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【名师导航】2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第三章 函数
3.1 函数初步
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 平面直角坐标系内点的坐标特征 ☆☆ 数学中考中，有关函数初步的部分，每年考查1道题或者渗透在其他问题里，,分值为6分左右，通常以选择题、 填空题出现。对于这部分知识的复习需要学生熟练掌握函数的自变量取值范围，函数图像的应用。能根据给出的函数表达式，画出函数的图像。
考点2 函数及自变量的取值范围 ☆☆
考点3 函数图象及其应用 ☆☆
考点4 函数图象的分析与判断 ☆☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
考点1. 平面直角坐标系内点的坐标特征
1.各象限点的坐标特点
①第一象限的点：横坐标>0，纵坐标>0；
②第二象限的点：横坐标<0，纵坐标>0；
③第三象限的点：横坐标<0，纵坐标<0；
④第四象限的点：横坐标>0，纵坐标<0。
2.坐标轴上点的坐标特点
①x轴正半轴上的点：横坐标>0，纵坐标=0；
②x轴负半轴上的点：横坐标<0，纵坐标=0；
③y轴正半轴上的点：横坐标=0，纵坐标>0；
④y轴负半轴上的点：横坐标=0，纵坐标<0；
⑤坐标原点：横坐标=0，纵坐标=0。
3．对称点的坐标特点
①关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；
②关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数；
③关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数。
4. 平移前后，点的坐标的变化规律
（1）点(x，y)左移 a 个单位长度后点的坐标为：(x－a，y)；
（2）点(x，y)右移 a 个单位长度后点的坐标为：(x＋a，y)；
（3）点(x，y)上移 a 个单位长度后点的坐标为：(x，y＋a)；
（4）点(x，y)下移 a 个单位长度后点的坐标为：(x，y－a)．
【口诀记忆】正向右负向左，正向上负向下．
考点2. 函数及自变量的取值范围
1.函数的定义
（1）一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
（2）对函数定义的理解，主要抓住以下4点：
①有两个变量．
②函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化．
③函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同。
④在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数.
（2）函数取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围，函数自变量的取值范围的确定必须考虑两个方面：①不同类型的函数关系式中自变量取值范围的求解方法；②当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义．
【温馨提醒】求函数自变量的取值范围注意的几点
①整式型：自变量取全体实数；
②分式型：自变量取值要使分母不为 0；
③二次根式型：自变量取值要使被开方数大于等于 0.对于具有实际意义的函数，自变量取值范围还应使实际问题有意义
2.函数解析式及函数值
（1）函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式．
注意：①函数解析式是等式．②函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数．③书写函数的解析式是有顺序的．④用数学式子表示函数的方法叫做解析式法．
（2）函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值．
3.函数的表示方法
函数的表示方法一般有三种：解析式法、列表法和图象法。
表示函数关系时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用。
考点3. 函数图象及其应用
1.函数的图象及其画法
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
画函数的图象，可以运用描点法，其一般步骤如下：
①列表：表中列举一些自变量的值及其对应的函数值，自变量的取值不应使函数值太大或太小，以便于描点，点数一般以5到7个为宜．
②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点．描点时，要注意横、纵坐标的符号与点所在的象限（或坐标轴）之间的关系，描出的点大小要适中，位置要准确．
③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．
2. 函数的图象的功能
1．函数图象上的任意点（x，y）中的x，y满足函数解析式。
2．满足函数解析式的任意一对（x，y）的值，所对应的点一定在函数的图象上。
3．利用函数图象可以求方程的解、不等式的解集、方程组的解，还可以预测变量的变化趋势。
考点4. 函数图象的分析与判断
类型1.　根据函数性质判断函数图象
(1)若题目中明确给出一个函数的图象，则根据函数图象及函数图象上的点得出函数解析式中未知系数的值或取值范围，进而可判断出所求函数的大致图象；
（2）若题目中未给出任何一个函数的图象，则要根据题目中给出的交点条件，判断函数图象大致所在象限，再将交点坐标分别代入题干中的函数解析式中，即可得出函数解析式中未知系数的值或取值范围，进而可判断出所求函数的大致图象；
类型2.　分析实际问题判断函数图象
1.找起点（明确自变量和因变量）
2.找特殊点（交点或者转折点）
3.判断图象的趋势
4.看是否与坐标轴相交
类型3.　分析几何图形动态问题判断函数图象
此类函数是由分段函数组成，解题的关键是认真分析题意，弄清每一段上的函数值是如何随自变量变化而变化的，在解决此类问题时，有时需要先求出函数的关系式再进行判断。具体方法：
方法一：趋势判断法. 根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减变化趋势；
方法二：解析式计算法. 根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断；
方法三：定点求值法. 结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除；
方法四：范围排除法. 根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除．
【易错点提示】动点问题函数的图像
1．动点问题多数情况下会与分类讨论的数学思想及方程、函数思想结合起来进行．
2．把动点产生的线段长用时间变量t表示出来以后，动点问题就“静态化”处理了．
考点1. 平面直角坐标系内点的坐标特征
【例题1】（2024广西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题主要考查点的坐标，理解点的坐标意义是关键．根据点P的坐标可得出横、纵轴上一格代表一个单位长度，然后观察坐标系即可得出答案．
【详解】∵点P的坐标为，
∴点Q的坐标为，故选：C．
【变式练1】（2024杭州一模）在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点坐标为，根据第二象限点的横纵坐标的符号，求解即可．
设点坐标为，
∵点在第二象限内，
∴，，
∵点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，
∴，，
∴，，
即点坐标为，
故选：D
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
【变式练2】（2024济南一模）在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第三象限，则点B（﹣ab，b）所在的象限
是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A．
【解析】根据点A（a，﹣b）在第三象限，可得a＜0，﹣b＜0，得b＞0，﹣ab＞0，进而可以判断点B（﹣ab，b）所在的象限．
∵点A（a，﹣b）在第三象限，
∴a＜0，﹣b＜0，
∴b＞0，
∴﹣ab＞0，
∴点B（﹣ab，b）所在的象限是第一象限．
【变式练3】（2024沈阳一模）点P(m，2)在第二象限内，则m的值可以是(写出一个即可)______．
【答案】－1（答案不唯一，负数即可）
【解析】根据第二象限的点符号是“-，+”，m取负数即可．
∵点P(m，2)在第二象限内，∴，m取负数即可，如m=-1，
【点睛】本题考查已知点所在象限求参数，属于基础题，掌握第二象限点坐标的符号是“-，+”是解题的关键．
考点2. 函数及自变量的取值范围
【例题2】 （2024甘肃威武）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可．
【详解】由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，
∴，故选：B．
【变式练1】（2024安徽一模）关于变量说法正确的是（ ）
A.在一个变化过程中可以取不同数值的量叫变量；
B.在一个变化过程中只能取同一数值的量叫变量；
C.在一个变化过程中可以取同一数值的量叫变量；
D.在一个变化过程中只能取同一数值的量叫变量。
【答案】A
【解析】变量是指在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量是指在一个变化过程中只能取同一数值的量。
【变式练2】（2024湖南一模）已知函数y＝，若y＝2，则x＝　　 ．
【答案】2
【解析】根据题意，进行分类解答，即可求值．
∵y＝2．
∴当x2＝2时，x＝．
∵0≤x＜1．
∴x＝（舍去）．
当2x﹣2＝2时，x＝2．
本题考查根据函数值，求自变量的值．关键在于求出自变量的值一定要符合取值范围．
【变式练3】（2024福建一模）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　．
【答案】x≠．
【解析】根据当函数表达式是分式时，分母不为0可得答案．
7x﹣5≠0，x≠．
【变式练4】（2024海南一模）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】且
【解析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得出，即可求解．
依题意，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．
考点3. 函数图象及其应用
【例题3】（2024甘肃临夏）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键．
根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解．
由图象得：，当时，，此时点P在边上，
设此时，则，，
在中，，
即：，
解得：，
，故选：B．
【变式练1】（2024自贡一模）如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（　　）
A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟
B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米
C．报亭到小亮家的距离是400米
D．小亮打羽毛球的时间是37分钟
【答案】D
【解析】根据图象逐个分析即可．
A、由图象得：小亮从家到羽毛球馆用了7分钟，故A选项不符合题意；
B、由图象可知：小亮从羽毛球馆到报亭的平均速度为：（1.0﹣0.4）÷（45﹣37）＝0.075（千米/分）＝75（米/分），故B选项不符合题意；
C、由图象知报亭到小亮家的距离是0.4千米，即400米，故C选项不符合题意；
D、由图象知小亮打羽毛球的时间是37﹣7＝30（分钟），故D选项符合题意；
故选：D．
本题考查了函数图象，观察图象，从图象中获取信息是解题的关键．
【变式练2】（2024北京一模）如图①所示，矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图②所示．
(1)求矩形ABCD的面积；
(2)求点M、点N的坐标；
(3)如果△ABP的面积为矩形ABCD面积的，求满足条件的x的值．
　　　
【答案】C
【解析】(1)点P从点B运动到点C的过程中，运动路程为4时，面积发生了变化且面积达到最大，说明BC的长为4；当点P在CD上运动时，△ABP的面积保持不变，就是矩形ABCD面积的一半，并且运动路程由4到9，说明CD的长为5.然后求出矩形的面积；(2)利用(1)中所求可得当点P运动到点C时，△ABP的面积为10，进而得出M点坐标，利用AD，BC，CD的长得出N点坐标；(3)分点P在BC、CD、AD上时，分别求出点P到AB的距离，然后根据三角形的面积公式列式即可求出y关于x的函数关系式，进而求出x即可．
解：(1)结合图形可知，P点在BC上，△ABP的面积为y增大，当x在4～9之间，△ABP的面积不变，得出BC＝4，CD＝5，∴矩形ABCD的面积为4×5＝20；
(2)由(1)得当点P运动到点C时，△ABP的面积为10，则点M的纵坐标为10，故点M坐标为(4，10)．∵BC＝AD＝4，CD＝5，∴NO＝13，故点N的坐标为(13，0)；
(3)当△ABP的面积为矩形ABCD面积的，则△ABP的面积为20×＝4.
①点P在BC上时，0≤x≤4，点P到AB的距离为PB的长度x，y＝AB·PB＝×5x＝，令＝4，解得x＝1.6；
②点P在CD上时，4≤x≤9，点P到AB的距离为BC的长度4，y＝AB·PB＝×5×4＝10(不合题意，舍去)；
③点P在AD上时，9≤x≤13时，点P到AB的距离为PA的长度13－x，y＝AB·PA＝×5×(13－x)＝(13－x)，令(13－x)＝4，解得x＝11.4，
综上所述，满足条件的x的值为1.6或11.4.
方法总结：函数图象与图形面积是运用数形结合思想的典型问题，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义．
考点4. 函数图象的分析与判断
【例题4】（2024黑龙江齐齐哈尔）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当与重合时，及当时图象的走势，和当时图象的走势即可得到答案．
【详解】当与重合时，设，由题可得：
∴，，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴当时，，
∵，
∴图象为开口向上的抛物线的一部分，
当在下方时，设，由题可得：
∴，，
∵，,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∵，
∴图象为开口向下的抛物线的一部分，
综上所述：A正确，故选：A．
【变式练1】（2024大连一模）李强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．在登山过程中，他行走的路程S随时间t的变化规律的大致图象
是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意进行判断，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，可以排除A和C，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度，排除D，进而可以判断．
【解析】因为登山过程可知：
先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．
所以在登山过程中，他行走的路程S随时间t的变化规律的大致图象是B．
【变式练2】（2024天津一模）为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：(1)若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；(2)若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.80元/度计算(未超过部分仍按每度电0.50元计算)．现假设某户居民某月用电量是x(单位：度)，电费为y(单位：元)，则y与x的函数关系用图象表示正确的是(　　)
【答案】C
【解析】据题意，当0≤x≤100时，y＝0.5x；当x＞100时，y＝100×0.5＋0.8(x－100)＝50＋0.8x－80＝0.8x－30，所以，y与x的函数关系为y＝纵观各选项，只有C选项图形符合．故选C.
方法总结：根据图象读取信息时，要把握住以下三个方面：①横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量；②要求关于某个具体点，向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标；③在实际问题中，要注意图象与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义．
考点1 平面直角坐标系内点的坐标特征（含坐标与图形）
1. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据关于原点对称的点的坐标特征：横坐标、纵坐标都变为相反数，即可得答案.
∵点关于原点的对称点为，
∴的坐标为（-1，-2），故选D．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，其坐标特征为：横坐标、纵坐标都变为相反数．
2. （2024四川成都市）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标．
【详解】点关于原点对称的点的坐标为；故选：B．
3. （2024四川凉山）点关于原点对称的点是，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数可得，，再代入代数式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
【详解】∵点关于原点对称的点是，
∴，，
∴，故选：．
4. （2024湖南长沙）在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】考查坐标与图形变换-平移变换，根据点的坐标平移规则：左减右加，上加下减求解即可．
在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为，即，
故选：D．
5. （2024江西省）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为______．
【答案】
【解析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标加3即可得到点B的坐标．
【详解】∵点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，
∴点B的坐标为，即．
6. （2024湖南省）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ）
A. B. 若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C. 若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D. 若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10
【答案】C
【解析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D．
【详解】∵点在第二象限，
∴，
∴，故选项A错误；
∵点为“整点”， ，
∴整数a为，，0，1，
∴点P的个数为4个，故选项B错误；
∴“整点”P为，，，，
∵，，，
∴“超整点”P为，故选项C正确；
∵点为“超整点”，
∴点P坐标为，
∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误，故选：C．
7. （2024河北省）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键．
先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照的反向运动理解去分类讨论：①先向右1个单位，不符合题意；②先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为．
【详解】由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况：
①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立；
②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为，故选：D．
8. （2024贵州省）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】本题考查坐标与图形，先根据题意确定平面直角坐标系，然后确定点的位置．
如图建立直角坐标系，则“技”在第一象限，
故选A．
9. （2024河北省）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
【答案】B
【解析】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形，分式的值的大小比较，设，，，可得，，，再结合新定义与分式的值的大小比较即可得到答案．
设，，，
∵矩形，
∴，，
∴，，，
∵，而，
∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B；故选：B．
10. （2024河南省）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________．
【答案】
【解析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解．
【详解】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，
则四边形是矩形，
∴，，，
∵折叠，
∴，，
∵点A的坐标为，点F的坐标为，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴点E的坐标为，
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键．
11. （2024甘肃临夏）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是______．
【答案】
【解析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点在第一象限（不与点重合），且与全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出．
【详解】∵点在第一象限（不与点重合），且与全等，
∴，，
∴可画图形如下，
由图可知点C、D关于线段的垂直平分线对称，则．
12. （2024甘肃威武）敦煌文书是华夏民族引以为傲艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为，那么有序数对记为对应的田地面积为（　　）
A. 一亩八十步 B. 一亩二十步 C. 半亩七十八步 D. 半亩八十四步
【答案】D
【解析】根据可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，解答即可．
本题考查了坐标与位置的应用，熟练掌握坐标与位置的应用是解题的关键．
根据可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，
故对应的是半亩八十四步，故选D．
考点2 函数及自变量的取值范围
1. （2024上海市）函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查求函数定义域，涉及分式有意义的条件：分式分母不为0，解不等式即可得到答案，熟练掌握求函数定义域的方法是解决问题的关键．
【详解】函数的定义域是，解得，故选：D．
2. （2024江苏扬州）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】根据函数表达式计算当时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可能为0，即，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解．
本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键．
【详解】当时，，
∴与y轴的交点为；
由于是分式，且当时，，即，
∴与x轴没有交点．
∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个，故选：B．
3. （2024广西）激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离与时间的关系式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查列函数关系式，熟练掌握路程＝速度×时间是解题的关键．根据路程＝速度×时间列式即可．
，故选：A．
4. （2024黑龙江齐齐哈尔）在函数中，自变量的取值范围是______．
【答案】且
【解析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．
由题意可得，，
解得且，
故答案为：且．
考点3 函数图象及其应用
1. （2024河南省）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）
A. 当时， B. Q随I的增大而增大
C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
【答案】C
【解析】本题考查了函数图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可．
【详解】根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意；
根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意；
根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意；
根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意；故选：C．
2.（2024广州） 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长 … …
身高 … …
（1）在图1中描出表中数据对应的点；
（2）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
（3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
【答案】（1）见解析 （2） （3）
【解析】【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键．
（1）根据表格数据即可描点；
（2）选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，将点代入即可求解；
（3）将代入代入即可求解；
【小问1详解】解：如图所示：
【小问2详解】解：由图可知：随着的增大而增大，
因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，
将点代入得：
，
解得：
∴
【小问3详解】解：将代入得：
∴估计这个人身高
考点4 函数图象的分析与判断
1. （2024四川资阳）小王前往距家2000米的公司参会，先以（米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有________分钟．
【答案】5
【解析】本题考查了函数图象的识别，解题的关键是理解题意，读懂图象中每条线段蕴含的信息，灵活运用所学知识解决问题．
根据图象求出，进而得出小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达需要时间，即可解答．
根据题意可得：（米/分），
小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达需要时间为：（分），
由图可知，会议开始时间为出发后（分），
∴若小王全程以的速度步行，则他到达时距会议开始还有（分），故答案为：5．
2. （2024江西省）将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了函数图象，根据温度计上升到一定的温度后不变，可得答案；注意温度计的温度升高到时温度不变．
【详解】将常温中的温度计插入一杯（恒温）的热水中，注意温度计的温度升高到时温度不变，故C选项图象符合条件，故选：C．
3. （2024山东烟台）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解．
如图所示，设交于点，
∵菱形，，
∴
又∵，
∴是等边三角形，
∵，，
∴
∴
∴
当时，重合部分为，
如图所示，
依题意，为等边三角形，
运动时间为，则，
∴
当时，如图所示，
依题意，，则
∴
∴
∵
∴当时，
当时，同理可得，
当时，同理可得，
综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线；故选：D．
4. （2024甘肃威武）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　）
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可．
本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】结合图象，得到当时，，
当点P运动到点B时，，
根据菱形的性质，得，
故，
当点P运动到中点时，的长为，故选C．
5. （2024武汉市）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了函数图象；根据题意，分3段分析，即可求解．
下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，
所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．故选：D．
6. （2024山东威海）同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（ ）
A. 甲车行驶与乙车相遇 B. ，两地相距
C. 甲车速度是 D. 乙车中途休息分钟
【答案】A
【解析】本题考查了函数图象，根据函数图象结合选项，逐项分析判断，即可求解．
根据函数图象可得两地之间的距离为（）
两车行驶了小时，同时到达地，
如图所示，在小时时，两车同向运动，在第2小时，即点时，两车距离发生改变，此时乙车休息，
点的意义是两车相遇，点意义是乙车休息后再出发，
∴乙车休息了1小时，故D不正确，
设甲车的速度为，乙车的速度为，
根据题意，乙车休息后两车同时到达地，则甲车的速度比乙车的速度慢，
∵
即
在时，乙车不动，则甲车的速度是，
∴乙车速度为，故C不正确，
∴的距离为千米，故B不正确，
设小时两辆车相遇，依题意得，
解得：即小时时，两车相遇，故A正确 故选：A．
考点1 平面直角坐标系内点的坐标特征（含坐标与图形）
1．在平面直角坐标系中，点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，则ab=________．
【答案】12
【解析】根据关于原点对称的两点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数，即求出a和b的值，从而求出结论．
∵点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，∴a=-6，b=-2∴ab=12．
【点睛】考查的是根据两点关于原点对称，求参数的值，掌握关于原点对称两点坐标关系是解题关键．
2．在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（　　）
A．（﹣3，2） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
【解答】解：点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（3，﹣2）．故选：D．
【点睛】考查的是根据两点关于x轴对称，求参数的值，掌握关于x轴对称两点坐标关系是解题关键．
3. 在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点坐标为，根据第二象限点的横纵坐标的符号，求解即可．
设点坐标为，
∵点在第二象限内，
∴，，
∵点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，
∴，，
∴，，
即点坐标为，
故选：D
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
4．点A的坐标是（2，﹣3），将点A向上平移4个单位长度得到点A'，则点A'的坐标为_____．
【答案】（2，1）．
【解析】将点A的纵坐标加4，横坐标不变，即可得出点A′的坐标．
将点A（2，﹣3）向上平移4个单位得到点A′，
则点A′的坐标是（2，﹣3+4），即（2，1）．故答案为（2，1）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
5．在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，2），则点C的坐标为　 　．
【答案】（1，3）．
【解析】如图：由A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，2），坐标可确定原点位置和坐标系：
由图可得C（1，3），故答案为：（1，3）．
6．如图，△A1B1C1是△ABC向右平移4个单位长度后得到的，且三个顶点坐标分别为A1（1，1），B1（4，2），C1（3，4）．（1）请画出△ABC，并写出点A、B、C的坐标；（2）求出△COA1的面积．
【答案】（1）图见解析，A（﹣3，1），B（0，2），C（﹣1，4）；（2）
【解析】（1）如图所示：△ABC即为所求，A（﹣3，1），B（0，2），C（﹣1，4）；
（2）△COA1的面积为：．
【点睛】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
考点2 函数及自变量的取值范围
1. 在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【解析】根据分式中分母不能等于零，列出不等式，计算出自变量x的范围即可．
根据题意得：
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，分母不为零，解答本题的关键是列出不等式并正确求解．
2．函数y的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠5 B．x＞2且x≠5 C．x≥2 D．x≥2且x≠5
【答案】D
【解析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
由题意得x﹣2≥0且x﹣5≠0，
解得x≥2且x≠5．
考点3 函数图象及其应用
1. 某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了 千克糯米；设某人的付款金额为元，购买量为千克，则购买量关于付款金额的函数解析式为 ．
【答案】 3 /
【解析】根据题意列出一元一次方程，函数解析式即可求解．
，
超过2千克，
设购买了千克，则，
解得，
设某人的付款金额为元，购买量为千克，则购买量关于付款金额的函数解析式为：
，
∴
故答案为：3，．
【点睛】考查了一元一次方程的应用，列函数解析式，根据题意列出方程或函数关系式是解题的关键．
2．小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是她本次去舅舅家所用的时间与小红离家的距离的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小红家到舅舅家的路程是　　 米，小红在商店停留了　　 分钟；
（2）在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少米/分？
（3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？
【答案】见解析
【解析】（1）根据图象舅舅家纵坐标为1500，小红家的纵坐标为0，
故小红家到舅舅家的路程是1500米；据题意，小红在商店停留的时间为从8分到12分，故小红在商店停留了4分钟．
故答案为：1500，4；
（2）根据图象，12≤x≤14时，直线最陡，
故小红在12﹣14分钟最快，速度为＝450（米/分）；
（3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了：1200+（1200﹣600）+（1500﹣600）＝2700（米）．
3. 德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称．今年5月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加．甲、乙两名选手同时参加了往返（单程）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲、乙之间的距离s（）与甲所用的时间（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点 ．

【答案】4
【解析】先根据图象得甲乙的速度差为4，再根据相遇时用了小时，列方程求解．
设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度为千米/小时，
则：，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了从函数图象中获取信息，正确提取图象中的信息是解题的关键．
考点4 函数图象的分析与判断
1. 下列各曲线中不能表示y是x的函数是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系，这一需要把握的是，在函数可以表示的任意x值中，总有唯一的一个y与之对应．由图可以看出，C中在x轴上下方分别有一个y与其对应，所以不能表示函数，故选C．
点评：定义考查题是比较基础的试题，只要学生牢记定义，并且掌握其中的关键字眼，在题目中灵活理解运用就行，本题的关键是要唯一的y与x一一对应．
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，动点P从A点出发，沿折线A﹣C﹣B以每秒5个单位长度的速度运动（运动到B点停止），过点P作PD⊥AB于点D，则△APD的面积y与点P运动的时间x之间的函数图象大致是（　　）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，
∴AB＝＝＝25，
①当0≤x≤3时，点P在AC边上，如图所示：
此时AP＝5x，
∵PD⊥AB，
∴∠PDA＝90°＝∠C，
∵∠CAB＝∠DAP，
∴△CAB∽△DAP，
∴＝＝，
∴AD＝＝＝3x，PD＝＝＝4x，
∴y＝AD PD＝×3x×4x＝6x2；
②当3＜x≤7时，点P在BC边上，如图所示：
此时BP＝35﹣5x，
∵PD⊥AB，
∴∠PDB＝90°＝∠C，
∵∠PBD＝∠ABC，
∴△PBD∽△ABC，
∴＝＝，
∴PD＝＝＝21﹣3x，BD＝＝＝28﹣4x，
∴AD＝AB﹣BD＝25﹣（28﹣4x）＝4x﹣3，
∴y＝AD PD＝（4x﹣3）（21﹣3x）＝﹣6x2+x﹣．
故选：C．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）
A B C D
【答案】D
【分析】分别求出0≤x≤4、4＜x＜7时函数表达式，即可求解．
【解析】由题意当0≤x≤4时，
yAD×AB3×4＝6，
当4＜x＜7时，
yPD×AD（7﹣x）×4＝14﹣2x．
4．（2023 绥化）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（　　）
A．B． C．D．
【答案】A
【解析】连接BD，过B作BE⊥AD于E，根据已知条件得到△ABD是等边三角形，根据相似三角形的判定定理得到△AMN∽△ABN，根据相似三角形的性质得到∠ANM＝∠AEB＝90°，当0≤x＜2时，点M在AB上，当2≤x≤4时，点M在BC上，根据三角形的面积公式即可得到结论．
连接BD，过B作BE⊥AD于E，当0≤x＜2时，点M在AB上，
在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，
∴AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AE＝ED＝AD＝2，BE＝AE＝2，
∵AM＝2x，AN＝x，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ABE，
∴∠ANM＝∠AEB＝90°，
∴＝x，
∴y＝x×x＝x2，
当2≤x≤4时，点M在BC上，
y＝，
综上所述，当 0≤x＜2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当2≤x≤4时，函数图象是直线的一部分，故选：A．
本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．
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第三章 函数
3.1 函数初步
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 平面直角坐标系内点的坐标特征 ☆☆ 数学中考中，有关函数初步的部分，每年考查1道题或者渗透在其他问题里，,分值为6分左右，通常以选择题、 填空题出现。对于这部分知识的复习需要学生熟练掌握函数的自变量取值范围，函数图像的应用。能根据给出的函数表达式，画出函数的图像。
考点2 函数及自变量的取值范围 ☆☆
考点3 函数图象及其应用 ☆☆
考点4 函数图象的分析与判断 ☆☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
考点1. 平面直角坐标系内点的坐标特征
1.各象限点的坐标特点
①第一象限的点：横坐标___0，纵坐标___0；
②第二象限的点：横坐标__0，纵坐标___0；
③第三象限的点：横坐标___0，纵坐标___0；
④第四象限的点：横坐标___0，纵坐标___0。
2.坐标轴上点的坐标特点
①x轴正半轴上的点：横坐标____0，纵坐标___0；
②x轴负半轴上的点：横坐标___0，纵坐标___0；
③y轴正半轴上的点：横坐标____0，纵坐标___0；
④y轴负半轴上的点：横坐标___0，纵坐标____0；
⑤坐标原点：横坐标____0，纵坐标____0。
3．对称点的坐标特点
①关于x轴对称的两个点，横坐标____，纵坐标_____；
②关于y轴对称的两个点，纵坐标_____，横坐标______；
③关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别_______。
4. 平移前后，点的坐标的变化规律
（1）点(x，y)左移 a 个单位长度后点的坐标为：________；
（2）点(x，y)右移 a 个单位长度后点的坐标为：_________；
（3）点(x，y)上移 a 个单位长度后点的坐标为：_________；
（4）点(x，y)下移 a 个单位长度后点的坐标为：________．
【口诀记忆】正向右负向左，正向上负向下．
考点2. 函数及自变量的取值范围
1.函数的定义
（1）一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的____，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是________，y是x的函数．
（2）对函数定义的理解，主要抓住以下4点：
①有____个变量．
②函数_____数，函数的本质是对应，函数关系就是_____之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化．
③函数的定义中包括了对应值的_____性和_____性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以______。
④在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数.
（2）函数取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的______叫做自变量的取值范围，函数自变量的取值范围的确定必须考虑两个方面：①不同类型的函数关系式中自变量取值范围的求解方法；②当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使_______有意义，而且还必须使_______有意义．
【温馨提醒】求函数自变量的取值范围注意的几点
①整式型：自变量取全体实数；
②分式型：自变量取值要使分母不为 0；
③二次根式型：自变量取值要使被开方数大于等于 0.对于具有实际意义的函数，自变量取值范围还应使实际问题有意义
2.函数解析式及函数值
（1）函数解析式：用关于自变量的数学式子表示______与_____之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式．
注意：①函数解析式是等式．②函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数．③书写函数的解析式是有顺序的．④用数学式子表示函数的方法叫做解析式法．
（2）函数值：对于自变量x在_____内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值．
3.函数的表示方法
函数的表示方法一般有三种：______法、______法和_____法。
表示函数关系时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用。
考点3. 函数图象及其应用
1.函数的图象及其画法
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
画函数的图象，可以运用描点法，其一般步骤如下：
①______：表中列举一些自变量的值及其对应的函数值，自变量的取值不应使函数值太大或太小，以便于描点，点数一般以5到7个为宜．
②_______：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点．描点时，要注意横、纵坐标的符号与点所在的象限（或坐标轴）之间的关系，描出的点大小要适中，位置要准确．
③______：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．
2. 函数的图象的功能
1．函数图象上的任意点（x，y）中的x，y满足函数______。
2．满足函数解析式的任意一对（x，y）的值，所对应的点一定在函数的____上。
3．利用函数图象可以求______的解、______的解集、______的解，还可以预测____的变化趋势。
考点4. 函数图象的分析与判断
类型1.　根据函数性质判断函数图象
(1)若题目中明确给出一个函数的图象，则根据函数图象及函数图象上的点得出函数解析式中未知系数的值或取值范围，进而可判断出所求函数的大致图象；
（2）若题目中未给出任何一个函数的图象，则要根据题目中给出的交点条件，判断函数图象大致所在象限，再将交点坐标分别代入题干中的函数解析式中，即可得出函数解析式中未知系数的值或取值范围，进而可判断出所求函数的大致图象；
类型2.　分析实际问题判断函数图象
1.找起点（明确自变量和因变量）
2.找特殊点（交点或者转折点）
3.判断图象的趋势
4.看是否与坐标轴相交
类型3.　分析几何图形动态问题判断函数图象
此类函数是由分段函数组成，解题的关键是认真分析题意，弄清每一段上的函数值是如何随自变量变化而变化的，在解决此类问题时，有时需要先求出函数的关系式再进行判断。具体方法：
方法一：趋势判断法. 根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减变化趋势；
方法二：解析式计算法. 根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断；
方法三：定点求值法. 结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除；
方法四：范围排除法. 根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除．
【易错点提示】动点问题函数的图像
1．动点问题多数情况下会与分类讨论的数学思想及方程、函数思想结合起来进行．
2．把动点产生的线段长用时间变量t表示出来以后，动点问题就“静态化”处理了．
考点1. 平面直角坐标系内点的坐标特征
【例题1】（2024广西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【变式练1】（2024杭州一模）在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式练2】（2024济南一模）在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第三象限，则点B（﹣ab，b）所在的象限
是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式练3】（2024沈阳一模）点P(m，2)在第二象限内，则m的值可以是(写出一个即可)______．
考点2. 函数及自变量的取值范围
【例题2】 （2024甘肃威武）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　）
A. B. C. D.
【变式练1】（2024安徽一模）关于变量说法正确的是（ ）
A.在一个变化过程中可以取不同数值的量叫变量；
B.在一个变化过程中只能取同一数值的量叫变量；
C.在一个变化过程中可以取同一数值的量叫变量；
D.在一个变化过程中只能取同一数值的量叫变量。
【变式练2】（2024湖南一模）已知函数y＝，若y＝2，则x＝　　 ．
【变式练3】（2024福建一模）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　．
【变式练4】（2024海南一模）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
考点3. 函数图象及其应用
【例题3】（2024甘肃临夏）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【变式练1】（2024自贡一模）如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（　　）
A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟
B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米
C．报亭到小亮家的距离是400米
D．小亮打羽毛球的时间是37分钟
【变式练2】（2024北京一模）如图①所示，矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图②所示．
(1)求矩形ABCD的面积；
(2)求点M、点N的坐标；
(3)如果△ABP的面积为矩形ABCD面积的，求满足条件的x的值．
　　　
考点4. 函数图象的分析与判断
【例题4】（2024黑龙江齐齐哈尔）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【变式练1】（2024大连一模）李强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．在登山过程中，他行走的路程S随时间t的变化规律的大致图象
是（　　）
A． B．
C． D．
【变式练2】（2024天津一模）为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：(1)若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；(2)若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.80元/度计算(未超过部分仍按每度电0.50元计算)．现假设某户居民某月用电量是x(单位：度)，电费为y(单位：元)，则y与x的函数关系用图象表示正确的是(　　)
考点1 平面直角坐标系内点的坐标特征（含坐标与图形）
1. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是( )
A. B. C. D.
2. （2024四川成都市）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. （2024四川凉山）点关于原点对称的点是，则的值是（ ）
A. B. C. D.
4. （2024湖南长沙）在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. （2024江西省）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为______．
6. （2024湖南省）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ）
A. B. 若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C. 若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D. 若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10
7. （2024河北省）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
8. （2024贵州省）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9. （2024河北省）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
10. （2024河南省）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________．
11. （2024甘肃临夏）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是______．
12. （2024甘肃威武）敦煌文书是华夏民族引以为傲艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为，那么有序数对记为对应的田地面积为（　　）
A. 一亩八十步 B. 一亩二十步 C. 半亩七十八步 D. 半亩八十四步
考点2 函数及自变量的取值范围
1. （2024上海市）函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024江苏扬州）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
3. （2024广西）激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离与时间的关系式为（ ）
A. B. C. D.
4. （2024黑龙江齐齐哈尔）在函数中，自变量的取值范围是______．
考点3 函数图象及其应用
1. （2024河南省）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）
A. 当时， B. Q随I的增大而增大
C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
2.（2024广州） 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长 … …
身高 … …
（1）在图1中描出表中数据对应的点；
（2）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
（3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
考点4 函数图象的分析与判断
1. （2024四川资阳）小王前往距家2000米的公司参会，先以（米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有________分钟．
2. （2024江西省）将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（ ）
A. B. C. D.
3. （2024山东烟台）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
4. （2024甘肃威武）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　）
A. 2 B. 3 C. D.
5. （2024武汉市）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
6. （2024山东威海）同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（ ）
A. 甲车行驶与乙车相遇 B. ，两地相距
C. 甲车速度是 D. 乙车中途休息分钟
考点1 平面直角坐标系内点的坐标特征（含坐标与图形）
1．在平面直角坐标系中，点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，则ab=________．
2．在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（　　）
A．（﹣3，2） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
3. 在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．点A的坐标是（2，﹣3），将点A向上平移4个单位长度得到点A'，则点A'的坐标为_____．
5．在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，2），则点C的坐标为　 　．
6．如图，△A1B1C1是△ABC向右平移4个单位长度后得到的，且三个顶点坐标分别为A1（1，1），B1（4，2），C1（3，4）．（1）请画出△ABC，并写出点A、B、C的坐标；（2）求出△COA1的面积．
考点2 函数及自变量的取值范围
1. 在函数中，自变量x的取值范围是 ．
2．函数y的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠5 B．x＞2且x≠5 C．x≥2 D．x≥2且x≠5
考点3 函数图象及其应用
1. 某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了 千克糯米；设某人的付款金额为元，购买量为千克，则购买量关于付款金额的函数解析式为 ．
2．小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是她本次去舅舅家所用的时间与小红离家的距离的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小红家到舅舅家的路程是　　 米，小红在商店停留了　　 分钟；
（2）在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少米/分？
（3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？
3. 德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称．今年5月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加．甲、乙两名选手同时参加了往返（单程）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲、乙之间的距离s（）与甲所用的时间（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点 ．

考点4 函数图象的分析与判断
1. 下列各曲线中不能表示y是x的函数是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，动点P从A点出发，沿折线A﹣C﹣B以每秒5个单位长度的速度运动（运动到B点停止），过点P作PD⊥AB于点D，则△APD的面积y与点P运动的时间x之间的函数图象大致是（　　）
A．B．C．D．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）
A B C D
4. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（　　）
A．B． C．D．
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