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【名师导航】2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第四章 三角形及四边形
4.2 三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 三角形的相关概念 ☆☆ 数学中考中，有关本专题的部分，每年考查1~3道题,分值为3~9分，通常以选择题、填空题、解答题的形式考查。在考查其他知识点的综合试题里一定用到本专题知识。
考点2 三角形中的重要线段 ☆☆☆
考点3 等腰三角形以及等边三角形 ☆☆
考点4 直角三角形勾股定理及其应用 ☆☆☆
考点5 直角三角形的性质及计算 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
考点1. 三角形的相关概念
1. 三角形的概念：由____________的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形的分类
（1）按____分类：三角形
（2）按_____分类：三角形
3. 三角形三边的关系：三角形任意两边的和______第三边，任意两边的差______第三边。
4.三角形的稳定性: 三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了.
5. 三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有_____个内角，且每个内角均大于0°且小于180°。
6. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于_______ 。
推论：直角三角形的两个锐角______。
7.三角形的内角和定理的应用：
（1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；
（2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；
（3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.
8. 三角形的外角概念：三角形的一边与另一边的_______组成的角，叫做三角形的外角。
9.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于______．
10.三角形的外角的性质：
（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的_____；
（2）三角形的一个外角______任何一个和它不相邻的内角．
考点2. 三角形中的重要线段
1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，____与顶点之间的线段叫做三角形的高。
2. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的______叫做三角形的角平分线。
3. 三角形的中线：三角形一边的中点与此边所对______的连线叫做三角形的中线。
（1）三角形的中线会把原三角形面积______。
（2）一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形_____两边的差。
【易错点提示】对三角形三条重要线段的深入理解
（1）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段。
（2）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点。
考点3. 等腰三角形和等边三角形
1. 等腰三角形
（1）等腰三角形的定义：有两条边_____的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．
（2）等腰三角形的性质：
①等腰三角形的两个_____相等．
②等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相_____．
（3）等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角______，那么这两个角所对的边也______（简写成“等角对等边”）．
（4）等腰三角形的面积公式
其中a是底边长，h是底边上的高，S是面积
2. 等边三角形
（1）等边三角形定义：_____条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于_____.　　
（3）等边三角形的判定：
①三条边都_____的三角形是等边三角形；
②三个角都_____的三角形是等边三角形；
③有一个角为_____的等腰三角形是等边三角形.
（4）等边三角形的面积公式
其中a是等边三角形的边长，h是任意边上的高，S是面积。
3. 线段垂直平分线的性质与判定
（1）线段的垂直平分线定义：经过线段____并且_____于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。
（2）线段垂直平分线的做法
求作线段AB的垂直平分线.
作法：1）分别以点A，B为圆心，以大于AB/2的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
说明：作弧时的半径必须大于AB/2的长，否则就不能得到两弧的交点了．
2）作直线CD，CD即为所求直线．
说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线.
（3）线段垂直平分线的性质：
1）线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离______.
2）线段的垂直平分线逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的__________.
说明：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．
考点4. 直角三角形勾股定理及其应用
1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和______斜边的平方.
如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长，满足_______，那么这个三角形是直角三角形.
3. 勾股数：像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个_____，称为勾股数。
【易错点提示】
(1)由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：①满足a2＋b2＝c2；②都是正整数．两者缺一不可．
(2)将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a2＋b2＝c2(但不一定是勾股数)，以它们为边长的三角形是直角三角形，比如以0.3 cm,0.4 cm,0.5 cm为边长的三角形是直角三角形．
考点5. 直角三角形的性质及计算
1. 直角三角形的性质
性质1.直角三角形两锐角之和等于______。
性质2.直角三角形斜边上的____等于斜边的一半。
性质3.直角三角形中，30°角所对的直角边等于_____的一半。
2. 直角三角形的判定
（1）有一个角为_____的三角形是直角三角形。
（2）有两个角的和是_____的三角形是直角三角形。
（3）一边上的中线等于这条边的_____的三角形是直角三角形。
（4）如果三角形的三边长分别为a,b,c若满足_______，那么这个三角形为直角三角形。
3. 直角三角形面积公式
其中a、b是两条直角边的长，c 是斜边长，h是斜边上的高 ，S是直角三角形面积。
4. 直角三角形相关计算
（1）勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解；
（2）用于解决带有平方关系的证明问题；
（3）与勾股定理有关的面积计算；
（4）勾股定理在实际生活中的应用。
考点1. 三角形的相关概念
【例题1】（2024陕西省）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【变式练1】（2024长沙一模）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6
【变式练2】（2024湖南娄底一模）若一个三角形的两边长分别为2cm，7cm，则它的第三边的长可
能是（　　）
A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm
【变式练3】（2024黑龙江大庆一模）将一副三角尺按如图所示的位置摆放，其中O，E，F在直线l上，点B恰好落在DE边上，∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．则∠ABE的度数为（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
考点2. 三角形中的重要线段
【例题2】（2024四川南充）如图，在中，，平分交于点D，点E为边上一点，则线段长度的最小值为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【变式练1】（2024哈尔滨一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（是钝角），他打算用折叠的方法折出的角平分线、边上的中线和高线，能折出的是（　　）
A．边上的中线和高线 B．的角平分线和边上的高线
C．的角平分线和边上的中线 D．的角平分线、边上的中线和高线
【变式练2】（2024天津一模）如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为上一点，且于点H，下列判断中，正确的个数是（ ）
①是的边上的中线；
②既是的角平分线，也是的角平分线；
③既是的边上的高，也是的边上的高．
A．0 B．1 C．2 D．3
考点3. 等腰三角形以及等边三角形
【例题3】（2024福建省）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【变式练1】（2024辽宁沈阳一模）已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长
是（　　）
A．22 B．19 C．17 D．17或22
【变式练2】（2024山西一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BA延长线上一点，且ED⊥BC交AC于点F．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）若AB＝13，EF＝12，F为AC中点，求BC的长．
【变式练3】（2024上海一模）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC．若AD＝4，则△ADE的周长为 　 　．
【变式练4】（2024河北唐山一模）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则∠O的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【变式练5】 （2024吉林一模）如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若的周长是20，，，则的周长为（ ）

A．4 B．7 C．9 D．11
【变式练6】（2024南京一模）如图，中，平分，且平分，于，于．如果，，则 ．

考点4. 直角三角形勾股定理及其应用
【例题4】（2024吉林省）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为______．
【变式练1】（2024陕西一模）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为________．
【变式练2】（2024武汉一模）在△ABC中，D为BC边上的点，AB＝13，AD＝12，CD＝9，AC＝15，求BD的长．
【变式练3】（2024上海一模）如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？
考点5. 直角三角形的性质及计算
【例题5】（2024广州）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ）
A. 18 B. C. 9 D.
【变式练1】（2024湖北荆州一模）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为10km，则M，C两点间的距离为（　　）
A．3km B．4km C．5km D．6km
【变式练2】（2024贵州黔西南一模）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，则BD的长度为________．
【变式练3】（2024苏州一模）如图，在Rt△ABC中∠ACT=90°，CD是斜边AB上的中线，AC=4，CD=3。求直角边BC的长
考点1. 三角形的相关概念
1. （2024黑龙江齐齐哈尔）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川德阳）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，则等于（ ）
A. B. C. D.
3. （2024江苏连云港）如图，直线，直线，，则__________．
4. （2024四川达州）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则______度．
考点2. 三角形中的重要线段
1. （2024四川凉山）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是______．
2. （2024河北省）如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点．
（1）的面积为______；
（2）的面积为______．
考点3. 等腰三角形以及等边三角形
1. （2024内蒙古赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　）
A. 或 B. 或 C. D.
2. （2024云南省）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
3. （2024安徽省）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）
A. B. C. D.
4. （2024重庆市B）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为________．
5. （2024湖南省）一个等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是________度．
6. （2024四川遂宁）在等边三边上分别取点，使得，连结三点得到，易得，设，则
如图①当时，
如图②当时，
如图③当时，
……
直接写出，当时，______．
7.（2024湖北省） 为等边三角形，分别延长，到点，使，连接，，连接并延长交于点．若，则______，______．
8. （2024江苏常州）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）连接，则与l的位置关系是________．
考点4. 直角三角形勾股定理及其应用
1. （2024四川德阳）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
2. （2024江苏盐城）如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时，________．
3. （2024四川乐山）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
考点5. 直角三角形的性质及计算
1. （2024四川南充）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为_____．
2. （2024江苏连云港）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为__________．
3. （2024四川成都市）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则______．
4. （2024黑龙江龙东）如图，菱形中，点是的中点，，垂足为，交于点，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
5. （2024山东枣庄）一副三角板分别记作和，其中，，，．作于点，于点，如图1．
（1）求证：；
（2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合，将图2中的绕按顺时针方向旋转后，延长交直线于点．
①当时，如图3，求证：四边形为正方形；
②当时，写出线段，，的数量关系，并证明；当时，直接写出线段，，的数量关系．
考点1. 三角形的相关概念
1．已知在△ABC中，AB＝4，BC＝7，则边AC的长可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．11
2. 如图，E为△ABC边CA边上一点，过点E作ED∥AB．若∠ABC＝110°，∠CED＝150°，则
∠C＝　　°．
考点2. 三角形中的重要线段
1. 在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是　　 度．
2．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　）
A．AB＝2BF B．∠ACE＝∠ACB
C．AE＝BE D．CD⊥BE
3. 如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长
为（　　）
A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm
考点3. 等腰三角形以及等边三角形
1．已知等腰△ABC中，∠A＝50°，则∠B的度数为（　　）
A．50° B．65°
C．50°或65° D．50°或80°或65°
2．如图，在等边△ABC的底边BC边上任取一点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AB交AC于点F，DE＝5cm，DF＝3cm，则△ABC的周长为　 　cm．
3．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝　　 ．
4．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝　　 ．
5. 如图，在中，，边上的垂直平分线分别交于点D、E，若的周长是11，则直线上任意一点到A、C距离和最小为（　　）

A．28 B．18 C．10 D．7
6．如图，在△ABC中，BD、AE分别是AC、BC边上的高，它们相交于点F，且AF＝BC．
求证：△ABD是等腰三角形．
6．如图，已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以点B为圆心，BC长为半径的弧分别交AC，AB于点D，E，连接BD，ED．
（1）写出图中所有的等腰三角形；
（2）若∠AED＝114°，求∠ABD和∠ACB的度数．
考点4. 直角三角形勾股定理及其应用
1．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为，，，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）A．∠A+∠B=∠C B．∠A∶∠B∶∠C =1∶2∶3C． D．∶∶=3∶4∶62．已知两条线段的长为和，当第三条线段的长为_________时，这三条线段能组成一个直角三角形.3．如图，中，，，，延长至点，连接，若是以为其中一腰的等腰三角形，则线段的长等于　 ．
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：
(1)AC的长；
(2)S△ABC；
(3)CD的长．
5.探索与研究：
方法1：如图：
对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；
方法2：如图：
该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？
6. 如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则点到的距离为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
考点5. 直角三角形的性质及计算
1．如图，有一架梯子斜靠在与地面垂直的墙上，在墙角点处有一只猫紧紧盯住位于梯子正中间点处的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，若梯子端沿墙下滑，且梯子端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离将　 　（填“变大”、“变小”或“不变”）．
2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：E为AB的中点．
3. 如图 ,MN 为过 Rt△ABC 的直角顶点 A 的直线,且BD⊥MN 于点D,CE⊥MN 于点E,AB=AC,F 为BC 的中点,求证:DF=EF.
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第四章 三角形及四边形
4.2 三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 三角形的相关概念 ☆☆ 数学中考中，有关本专题的部分，每年考查1~3道题,分值为3~9分，通常以选择题、填空题、解答题的形式考查。在考查其他知识点的综合试题里一定用到本专题知识。
考点2 三角形中的重要线段 ☆☆☆
考点3 等腰三角形以及等边三角形 ☆☆
考点4 直角三角形勾股定理及其应用 ☆☆☆
考点5 直角三角形的性质及计算 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
考点1. 三角形的相关概念
1. 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形的分类
（1）按边分类：三角形
（2）按角分类：三角形
3. 三角形三边的关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
4.三角形的稳定性: 三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了.
5. 三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°。
6. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 。
推论：直角三角形的两个锐角互余。
7.三角形的内角和定理的应用：
（1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；
（2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；
（3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.
8. 三角形的外角概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
9.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．
10.三角形的外角的性质：
（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
考点2. 三角形中的重要线段
1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高。
2. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线。
3. 三角形的中线：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线。
（1）三角形的中线会把原三角形面积平分。
（2）一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差。
【易错点提示】对三角形三条重要线段的深入理解
（1）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段。
（2）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点。
考点3. 等腰三角形和等边三角形
1. 等腰三角形
（1）等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．
（2）等腰三角形的性质：
①等腰三角形的两个底角相等．
②等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合．
（3）等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
（4）等腰三角形的面积公式
其中a是底边长，h是底边上的高，S是面积
2. 等边三角形
（1）等边三角形定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
（4）等边三角形的面积公式
其中a是等边三角形的边长，h是任意边上的高，S是面积。
3. 线段垂直平分线的性质与判定
（1）线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。
（2）线段垂直平分线的做法
求作线段AB的垂直平分线.
作法：1）分别以点A，B为圆心，以大于AB/2的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
说明：作弧时的半径必须大于AB/2的长，否则就不能得到两弧的交点了．
2）作直线CD，CD即为所求直线．
说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线.
（3）线段垂直平分线的性质：
1）线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
2）线段的垂直平分线逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
说明：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．
考点4. 直角三角形勾股定理及其应用
1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
3. 勾股数：像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。
【易错点提示】
(1)由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：①满足a2＋b2＝c2；②都是正整数．两者缺一不可．
(2)将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a2＋b2＝c2(但不一定是勾股数)，以它们为边长的三角形是直角三角形，比如以0.3 cm,0.4 cm,0.5 cm为边长的三角形是直角三角形．
考点5. 直角三角形的性质及计算
1. 直角三角形的性质
性质1.直角三角形两锐角之和等于90°。
性质2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
性质3.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
2. 直角三角形的判定
（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角的和是90°的三角形是直角三角形。
（3）一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形。
（4）如果三角形的三边长分别为a,b,c若满足，那么这个三角形为直角三角形。
3. 直角三角形面积公式
其中a、b是两条直角边的长，c 是斜边长，h是斜边上的高 ，S是直角三角形面积。
4. 直角三角形相关计算
（1）勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解；
（2）用于解决带有平方关系的证明问题；
（3）与勾股定理有关的面积计算；
（4）勾股定理在实际生活中的应用。
考点1. 三角形的相关概念
【例题1】（2024陕西省）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】C
【解析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断．
由图得，，，为直角三角形，
共有4个直角三角形．故选：C．
【变式练1】（2024长沙一模）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6
【答案】C
【解析】∵1+3＝4，
∴1，3，4不能组成三角形，
故A选项不符合题意；
∵2+2＜7，
∴2，2，7不能组成三角形，
故B不符合题意；
∵4+5＞7，
∴4，5，7能组成三角形，
故C符合题意；
∵3+3＝6，
∴3，3，6不能组成三角形，
故D不符合题意，故选：C．
【变式练2】（2024湖南娄底一模）若一个三角形的两边长分别为2cm，7cm，则它的第三边的长可
能是（　　）
A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm
【答案】C
【解答】解：设第三边长为x cm，根据三角形的三边关系可得：
7﹣2＜x＜7+2，
解得：5＜x＜9，故选：C．
【变式练3】（2024黑龙江大庆一模）将一副三角尺按如图所示的位置摆放，其中O，E，F在直线l上，点B恰好落在DE边上，∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．则∠ABE的度数为（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【解析】∵∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．
∴∠ABO＝180°﹣∠AOB﹣∠A＝45°，∠BOE＝180°﹣∠AOB﹣∠1＝70°，
∴∠OBE＝∠DEF﹣∠BOE＝20°，
∴∠ABE＝∠ABO+∠OBE＝65°．故选：B．
考点2. 三角形中的重要线段
【例题2】（2024四川南充）如图，在中，，平分交于点D，点E为边上一点，则线段长度的最小值为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】本题主要考查解直角三角形和角平分线的性质，垂线段最短，根据题意求得和，结合角平分线的性质得到和，当时，线段长度的最小，结合角平线的性质可得即可．
【详解】∵，
∴，
在中，，解得，
∵平分，
∴，
∴，解得，
当时，线段长度最小，
∵平分，
∴．故选∶C．
【变式练1】（2024哈尔滨一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（是钝角），他打算用折叠的方法折出的角平分线、边上的中线和高线，能折出的是（　　）
A．边上的中线和高线 B．的角平分线和边上的高线
C．的角平分线和边上的中线 D．的角平分线、边上的中线和高线
【答案】C
【解析】当与重合时，折痕是的角平分线；
当点A与点B重合时，折叠是的中垂线，故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，掌握折叠的性质是本题的关键．
【变式练2】（2024天津一模）如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为上一点，且于点H，下列判断中，正确的个数是（ ）
①是的边上的中线；
②既是的角平分线，也是的角平分线；
③既是的边上的高，也是的边上的高．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】根据三角形中线的定义、三角形角平分线的定义和三角形高的定义逐一判断即可．
因为G为的中点，
所以是的边上的中线，故①正确；
因为，
所以是的角平分线，是的角平分线，故②错误；
因为于点H，
所以既是的边边上的高，也是的边上的高，故③正确，
综上正确的有2个
故选：C．
【点睛】此题考查的是三角形中线、角平分线和高的识别，掌握三角形中线的定义、三角形角平分线的定义和三角形高的定义是解决此题的关键．
考点3. 等腰三角形以及等边三角形
【例题3】（2024福建省）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；
A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断；
B.不一定等于，即可判断；
C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断；
D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断；
掌握轴对称的性质是解题的关键．
【详解】A.，
，
由对称得，
点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形，
，，
，
，结论正确，故不符合题意；
B.不一定等于，结论错误，故符合题意；
C.由对称得，
∵点 E ，F分别是底边的中点，
，结论正确，故不符合题意；
D.
过作，
，
，
，由对称得，
，
同理可证，
，结论正确，故不符合题意；故选：B．
【变式练1】（2024辽宁沈阳一模）已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长
是（　　）
A．22 B．19 C．17 D．17或22
【答案】A
【解析】分两种情况：
①当4为底边长，9为腰长时，4+9＞9，
∴三角形的周长＝4+9+9＝22；
②当9为底边长，4为腰长时，
∵4+4＜9，
∴不能构成三角形；
∴这个三角形的周长是22．故选：A．
【变式练2】（2024山西一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BA延长线上一点，且ED⊥BC交AC于点F．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）若AB＝13，EF＝12，F为AC中点，求BC的长．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵ED⊥BC，∴∠EDB＝∠EDC＝90°，
∴∠E+∠B＝90°，∠C+∠DFC＝90°，∴∠E＝∠DFC，
∵∠DFC＝∠EFA，∴∠EFA＝∠E，∴AE＝AF，
∴△AEF为等腰三角形；
（2）解：过点A作AG⊥ED于点G，AH⊥BC于H，如图所示：
∵AE＝AF，AG⊥ED，EF＝12，
∴FG＝GE＝EF＝6，
∵F为AC中点，
∴AF＝FC＝AC＝AB＝，
在△AFG与△CFD中，
，
∴△AFG≌△CFD（AAS），
∴DF＝FG＝6，∴AH＝2DF＝12，
∴BH＝＝5，
∴BC＝2BH＝10，
【变式练3】（2024上海一模）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC．若AD＝4，则△ADE的周长为 　 　．
【答案】12．
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°，
∴∠A＝∠ADE＝∠AED＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE＝AE＝4，
∴△ADE的周长＝4+4+4＝12
【变式练4】（2024河北唐山一模）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则∠O的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【解析】连接BC，如图，
∵以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，
∴OB＝OC，
∵以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，
∴OB＝BC，
∴OB＝OC＝BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠O＝60°．故选：C．
【变式练5】 （2024吉林一模）如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若的周长是20，，，则的周长为（ ）

A．4 B．7 C．9 D．11
【答案】C
【解析】先根据的周长公式求得，再根据线段垂直平分线的性质得到，，根据的周长公式计算，即可得到答案．
∵的周长是20，
∴
∵，，
∴，
是线段的垂直平分线，
，
同理，，
的周长，
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【变式练6】（2024南京一模）如图，中，平分，且平分，于，于．如果，，则 ．

【答案】4
【解析】连接，根据角平分线的性质可得，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可证得，可得，再证得，得到，设，由，即可得方程，解方程求出，进而可求得．
连接，，

平分，，，
，，
且平分，
，
在与中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
，，，，
，
解得：，
，
，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解是解决问题的关键．
考点4. 直角三角形勾股定理及其应用
【例题4】（2024吉林省）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为______．
【答案】
【解析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键．
设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程．
【详解】设的长度为x尺，则，
∵，
由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
【变式练1】（2024陕西一模）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为________．
【答案】4
【解析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可．
∵在中，，是边的中线，
∴，，
在中，，，
∴，故答案为：4．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解答的关键．
【变式练2】（2024武汉一模）在△ABC中，D为BC边上的点，AB＝13，AD＝12，CD＝9，AC＝15，求BD的长．
【答案】见解析。
【解析】根据勾股定理的逆定理可判断出△ACD为直角三角形，即∠ADC＝∠ADB＝90°.在Rt△ABD中利用勾股定理可得出BD的长度．
∵在△ADC中，AD＝12，CD＝9，AC＝15，∴AC2＝AD2＋CD2，∴△ADC是直角三角形，∠ADC＝∠ADB＝90°，∴△ADB是直角三角形．在Rt△ADB中，∵AD＝12，AB＝13，∴BD＝＝5，∴BD的长为5.
方法总结：解题时可先通过勾股定理的逆定理证明一个三角形是直角三角形，然后再进行转化，最后求解，这种方法常用在解有公共直角或两直角互为邻补角的两个直角三角形的图形中．
【变式练3】（2024上海一模）如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？
【答案】见解析。
【解析】把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，验证它是否为直角三角形．
∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴该农民挖的不合格．
方法总结：解答此类问题，一般是根据已知的数据先运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，然后再作进一步解答．
考点5. 直角三角形的性质及计算
【例题5】（2024广州）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ）
A. 18 B. C. 9 D.
【答案】C
【解析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解．
【详解】解：连接，如图：
∵，，点D是中点，
∴
∴，
∴
又∵
∴
故选：C
【变式练1】（2024湖北荆州一模）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为10km，则M，C两点间的距离为（　　）
A．3km B．4km C．5km D．6km
【答案】C
【解析】∵公路AC，BC互相垂直，
∴．
∵M为AB的中点，
∴．
∵AB=10km，
∴CM=5km，
即M，C两点间的距离为5km，
故答案为：C．
点拨：先求出，再求出CM=5km，即可作答。
【变式练2】（2024贵州黔西南一模）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，则BD的长度为________．
【答案】
【解析】首先证明DB=AD=2CD，然后再由条件BC=可得答案．
∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴CD＝AD．
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD，
∴BD＝2CD．
∵BC＝，
∴CD＋2CD＝，
∴CD＝，
∴DB＝，
【点拨】此题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
【变式练3】（2024苏州一模）如图，在Rt△ABC中∠ACT=90°，CD是斜边AB上的中线，AC=4，CD=3。求直角边BC的长
【答案】见解析
【解析】先根据直角三角形斜边的中线定理得出AB的长，再根据勾股定理即可求出BC的长 .
在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线，∴AB=2CD= 6，由勾股定理，得
BC=
考点1. 三角形的相关概念
1. （2024黑龙江齐齐哈尔）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解．
如图所示，
由题意得，，，
∴，故选：B．
2. （2024四川德阳）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据垂直与三角形的内角和即可求出．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：B．
3. （2024江苏连云港）如图，直线，直线，，则__________．
【答案】30
【解析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，根据两直线平行，同位角相等，求出的度数，根据三角形的外角的性质，得到，即可求出的度数．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：30．
4. （2024四川达州）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则______度．
【答案】
【解析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得．
【详解】如图：
∵，，
∴设，，则，，
由三角形的外角的性质得：，，
∴，
如图：
同理可求：，
∴，
……，
∴，
即，
故答案：．
考点2. 三角形中的重要线段
1. （2024四川凉山）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是______．
【答案】##100度
【解析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答．
【详解】∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．
2. （2024河北省）如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点．
（1）的面积为______；
（2）的面积为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】【分析】（1）根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质可得结论；
（2）证明，得，推出、、三点共线，得，继而得出，，证明，得，推出，最后代入即可．
【详解】解：（1）连接、、、、，
∵的面积为，为边上的中线，
∴，
∵点，，，是线段的五等分点，
∴，
∵点，，是线段的四等分点，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴的面积为，
故答案为：；
（2）在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴、、三点共线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键．
考点3. 等腰三角形以及等边三角形
1. （2024内蒙古赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　）
A. 或 B. 或 C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：由方程得，，，
∵，
∴等腰三角形的底边长为，腰长为，
∴这个三角形的周长为，故选：．
2. （2024云南省）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
【答案】C
【解析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解．
如图，
∵是等腰底边上的高，
∴平分，
∴点F到直线，的距离相等，
∵点到直线的距离为3，
∴点到直线的距离为3．故选：C．
3. （2024安徽省）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作的延长线于点，则，
∵，，
∴，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴，故选：．
4. （2024重庆市B）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为________．
【答案】2
【解析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，进而可证明，即可推出．
【详解】∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴,
故答案为：2．
5. （2024湖南省）一个等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是________度．
【答案】
【解析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和，解答时根据等腰三角形两底角相等，求出顶角度数即可．
因为其底角为40°，所以其顶角．
6. （2024四川遂宁）在等边三边上分别取点，使得，连结三点得到，易得，设，则
如图①当时，
如图②当时，
如图③当时，
……
直接写出，当时，______．
【答案】##0.73
【解析】本题主要考查数字规律性问题，首先根据已知求得比例为n时，，代入即可．
【详解】根据题意可得，当时，，
则当时，，
故答案为：．
7.（2024湖北省） 为等边三角形，分别延长，到点，使，连接，，连接并延长交于点．若，则______，______．
【答案】 ①. ##30度 ②. ##
【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理．利用三角形的外角性质结合可求得；作交的延长线于点，利用直角三角形的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：∵为等边三角形，，
∴，，
∴，，，
作交的延长线于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：，．
8. （2024江苏常州）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）连接，则与l的位置关系是________．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定：
（1）证明，得到，即可得证；
（2）根据线段的和差关系，易得，根据三角形的内角和定理，得到，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴．
考点4. 直角三角形勾股定理及其应用
1. （2024四川德阳）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】D
【解析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解，熟练掌握勾股定理，利用判别式判断一元二次方程解的情况是解题的关键．设，，假设存在点，且，则，利用勾股定理得到，，，可得到方程，结合，然后根据判别式的符号即可确定有几个解，由此得解．
【详解】如图所示，四边形是黄金矩形，，，
设，，假设存在点，且，则，
在中，，
在中，，
，
，即，
整理得，
，又，即，
，
，，
，
方程无解，即点不存在．故选：D．
2. （2024江苏盐城）如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时，________．
【答案】##
【解析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质的综合，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键．
根据等腰直角三角形的性质可得的值，作，根据平行线的性质可得是等腰直角三角形，可求出的长，在直角中，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求解．
【详解】∵在中，，，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∴在中，，
∵将绕点旋转得到，
∴，
∴，，，
如图所示，过于点，
∵∥，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
在中，，
∴．
3. （2024四川乐山）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）秋千绳索的长度为尺
（2）能，
【解析】
【分析】该题主要考查了勾股定理的应用以及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）如图，过点作，垂足为点B．设秋千绳索的长度为x尺．由题可知，，，，得出．在中，由勾股定理解得，即可求解；
（2）由题可知，，．在中，得出，同理，．再根据，列等式即可求出．
【小问1详解】
解：如图，过点作，垂足为点B．
设秋千绳索的长度为x尺．
由题可知，，，，
∴．
在中，由勾股定理得：
∴．
解得．
答：秋千绳索的长度为尺．
【小问2详解】
能．
由题可知，，．
在中，，
同理，．
∵，
∴．
∴．
考点5. 直角三角形的性质及计算
1. （2024四川南充）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为_____．
【答案】
【解析】过作于点，于点，，由四边形是矩形，得，，证明四边形是矩形，通过角平分线的性质证得四边形是正方形，最后根据折叠的性质和勾股定理即可求解．
【详解】如图，过作于点，于点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∵平分，
∴，，
∴四边形是正方形，
由折叠性质可知：，，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，所对直角边是斜边的一半，角平分线的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
2. （2024江苏连云港）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为__________．
【答案】##
【解析】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离，以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，利用含30度角的直角三角形的性质，求出点的坐标，得到点在直线上运动，求出点分别与重合时，点的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可．
【详解】解：以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，
则：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作，则：，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
令，
则：，
∴点在直线上运动，
当点与重合时，，此时，
当点与重合时，，此时，
∴点E所经过的路径长为．
3. （2024四川成都市）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则______．
【答案】
【解析】连接，过E作于F，设，，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得，，，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到，，证明，利用相似三角形的性质和勾股定理得到；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明得到，进而得到关于x的一元二次方程，进而求解即可．
【详解】连接，过E作于F，设，，
∵，为中点，
∴，又，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，则，又，
∴，
∴，，
∴，
则；
∵是的一条角平分线，
∴，又，
∴，
∴
∴，则，
∴，即，
解得（负值已舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键．
4. （2024黑龙江龙东）如图，菱形中，点是的中点，，垂足为，交于点，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题主要考查了解三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半．
先由菱形性质可得对角线与交于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，进而由菱形对角线求出边长，由解三角形即可求出，．
【详解】连接，如图，
∵菱形中，与互相垂直平分，
又∵点是的中点，
∴A、O、C三点在同一直线上，
∴，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，，
∵，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，故选：C．
5. （2024山东枣庄）一副三角板分别记作和，其中，，，．作于点，于点，如图1．
（1）求证：；
（2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合，将图2中的绕按顺时针方向旋转后，延长交直线于点．
①当时，如图3，求证：四边形为正方形；
②当时，写出线段，，的数量关系，并证明；当时，直接写出线段，，的数量关系．
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析；②当时，线段，，的数量关系为；当时，线段，，的数量关系为；
【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形与含30度角的直角三角形的性质可得结论；
（2）①证明，，可得，证明，可得四边形为矩形，结合，即，
而，可得，从而可得结论；②如图，当时，连接，证明，可得，结合，可得；②如图，当时，连接，同理，结合，可得
【小问1详解】
证明：设，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：①∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，即，
而，
∴，
∴四边形是正方形；
②如图，当时，连接，
由（1）可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，当时，连接，
由（1）可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，正方形的判定，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.
考点1. 三角形的相关概念
1．已知在△ABC中，AB＝4，BC＝7，则边AC的长可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．11
【答案】C
【解析】在△ABC中，AB＝4，BC＝7，
则7﹣4＜AC＜7+4，即3＜AC＜11，
∴边AC的长可能是4，故选：C．
2. 如图，E为△ABC边CA边上一点，过点E作ED∥AB．若∠ABC＝110°，∠CED＝150°，则
∠C＝　　°．
【答案】40．
【解析】∵∠CED＝150°，
∴∠AED＝180°﹣150°＝30°，
∵ED∥AB，
∴∠A＝∠AED＝30°，
∵∠ABC＝110°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣110°＝40°．
考点2. 三角形中的重要线段
1. 在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是　　 度．
【答案】80或40．
【解析】当△ABC为锐角三角形时，如图，
∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°；
当△ABC为钝角三角形时，如图，
∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°．
综上所述，∠BAC＝80°或40°．
2．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　）
A．AB＝2BF B．∠ACE＝∠ACB
C．AE＝BE D．CD⊥BE
【答案】C
【解析】∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥BE，∠ACE＝∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE．故选：C．
3. 如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长
为（　　）
A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm
【答案】A
【解析】∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，
∵△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，
∴△ACD周长为：25﹣6＝19cm．故选：A．
考点3. 等腰三角形以及等边三角形
1．已知等腰△ABC中，∠A＝50°，则∠B的度数为（　　）
A．50° B．65°
C．50°或65° D．50°或80°或65°
【答案】D
【解析】当∠A为顶角时，则；
当∠B为顶角时，则∠B＝180°﹣2∠A＝80°；
当∠A、∠B为底角时，则∠B＝∠A＝50°．故选：D．
2．如图，在等边△ABC的底边BC边上任取一点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AB交AC于点F，DE＝5cm，DF＝3cm，则△ABC的周长为　 　cm．
【答案】24
【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴AE＝DF＝3cm，DE＝AF＝5cm，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠BED＝∠A＝60°，∠DFC＝∠A＝60°，
∴∠BED＝∠B＝60°，∠DFC＝∠C＝60°，
∴△BED为等边三角形，△DFC为等边三角形，
∴BE＝BD＝DE＝5cm，DF＝FC＝CD＝3cm，
∴AB＝AE+BE＝8cm，AC＝AF+CF＝8cm，BC＝BD+CD＝8cm，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝8+8+8＝24cm．
3．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝　　 ．
【答案】10°
【解析】∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠B＝40°，∠C＝45°，
∴∠B+∠C＝85°，∠BAC＝95°，
∴∠BAD+∠CAE＝85°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝95°﹣85°＝10°
4．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝　　 ．
【答案】10°．
【解析】∵∠C＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°
5. 如图，在中，，边上的垂直平分线分别交于点D、E，若的周长是11，则直线上任意一点到A、C距离和最小为（　　）

A．28 B．18 C．10 D．7
【答案】D
【分析】利用垂直平分线的性质和已知的三角形的周长计算．
【详解】解：∵是的中垂线，
∴，
则，
又∵的周长为11，
故，
直线上任意一点到A、C距离和最小为7．故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识．难度简单．
6．如图，在△ABC中，BD、AE分别是AC、BC边上的高，它们相交于点F，且AF＝BC．
求证：△ABD是等腰三角形．
【答案】见解析
【解析】证明：∵BD、AE分别是AC、BC边上的高，
∴BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠BDC＝∠ADF＝90°，∠DBC+∠BFE＝∠DAF+∠AFD＝90°，
∵∠BFE＝∠AFD，
∴∠CBD＝∠DAF，
在△BCD和△AFD中，
，
∴△BCD≌△AFD（AAS），
∴BD＝AD，
∴△ABD是等腰三角形．
6．如图，已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以点B为圆心，BC长为半径的弧分别交AC，AB于点D，E，连接BD，ED．
（1）写出图中所有的等腰三角形；
（2）若∠AED＝114°，求∠ABD和∠ACB的度数．
【答案】见解析
【解析】（1）∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵BE＝BD＝BC，
∴△BCD，△BED是等腰三角形；
∴图中所有的等腰三角形有：△ABC，△BCD，△BED；
（2）解：∵∠AED＝114°，
∴∠BED＝180°﹣∠AED＝66°．
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝66°．
∴∠ABD＝180°﹣66°×2＝48°．
设∠ACB＝x°，
∴∠ABC＝∠ACB＝x°．∴∠A＝180°﹣2x°．
∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠ACB＝x°．
又∵∠BDC为△ABD的外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD．
∴x＝180﹣2x+48，解得：x＝76．
∴∠ACB＝76°．
考点4. 直角三角形勾股定理及其应用
1．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为，，，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A∶∠B∶∠C =1∶2∶3
C． D．∶∶=3∶4∶6
【答案】D
【解析】A.∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；
B.∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；
C.由a2=c2﹣b2，得a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D.32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故选D．
2．已知两条线段的长为和，当第三条线段的长为_________时，这三条线段能组成一个直角三角形.
【答案】13或
【解析】已知直角三角形的二边求第三边时，一定区分所求边是直角三角形的斜边和直角边二种情况下的结果，然后根据勾股定理解答．
根据勾股定理，当12为直角边时，第三条线段长为=13；
当12为斜边时，第三条线段长为=；
故答案为13或．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握并正确运用勾股定理逆定理是解题的关键，注意要分两种情况讨论．
3．如图，中，，，，延长至点，连接，若是以为其中一腰的等腰三角形，则线段的长等于　 ．
【答案】5或．
【解析】中，，，，
．
是以为其中一腰的等腰三角形，
分两种情况：
①当时，
，
；
②当时，
设，则．
中，，
，即，
解得．
综上所述，线段的长等于5或．
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：
(1)AC的长；
(2)S△ABC；
(3)CD的长．
【答案】见解析。
【解析】(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.
解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝＝12cm；
(2)S△ABC＝CB·AC＝×5×12＝30(cm2)；
(3)∵S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，∴CD＝＝cm.
方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．
5.探索与研究：
方法1：如图：
对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；
方法2：如图：
该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？
【答案】见解析。
【解析】方法1：根据四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC和Rt△ACD的面积之和等于Rt△ABD和△BCD的面积之和解答．
解：方法1：S正方形ACFD＝S四边形ABFE＝S△BAE＋S△BFE，
即b2＝c2＋(b＋a)(b－a)，
整理得2b2＝c2＋b2－a2，
∴a2＋b2＝c2；
方法2：此图也可以看成Rt△BEA绕其直角顶点E顺时针旋转90°，再向下平移得到．
∵S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，
∴S△ABC＋S△ACD＝S△ABD＋S△BCD，
即b2＋ab＝c2＋a(b－a)，
整理得b2＋ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2＋ab－a2，
∴a2＋b2＝c2.
方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．
6. 如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则点到的距离为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】根据题意求得，进而求得，进而等面积法即可求解．
在中，
，，
，
，
设到的距离为，
，
，故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
考点5. 直角三角形的性质及计算
1．如图，有一架梯子斜靠在与地面垂直的墙上，在墙角点处有一只猫紧紧盯住位于梯子正中间点处的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，若梯子端沿墙下滑，且梯子端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离将　 　（填“变大”、“变小”或“不变”）．
【答案】不变
【解析】如图，连接OP，
根据题意知，点P是直角△AOB斜边的中点，
则OP是直角△AOB斜边上的中线，则OP＝AB，
由于AB的长度不变，则OP的长度不变．
故答案为：不变．
2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：E为AB的中点．
【答案】见解析
【解析】证明：∵AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠EAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD=∠ADE，
∴∠EAD=∠ADE，
∴DE=AE，
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADE+∠BDE=90°，∠EAD+∠ABD=90°，
∵∠EAD=∠ADE，
∴∠BDE=∠ABD，
∴BE=DE，
∴AE=BE，
∴E是AB的中点．
3. 如图 ,MN 为过 Rt△ABC 的直角顶点 A 的直线,且BD⊥MN 于点D,CE⊥MN 于点E,AB=AC,F 为BC 的中点,求证:DF=EF.
【答案】见解析
【解析】 连接AF.因为△ABC 为直角三角形,F 为斜边BC 的中点,所以BF=AF=CF.因为∠BAC=90°,所以∠BAM+∠NAC=90°.因为E ,所以∠BAM+∠DBA=90°,∠BDA=∠CEA=90°.
所以∠DBA=∠NAC.
又因为AB=AC,所以△DBA≌△EAC,所以DB=AE.
因为AB=AC,∠BAC=90°,F 为BC 的中点,
所以
所以∠DBA+∠ABC=∠CAF+∠CAN,
即∠DBF=∠FAE.又因为DB=AE,AF=BF,
所以 所以 DF=EF.
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