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【名师导航】2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第五章 圆
5.3 与圆有关的计算
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 弧长、扇形面积的计算 ☆☆ 数学中考中，与圆有关计算部分，每年考查1道题,分值为3分，通常以填空题的形式考察。需要学生熟练掌握 弧长、扇形面积的计算，对圆柱、圆锥的相关计算也不能忽视。不规则图形的面积的计算问题基本思路就是转化成规则图形的面积计算。
考点2 圆柱、圆锥的相关计算 ☆
考点3 不规则图形的面积的计算 ☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
考点1. 弧长、扇形面积的计算
1. 与弧长相关的计算
扇形的弧长计算公式为：__________
注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
2. 与扇形面积相关的计算
（1）扇形的定义：圆的一条弧和经过这条弧的_____的两条半径所围成的图形叫作扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
（2）扇形的面积公式为S==．扇形的面积与______、_____有关。
3. 弓形的面积公式
S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形
考点2. 圆柱、圆锥的相关计算
1. 圆柱侧面展开图可以求解圆柱的表面积
=
2. 圆柱的体积：
3.圆锥及相关概念
（1）圆锥的母线：我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的____叫做圆锥的母线．圆锥有无数条母线，它们都相等．
（2）圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面____之间的距离是圆锥的高．
注意：如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是：r2+h2=l2
4.圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图是______。
（1）其侧面展开图扇形的半径=母线的长l
（2）侧面展开图扇形的弧长=底面周长 C=2πr，
（3）圆锥的侧面积计算公式(r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 )
（4）圆锥的全面积计算公式
S圆锥全＝侧面积＋底面圆面积=πrl＋πr2．
考点3. 不规则图形的面积的计算
求阴影部分面积的几种常见方法：
（1）公式法；
（2）割补法；
（3）拼凑法；
（4）等积变形构造方程法；
（5）去重法．
考点1. 弧长、扇形面积的计算
【例题1】（2024安徽省）若扇形的半径为6，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【例题2】（2024甘肃威武）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，若，，则阴影部分的面积是______ ．（结果用π表示）
【变式练1】（2024大连一模）圆心角为，半径为3的扇形弧长为（ ）
A. B. C. D.
【变式练2】（2024江苏连云港一模）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
考点2. 圆柱、圆锥的相关计算
【例题3】（2024广州）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
【变式练1】（2024广安一模）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，圆柱的高CD＝2.5m，则下列说法错误的是（　　）
A．圆柱的底面积为4πm2
B．圆柱的侧面积为10πm2
C．圆锥的母线AB长为2.25m
D．圆锥的侧面积为5πm2
【变式练2】（2024河南一模）如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（ ）
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
考点3. 不规则图形的面积的计算
【例题4】（2024山东威海）如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【变式练1】（2024广州一模）如图，在中，，，，将绕点O顺时针旋转后得，将线段绕点E逆时针旋转后得线段，分别以O，E为圆心，、长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分面积是（　　）
A．π B． C． D．
考点1. 弧长、扇形面积的计算
1. （2024贵州省）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川成都市）如图，在扇形中，，，则的长为______．
3. （2024河南省）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
4. （2024重庆市A）如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
5. （2024吉林省）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制铅球场地设计图如图所示，该场地由和扇形组成，分别与交于点A，D．，，，则阴影部分的面积为______（结果保留）．
6. （2024深圳）如图，在矩形中，，O为中点，，则扇形的面积为________．
7. （2024甘肃临夏）如图，对折边长为2的正方形纸片，为折痕，以点为圆心，为半径作弧，分别交，于，两点，则的长度为______（结果保留）．
考点2. 圆柱、圆锥的相关计算
1.（2024黑龙江大庆） 如图所示，一个球恰好放在一个圆柱形盒子里，记球的体积为，圆柱形盒子的容积为，则______．（球体体积公式：，其中r为球体半径）
2. （2024云南省）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. 平方厘米 B. 平方厘米
C. 平方厘米 D. 平方厘米
3. （2024黑龙江齐齐哈尔）若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为______cm．
4. （2024黑龙江绥化）用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．
5. （2024江苏盐城）已知圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积是______．
6. （2024山东烟台）如图，在边长为6的正六边形中，以点F为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．
7. （2024广东） 综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
素材】如图1所示：
①一张直径为的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗．
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．
【实践探索】
（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．
（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留）
考点3. 不规则图形的面积的计算
1. （2024四川遂宁）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（ ）
A. B. C. D.
2. （2024黑龙江大庆）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是______．
3. （2024黑龙江齐齐哈尔）如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
4. （2024山东枣庄）如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接．
（1）求证：为所在圆的切线；
（2）求图中阴影部分面积．（结果保留）
考点1. 弧长、扇形面积的计算
1．某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为O，点C，D分别在OA，OB上．已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘的长为（　　）
A．8πm B．4πm C．πm D．πm
2. 某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（ ）
A. cm B. cm C. cm D. cm
3. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．
A. B. C. D.
考点2. 圆柱、圆锥的相关计算
1．如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（　　）
A．cm2 B．cm2 C．175πcm2 D．350πcm2
2．如图，圆锥的高是4，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是 　　（结果保留π）．
3. 如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为_______．（结果保留）
4．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆半径为__________．
5．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20πcm，侧面积为240πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是 　　度．
6．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）
7.如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F．
（1）求由弧EF及线段FC.CB.BE围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．
考点3. 不规则图形的面积的计算
1. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，若OA＝2，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．+ D．
2. 如图，点A，B，C在上，，连接，．若的半径为3，则扇形（阴影部分）的面积为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是　　 ．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．8﹣π B．4﹣π C．2﹣ D．1﹣
5．如图，直径AB＝6的半圆，绕B点顺时针旋转30°，此时点A到了点A'，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C．π D．3π
6．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．10π B．9π C．8π D．6π
7．如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π﹣1 B．1 C．π D．
8．如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 　 　．
9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．
10.如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．
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第五章 圆
5.3 与圆有关的计算
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 弧长、扇形面积的计算 ☆☆ 数学中考中，与圆有关计算部分，每年考查1道题,分值为3分，通常以填空题的形式考察。需要学生熟练掌握 弧长、扇形面积的计算，对圆柱、圆锥的相关计算也不能忽视。不规则图形的面积的计算问题基本思路就是转化成规则图形的面积计算。
考点2 圆柱、圆锥的相关计算 ☆
考点3 不规则图形的面积的计算 ☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
考点1. 弧长、扇形面积的计算
1. 与弧长相关的计算
扇形的弧长计算公式为：l=
注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
2. 与扇形面积相关的计算
（1）扇形的定义：圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
（2）扇形的面积公式为S==．扇形的面积与圆心角、半径有关。
3. 弓形的面积公式
S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形
考点2. 圆柱、圆锥的相关计算
1. 圆柱侧面展开图可以求解圆柱的表面积
=
2. 圆柱的体积：
3.圆锥及相关概念
（1）圆锥的母线：我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线叫做圆锥的母线．圆锥有无数条母线，它们都相等．
（2）圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高．
注意：如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是：r2+h2=l2
4.圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图是扇形。
（1）其侧面展开图扇形的半径=母线的长l
（2）侧面展开图扇形的弧长=底面周长 C=2πr，
（3）圆锥的侧面积计算公式(r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 )
（4）圆锥的全面积计算公式
S圆锥全＝侧面积＋底面圆面积=πrl＋πr2．
考点3. 不规则图形的面积的计算
求阴影部分面积的几种常见方法：
（1）公式法；
（2）割补法；
（3）拼凑法；
（4）等积变形构造方程法；
（5）去重法．
考点1. 弧长、扇形面积的计算
【例题1】（2024安徽省）若扇形的半径为6，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】此题考查了弧长公式，根据弧长公式计算即可．
由题意可得，的长为,故选：C．
【例题2】（2024甘肃威武）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，若，，则阴影部分的面积是______ ．（结果用π表示）
【答案】
【解析】根据扇形面积公式计算即可．本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
∵圆心角，，，
∴阴影部分的面积是
．
【变式练1】（2024大连一模）圆心角为，半径为3的扇形弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据弧长公式（弧长为l，圆心角度数为n，圆半径为r），由此计算即可．
该扇形的弧长，故选：C．
【点睛】本题考查了扇形的弧长计算公式（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），正确记忆弧长公式是解答此题的关键．
【变式练2】（2024江苏连云港一模）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可．
如图，过点OC作OD⊥AB于点D，
∵∠AOB=2×=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1，
∴OD=，
∴阴影部分的面积为，故选：B．
【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法是正确解答的关键．
考点2. 圆柱、圆锥的相关计算
【例题3】（2024广州）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等是解题关键，设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可．
设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，
圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5，
扇形的弧长为，
圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等，
，
，
圆锥的高为，
圆锥的体积为，故选：D．
【变式练1】（2024广安一模）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，圆柱的高CD＝2.5m，则下列说法错误的是（　　）
A．圆柱的底面积为4πm2
B．圆柱的侧面积为10πm2
C．圆锥的母线AB长为2.25m
D．圆锥的侧面积为5πm2
【答案】C
【解析】∵底面圆半径DE＝2m，
∴圆柱的底面积为4πm2，所以A选项不符合题意；
∵圆柱的高CD＝2.5m，
∴圆柱的侧面积＝2π×2×2.5＝10π（m2），所以B选项不符合题意；
∵底面圆半径DE＝2m，即BC＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，
∴圆锥的母线长AB＝＝2.5（m），所以C选项符合题意；
∴圆锥的侧面积＝×2π×2×2.5＝5π（m2），所以D选项不符合题意．故选：C．
【变式练2】（2024河南一模）如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（ ）
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
【答案】C
【解析】【分析】先利用勾股定理计算出AC=25cm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积．
【详解】在中，
cm，
∴它侧面展开图的面积是cm2．故选：C
【点睛】本题考查了圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键．
考点3. 不规则图形的面积的计算
【例题4】（2024山东威海）如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形的面积，即可求解．
∵，，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵点是的中点
∴
∴
∴
∴，，
点落在阴影部分的概率是 故选：B．
【变式练1】（2024广州一模）如图，在中，，，，将绕点O顺时针旋转后得，将线段绕点E逆时针旋转后得线段，分别以O，E为圆心，、长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分面积是（　　）
A．π B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质，扇形的面积公式为．作于H，根据勾股定理求出，根据阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积、利用扇形面积公式计算即可．
【详解】作于H，
∵，，，
∴，
由旋转，得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积
故选：C．
考点1. 弧长、扇形面积的计算
1. （2024贵州省）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了弧长，根据弧长公式∶求解即可．
∵，，
∴的长为，故选∶C．
2. （2024四川成都市）如图，在扇形中，，，则的长为______．
【答案】
【解析】此题考查了弧长公式，把已知数据代入弧长公式计算即可．
由题意得的长为
3. （2024河南省）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】过D作于E，利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出，利用弧、弦的关系证明，利用三线合一性质求出，，在中，利用正弦定义求出，最后利用扇形面积公式求解即可．
【详解】过D作于E，
∵是边长为的等边三角形的外接圆，
∴，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键．
4. （2024重庆市A）如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识．根据题意可得，由勾股定理得出，用矩形的面积减去2个扇形的面积即可得到结论．
【详解】解：连接，
根据题意可得，
∵矩形，∴，，
在中，，
∴图中阴影部分的面积．故选：D．
5. （2024吉林省）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制铅球场地设计图如图所示，该场地由和扇形组成，分别与交于点A，D．，，，则阴影部分的面积为______（结果保留）．
【答案】
【解析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解．
由题意得：，
6. （2024深圳）如图，在矩形中，，O为中点，，则扇形的面积为________．
【答案】
【解析】本题考查了扇形的面积公式，解直角三角形．利用解直角三角形求得，，得到，再利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】∵，，
∴，
∵O为中点，
∴，
∵，
在中，，
∴，
同理，
∴，
∴扇形的面积为，
7. （2024甘肃临夏）如图，对折边长为2的正方形纸片，为折痕，以点为圆心，为半径作弧，分别交，于，两点，则的长度为______（结果保留）．
【答案】##
【解析】本题主要考查了弧长的计算、正方形的性质及翻折变换（折叠问题），解直角三角形，熟知正方形的性质、图形翻折的性质及弧长的计算公式是解题的关键．
由对折可知，，过点E作的垂线，进而可求出的度数，则可得出的度数，最后根据弧长公式即可解决问题．
【详解】∵折叠，且四边形是正方形
四边形是矩形，，
则，．
过点E作于P，
则，
，
在中，，
，
则，
的长度为：
考点2. 圆柱、圆锥的相关计算
1.（2024黑龙江大庆） 如图所示，一个球恰好放在一个圆柱形盒子里，记球的体积为，圆柱形盒子的容积为，则______．（球体体积公式：，其中r为球体半径）
【答案】
【解析】题考查了圆柱的体积和球的体积，根据圆柱的体积和球的体积公式计算即可得出答案．
设球的半径为，则圆柱的高为，
依题意，，
∴，
2. （2024云南省）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. 平方厘米 B. 平方厘米
C. 平方厘米 D. 平方厘米
【答案】C
【解析】本题考查了圆锥侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算即可求解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键．
【详解】圆锥的底面圆周长为厘米，
∴圆锥的侧面积为平方厘米，故选：．
3. （2024黑龙江齐齐哈尔）若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为______cm．
【答案】
【解析】本题考查了圆锥的计算．设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可得母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．
【详解】设圆锥的母线长为R，
根据题意得，
解得：．
即圆锥的母线长为，
∴圆锥的高cm，
4. （2024黑龙江绥化）用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．
【答案】
【解析】本题考查了弧长公式，根据圆锥的底面圆的周长等于侧面的弧长，代入数据计算，即可求解．
设这个圆锥的底面圆的半径为，由题意得，
解得：
5. （2024江苏盐城）已知圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积是______．
【答案】
【解析】结合题意，根据圆锥侧面积和底面圆半径、母线的关系式计算，即可得到答案．
∵圆锥的底面圆半径为，母线长为
∴圆锥的侧面积
【点睛】本题考查了圆锥的知识，解题的关键是熟练掌握圆锥的性质，从而完成求解．
6. （2024山东烟台）如图，在边长为6的正六边形中，以点F为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．
【答案】
【解析】本题考查正多边形的性质，求圆锥的底面半径，先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点作，求出的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可．
【详解】∵正六边形，
∴，，
∴，，
∴，
过点作于点，则：，
设圆锥的底面圆的半径为，则：，
∴；
故答案为：．
7. （2024广东） 综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
素材】如图1所示：
①一张直径为的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗．
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．
【实践探索】
（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．
（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留）
【答案】（1）能，见解析 （2）
【解析】本题考查了圆锥，解题的关键是：
（1）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长求出圆锥展开图的扇形圆心角，即可判断；
（2）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长，求出滤纸围成圆锥形底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求解即可．
【小问1详解】
解：能，
理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为，
根据题意，得，
解得，
∴将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁；
【小问2详解】
解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为，高为，
根据题意，得，
解得，
∴，
∴圆锥的体积为．
考点3. 不规则图形的面积的计算
1. （2024四川遂宁）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点作于，由垂径定理得，由勾股定理得，又根据圆的直径为米可得，得到为等边三角形，即得，再根据淤泥横截面的面积即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键．
【详解】过点作于，则，，
∵圆直径为米，
∴，
∴在中，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴淤泥横截面的面积，故选：．
2. （2024黑龙江大庆）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是______．
【答案】
【解析】本题考查了弧长的计算，扇形面积的计算，三角函数的应用，曲边三角形是由三段弧组成，如果周长为，则其中的一段弧长就是，所以根据弧长公式可得，即正三角形的边长为．那么曲边三角形的面积=三角形的面积+三个弓形的面积，从而可得答案．
曲边三角形的周长为，为等边三角形，
曲边三角形的面积为：
3. （2024黑龙江齐齐哈尔）如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）连接，由折叠的性质得，，再证明，推出，据此即可证明是的切线；
（2）先求得，在中，求得，再利用扇形面积公式求解即可．
【小问1详解】证明：连接，
∵，
∴，
∵沿直线翻折得到，
∴，，
∵是的半径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴于点C，
又∵为的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积公式，折叠的性质，解直角三角形．充分运用圆的性质，综合三角函数相关概念，求得线段长度是解题的关键．
4. （2024山东枣庄）如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接．
（1）求证：为所在圆的切线；
（2）求图中阴影部分面积．（结果保留）
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，圆的性质，扇形面积，等边三角形的性质等知识点，证明四边形是平行四边形是解题关键．
（1）根据圆的性质，证明，即可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，再根据圆的切线判定定理即可证得结果．
（2）先求出平行四边形的高，根据扇形面积公式三角形面积公式，平行四边形面积公式求解即可．
【小问1详解】
解：连接如图，
根据题意可知：，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴在以为直径圆上，
∴，
∴为所在圆的切线．
【小问2详解】
过作于点，
由图可得：，
在中，，，
∴，
∴，
由题可知：扇形和扇形全等，
∴，
等边三角形的面积为：，
∴
考点1. 弧长、扇形面积的计算
1．某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为O，点C，D分别在OA，OB上．已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘的长为（　　）
A．8πm B．4πm C．πm D．πm
【答案】C
【解析】根据线段的和差得到OA＝OC+AC，然后根据弧长公式即可得到结论．
∵OC＝12m，AC＝4m，
∴OA＝OC+AC＝12+4＝16（m），
∵∠AOB＝120°，
∴弯道外边缘的长为：＝（m）．
2. 某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（ ）
A. cm B. cm C. cm D. cm
【答案】A
【解析】如图，根据切线的性质可得，根据四边形内角和可得的角度，进而可得所对的圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解．如图，
PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．
，
∠P＝40°，
，
该圆半径是9cm，
cm．
【点睛】本题考查了切线的性质，求弧长，牢记弧长公式是解题的关键．
3. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可．
如图：
∵，
∴，
∵过点的两条切线相交于点，
∴,
∴,
∴．故选B．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题的关键．
考点2. 圆柱、圆锥的相关计算
1．如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（　　）
A．cm2 B．cm2 C．175πcm2 D．350πcm2
【答案】C
【解析】在Rt△AOC中，AC＝＝25（cm），
所以圆锥的侧面展开图的面积＝×2π×7×25＝175π（cm2）．故选：C．
2．如图，圆锥的高是4，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是 　　（结果保留π）．
【答案】6π．
【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
根据题意得：2πr＝，
解得：l＝3r，
∵高为4，
∴r2+42＝（3r）2，
解得：r＝，
∴母线长为3，
∴圆锥的侧面积为πrl＝π××3＝6π．
3. 如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为_______．（结果保留）
【答案】
【解析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式代值求解即可得到答案．
圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，
烟囱帽的侧面积（），
故答案为：．
【点睛】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解决问题的关键．
4．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆半径为__________．
【答案】2
【解析】结合题意，根据弧长公式，得圆锥的底面圆周长；再根据圆形周长的性质计算，即可得到答案．
∵母线长为，扇形的圆心角
∴圆锥的底面圆周长
∴圆锥的底面圆半径
5．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20πcm，侧面积为240πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是 　　度．
【答案】150
【解析】根据扇形面积公式求出圆锥的母线长，再根据弧长公式计算，得到答案．
设圆锥的母线长为lcm，扇形的圆心角为n°，
∵圆锥的底面圆周长为20πcm，
∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为20πcm，
由题意得：×20π×l＝240π，
解得：l＝24，
则＝20π，
解得，n＝150，即扇形的圆心角为150°．
6．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）
【答案】见解析。
【解析】(1)设∠BAC＝n°．根据弧EF的两种求法，构建方程，可得结论．
（2）根据S阴＝ BC AD﹣S扇形AEF求解即可．
解：（1）设∠BAC＝n°．
由题意得π DE＝,AD＝2DE,
∴n＝90,∴∠BAC＝90°．
(2)∵AD＝2DE＝10(cm),
∴S阴＝ BC AD﹣S扇形AEF＝×10×20﹣＝(100﹣25π)cm2．
7.如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F．
（1）求由弧EF及线段FC.CB.BE围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．
【答案】见解析。
【解析】（1）利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD，则可计算出BD＝6，然后利用扇形的面积公式，利用由弧EF及线段FC.CB.BE围成图形（图中阴影部分）的面积＝S△ABC﹣S扇形EAF进行计算；
∵在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，
∴∠B＝30°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴BD＝AD＝6，
∴BC＝2BD＝12，
∴由弧EF及线段FC.CB.BE围成图形（图中阴影部分）的面积
S＝S△ABC﹣S扇形EAF＝×6×12﹣＝36﹣12π；
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，解得r＝2，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高h．
根据题意得2πr＝，解得r＝2，
这个圆锥的高h＝＝4．
考点3. 不规则图形的面积的计算
1. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，若OA＝2，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．+ D．
【答案】C
【解析】连接OE、AE，
∵点C为OA的中点，
∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，
∴△AEO为等边三角形，
∴S扇形AOE＝＝π，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）
＝﹣﹣（π﹣×1×）
＝π﹣π+
＝+．
2. 如图，点A，B，C在上，，连接，．若的半径为3，则扇形（阴影部分）的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】先利用圆周角定理求出度数，然后利用扇形面积公式求解即可．
∵，
∴，
又的半径为3，
∴扇形（阴影部分）的面积为．故选：D．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，扇形面积公式等，掌握“同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解题的关键．
3. 如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是　　 ．
【答案】﹣．
【解析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、∠DOB的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是△ABC的面积减去△COD的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题．
连接OD，过D作DE⊥BC于E，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴sinC＝＝＝，BC＝＝＝2，
∴∠C＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∵OD＝BC＝，
∴DE＝，
∴阴影部分的面积是：2×2﹣﹣＝﹣，
故答案为：﹣．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．8﹣π B．4﹣π C．2﹣ D．1﹣
【答案】D
【解析】先根据直角三角形中的勾股定理求得AC＝1，再将求不规则的阴影部分面积转化为求规则图形的面积：S阴影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC），将相关量代入求解即可．
解：根据题意可知AC＝＝＝1，则BE＝BE＝AD＝AC＝1，
设∠B＝n°，∠A＝m°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，即n+m＝90，
∴S阴影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC）＝﹣（）＝1﹣＝1﹣，
5．如图，直径AB＝6的半圆，绕B点顺时针旋转30°，此时点A到了点A'，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C．π D．3π
【答案】D
【解析】由半圆A′B面积+扇形ABA′的面积﹣空白处半圆AB的面积即可得出阴影部分的面积．
∵半圆AB，绕B点顺时针旋转30°，
∴S阴影＝S半圆A′B+S扇形ABA′﹣S半圆AB
＝S扇形ABA′
＝3π，
6．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．10π B．9π C．8π D．6π
【答案】A
【分析】连接OC，易证得四边形CDOE是矩形，则△DOE≌△CEO，得到∠COB＝∠DEO＝∠CDE＝36°，图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，利用扇形的面积公式即可求得．
【解析】连接OC，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四边形CDOE是矩形，
∴CD∥OE，
∴∠DEO＝∠CDE＝36°，
由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，
∴∠COB＝∠DEO＝36°
∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，
∵S扇形OBC10π
∴图中阴影部分的面积＝10π
7．如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π﹣1 B．1 C．π D．
【答案】B
【分析】根据矩形的判定定理得到四边形CDOE是矩形，连接OC，根据全等三角形的性质得到OD＝OE，得到矩形CDOE是正方形，根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论．
【解析】∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，
∴四边形CDOE是矩形，
连接OC，
∵点C是的中点，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OC＝OC，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴OD＝OE，
∴矩形CDOE是正方形，
∵OC＝OA，
∴OE＝1，
∴图中阴影部分的面积1×11
8．如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 　 　．
【答案】2﹣．
【解析】连接PB、PC，作PF⊥BC于F，
∵PB＝PC＝BC，
∴△PBC为等边三角形，
∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，
∴BF＝PB cos60°＝PB＝1，PF＝PB sin60°＝，
则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP的面积﹣（扇形BPC的面积﹣△BPC的面积）]×2
＝[﹣（﹣×2×）]×2＝2﹣，
故答案为：2﹣．
9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：连接OF，AO，
∵AB＝AF＝EF，
∴＝＝，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠BFO＝30°，
∴∠ABF＝∠OFB，∴AB∥OF，
∵FG⊥BA，∴OF⊥FG，
∴FG是⊙O的切线；
（2）解：∵＝＝，
∴∠AOF＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AFO＝60°，∴∠AFG＝30°，
∵FG＝2，
∴AF＝4，∴AO＝4，
∵AF∥BE，
∴S△ABF＝S△AOF，
∴图中阴影部分的面积＝＝．
10.如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．
【答案】见解析。
【解析】（1）证明：连接OA，则∠COA＝2∠B，
∵AD＝AB，∴∠B＝∠D＝30°，∴∠COA＝60°，
∴∠OAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴OA⊥AD，
即CD是⊙O的切线；
（2）解：∵BC＝4，∴OA＝OC＝2，
在Rt△OAD中，OA＝2，∠D＝30°，
∴OD＝2OA＝4，AD＝2，
所以S△OAD＝OA AD＝×2×2＝2，
因为∠COA＝60°，
所以S扇形COA＝＝π，
所以S阴影＝S△OAD﹣S扇形COA＝2﹣．
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