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【名师导航】2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第二章 方程与不等式
2.2 分式方程
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 分式方程的解法 ☆☆ 数学中考中，有关分式方程的部分，每年考查1道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题、解答题的形式考查。但三种形式只会出现一种。解答题基本以三种形式考查：一是给出分式方程，让学生解这个方程；二是列方程求解；三是结合不等式、函数知识综合考查。这类问题要注意解分式方程需要验根，同时注意得出结果和实际问题相符合。
考点2 分式方程的应用 ☆☆
☆
☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
考点1. 分式方程的解法
1.分式方程定义：_____里含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．
2．解分式方程的一般方法：
（1）解分式方程的基本思想：
把分式方程转化为_____方程，解这个整式方程，然后_____，从而确定分式方程的解．
（2）解分式方程的一般方法和步骤：
①______：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；
②解_____方程：去括号、移项、合并同类项等；
③_____：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
3．分式方程的特殊解法——换元法：
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法．
4．增根：使分式方程的最简公分母为的根．
（1）产生增根的原因：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，将其转化为整式方程后没有此条件限制了．
（2）分式方程的增根与无解的区别：分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．
考点2. 分式方程的应用
1.工程问题等量关系： 工作量=工作时间×______。灵活掌握它的两个变式。
2.解决工程问题的基本思路
（1）题中有“单独”字眼通常可知工作效率；
（2）通常间接设元，如× ×单独完成需 x（单位时间），则可表示出其工作效率；
（3）弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”.
（4）解题方法：可概括为“321”，即3指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量；2指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和=全部工作总量.
（5）各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．
3.行程问题等量关系： 路程=速度×_______ .灵活掌握它的两个变式。
4.解决问题注意事项：
（1）注意关键词“提速”与“提速到”的区别；
（2）明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来；
（3）行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程.
5.利润问题等量关系： 批发成本=批发数量×______；批发数量=批发成本÷批发价；打折销售价=定价×折数；销售利润=销售收入一批发成本；每本销售利润=定价一批发价；每本打折销售利润=打折销售价一批发价，利润率=利润÷进价。
6.数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法；
7.浓度问题的基本关系是：=_______．
8. 顺水逆水问题： v顺＝v静＋v水流 ， v逆＝v静－v水流.
注意：列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审清题意，并设未知数；
(2)找相等关系；
(3)列出方程；
(4)解这个分式方程；
(5)验根（包括两方面 :是否是分式方程的根； 是否符合题意）；
（6）写答案.
【易错点提示】
解分式方程过程中，易错点主要体现在：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．具体情况表现在一下几点：
1. 忘记验根。
2. 检验方法不正确。
3.忽视分子为零。
4.考虑问题不全面。
5.没有真正理解分式方程有“增根”的含义。
6.去分母时漏乘不含分母的项。
7.解分式方程错符号。
考点1. 分式方程的解法
【例题1】（2024福建省）解方程：．
【对点变式练1】（2024哈尔滨一模）分式方程的解是（　　）
A. B. C. D.
【对点变式练2】（2024苏州一模）方程的解是_______．
【对点变式练3】 （2024山东威海一模）解方程：
【对点变式练4】（2024上海一模）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（ ）
A. B.
C. D.
【例题2】（2024黑龙江齐齐哈尔）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ）
A. 且 B. C. D. 且
【对点变式练1】（2024湖北武汉一模）已知关于x的分式方程的解为非负数，则正整数m的所有个数
为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【对点变式练2】（2024黑龙江龙东一模）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是____________．
考点2. 分式方程的应用
【例题3】（2024甘肃临夏）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【对点变式练1】（2024新疆一模）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【对点变式练2】（2024云南一模）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的倍，求大型客车的速度．
【对点变式练3】（2024山西一模）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．
（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？
（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？
考点1. 分式方程的解法
1. （2024四川泸州）分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川遂宁）分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A. B. 且
C. D. 且
3. （2024武汉市）分式方程的解是______．
4. （2024湖南省）分式方程=1的解是_______．
5. （2024四川成都市）分式方程的解是____．
6. （2024四川达州）若关于的方程无解，则的值为______．
7. （2024重庆市A）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为______．
8. （2024重庆市B）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是________．
9. （2024广州） 解方程：．
10. （2024陕西省）解方程：．
考点2. 分式方程的应用
1. （2024黑龙江绥化）一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江顺流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行所用时间相等，则江水的流速为（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川达州）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件．可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. （2024山东枣庄）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生
产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件
数为（ ）
A. 200 B. 300 C. 400 D. 500
4. （2024云南省）某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度．
5. （2024江苏扬州）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？
6. （2024山东威海）某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量．
7. （2024内蒙古赤峰）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．
（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
8. （2024广西）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水．
浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？
（2）如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
考点1. 分式方程的解法
1．把分式方程﹣＝1化为整式方程正确的是（　　）
A．1﹣（1﹣x）＝1 B．1+（1﹣x）＝1
C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2 D．1+（1﹣x）＝x﹣2
2. 方程的解是：__________．
3. 解方程：．
4. 小丁和小迪分别解方程过程如下：
小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
5．解分式方程：
小明同学是这样解答的：
解：去分母，得：x+4＝3（x﹣2）．
去括号，得：x+4＝3x﹣6．
移项，合并同类项，得：﹣2x＝﹣10．
两边同时除以﹣2，得：x＝5．
经检验，x＝5是原方程的解．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
6．观察下列算式：
＝＝，＝＝，＝＝﹣，……
（1）由此可推断：＝　　 ；
（2）请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律　　 ；
（3）仿照以上方法解方程：+＝．
7．若关于x的分式方程有增根，则______．
8．若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____．
9. 若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
10．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　 ）
A．-1 B．-2 C．-3 D．0
11．“若关于x的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下：
尖尖： 去分母得：ax＝12+3x﹣9， 移项得：ax﹣3x＝12﹣9， 合并同类项得： （a﹣3）x＝3， ∵原方程无解， ∴a﹣3＝0， ∴a＝3． 丹丹： 去分母得：ax＝12+3x﹣9， 移项，合并同类项得： （a﹣3）x＝3，解得：x＝， ∵原方程无解， ∴x为增根， ∴3x﹣9＝0，解得x＝3， ∴＝3，解得a＝4．
下列说法正确的是（　　）
A．尖尖对，丹丹错
B．尖尖错，丹丹对
C．两人都错
D．两人的答案合起来才对
考点2. 分式方程的应用
1．为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为（　　）

A． B． C． D．
2．在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（　　）
A． B．
C． D．
3. 为营造良好体育运动氛围，某学校用元购买了一批足球，又用元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的倍，但单价降了元，请问该学校两批共购买了多少个足球
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第二章 方程与不等式
2.2 分式方程
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 分式方程的解法 ☆☆ 数学中考中，有关分式方程的部分，每年考查1道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题、解答题的形式考查。但三种形式只会出现一种。解答题基本以三种形式考查：一是给出分式方程，让学生解这个方程；二是列方程求解；三是结合不等式、函数知识综合考查。这类问题要注意解分式方程需要验根，同时注意得出结果和实际问题相符合。
考点2 分式方程的应用 ☆☆
☆
☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
考点1. 分式方程的解法
1.分式方程定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．
2．解分式方程的一般方法：
（1）解分式方程的基本思想：
把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．
（2）解分式方程的一般方法和步骤：
①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；
②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等；
③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
3．分式方程的特殊解法——换元法：
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法．
4．增根：使分式方程的最简公分母为0的根．
（1）产生增根的原因：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，将其转化为整式方程后没有此条件限制了．
（2）分式方程的增根与无解的区别：分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．
考点2. 分式方程的应用
1.工程问题等量关系： 工作量=工作时间×工作效率。灵活掌握它的两个变式。
2.解决工程问题的基本思路
（1）题中有“单独”字眼通常可知工作效率；
（2）通常间接设元，如× ×单独完成需 x（单位时间），则可表示出其工作效率；
（3）弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”.
（4）解题方法：可概括为“321”，即3指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量；2指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和=全部工作总量.
（5）各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．
3.行程问题等量关系： 路程=速度×时间 .灵活掌握它的两个变式。
4.解决问题注意事项：
（1）注意关键词“提速”与“提速到”的区别；
（2）明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来；
（3）行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程.
5.利润问题等量关系： 批发成本=批发数量×批发价；批发数量=批发成本÷批发价；打折销售价=定价×折数；销售利润=销售收入一批发成本；每本销售利润=定价一批发价；每本打折销售利润=打折销售价一批发价，利润率=利润÷进价。
6.数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法；
7.浓度问题的基本关系是：=浓度．
8. 顺水逆水问题： v顺＝v静＋v水流 ， v逆＝v静－v水流.
注意：列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审清题意，并设未知数；
(2)找相等关系；
(3)列出方程；
(4)解这个分式方程；
(5)验根（包括两方面 :是否是分式方程的根； 是否符合题意）；
（6）写答案.
【易错点提示】
解分式方程过程中，易错点主要体现在：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．具体情况表现在一下几点：
1. 忘记验根。
2. 检验方法不正确。
3.忽视分子为零。
4.考虑问题不全面。
5.没有真正理解分式方程有“增根”的含义。
6.去分母时漏乘不含分母的项。
7.解分式方程错符号。
考点1. 分式方程的解法
【例题1】（2024福建省）解方程：．
【答案】．
【解析】本题考查解分式方程,掌握解分式方程的步骤和方法，将分式方程化为整式方程求解，即可解题．
，
方程两边都乘，得．
去括号得：，
解得．
经检验，是原方程的根．
【对点变式练1】（2024哈尔滨一模）分式方程的解是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
由得：
，
，
，
经检验：是原分式方程的解，故选：．
【点睛】考查解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是解分式方程注意要检验，避免出现增根．
【对点变式练2】（2024苏州一模）方程的解是_______．
【答案】
【解析】根据分式方程的解法步骤解出即可．
左右同乘2(x+1)得: 2x=3解得x=．经检验x=是方程的跟．故答案为: ．
【点睛】本题考查解分式方程,关键在于熟练掌握分式方程的解法步骤．
【对点变式练3】 （2024山东威海一模）解方程：
【答案】x=3．
【解析】观察可得方程最简公分母为(x2-1)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．
去分母得， 解得，x=3，
经检验，x=3是原方程的根，所以，原方程的根为：x=3．
【点睛】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要检验．
【对点变式练4】（2024上海一模）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案.
设，则原方程可变形为，
即；故选：D.
【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.
【例题2】（2024黑龙江齐齐哈尔）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ）
A. 且 B. C. D. 且
【答案】A
【解析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的解是负数得到，并结合分式方程的解满足最简公分母不为，求出的取值范围即可，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】方程两边同时乘以得，，
解得，
∵分式方程的解是负数，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴且，故选：．
【对点变式练1】（2024湖北武汉一模）已知关于x的分式方程的解为非负数，则正整数m的所有个数
为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，即可解题．
去分母，得：m+2(x-1)=3，移项、合并，解得：x=，
∵分式方程的解为非负数，∴≥0且≠1，解得：m≤5且m≠3，
∵m为正整数∴m=1，2，4，5，共4个，故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出符合条件的不等式的解．
【对点变式练2】（2024黑龙江龙东一模）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是____________．
【答案】且
【解析】解分式方程，可用表示，再根据题意得到关于的一元一次不等式即可解答．
解，可得，
的方程的解为非负数，
，
解得，
，
，
即，
的取值范围是且．
【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求值，注意分式方程无解的情况是解题的关键．
考点2. 分式方程的应用
【例题3】（2024甘肃临夏）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程．
【详解】由题意可得，
，故选：C．
【对点变式练1】（2024新疆一模）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为元/件，根据购进的第二批这种“脆红李”比第一批多购进了40件，列出方程即可．
【详解】解：设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为元/件，根据题意得：
，故A正确．故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．
【对点变式练2】（2024云南一模）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的倍，求大型客车的速度．
【答案】大型客车的速度为
【解析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为12分钟列方程解答.
【详解】设慢车的速度为，则快车的速度为，
根据题意得
，
解得：，
经检验，是原方程的根.
故大型客车的速度为.
【点睛】此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，此题的等量关系是快车与慢车所用时间差为12分钟.
【对点变式练3】（2024山西一模）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．
（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？
（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？
【答案】（1）购买杂酱面80份，购买牛肉面90份 （2）购买牛肉面60份
【解析】【分析】（1）设购买杂酱面份，则购买牛肉面份，由题意知，，解方程可得的值，然后代入，计算求解，进而可得结果；
（2）设购买牛肉面份，则购买杂酱面份，由题意知，，计算求出满足要求的解即可．
【小问1详解】
解：设购买杂酱面份，则购买牛肉面份，
由题意知，，
解得，，
∴，
∴购买杂酱面80份，购买牛肉面90份；
【小问2详解】
解：设购买牛肉面份，则购买杂酱面份，
由题意知，，
解得，
经检验，是分式方程的解，
∴购买牛肉面60份．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．
考点1. 分式方程的解法
1. （2024四川泸州）分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查解分式方程，根据解分式方程方法和步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验）求解，即可解题．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
经检验是该方程的解，故选：D．
2. （2024四川遂宁）分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A. B. 且
C. D. 且
【答案】B
【解析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．
方程两边同时乘以得，，
解得，
∵分式方程的解为正数，
∴，
∴，
又∵，
即，
∴，
∴的取值范围为且，故选：．
3. （2024武汉市）分式方程的解是______．
【答案】
【解析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．首先等号两边同时乘以完成去分母，再按照去括号，移项、合并同类项的步骤求解，检验即可获得答案．
【详解】，
等号两边同时乘以，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
经检验，是该分式方程的解，
所以，该分式方程的解为．
4. （2024湖南省）分式方程=1的解是_______．
【答案】x=1
【解析】先给方程两边同乘最简公分母x+1，把分式方程转化为整式方程2=x+1，求解后并检验即可．
方程的两边同乘x+1，得2=x+1，
解得x=1．
检验：当x=1时，x+1=2≠0．
所以原方程的解为x=1．
【点睛】此题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤及方法是解题的关键．
5. （2024四川成都市）分式方程的解是____．
【答案】x=3
【解析】分式方程去分母转化为整式方程x=3（x﹣2），求出整式方程的解得到x=3，经检验x=3是分式方程的解，即可得到分式方程的解．
6. （2024四川达州）若关于的方程无解，则的值为______．
【答案】或2
【解析】本题主要考查了分式方程无解问题，先解分式方程得到，再根据分式方程无解得到或，解关于k的方程即可得到答案．
去分母得：，
解得：，
∵关于的方程无解，
∴当或时，分式方程无解，
解得：或（经检验是原方程的解），
即或，无解．
7. （2024重庆市A）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为______．
【答案】16
【解析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案．
【详解】解：，
解①得：，
解②得：，
关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，
，
解得，
解方程，得，
关于的分式方程的解为非负整数，
且，是偶数，
解得且，是偶数，
且，是偶数，
则所有满足条件的整数的值之和是
8. （2024重庆市B）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是________．
【答案】
【解析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集求出；解分式方程得到，再由关于的分式方程的解均为负整数，推出且且a是偶数，则且且a是偶数，据此确定符合题意的a的值，最后求和即可．
【详解】
解不等式①得：，
解不等式②得： ，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴；
解分式方程得，
∵关于的分式方程的解均为负整数，
∴且是整数且，
∴且且a是偶数，
∴且且a是偶数，
∴满足题意的a的值可以为4或8，
∴所有满足条件的整数a的值之和是．
9. （2024广州） 解方程：．
【答案】
【解析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意检验．依次去分母、去括号、移项、合并同类项求解，检验后即可得到答案．
，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
该分式方程的解为．
10. （2024陕西省）解方程：．
【答案】
【解析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
考点2. 分式方程的应用
1. （2024黑龙江绥化）一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江顺流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行所用时间相等，则江水的流速为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】此题主要考查了分式方程的应用，利用顺水速静水速水速，逆水速静水速水速，设未知数列出方程，解方程即可求出答案．
设江水的流速为，根据题意可得：
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
答：江水的流速为．故选：D．
2. （2024四川达州）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件．可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件，再根据时间工作总量工作效率结合甲的工作时间比乙的工作时间少30分钟列出方程即可．
【详解】设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件，
由题意得，故选：D．
3. （2024山东枣庄）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生
产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件
数为（ ）
A. 200 B. 300 C. 400 D. 500
【答案】B
【解析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
设改造后每天生产的产品件数为，则改造前每天生产的产品件数为，根据“改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同”列出分式方程，解方程即可．
【详解】设改造后每天生产的产品件数为，则改造前每天生产的产品件数为，
根据题意，得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，且符合题意，
答：改造后每天生产的产品件数．故选：B．
4. （2024云南省）某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度．
【答案】型车的平均速度为
【解析】本题考查分式方程的应用，设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据“乘坐型车比乘坐型车少用2小时，”建立方程求解，并检验，即可解题．
【详解】设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，
根据题意可得，，
整理得，，
解得，
经检验是该方程的解，
答：型车的平均速度为．
5. （2024江苏扬州）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？
【答案】B型机器每天处理60吨垃圾
【解析】考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾，根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的解．
答：B型机器每天处理60吨垃圾．
6. （2024山东威海）某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量．
【答案】千瓦·时
【解析】本题考查分式方程的应用，根据题意列方程是关键，并注意检验．根据两种节能灯数量相等列式分式方程求解即可．
【详解】设一盏型节能灯每年用电量为千瓦·时，
则一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时
整理得
解得
经检验：是原分式方程的解．
答：一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时.
7. （2024内蒙古赤峰）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．
（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
【答案】（1）甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；
（2）15天的工期，两队最多能修复公路千米．
【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．
（1）设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米，根据“甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等”列分式方程求解即可；
（2）设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米，求得关于的一次函数，再利用“甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍”求得的范围，利用一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米，
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；
小问2详解】
解：设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米，
由题意得，
，
解得，
∵，
∴随的增加而减少，
∴当时，有最大值，最大值为，
答：15天的工期，两队最多能修复公路千米．
8. （2024广西）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水．
浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？
（2）如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
【答案】（1）只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水．
（2）进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
（3）两次漂洗的方法值得推广学习
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键；
（1）把，代入， 再解方程即可；
（2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案；
（3）根据（1）（2）的结果得出结论即可．
【小问1详解】
解：把，代入
得，
解得．经检验符合题意；
∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水．
【小问2详解】
解：第一次漂洗：
把，代入，
∴，
第二次漂洗：
把，代入，
∴，
而，
∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
【小问3详解】
解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，
∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．
考点1. 分式方程的解法
1．把分式方程﹣＝1化为整式方程正确的是（　　）
A．1﹣（1﹣x）＝1 B．1+（1﹣x）＝1
C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2 D．1+（1﹣x）＝x﹣2
【答案】D
【解答】方程变形得：+＝1，
去分母得：1+（1﹣x）＝x﹣2，故选：D．
2. 方程的解是：__________．
【答案】
【解析】首先方程两边乘以最简公分母去分母，然后去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1，最后一定要检验．
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
检验：把代入最简公分母中：，
∴原分式方程的解为：
【点睛】此题主要考查了分式方程的解法，做题过程中关键是不要忘记检验，很多同学忘记检验，导致错误．
3. 解方程：．
【答案】
【解析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．
原方程可化为．
方程两边同乘，得．
解得．
检验：当时，．
∴原方程的解是．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
4. 小丁和小迪分别解方程过程如下：
小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】都错误，见解析
【解析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可．
小丁和小迪的解法都错误；
解：去分母，得，
去括号，得，
解得，，
经检验：是方程的解．
【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
5．解分式方程：
小明同学是这样解答的：
解：去分母，得：x+4＝3（x﹣2）．
去括号，得：x+4＝3x﹣6．
移项，合并同类项，得：﹣2x＝﹣10．
两边同时除以﹣2，得：x＝5．
经检验，x＝5是原方程的解．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【答案】见解答．
【解答】有错误．
去分母，得：x﹣4＝3（x﹣2），
去括号，得：x﹣4＝3x﹣6，
移项，合并同类项，得：﹣2x＝﹣2，
两边同时除以﹣2，得：x＝1．
经检验，x＝1是原方程的解．
6．观察下列算式：
＝＝，＝＝，＝＝﹣，……
（1）由此可推断：＝　　 ；
（2）请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律　　 ；
（3）仿照以上方法解方程：+＝．
【答案】见解析
【解析】（1）根据题意得：＝＝﹣；
（2）根据题意得：＝﹣；
（3）方程整理得：﹣+﹣＝，
即＝，
去分母得：x＝2x﹣4，
解得：x＝4，
经检验x＝4是分式方程的解．
故答案为：（1）﹣；（2）＝﹣
7．若关于x的分式方程有增根，则______．
【答案】．
【解析】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出的值．
去分母得：，整理得：，
∵关于的分式方程有增根，即，∴，
把代入到中得：，解得：，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值．
8．若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____．
【答案】1或
【解析】直接解分式方程，再利用当1-2a=0时，当1-2a≠0时，分别得出答案．
去分母得：x-3a=2a（x-3），整理得：（1-2a）x=-3a，当1-2a=0时，方程无解，故a=；
当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解，则a=1，
故关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或．故答案为1或．
点睛：此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
9. 若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【答案】D
【解析】将分式方程化为整式方程解得，根据方程的解是正数，可得，即可求出的取值范围．
∵方程的解为正数，且分母不等于0
∴，
∴，且 故选：D．
【点睛】此题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解不等式，将方程化为整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此类问题的关键．
10．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　 ）
A．-1 B．-2 C．-3 D．0
【答案】B
【解析】首先由不等式组的解集为x≥5，得a＜3，然后由分式方程有非负整数解，得a≥-2且a≠2的偶数，即可得解.
由题意，得，即，即∴，即
，解得有非负整数解，即
∴a≥-2且a≠2∴且∴符合条件的所有整数a的数有：-2，-1,0,1
又∵为非负整数解， ∴符合条件的所有整数a的数有：-2,0∴其和为故选：B.
【点睛】主要考查根据不等式组的解集和分式方程的解求参数的值，熟练掌握，即可解题.
11．“若关于x的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下：
尖尖： 去分母得：ax＝12+3x﹣9， 移项得：ax﹣3x＝12﹣9， 合并同类项得： （a﹣3）x＝3， ∵原方程无解， ∴a﹣3＝0， ∴a＝3． 丹丹： 去分母得：ax＝12+3x﹣9， 移项，合并同类项得： （a﹣3）x＝3，解得：x＝， ∵原方程无解， ∴x为增根， ∴3x﹣9＝0，解得x＝3， ∴＝3，解得a＝4．
下列说法正确的是（　　）
A．尖尖对，丹丹错
B．尖尖错，丹丹对
C．两人都错
D．两人的答案合起来才对
【答案】D
【解答】去分母得：ax＝12+3x﹣9，
移项，合并同类项得：
（a﹣3）x＝3，
∵原方程无解，
∴x为增根或a﹣3＝0，
当3x﹣9＝0，解得x＝3，此时＝3，解得a＝4；
当a﹣3＝0，解得a＝3；
综上所述：a的值为3或4，故选：D．
考点2. 分式方程的应用
1．为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先求出燃油汽车每千米所需的费用为元，再根据函数图象可得燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，据此列出方程即可得．
由题意得：燃油汽车每千米所需的费用为元，
由函数图象可知，燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，
则可列方程为，故选：D．
【点睛】本题考查了列分式方程、函数图象，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键．
2．在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】由题意可得，
＝2，故选：A．
3. 为营造良好体育运动氛围，某学校用元购买了一批足球，又用元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的倍，但单价降了元，请问该学校两批共购买了多少个足球
【答案】．
【解析】【分析】设第一批足球单价为元，则第二批足球单价为元，再根据题意列出分式方程即可．
【详解】设第一批足球单价为元，则第二批足球单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
则第二批足球单价为：，
∴该学校两批共购买了，
答：该学校两批共购买了个．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
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