三角形中边角关系
在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么
（1）三边之间的关系为__________（勾股定理）
（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=_____
（3）_____角所对直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形斜边上的_____等于斜边的一半。
（5）边角之间的关系为：（三角函数定义）
3. 其他有关公式
（1）==
（2）Rt△面积公式：
（3）直角三角形外接圆的半径，内切圆半径
（4）直角三角形斜边上的高
【方法总结1】解直角三角形的常见类型及一般解法
只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素.
Rt△ABC中的已知条件 一般解法
两边 两直角边a，b (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一直角边a，斜边c (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一边一锐角 一直角边a，锐角A (1)∠B=90 ∠A； (2)； (3).
斜边c，锐角A (1)∠B=90 ∠A； (2)a=c·sin A； (3)b=c·cos A.
【方法总结2】当用三角函数定义求角的三角函数值时，首先要判断这个三角形是否为直角三角形，若是，还应明确哪个角是直角，切忌硬套定义式．对于复杂问题，需要构造直角三角形，将所考查的角置身在这个直角三角形中．
方法总结1：结合平面直角坐标系求某角的正弦、余弦、正切，函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解。
方法总结2：已知一边及其邻角的正弦、余弦、正切，函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理，解决问题。
方法总结3：在没有明确三角形是直角三角形的前提下，首先判定三角形是不是直角三角形，在明确三角形是直角三角形的条件下，再使用锐角三角函数定义进行解证，否则，通过分割或补形法转换成直角三角形。
方法总结4：依据同角或等角的三角函数值相等的性质，将一个的三角函数值用另一个等角的三角函数值替换。
考点3 锐角三角函数的实际应用
1. 仰角和俯角：在进行测量时，从_____看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从_____看，视线与水平线的夹角叫做俯角。
2. 方位角：以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于____的角，叫做方位角。如图所示：
3. 坡度，坡角
（1）如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面_____.记作i，即i=h/l
（2）坡面与水平面的夹角叫做____，记作α，有i=tanα.
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
4. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
③ 得到数学问题的答案；
④ 得到实际问题的答案．
5. 利用三角函数测高
(1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；
③量出测倾器的高度AC=a，可求出
MN=ME+EN=l·tanα+a.
(2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
②在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β；
③量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离 AB=b.根据测量数据，求出物体MN的高度.
考点1 特珠角的三角函数值
【例题1】（2024天津市）的值等于（ ）
A. B. C. D.
【变式练1】（2024大连一模）2sin45°的值等于（ 　）
A．1 B． C． D．2
【变式练2】（2024大庆一模）计算：cos245°+sin245°=（　　）
A． B． 1 C． D．
【变式练3】（2024沈阳一模）已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+=0，则α+β=　 　．
考点2 直角三角形的边角关系
【例题2】（2024甘肃临夏）如图，在中，，，则的长是（ ）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
【变式练1】（2024云南一模）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，，
(1) 求证：AC=BD；
(2)若，BC=12，求AD的长．
【变式练2】（2024广西一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（ ）
A. B. C. D.
考点3 锐角三角函数的实际应用
【例题3】（2024福建省）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则______．（单位：）（参考数据：）
【变式练1】（2024长春一模）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【变式练2】（2024湖北武汉一模）如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75)
【变式练3】（2024山东烟台一模）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（　　）
A. 北偏东70° B. 北偏东75° C. 南偏西70° D. 南偏西20°
【变式练4】（2024江苏扬州一模）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（　　）
（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
考点1. 特珠角的三角函数值
1. （2024深圳）计算：．
考点2. 直角三角形的边角关系
1. （2024云南省）在中，∠B=90°，已知，则的值为（　　　）
A. B. C. D.
2. （2024四川达州）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 3
3. （2024湖南省）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为________分米（结果用含根号的式子表示）．
4. （2024深圳）如图，在中，，，D上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则________．
考点3. 锐角三角函数的实际应用
1. （2024深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（ ）（参考数据：，，）
A. B. C. D.
2. （2024黑龙江绥化）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为______m（结果保留根号）．
3. （2024江苏盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为________m．（精确到，参考数据：，，）
4. （2024广州）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米．
（1）求的长；
（2）若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，）
5. （2024重庆市A）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，）
（1）求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明．
6. （2024重庆市B）如图，，，，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，）
（1）求的长度（结果精确到千米）；
（2）甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？
7. （2024甘肃临夏）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度的实践活动．为乾元塔的顶端，，点，在点的正东方向，在点用高度为1.6米的测角仪（即米）测得点仰角为，向西平移14.5米至点，测得点仰角为，请根据测量数据，求乾元塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，）
8. （2024甘肃威武）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．）
9. （2024贵州省）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求的长；
（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：，，）
考点1. 特珠角的三角函数值
1. = ______.
考点2. 直角三角形的边角关系
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin A=.求BC的长和tan B的值．
2. （2022广西贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（ ）
A. B. C. D.
3. （2022江苏扬州）在中，，分别为的对边，若，则的值为__________．
4. 如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
考点3. 锐角三角函数的实际应用
1．如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面．（点在同一平面内）
（1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）；
（2）求大桥主架在水面以上的高度．（结果精确到1米）（参考数据）
2. 如图，岛在A岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则的大小是_____．
3. 如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：，，．
4．如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．
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第四章 三角形及四边形
4.4 锐角三角函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 特珠角的三角函数值 ☆ 数学中考中，有关锐角三角函数的部分，每年考查1~2道题,分值为3~10分，通常以选择题、填空题、解答题的形式考查。锐角三角函数的实际应用属于全国各省市必考题，希望复习时强化训练。
考点2 直角三角形的边角关系 ☆☆
考点3 锐角三角函数的实际应用 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
考点1 特珠角的三角函数值
1.锐角∠A的正弦、余弦、正切的定义
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。
（1）我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即
sin A==，
（2）我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，
cos A==，
（3）我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即
tan A==．
2.锐角三角函数的定义
sin A、cos A、tan A分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数．
3. 30°、45°、60°角的三角函数值
4. 通过三角函数值求角度
考点2 直角三角形的边角关系
1. 解直角三角形
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形。
注意：在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素。
2. 直角三角形中边角关系
在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么
（1）三边之间的关系为（勾股定理）
（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°
（3）30°角所对直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（5）边角之间的关系为：（三角函数定义）
3. 其他有关公式
（1）==
（2）Rt△面积公式：
（3）直角三角形外接圆的半径，内切圆半径
（4）直角三角形斜边上的高
【方法总结1】解直角三角形的常见类型及一般解法
只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素.
Rt△ABC中的已知条件 一般解法
两边 两直角边a，b (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一直角边a，斜边c (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一边一锐角 一直角边a，锐角A (1)∠B=90 ∠A； (2)； (3).
斜边c，锐角A (1)∠B=90 ∠A； (2)a=c·sin A； (3)b=c·cos A.
【方法总结2】当用三角函数定义求角的三角函数值时，首先要判断这个三角形是否为直角三角形，若是，还应明确哪个角是直角，切忌硬套定义式．对于复杂问题，需要构造直角三角形，将所考查的角置身在这个直角三角形中．
方法总结1：结合平面直角坐标系求某角的正弦、余弦、正切，函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解。
方法总结2：已知一边及其邻角的正弦、余弦、正切，函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理，解决问题。
方法总结3：在没有明确三角形是直角三角形的前提下，首先判定三角形是不是直角三角形，在明确三角形是直角三角形的条件下，再使用锐角三角函数定义进行解证，否则，通过分割或补形法转换成直角三角形。
方法总结4：依据同角或等角的三角函数值相等的性质，将一个的三角函数值用另一个等角的三角函数值替换。
考点3 锐角三角函数的实际应用
1. 仰角和俯角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。
2. 方位角：以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角。如图所示：
3. 坡度，坡角
（1）如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度.记作i，即i=h/l
（2）坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i=tanα.
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
4. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
③ 得到数学问题的答案；
④ 得到实际问题的答案．
5. 利用三角函数测高
(1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；
③量出测倾器的高度AC=a，可求出
MN=ME+EN=l·tanα+a.
(2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
②在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β；
③量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离 AB=b.根据测量数据，求出物体MN的高度.
考点1 特珠角的三角函数值
【例题1】（2024天津市）的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题的关键；根据代入即可求解.
【详解】，故选：A.
【变式练1】（2024大连一模）2sin45°的值等于（ 　）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】2sin45°=2×故选B
【变式练2】（2024大庆一模）计算：cos245°+sin245°=（　　）
A． B． 1 C． D．
【答案】B
【解析】考点是 特殊角的三角函数值．首先根据cos45°=sin45°=，分别求出cos245°、sin245°的值是多少；然后把它们求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可．
∵cos45°=sin45°=，
∴cos245°+sin245°
=
==1．故选：B．
【变式练3】（2024沈阳一模）已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+=0，则α+β=　 　．
【答案】75°．
【解析】根据非负数的性质求出sinα、tanβ的值，然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数。
∵|sinα﹣|+=0，
∴sinα=，tanβ=1，
∴α=30°，β=45°，
则α+β=30°+45°=75°．
考点2 直角三角形的边角关系
【例题2】（2024甘肃临夏）如图，在中，，，则的长是（ ）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出．
【详解】如图，过点A作于点D．
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴．故选B．
【变式练1】（2024云南一模）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，，
(1) 求证：AC=BD；
(2)若，BC=12，求AD的长．
【答案】见解析。
【解析】(1)∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC．
∴∠ADB=90°，∠ADC=90°．
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵=，=
又已知
∴=．∴AC=BD．
(2)在Rt△ADC中， ，故可设AD=12k，AC=13k．
【变式练2】（2024广西一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠A的度数．
∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，
∴∠A=90°-∠B=90°-56°=34°．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
考点3 锐角三角函数的实际应用
【例题3】（2024福建省）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则______．（单位：）（参考数据：）
【答案】128
【解析】此题考查了解直角三角形的应用，求出，，由得到，求出，求出在中，根据即可求出答案．
【详解】如图，
∵帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
由题意可知， ，
∴，
∴
在中，，
∴，
故答案为：
【变式练1】（2024长春一模）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据正弦三角函数的定义判断即可．
∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ABC=α，
∴．
【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．
【变式练2】（2024湖北武汉一模）如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75)
【答案】该铁塔的高AE为52米．
【解析】如图，过点C作CF⊥AB于点F．
设塔高AE=x，由题意得：
EF=BE-CD=56-27=29，AF=AE+EF=(x+29)，
在Rt△AFC中，
∵∠ACF=36°52′，AF=(x+29)，
∴CF===x+，
在Rt△ABD中，
∵∠ADB=45°，AB=x+56，∴BD=AB=x+56.
∵CF=BD，∴x+56=x+. 解得：x=52.
答：该铁塔的高AE为52米．
【变式练3】（2024山东烟台一模）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（　　）
A. 北偏东70° B. 北偏东75° C. 南偏西70° D. 南偏西20°
【答案】A
【解析】根据题意可得∠ABC＝75°，AD∥BE，AB＝AC，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝75°，从而求出∠BAC的度数，然后利用平行线的性质可得∠DAB＝∠ABE＝40°，从而求出∠DAC的度数，即可解答．
如图：由题意得：
∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∥BE，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，
∵AD∥BE，
∴∠DAB＝∠ABE＝40°，
∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°，
∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东70°．
．
【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式练4】（2024江苏扬州一模）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（　　）
（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
【答案】D
【分析】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，根据斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设EF＝x，则DF＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出EF与DF的长，故可得出CF的长．由矩形的判定定理得出四边形EFCM是矩形，故可得出EM＝FC，CM＝EF，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出答案．
【解析】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，
∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝CD＝78米，
∴设EF＝x，则DF＝2.4x．
在Rt△DEF中，
∵EF2+DF2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝782，
解得x＝30，
∴EF＝30米，DF＝72米，
∴CF＝DF+DC＝72+78＝150米．
∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，
∴四边形EFCM是矩形，
∴EM＝CF＝150米，CM＝EF＝30米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝43°，
∴AM＝EM tan43°≈150×0.93＝139.5米，
∴AC＝AM+CM＝139.5+30＝169.5米．
∴AB＝AC﹣BC＝169.5﹣144.5＝25米．
考点1. 特珠角的三角函数值
1. （2024深圳）计算：．
【答案】
【解析】本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂．先将各项化简，再算乘法，最后从左往右计算即可得
【详解】
．
考点2. 直角三角形的边角关系
1. （2024云南省）在中，∠B=90°，已知，则的值为（　　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据三角函数的定义求解即可．
∵∠B=90°， ，
∴=，故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数的求法，解题关键是理解三角函数的意义，明确是直角三角形中哪两条边的比．
2. （2024四川达州）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 3
【答案】B
【解析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长交格点于点，连接，分别在格点上，根据菱形的性质，进而得出，解直角三角形求得的长，根据对顶角相等，进而根据正切的定义，即可求解．
【详解】如图所示，延长交格点于点，连接，分别在格点上，
依题意，，
∴
∴
又，
∴
∴ 故选：B．
3. （2024湖南省）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为________分米（结果用含根号的式子表示）．
【答案】##
【解析】题目主要考查解三角形及利用三角形等面积法求解，延长交l于点H，连接，根据题意及解三角形确定，，再由等面积法即可求解，作出辅助线是解题关键．
【详解】解：延长交l于点H，连接，如图所示：
在中，，
，
即，
解得：．
4. （2024深圳）如图，在中，，，D上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则________．
【答案】
【解析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，平行线分线段成比例，先设，根据，，得出再分别用勾股定理求出，故，再运用解直角三角形得出，，代入，化简即可作答．
【详解】解：如图，过点A作垂足为H,
∵，，
设，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得
∴，，
∴，，
∴，
过点C作垂足为M，
∴，，
∵,，
∴，
∴
考点3. 锐角三角函数的实际应用
1. （2024深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（ ）（参考数据：，，）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先证明四边形、、是矩形，再设，表示，然后在以及运用线段和差关系，即，再求出，即可作答．
【详解】如图：延长交于一点，
∵
∴四边形是矩形
∵
∴四边形是矩形
同理得四边形是矩形
依题意，得，
∴，
∴
∴设，则
在
∴
即
在
∴
即
∴
∴
∴
∴ 故选：A
2. （2024黑龙江绥化）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为______m（结果保留根号）．
【答案】##
【解析】本题考查解直角三角形—仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解答此题的关键．根据题意得，然后利用三角函数求解即可．
【详解】依题意，．
中，，
在中，，
∴．
3. （2024江苏盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为________m．（精确到，参考数据：，，）
【答案】17
【解析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，延长交直线于点H，先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可求解．
【详解】解：如图，延长交直线于点H，则，
由题意知，
在中，，即，
解得，
，
，，
，
，
．
4. （2024广州）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米．
（1）求的长；
（2）若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，）
【答案】（1）的长约为8米； （2）模拟装置从点下降到点时间为秒．
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键．
（1）过点作交于点，根据余弦值求出的长即可；
（2）先由勾股定理，求出的长，再利用正弦值求出的长，进而得到的长，然后除以速度，即可求出下降时间．
【小问1详解】解：如图，过点作交于点，
由题意可知，，
，
在中，，米，
，
米，
即的长约为8米；
【小问2详解】解：米，米，
米，
在中，，米，
，
米，
米，
模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，
模拟装置从点下降到点的时间为秒，
即模拟装置从点下降到点的时间为秒．
5. （2024重庆市A）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，）
（1）求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明．
【答案】（1），两港之间的距离海里；
（2）甲货轮先到达港．
【解析】【分析】（）过作于点，由题意可知：，，求出，即可求解；
（）通过三角函数求出甲行驶路程为：，乙行驶路程为：，然后比较即可；
本题考查了方位角视角下的解直角三角形，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
【小问1详解】
如图，过作于点，
∴，
由题意可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴（海里），
∴，两港之间的距离海里；
【小问2详解】
由（）得：，，，
∴，
∴，
由题意得：，，
∴，
∴，（海里），
∴甲行驶路程为：（海里），乙行驶路程为：（海里），
∵，且甲、乙速度相同，
∴甲货轮先到达港．
6. （2024重庆市B）如图，，，，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，）
（1）求的长度（结果精确到千米）；
（2）甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？
【答案】（1）千米
（2）甲选择的路线较近
【解析】
【小问1详解】
解：如图所示，过点B作于E，
由题意得，，
∴，
在中，千米，
∴千米，
在中，千米，
∴的长度约为千米；
【小问2详解】
解：如图所示，过点C作于D，
在中，千米，
∴千米，
在中，千米，
千米，
在中，，
∴千米，
千米，
∴千米，千米，
∵，
∴甲选择的路线较近．
7. （2024甘肃临夏）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度的实践活动．为乾元塔的顶端，，点，在点的正东方向，在点用高度为1.6米的测角仪（即米）测得点仰角为，向西平移14.5米至点，测得点仰角为，请根据测量数据，求乾元塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，）
【答案】乾元塔的高度约为米
【解析】本题考查解直角三角形的应用，设平移后得到，延长交于点，设，分别解，表示出的长，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设平移后得到，延长交于点，则：，，，
设，则：，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
答：乾元塔的高度约为米．
8. （2024甘肃威武）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．）
【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点作于G，连接，则四边形是矩形，可得，，再证明四边形是矩形，则，，进一步证明三点共线，得到；设，解得到；解得到；则，解得，即，则．
【详解】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
由题意可得，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴三点共线，
∴；
设，
在中，，
∴
∴；
在中，，
∴
∴；
∴，
解得，
∴，
∴，
∴风电塔筒的高度约为．
9. （2024贵州省）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求的长；
（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：，，）
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据等腰三角形的性质计算出的值；
（2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可．
【小问1详解】
解：在中，，
∴，
∴，
【小问2详解】
解：由题可知，
∴，
又∵，
∴，
∴．
考点1. 特珠角的三角函数值
1. = ______.
【答案】.
【解析】根据特殊角的三角函数值填空即可.
由特殊角的三角函数值，能够确定=.故答案是
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值.
考点2. 直角三角形的边角关系
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin A=.求BC的长和tan B的值．
【答案】见解析。
【解析】用正弦的定义即可求得BC，而要求tan B则先要用勾股定理求得AC．
∵sin A==，AB=10，∴BC=4．
∵AC=，
∴tan B==．
2. （2022广西贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠A的度数．
∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，
∴∠A=90°-∠B=90°-56°=34°．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
3. （2022江苏扬州）在中，，分别为的对边，若，则的值为__________．
【答案】
【解析】如图所示：
在中，由勾股定理可知：，
，
，
， ，，
，即：，
求出或（舍去），
在中：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在中， ，，．
4. 如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
【答案】AC=4，sinA=
【解析】根据勾股定理求出AC，根据正弦的定义计算，得到答案．
∵∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3，
∴．
．
【点睛】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握正弦的定义是解题的关键．
考点3. 锐角三角函数的实际应用
1．如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面．（点在同一平面内）
（1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）；
（2）求大桥主架在水面以上的高度．（结果精确到1米）（参考数据）
【答案】（1）大桥主架在桥面以上的高度为米；（2）大桥主架在水面以上的高度约为50米．
【解析】（1）垂直于桥面
在中，
（米）
答：大桥主架在桥面以上的高度为米．
（2）在中，
（米）答：大桥主架在水面以上的高度约为50米．
【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的前提．
2. 如图，岛在A岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则的大小是_____．
【答案】或者85度
【解析】过作交于，根据方位角的定义，结合平行线性质即可求解．
岛在A岛的北偏东方向，
，
岛在岛的北偏西方向，
，
过作交于，如图所示：
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查方位角的概念与平行线的性质求角度，理解方位角的定义，并熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
3. 如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：，，．
【答案】96米
【解析】【分析】根据题意可得是直角三角形，解可求出AC的长，再证明是直角三角形，求出BC的长，根据AB=AC-BC可得结论．
【详解】∵A，B均在C的北偏东37°方向上，A在D的正北方向，且点D在点C的正东方，
∴是直角三角形，
∴，
∴∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°，
在Rt△ACD中，，CD=90米，
∴米，
∵，
∴
∴，
∴ 即是直角三角形，
∴，
∴米，
∴米，
答：A，B两点间的距离为96米．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形-方向角问题的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题．
4．如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．
【解析】（1）过点C作CE⊥AB于点E，根据题意可得∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝25海里，根据勾股定理可得AE＝CE＝25（海里），由∠CBE＝30°，即可得结论；
（2）作CF⊥DB于点F，证明四边形CEBF是矩形，可得FB＝CE＝25（海里），CF＝BE＝25（海里），根据勾股定理求出CD的长，进而可得救援船到达C点需要的最少时间．
解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，
根据题意可知：∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝25海里，
∴AE＝CE＝25（海里），
∵∠CBE＝30°，
∴BE＝25（海里），
∴BC＝2CE＝50（海里）．
答：观测点B与C点之间的距离为50海里；
（2）如图，作CF⊥DB于点F，
∵CF⊥DB，FB⊥EB，CE⊥AB，
∴四边形CEBF是矩形，
∴FB＝CE＝25（海里），CF＝BE＝25（海里），
∴DF＝BD+BF＝30+25＝55（海里），
在Rt△DCF中，根据勾股定理，得
CD＝＝＝70（海里），
∴70÷42＝（小时）．
答：救援船到达C点需要的最少时间是小时．
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