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【名师导航】2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第六章 图形的变化
6.4 视图与投影
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 三视图与投影 ☆☆☆ 数学中考中，有关视图与投影的部分，每年考查1道题,属于必考知识点，难度不大，难度系数0.7，分值为3分，通常以选择题的形式考查。对于这部分的复习需要学生熟练掌握三视图概念和区分，理解投影的类型及其区别，对几何体的平面展开图通过强化训练就会化难为易。
考点2 几何体的平面展开图 ☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示中频考点。
考点1. 三视图与投影
1. 投影、平行投影、中心投影
(1) 投影：物体在光线的照射下，会在某个平面 (地面或墙壁)上留下它的_____，这就是投影现象。
(2) 平行投影：_____光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影，称为平行投影。
(3) 中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从_____发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影。
(4) 平行投影与中心投影的区别与联系：
2.正投影
(1) 概念：投影线_____于投影面产生的投影叫做正投影．
(2) 性质：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的____、____完全相同．
【方法指导】A. 根据两种物体的影子判断其是在灯光下还是在阳光下的投影，关键是看这两种物体的顶端和其影子的顶端的连线是平行还是相交，若平行则是在阳光下的投影，若相交则是在灯光下的投影．
B. 光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终在物体的两侧．
C. 物体的投影分为中心投影和平行投影．
3.三视图
(1) 三视图的概念
将三个投影面展开在一个平面内，得到这个物体的一张三视图.
1）主视图：从___面看得到的视图叫做主视图．
2）左视图：从____面看得到的视图叫做左视图．
3）俯视图：从___面看得到的视图叫做俯视图．
【注意】在三种视图中，主视图反映物体的长和高，左视图反映了物体的宽和高，俯视图反映了物体的长和宽．
(2) 三视图的画法：
①确定主视图的_____，画出主视图；
②在主视图____下方画出俯视图，注意与主视图长对正；
③在主视图正____方画出左视图，注意与主视图高平齐，与俯视图宽相等；
④为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加画点划线表示对称轴.
注意：不可见的轮廓线，用____线画出.
【易错提示】①画三视图要注意三要素：主视图与俯视图长度相等；主视图与左视图高度相等；左视图与俯视图宽度相等．简记为“主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等”．
②注意实线与虚线的区别：能看到的线用实线，看不到的线用虚线．
(3)常见几何体的三视图：
(4) 由三视图确定几何体：
由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、主面和左侧面的局部形状，然后再综合起来考虑整体图形．
(5) 由三视图确定几何体的面积和体积：
①先根据给出的三视图确定立体图形，并确定立体图形的长、宽、高、底面半径等；
②根据已知数据，求出立体图形的体积（或将立体图形展开成一个平面图形，求出展开图的面积）.
考点2 几何体的平面展开图
1. 展开图：将立体图形沿某几条____剪开，可以展开成平面图形.这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
2. 几何体展开图规律如下：
（1）沿多面体的棱将多面体剪开成平面图形,若干个平面图形也可以____一个多面体；
（2）同一个多面体沿不同的棱剪开,得到的平面展开图是不一样的,就是说:同一个立体图形可以有多种_____的展开图。
3．常见几何体的展开图
几何体 立体图形 表面展开图 侧面展开图
圆柱
圆锥
三棱柱
【易错提示】正方体的展开图
正方体有11种展开图，分为四类：
第一类，中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图：
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图：
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有1种，如图10；
第四类，两排各有三个，也只有1种，如图11．
考点1. 三视图与投影
【例题1】（2024福建省）如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【变式练1】（2024武汉一模）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【变式练2】（2024贵州遵义一模）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【变式练3】（2024四川眉山一模）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【变式练4】（2024内蒙古呼和浩特一模）图中几何体的三视图是（ ）
A. B. C. D.
【变式练5】（2024山东潍坊一模）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（　　）
A．20π B．18π C．16π D．14π
【例题2】（2024黑龙江绥化）下列叙述正确的是（ ）
A. 顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形
B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影
D. 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等
【变式练1】（2024河北石家庄一模）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式练2】（2024河南郑州一模）小华家客厅有一张直径为高为的圆桌有一盏灯到地面垂直距离为圆桌的影子为，则点到点的距离为_______．
【变式练3】（2024浙江杭州一模）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB=_________m．
考点2. 几何体的平面展开图
【例题3】（2024江苏盐城）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A. 湿 B. 地 C. 之 D. 都
【变式练1】（2024黑龙江大庆一模）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（　　）
A B C D
【变式练2】（2024吉林长春一模）已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为5，底边长为4的等腰三角形，则该几何体的侧面展开图的面积是　　．（结果保留π）
【变式练3】（2024沈阳一模）下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（　　）
A． B． C． D．
考点1 三视图与投影
1. （2024甘肃威武）如图所示，该几何体的主视图是（　　）
A. B. C. D.
2. （2024广西）榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
3. （2024河北省）如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
4. （2024四川成都市）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
5. （2024山东威海）下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A. B. C. D.
6. （2024四川广元）一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
7. （2024甘肃临夏）马家窑彩陶绚丽典雅，符号丰富，被称为彩陶文化的“远古之光”．如图是一件马家窑彩陶作品的立体图形，有关其三视图说法正确的是（ ）
A. 主视图和左视图完全相同 B. 主视图和俯视图完全相同
C. 左视图和俯视图完全相同 D. 三视图各不相同
8. （2024黑龙江齐齐哈尔）如图，若几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体左视图与俯视图的面积和是（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9·
9. （2024黑龙江绥化）某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
考点2 几何体的平面展开图
1. （2024青海省）生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024江苏常州）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（ ）
A. B. C. D.
3. （2024江苏扬州）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（ ）
A. 三棱锥 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 长方体
4. （2024江西省）如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ）
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
5. （2024四川德阳）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日，在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A、B、C处依次写上的字可以是（ ）
A. 吉 如 意 B. 意 吉 如 C. 吉 意 如 D. 意 如 吉
6. （2024四川广安）将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A. 校 B. 安 C. 平 D. 园
7. （2024福建省）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
图1 图2 图3
（1）直接写出的值；
（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）
图4
A． B．
C． D．
（3）
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格（单位：cm）
单价（单位：元） 3 5 20
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
考点1 三视图与投影
1. 如图，是一个底面为等边三角形的正三棱柱，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
2．如图所示的几何体的主视图是（　　）
A．B． C．D．
3. 下列图形中，主视图和左视图一样的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图是由五个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
5．下面四个几何体中，左视图为圆的是（　　）
A． B． C． D．
6. 如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是（　　）
A. B. C. D.
7.下列几何体中，俯视图不是圆的是（　　）
A.四面体 B．圆锥 C．球 D．圆柱
8. 某种零件模型如图所示，该几何体（空心圆柱）的俯视图是( )
A. B. C. D.
9. 如图所示的几何体的俯视图可能是（ ）
A. B. C. D.
10. 下列四个几何体中，主视图与俯视图不同的几何体是（ ）
A. B. C. D.
11. 下列几何体中，主视图为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
12. 我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是（　　）
A．7.2π B．11.52π C．12π D．13.44π
13. 如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（　　）
A．12π B．18π C．24π D．30π
14. 一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为（ ）
A．　　 B． 　　C．　　 D．
15．把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是（　　）
A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥
16. 如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
17. 把一个正五棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是图中的( )
A． B． C． D．
18．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时 刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）
A．米 B．12米 C．米 D．10米
19. 数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米．
20．如图，小明在A时测得旗杆的影长是2米，B时测得旗杆的影长是8米，两次的日照光线恰好互相垂直，则旗杆的高度是______米．
21. 一个长8cm的木棒AB，已知AB平行于投影面α，投影线垂直于α.
(1) 求影子A1B1的长度 (如图①)；
(2) 若将木棒绕其端点A逆时针旋转30°，求旋转后木棒的影长A2B2 (如图②)．
22．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．
(1)该小组的同学在这里利用的是　 　投影的有关知识进行计算的；
(2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．
23. 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．
24．如图所示，某校墙边有甲、乙两根木杆，如果乙木杆的影子刚好不落在墙上，
AB＝5 m，BC＝3 m
(1)请你画出此时DE在阳光下的投影；
(2)若同时测量出DE在阳光下的投影长为6 m，请你计算DE的长．
考点2 几何体的平面展开图
1.如图所示的是一个几何体的三视图．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)根据所示数据计算这个几何体的表面积；
(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这个线路的最短路程．
2．欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8
棱数E 6 12
面数F 4 5 8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：______________．
3．研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体ABCD﹣A′B′C′D′（图1），因为在平面AA′C′C中，CC′∥AA'，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D'，求既不相交也不平行的两直线BA′与AC所成角的大小．
（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点；
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 　 　；
②在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值．
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第六章 图形的变化
6.4 视图与投影
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 三视图与投影 ☆☆☆ 数学中考中，有关视图与投影的部分，每年考查1道题,属于必考知识点，难度不大，难度系数0.7，分值为3分，通常以选择题的形式考查。对于这部分的复习需要学生熟练掌握三视图概念和区分，理解投影的类型及其区别，对几何体的平面展开图通过强化训练就会化难为易。
考点2 几何体的平面展开图 ☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示中频考点。
考点1. 三视图与投影
1. 投影、平行投影、中心投影
(1) 投影：物体在光线的照射下，会在某个平面 (地面或墙壁)上留下它的影子，这就是投影现象。
(2) 平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影，称为平行投影。
(3) 中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影。
(4) 平行投影与中心投影的区别与联系：
2.正投影
(1) 概念：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
(2) 性质：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．
【方法指导】A. 根据两种物体的影子判断其是在灯光下还是在阳光下的投影，关键是看这两种物体的顶端和其影子的顶端的连线是平行还是相交，若平行则是在阳光下的投影，若相交则是在灯光下的投影．
B. 光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终在物体的两侧．
C. 物体的投影分为中心投影和平行投影．
3.三视图
(1) 三视图的概念
将三个投影面展开在一个平面内，得到这个物体的一张三视图.
1）主视图：从正面看得到的视图叫做主视图．
2）左视图：从左面看得到的视图叫做左视图．
3）俯视图：从上面看得到的视图叫做俯视图．
【注意】在三种视图中，主视图反映物体的长和高，左视图反映了物体的宽和高，俯视图反映了物体的长和宽．
(2) 三视图的画法：
①确定主视图的位置，画出主视图；
②在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图长对正；
③在主视图正右方画出左视图，注意与主视图高平齐，与俯视图宽相等；
④为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加画点划线表示对称轴.
注意：不可见的轮廓线，用虚线画出.
【易错提示】①画三视图要注意三要素：主视图与俯视图长度相等；主视图与左视图高度相等；左视图与俯视图宽度相等．简记为“主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等”．
②注意实线与虚线的区别：能看到的线用实线，看不到的线用虚线．
(3)常见几何体的三视图：
(4) 由三视图确定几何体：
由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、主面和左侧面的局部形状，然后再综合起来考虑整体图形．
(5) 由三视图确定几何体的面积和体积：
①先根据给出的三视图确定立体图形，并确定立体图形的长、宽、高、底面半径等；
②根据已知数据，求出立体图形的体积（或将立体图形展开成一个平面图形，求出展开图的面积）.
考点2 几何体的平面展开图
1. 展开图：将立体图形沿某几条棱剪开，可以展开成平面图形.这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
2. 几何体展开图规律如下：
（1）沿多面体的棱将多面体剪开成平面图形,若干个平面图形也可以围成一个多面体；
（2）同一个多面体沿不同的棱剪开,得到的平面展开图是不一样的,就是说:同一个立体图形可以有多种不同的展开图。
3．常见几何体的展开图
几何体 立体图形 表面展开图 侧面展开图
圆柱
圆锥
三棱柱
【易错提示】正方体的展开图
正方体有11种展开图，分为四类：
第一类，中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图：
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图：
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有1种，如图10；
第四类，两排各有三个，也只有1种，如图11．
考点1. 三视图与投影
【例题1】（2024福建省）如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
这个立体图形的俯视图是一个圆形，圆形内部中间是一个长方形．故选：C．
【变式练1】（2024武汉一模）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据从正面所看得到的图形为主视图，据此解答即可．
从正面可发现有两层，底层三个正方形，上层左边是一个正方形．故选：A．
【点睛】主要考查三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图成为解答本题的关键．
【变式练2】（2024贵州遵义一模）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据左视图的意义和画法可以得出答案．
∵该几何体为放倒的三棱柱，
∴根据左视图的画法，从左往右看，看到的是一个直角在左边的直角三角形，故选：A．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解答本题的关键．从正面、上面和左面三个不同的方向看一个物体，并描绘出所看到的三个图形，即几何体的三视图．
【变式练3】（2024四川眉山一模）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．
A、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
B、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；
C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；
D、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
【变式练4】（2024内蒙古呼和浩特一模）图中几何体的三视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据图示确定几何体的三视图即可得到答案．
由几何体可知，该几何体的三视图为
故选C
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的视图方位及画法是解题的关键，注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示．
【变式练5】（2024山东潍坊一模）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（　　）
A．20π B．18π C．16π D．14π
【答案】B
【解析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体，根据图中给定数据求出表面积即可．
由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体，且底面半径为，
∴这个几何体的表面积=底面圆的面积+圆柱的侧面积+圆锥的侧面积
=22π+222π+32π=18π，故选：B．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体、圆锥和圆柱的计算，由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体是解题的关键．
【例题2】（2024黑龙江绥化）下列叙述正确的是（ ）
A. 顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形
B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影
D. 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等
【答案】C
【解析】本题考查了矩形的判定，垂径定理，中心投影，弧、弦与圆心角的关系，根据相关定理逐项分析判断，即可求解．
A. 顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意；
C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，故该选项正确，符合题意；
D. 在同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正确，不符合题意；故选：C．
【变式练1】（2024河北石家庄一模）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据太阳光下的影子的特点：（1）同一时刻，太阳光下的影子都在同一方向；（2）太阳光线是平行的，太阳光下的影子与物体高度成比例，据此逐项判断即可．
选项A、B中，两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下的影子，则选项A、B错误
选项C中，树高与影长成反比，不可能为同一时刻阳光下的影子，则选项C错误
选项D中，在同一时刻阳光下，影子都在同一方向，且树高与影长成正比，则选项D正确故选：D．
【变式练2】（2024河南郑州一模）小华家客厅有一张直径为高为的圆桌有一盏灯到地面垂直距离为圆桌的影子为，则点到点的距离为_______．
【答案】4
【解析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴=.
∵AB=1.2，∴CD=2.又∵FC=2,∴DF=CD+FC=2+2=4．故答案为：4．
【变式练3】（2024浙江杭州一模）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB=_________m．
【答案】9.88
【解析】根据平行投影得AC∥DE，可得∠ACB=∠DFE，证明Rt△ABC∽△Rt△DEF，然后利用相似三角形的性质即可求解．
∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．
∴AC∥DE，
∴∠ACB=∠DFE，
∵AB⊥BC，DE⊥EF，
∴∠ABC=∠DEF=90°，
∴Rt△ABC∽△Rt△DEF，
∴，即，
解得AB=9.88，
∴旗杆的高度为9.88m．
故答案为：9.88．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．证明Rt△ABC∽△Rt△DEF是解题的关键．
考点2. 几何体的平面展开图
【例题3】（2024江苏盐城）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A. 湿 B. 地 C. 之 D. 都
【答案】C
【解析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由此可解．
由正方体表面展开图的特征可得：
“盐”的对面是“之”，
“地”的对面是“都”，
“湿”的对面是“城”，故选C．
【变式练1】（2024黑龙江大庆一模）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（　　）
A B C D
【答案】B．
【解析】考点是几何体的展开图。由平面图形的折叠及几何体的展开图解题，注意带图案的一个面不是底面．本题主要考查了几何体的展开图．解题时勿忘记正四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意做题时可亲自动手操作一下，增强空间想象能力．
选项A和C带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；
选项B能折叠成原几何体的形式；
选项D折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．
【变式练2】（2024吉林长春一模）已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为5，底边长为4的等腰三角形，则该几何体的侧面展开图的面积是　　．（结果保留π）
【答案】10π
【解析】知识点有几何体的表面积；几何体的展开图；由三视图判断几何体。
由三视图可知，该几何体是圆锥，∴侧面展开图的面积＝π 2 5＝10π，故答案为10π．
【变式练3】（2024沈阳一模）下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据正方体的展开图的11种不同情况进行判断即可．
正方体展开图的11种情况可分为“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，“2﹣2﹣2型”1种，“3﹣3型”1种，因此选项D符合题意，故选：D．
【点睛】考查正方体的展开图，理解和掌握正方体的展开图的11种不同情况，是正确判断的前提．
考点1 三视图与投影
1. （2024甘肃威武）如图所示，该几何体的主视图是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了简单几何体的三视图，根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
从正面看得到的图形是：
故选：C．
2. （2024广西）榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查三视图，根据主视图是从前往后看，得到的图形，进行判断即可．
由图可知：几何体的主视图为：
故选A．
3. （2024河北省）如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查简单组合体的三视图，左视图每一列的小正方体个数，由该方向上的小正方体个数最多的那个来确定，通过观察即可得出结论．掌握几何体三种视图之间的关系是解题的关键．
【详解】通过左边看可以确定出左视图一共有列，每列上小正方体个数从左往右分别为、、．
故选：D．
4. （2024四川成都市）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形求解即可．
该几何体的主视图为，
故选：A．
5. （2024山东威海）下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了三视图；分别判断四个选项中几何体主视图、左视图与俯视图，通过比较即可得出答案．
A、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意；
B、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意；
C、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意；
D、主视图为，左视图和俯视图为，主视图、左视图与俯视图完全相同，故该选项符合题意；
故选：D．
6. （2024四川广元）一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题主要考查了组合体的三视图，解题的关键是根据从上面看到的图形是几何体的俯视图即可解答．
从上面看，如图所示：
故选：C．
7. （2024甘肃临夏）马家窑彩陶绚丽典雅，符号丰富，被称为彩陶文化的“远古之光”．如图是一件马家窑彩陶作品的立体图形，有关其三视图说法正确的是（ ）
A. 主视图和左视图完全相同 B. 主视图和俯视图完全相同
C. 左视图和俯视图完全相同 D. 三视图各不相同
【答案】D
【解析】本题考查几何体的三视图，根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看到的图形，即可得出答案．
【详解】解：该几何体的三视图各不相同，主视图的中间出有两个“耳朵”而左视图则没有；俯视图是三个同心圆（夹在中间的圆由虚线构成）．
故选：D．
8. （2024黑龙江齐齐哈尔）如图，若几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体左视图与俯视图的面积和是（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9·
【答案】B
【解析】本题考查简单组合体的三视图，根据从左面看得到的图形是左视图，从上面看的到的视图是俯视图，再根据面积的和，可得答案．
【详解】左视图：
俯视图：
∴该几何体左视图与俯视图的面积和是：
故选：B
9. （2024黑龙江绥化）某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
【答案】A
【解析】此题主考查了三视图，由主视图易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图和左视图可得第二层立方体的个数，相加即可．
【详解】由三视图易得最底层有个正方体，第二层有个正方体，那么共有个正方体组成．
故选：A．
考点2 几何体的平面展开图
1. （2024青海省）生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了立体图形的侧面展开图．熟记常见立体图形的侧面展开图的特征是解决此类问题的关键．由圆锥的侧面展开图的特征知它的侧面展开图为扇形．
圆锥的侧面展开图是扇形．
故选：D．
2. （2024江苏常州）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．根据棱锥的侧面展开图的特征即可得到答案．
棱锥的侧面是三角形，故四棱锥的侧面展开图的是
故选：B．
3. （2024江苏扬州）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（ ）
A. 三棱锥 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 长方体
【答案】C
【解析】本题考查了常见几何体的展开图，掌握常见几何体展开图的特点是解题的关键．
根据平面图形的特点，结合立体图形的特点即可求解．
【详解】根据图示，上下是两个三角形，中间是长方形，
∴该几何体是三棱柱，
故选：C ．
4. （2024江西省）如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ）
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
【答案】B
【解析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论．
【详解】如图所示：
共有2种方法，
故选：B．
5. （2024四川德阳）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日，在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A、B、C处依次写上的字可以是（ ）
A. 吉 如 意 B. 意 吉 如 C. 吉 意 如 D. 意 如 吉
【答案】A
【解析】本题考查的是简单几何体的展开图，利用四棱锥的展开图的特点可得答案．
由题意可得：展开图是四棱锥，
∴A、B、C处依次写上的字可以是吉，如，意；或如，吉，意；
故选A
6. （2024四川广安）将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A. 校 B. 安 C. 平 D. 园
【答案】A
【解析】此题考查正方体相对面上的字．根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答．
与“共”字所在面相对面上的汉字是“校”，
故选：A．
7. （2024福建省）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
图1 图2 图3
（1）直接写出的值；
（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）
图4
A． B．
C． D．
（3）
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格（单位：cm）
单价（单位：元） 3 5 20
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
【答案】（1）2； （2）C； （3）见解析．
【解析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由折叠和题意可知，，，四边形是正方形，得到，即，即可求解；
（2）根据几何体的展开图即可求解；
（3）由题意可得，每张型号卡纸可制作10个正方体，每张型号卡纸可制作2个正方体，每张型号卡纸可制作1个正方体，即可求解．
【小问1详解】
解：如图：
上述图形折叠后变成：
由折叠和题意可知，，，
∵四边形正方形，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，
∴的值为：．
【小问2详解】
解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，
∴C选项符合题意，
故选：C．
【小问3详解】
解：
卡纸型号 型号 型号 型号
需卡纸的数量（单位：张） 1 3 2
所用卡纸总费用（单位：元） 58
根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为，则要制作一个边长为的正方体的展开图形为：
∴型号卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：
型号卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：
型号卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：
∴可选择型号卡纸2张，型号卡纸3张，型号卡纸1张，则
（个），
∴所用卡纸总费用为：
（元）．
考点1 三视图与投影
1. 如图，是一个底面为等边三角形的正三棱柱，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】找到从正面看所得到的图形即可．
如图所示的正三棱柱，其主视图是矩形，矩形中间有一条纵向的虚线．
2．如图所示的几何体的主视图是（　　）
A．B． C．D．
【答案】B
【解析】根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形即可．
从正面看该组合体，所看到的图形为：
3. 下列图形中，主视图和左视图一样的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据各个几何体的主视图和左视图进行判定即可．
A．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
B．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
C．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
D．主视图和左视图相同，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握各种几何体的三视图的形状．
4. 如图是由五个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．
从左边看，有两列，从左到右第一列是两个正方形，第二列底层是一个正方形．
故选：B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义．
5．下面四个几何体中，左视图为圆的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据四个几何体的左视图进行判断即可．
下面四个几何体中，A的左视图为矩形；B的左视图为三角形；C的左视图为矩形；
D的左视图为圆．故选：D．
【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．
6. 如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
从左边看，可得如下图形：
故选：A．
【点睛】本题考查三视图、熟练掌握三视图的定义是解决问题的关键．
7.下列几何体中，俯视图不是圆的是（　　）
A.四面体 B．圆锥 C．球 D．圆柱
【答案】A
【解析】分别找出从图形的上面看所得到的图形即可．
A.俯视图是三角形，故此选项正确；
B.俯视图是圆，故此选项错误；
C.俯视图是圆，故此选项错误；
D.俯视图是圆，故此选项错误。
【点拨】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图是从几何体的上面看所得到的图形．
8. 某种零件模型如图所示，该几何体（空心圆柱）的俯视图是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】找到从上面看所得到的图形即可：空心圆柱由上向下看，看到的是一个圆环．故选C
9. 如图所示的几何体的俯视图可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
从上边看，是一个六边形和圆形．
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键．
10. 下列四个几何体中，主视图与俯视图不同的几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】正方体的主视图与俯视图都是正方形，圆柱横着放置时，主视图与俯视图都是长方形，球体的主视图与俯视图都是圆形，只有圆锥的主视图与俯视图不同．
【详解】A、正方体的主视图与俯视图都是正方形，选项不符合题意；
B、圆柱横着放置时，主视图与俯视图都是长方形，选项不符合题意；
C、圆锥的主视图与俯视图分别为圆形、三角形，故符合题意；
D、球体的主视图与俯视图都是圆形，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了简单的几何体的三视图，从不同方向看物体的形状所得到的图形可能不同．
11. 下列几何体中，主视图为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据常见几何体的主视图，依次判断即可．
A．该三棱锥的主视图为中间有条线段的三角形，故不符合题意；
B．该圆锥的主视图为三角形，故不符合题意；
C．该圆柱的主视图为矩形，故符合题意；
D．该圆台的主视图为梯形，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查常见几何体的三视图，掌握常见几何体的三视图是解答本题的关键．
12. 我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是（　　）
A．7.2π B．11.52π C．12π D．13.44π
【答案】C
【解析】根据几何体的三视图得这个几何体是上面圆锥下面是圆柱，再根据圆锥的侧面是扇形和圆柱的侧面是长方形即可求解．
观察图形可知：
圆锥母线长为：＝2（米），
所以该整流罩的侧面积为：π×2.4×4+π×(2.4÷2)×2＝12π（平方米）．
答：该整流罩的侧面积是12π平方米．
13. 如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（　　）
A．12π B．18π C．24π D．30π
【答案】B
【解析】直接利用三视图得出几何体的形状，再利用圆柱体积求法得出答案．
由三视图可得，几何体是空心圆柱，其小圆半径是1，大圆半径是2，
则大圆面积为：π×22＝4π，小圆面积为：π×12＝π，
故这个几何体的体积为：6×4π﹣6×π＝24π﹣6π＝18π．
14. 一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为（ ）
A．　　 B． 　　C．　　 D．
【答案】A．
【解析】根据三视图图形得出AC＝BC＝3，EC＝4，即可求出这个长方体的表面积．
∵如图所示，∴AB＝3，
∴AC＝BC＝3，
∴正方形ABCD面积为：3×3＝9，
侧面积为：4AC·CE＝3×4×4＝48，
∴这个长方体的表面积为：48＋9＋9＝66．
15．把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是（　　）
A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥
【答案】A
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解析】观察展开图可知，几何体是三棱柱．
16. 如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
【解析】这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由左视图可得第二层小正方体的最多个数，再相加即可．
由俯视图可知最底层有5个小正方体，由左视图可知这个几何体有两层，其中第二层最多有3个，那么搭成这个几何体所需小正方体最多有个．
故选：B．
【点睛】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
17. 把一个正五棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是图中的( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据正投影的性质，该物体为五棱柱，当投射线由正前方射到后方时，其正投影应是矩形，且宽度为对角线的长，故选C.
18．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时 刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）
A．米 B．12米 C．米 D．10米
【答案】A
【解析】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质．
延长AC交BF延长线于E点，则∠CFE=30°．
作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，
∴CE=2，EF=4cos30°=2，在Rt△CED中，CE=2，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE=4．
∴BD=BF+EF+ED=12+2．
∵△DCE∽△DAB，且CE：DE=1：2，
∴在Rt△ABD中，AB=BD=．故选A．
19. 数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米．
【答案】12
【解析】根据同时、同地物高和影长的比不变，构造相似三角形，然后根据相似三角形的性质解答．
设旗杆为AB，如图所示：
根据题意得：，
∴
∵米，米，米，
∴
解得：AB=12米．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了中心投影、相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
20．如图，小明在A时测得旗杆的影长是2米，B时测得旗杆的影长是8米，两次的日照光线恰好互相垂直，则旗杆的高度是______米．
【答案】4
【解析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质的应用，也考查了平行投影，找准相似三角形是解答此题的关键．
如图，∠CPD=90°，QC=2m，QD=8m，利用等角的余角相等得到∠QPC=∠D，则可判断Rt△PCQ∽Rt△DPQ，然后利用相似比可计算出PQ．
如图，∠CPD=90°，QC=2m，QD=8m，
∵PQ⊥CD，∴∠PQC=90°，∴∠C+∠QPC=90°，
而∠C+∠D=90°，∴∠QPC=∠D，∴Rt△PCQ∽Rt△DPQ，∴即，
∴PQ=4，即旗杆的高度为4m．故答案为4．
21. 一个长8cm的木棒AB，已知AB平行于投影面α，投影线垂直于α.
(1) 求影子A1B1的长度 (如图①)；
(2) 若将木棒绕其端点A逆时针旋转30°，求旋转后木棒的影长A2B2 (如图②)．
【答案】(1) A1B1=8cm. (2)A2B2= cm.
【解析】（1）AB平行于投影面α，投影线垂直于α.影子是正投影形成的。影子长等于物体长。
所以A1B1=AB=8cm.
（2）木棒绕其端点A逆时针旋转30°，求旋转后木棒的影长A2B2 =AE。
在Rt△AEB中，∠AEB=90，∠BAE=30°，AB=8cm.
AE可求。
22．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．
(1)该小组的同学在这里利用的是　 　投影的有关知识进行计算的；
(2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．
【答案】(1) 平行；(2)电线杆的高度为7米．
【解析】（1）平行；
（2）连接AM、CG，过点E作EN⊥AB于点N，过点G作GM⊥CD于点M，
则BN=EF=2,GH=MD=3，EN=BF=10，DH=MG=5
所以AN=10-2=8，
由平行投影可知：即
解得CD=7
所以电线杆的高度为7m．
23. 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．
【答案】旗杆的高AB为3米．
【解析】证明△AOD∽△EFG，利用相似比计算出AO的长，再证明△BOC∽△AOD，然后利用相似比计算OB的长，进一步计算即可求解．
∵AD∥EG，
∴∠ADO=∠EGF．
又∵∠AOD=∠EFG=90°，
∴△AOD∽△EFG．
∴．
∴．
同理，△BOC∽△AOD．
∴．
∴．
∴AB=OA OB=3（米）．
∴旗杆的高AB为3米．
【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
24．如图所示，某校墙边有甲、乙两根木杆，如果乙木杆的影子刚好不落在墙上，
AB＝5 m，BC＝3 m
(1)请你画出此时DE在阳光下的投影；
(2)若同时测量出DE在阳光下的投影长为6 m，请你计算DE的长．
【答案】见解析。
【解析】(1)作直线AC，过D作AC的平行线交BC于F，EF即为DE在阳光下的投影(图略)．
(2)由题意得EF＝6 m，又∵AC∥DF，∴△ABC∽△DEF，
∴，
∴，
DE＝10 m．
故DE长10 m．
考点2 几何体的平面展开图
1.如图所示的是一个几何体的三视图．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)根据所示数据计算这个几何体的表面积；
(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这个线路的最短路程．
【答案】见解析。
【解析】(1)圆锥．
(2)表面积S＝S扇形＋S圆＝πrl＋πr2
＝12π＋4π＝16π(平方厘米)．
(3)如图右图所示，将圆锥侧面展开，线段BD为所求的最短路程．
由条件得∠BAB′＝120°，C为弧BB′的中点，所以BD＝3
2．欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8
棱数E 6 12
面数F 4 5 8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：______________．
【答案】（1）表格详见解析；（2）
【解析】（1）通过认真观察图象，即可一一判断；（2）从特殊到一般探究规律即可．
【详解】（1）填表如下：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8 6
棱数E 6 9 12 12
面数F 4 5 6 8
（2）据上表中的数据规律发现，多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在关系式：．
【点睛】本题考查规律型问题，欧拉公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律的方法，属于中考常考题型．
3．研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体ABCD﹣A′B′C′D′（图1），因为在平面AA′C′C中，CC′∥AA'，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D'，求既不相交也不平行的两直线BA′与AC所成角的大小．
（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点；
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 　 　；
②在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值．
【答案】见解析。
【分析】（1）如图1中，连接BC′．证明△A′BC′是等边三角形，推出∠BA′C′＝60°，由题意可知∠C′A′B是两条直线AC与BA′所成的角．
（2）根据立方体平面展开图的特征，解决问题即可．
（3）如图丙中，作点N关于AD的对称点K，连接MK交AD于P，连接PN，此时PM+PN的值最小，最小值为线段MK的值，过点M作MJ⊥NK于J．利用勾股定理求出MK即可．
解：（1）如图1中，连接BC′．
∵A′B＝BC′＝A′C′，
∴△A′BC′是等边三角形，
∴∠BA′C′＝60°，
∵AC∥A′C′，
∴∠C′A′B是两条直线AC与BA′所成的角，
∴两直线BA′与AC所成角为60°．
（2）①观察图形可知，图形丙是图2的展开图，
故答案为：丙．
②如图丙中，作点N关于AD的对称点K，连接MK交AD于P，连接PN，此时PM+PN的值最小，最小值为线段MK的值，过点M作MJ⊥NK于J．
由题意在Rt△MKJ中，∠MJK＝90°，MJ＝5+3＝8，JK＝8﹣（4﹣2）＝6，
∴MK＝＝＝10，
∴PM+PN的最小值为10．
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