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2.1 平方根——无理数
学习目标与重难点
学习目标：
1.通过平方根的学习来理解无理数的意义，并从中体会无限逼近的思想。
2.会判断一个数是有理还是无理数，体会“无限”的过程。
3. 学会平方根和平方运算的理解以及它们之间的逆运算关系。
学习重点：
理解无理数的概念，会区分有理数和无理数以及比较大小
学习难点：
探索无理数是无限不循环小数，并理解无限逼近的思想
预习自测
一、单选题
1．有一组数：，，，相邻两个1之间的0依次增加1个，，，，，其中无理数的个数为（ ）
A．6 B． C．4 D．3
2．下列各数没有平方根的是（ ）
A．34 B．（－4）2 C．5－2 D．－9
二、填空题
3．求一个数的平方根的运算叫做 ， a叫做 ．
4．16的平方根是 ；的算术平方根是 ．
教学过程
一、创设情境、导入新课
请同学们看课本第31页
思考：
观察下列结果：
= 1， = 4；
= 1. 96， = 2. 25；
= 1. 988 1， = 2. 016 4；
= 1. 999 396， = 2. 002 225；
= 1. 999 961 64， = 2. 000 244 49；
… …
（1） 分别根据上述结果，估计的算术平方根 2 的大致范围；
（2） 猜测 是一个怎样的数？
二、合作交流、新知探究
探究一：引入无理数的概念
看了上面的思考，你知道什么叫做无理数了吗？请参照课本32页写出无理数的概念：
探究二：有理数与无理数的区别与分类
想一想：小学里学过的有限小数和无限循环小数是有理数吗？
探究三：什么是近似数？复习计算器的使用
教材第32页
议一议
下面的说法正确吗？如果不正确，请说明理由.
（1） 无限小数都是有理数； （2） 无理数都是无限小数；
（3） 带根号的数都是无理数； （4） 无理数都是带根号的数
做一做
下列说法是否正确？请举例说明.
（1） 一个正数a，先开平方，然后再平方，最后的结果等于a；
（2） 一个数b，先平方，然后求它的算术平方根，最后的结果等于b
自主检测
一、单选题
1．如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．0
2．下列实数中是无理数的是（ ）
A．3.1415 B． C． D．
3．在，，，，，（相邻两个1之间依次增加一个2）这些数中，无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
4．已知数据：，，，，0．其中无理数出现的频率为 ．
三、解答题
5．先填写表，通过观察后再回答问题∶
a … 1 …
… x 1 y …
(1)表格中________，________；
(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题∶
①已知，则________；
②已知，若，用含m的式子表示b，则________；
(3)试比较与a的大小．
四、知识点总结
1.知识: （1）无限不循环小数叫做无理数.
（2）有理数和无理数的区别：
①概念：
有理数：可以表示为两个整数（分子和分母）之比的数，其中分母不为零。
无理数：不能表示为两个整数的比的数。
②性质：
（1）有理数在数轴上具有确定的、可数的位置。任意两个有理数之间都存在无数个有理数。
（2）无理数在数轴上也是确定的，但无理数之间的空隙无法完全由有理数填补。无理数在数轴上表现为不连续的、无法完全列举的点。
（3）什么是近似数？
（4）平方根和平方运算的理解以及它们之间的逆运算关系。
答案
预习：
1．C
【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】解：，
在实数，，，（相邻两个1之间的0依次增加1个），，，，中，无理数有，（相邻两个1之间的0依次增加1个），，，共4个．
故选：C
2．D
3． 开平方 被开方数
4． 2
【分析】根据平方根和算术平方根的定义即可得到结论．
【详解】解：因为的平方是16，
所以16的平方根是，
因为，且2的平方是4，
所以的算术平方根是2．
故答案为：；2．
【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟记定义是解题的关键．
自主：
1．A
【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点E在点A的左侧，即可求出E点所表示的数．
【详解】解： 正方形的面积为3，
，
，
，
点A表示的数为1，且点E在点A的左侧，
点所表示的数为 .
故选：A.
2．C
【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数．也考查了求一个数的算术平方根．
【详解】解：A、3.1415是小数，属于有理数，故不符合题意；
B、是整数，属于有理数，故不符合题意；
C、属于无理数，故符合题意；
D、是分数，属于有理数，故不符合题意；
故选：C．
3．C
【分析】此题主要考查了无理数的定义，利用无理数的定义判断即可．
【详解】解：在，，，，，（相邻两个1之间依次增加一个2）这些数中，
，， ，（相邻两个1之间依次增加一个2）是无理数，共4个，
故选：C．
4．/
【分析】此题主要考查了频率与频数以及无理数．直接利用无理数的定义得出无理数的个数，进而利用频率求法得出答案．
【详解】解：，
∴数据，，，，0中，无理数有：，共2个，
故无理数出现的频率为：．
故答案为：．
5．(1)，；
(2)①；②；
(3)见解析
【分析】本题考查了求算术平方根及算术平方根的规律：
（1）根据算术平方根定义直接求解即可得到答案；
（2）①根据表格得到算术平方根的规律被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍求解即可得到答案；②根据表格得到算术平方根的规律被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍求解即可得到答案；
（3）分，，，四类讨论即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意得，
，，
故答案为：，；
（2）解：由表格及（1）得，
被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍，
①∵，
∴，
故答案为：；
②∵，，
∴，
故答案为：；
（3）解：当时，
，
当时，
，
当，时，
．
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