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广西柳州市 2025 年高考一模数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.已知复数 = 1 + ，则 的虚部为( )

1 1 1
A. B. C. D.
2 2 2 2 2
2.对于非零向量 ， ，“| + | = 0”是“ // ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2
3.已知双曲线 ： = 1的一条渐近线方程为 = √ 2 ，则 =( )
4
A. 1 B. 2 C. 8 D. 16
4.若过点(2√ 3, 0)与圆 2 + 2 = 4相切的两条直线的夹角为 ，则 =( )
√ 5 2√ 5 1 2
A. B. C. D.
5 5 3 3
4
5.点 ， 的坐标分别是( 5,0)，(5,0)，直线 ， 相交于点 ，且它们的斜率之积是 ，则点 的轨迹方
9
程是( )
2 9 2 2 100 2
A. + = 1( ≠ ±5) B. + = 1( ≠ ±5)
25 100 25 9
2 9 2 2 100 2
C. = 1( ≠ 0) D. = 1( ≠ 0)
25 100 25 9

6.设函数 ( ) = cos( + )( > 0)，已知 ( 1) = 1， ( 2) = 1，且| 1 2|的最小值为 ，则 =( ) 6 4
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7√ 6
7.已知正四棱台 1 1 1 1的体积为 ， = 2， 3 1 1 = 1，则 1与底面 所成角的正切值
为( )
√ 3
A. B. √ 3 C. 2√ 3 D. 4
2
8.设函数 ( ) = ( + ) ，若 ( ) ≥ 0，则5 + 5 的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. √ 5 D. 2√ 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量 服从正态分布，即 ～ (3,9)，则( )
A. ( ) = 27 B. ( ) = 9
C. ( ≥ 8) > ( ≤ 1) D. ( ≤ 1) + ( ≤ 5) = 1
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10.过抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点 作倾斜角为 的直线交 于 ， 两点，经过点 和原点 的直线交
抛物线的准线于点 ，则下列说法正确的是( )
A. // B. ⊥
2
C. 以 为直径的圆与 轴相切 D. | || | = 2 sin
11.我们知道，函数 = ( )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 = ( )为奇函数，有
同学发现可以将其推广为：函数 = ( )的图象关于点( , )成中心对称图形的充要条件是函数 = ( +
) 为奇函数.已知 ( )是定义在 上的可导函数，其导函数为 ( )，若函数 = ( + 1) 1是奇函数，
函数 = ( + 2)为偶函数，则( )
A. (1) = 1 B. (1) = 1
C. = ( + 2) 1为奇函数 D. ∑2024 =1 ( ) = 1012
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12.已知 2 + 2 1 = 0，则 2 + 2 = ______．
3 3
13.在( + )83 的展开式中，常数项为______． 3
14.如图，在4 × 4的格子中，有一只蚂蚁从 点爬到 点，每次只能向右或向上移动
一格，则从 点爬到 点的所有路径总数为______，若蚂蚁只在下三角形(对角线 及
以下的部分所围成的三角形)行走，则从 点到 点的所有总路径数为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
记△ 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知√ 3 = 2．
(1)求 ；
(2)若 = 2，√ 2 = 2 ，求△ 的周长．
16.(本小题12分)
如图，在圆锥 中， 为圆锥底面的直径， 为底面圆周上一点，点 在线段 上， = 2 = 4， = 2 ．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)若圆锥 的侧面积为8 ，求二面角 的正弦值．
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17.(本小题12分)
1
已知函数 ( ) = ．

(1)当 = 1时，求曲线 = ( )在(1, (1))处的切线方程；
(2)若 ( )有极小值，且极小值小于0，求 的取值范围．
18.(本小题12分)
2 2
在平面直角坐标系 中， 为直线 = 2上一动点，椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左右顶点分别为
( √ 2, 0)， (√ 2, 0)，上、下顶点分别为 (0,1)， (0, 1).若直线 交 于另一点 ，直线 交 于另一点
．
(1)求证：直线 过定点，并求出定点坐标；
(2)求四边形 面积的最大值．
19.(本小题12分)
某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了 和 两个套餐服务，并在购物平台上推出了优惠券活动，
顾客可自由选择 和 两个套餐之一，如图是该购物平台7天销售优惠券的情况(单位：千张)的折线图：
(1)由折线图可看出，可用回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数加以说明；
1 2
(2)假设每位顾客选择 套餐的概率为 ，选择 套餐的概率为 ，其中 包含一张优惠券， 套餐包含两张优
3 3
惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了 张优惠券，设其概率为 ，求 ；
(3)记(2)中所得概率 的值构成数列{ }( ∈ )，求数列{ }的最值．

参考数据：∑7 7 =1 = 16.17，∑ =1 = 68.35，√ ∑
7
=1(
2
) = 0.72，√ 7 = 2.646．

∑

( )( )
参考公式：相关系数 = =1 ．

√ 2 2 ∑ =1(

) ∑ =1( )
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】6
13.【答案】70
14.【答案】70 14
15.【答案】解：(1)由√ 3 = 2，
√ 3 1
可得 = 1，即sin( ) = 1，
2 2 6
5
由于 ∈ (0, )，可得 ∈ ( , )，
6 6 6
2
所以 = ，故 = ；
6 2 3
(2)由√ 2 = 2 及正弦定理，
可得√ 2 = 2 ，
又 ， ∈ (0, )，则 ≠ 0，
√ 2
故 = ，即 = ，
2 4
√ 6 √ 2
所以 = sin( + ) = + = ，
4
2
由正弦定理得 = = ，即 2 = = ， sin sin sin
3 4 12
2√ 6 √ 6
解得 = ， = √ 2 ，
3 3
√ 6
故△ 的周长为2 + √ 2 + ．
3
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16.【答案】解：(1)证明：由题知， ⊥平面 ， ⊥ ，
故以 为坐标原点， 为 轴正方向， 为 轴正方向，与 同向的方向为 轴
正方向建立空间直角坐标系．
设| | = ，则 (0,0,0)， (2,0,0)， 2√ 3 (1, √ 3, 0)， (1, √ 3, )， (0, , 0)，
3
2√ 3
所以 = ( 2, , 0)， = (1, √ 3, 0)， = (1, √ 3, )．
3
因为 = 2 + 2 = 0， = 2 + 2 = 0．
所以 ⊥ ， ⊥ ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ；
(2)因为圆锥 的侧面积 = 2 × = 8 ，所以 = 4，所以 = = √ 42 22 = 2√ 3，
(1) 2√ 3由 可知， = ( 2, , 0)为平面 的一个法向量，
3
因为 = (2,0,0)， = (1, √ 3, 2√ 3)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，则 ⊥ ， ⊥ ，
所以{
= 2 = 0 ，令 = 1，得 = (0,2, 1)，
= + √ 3 + 2√ 3 = 0
2√ 3
2×0+ ×2+0×( 1) √ 5
则cos , = =
3 = ，
| | | | √ 2 2√ 3 2 2
5
( 2) +( ) +02×√ 02+22+( 1)
3
所以二面角 的正弦值为2√ 5．
5
1
17.【答案】解：(1)当 = 1时， ( ) = 1，则 ′( ) = 1 ，

所以 (1) = 0， ′(1) = 0，所以即切点坐标为(1,0)，切线斜率为 = 0，
所以切线方程为 = 0；
1
(2) ( )定义域为(0, +∞)，且 ′( ) = ．

1 1
若 > 0，令 ′( ) > 0，解得 > ，令 ′( ) < 0，解得 < ，

1 1
可知 ( )在(0, )上单调递减，( , +∞)上单调递增，

1 1
则 ( )有极小值 ( ) = 1 + ，无极大值，

1 1 1
由题意，可得 ( ) = 1 + < 0，即1 + < 0，

1 1 1
令 ( ) = 1 + ( > 0)， ′( ) = + 2 > 0， ( )在(0, +∞)上单调递增，
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1
又 (1) = 1，不等式1 + < 0等价于 ( ) < (1)，解得 < 1，

又 > 0，所以0 < < 1；
若 ≤ 0，则 ′( ) < 0对任意 ∈ (0, +∞)恒成立．
所以 ( )在(0, +∞)上单调递减，无极值，不合题意，
综上， 的取值范围是(0,1)．
18.【答案】解：(1)证明：易知 = √ 2， = 1，
2
所以椭圆 的方程为 + 2 = 1，
2
设 ( , 2)，
1
当 ≠ 0时，设直线 的方程为 = + 1，

1
= + 1
2+2 4
联立{ ，消去 并整理得 2 + = 0，
2 2
+ 2 = 1
2
4
可得 = 2 ， +2
2 2
所以 = 2
，
+2
4 2 2
即 ( 2 , )， +2 2+2
3
设直线 的方程为 = 1，

3
= 1
2+18 12
联立{ 2 ，消去 并整理得 2 = 0， 2 + = 1
2
12
可得 = 2
，
+18
2 18
所以 = 2 ， +18
12 2 18
即 ( ,
2+18 2
)，
+18
由对称性知，定点在 轴上，
设 (0, )，
因为 = ，
2 2 2 18
+
2+2 2所以 = +184 12 ，

2+2 2+18
即 (4 2 + 24) = 2 2 + 12，
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1
解得 = ，
2
1
所以直线 过定点(0, )；
2
1
当 = 0时，直线 也恒过定点(0, )；
2
1
综上，直线 也恒过定点(0, )．
2
1 4 12 3+6
(2)易知四边形 的面积 = | || | = | | = | 2 + | = 16| | 2 +2 2+18 4+20 2+36
6 6
| + | | + |
= 16
2 36
= 16 6 2 ，
| + 2+20| |( + ) +8|
6
令 = | + | ≥ 2√ 6，

当且仅当 = ±√ 6时，等号成立，
16 16
此时 = 2 = 8， +8 +

8
易知函数 = + 在(2√ 2, +∞)上单调递增，

又 ≥ 2√ 6．
16×2√ 6
搜易当 = 2√ 6时，四边形 面积取得最大值，最大值 = 2 = √ 6．
(2√ 6) +8

7 2 7 19【. 答案】解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得 = 4，∑ =1( ) = 28，√ ∑
2
=1( ) = 0.72，

∑7

=1( )( ) = ∑
7
=1
7
∑ =1 = 68.35 4 × 16.17 = 3.67，
3.67
所以 = ≈ 0.9632，
0.72×2×2.646
因为 与 的相关系数近似为0.9632，说明 与 的相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合 与 的关
系；
1 2 1 1 1 2 7
(2)依题意得， = 3 1 + 2( ≥ 3)，其中 1 = ， = × + = ， 3 3 2 3 3 3 9
2
则 1 = ( 3 1 2)( ≥ 3)，
4 2
所以{ 1}是以首项为 2 1 = ，公比为 的等比数列， 9 3
4 2
故 1 = ( )
2( ≥ 2)成立，
9 3
2 1
4 2 2 2 2 4 1 ( )
则有 0 1 + 2 3 + + 2 1 = [( ) + ( ) + ( )
2 + + ( ) 2] = × 3 =
9 3 3 3 3 9 21 ( )
3
4 4 2
× ( ) 1，
15 15 3
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4 4 2
所以 1 = 1 + ( ) ， 15 15 3
1
又因为 1 = ， 3
1 4 4 2 3 2 2
所以 = + ( )
1 = + ( ) ；
3 15 15 3 5 5 3
3 2 2 7 3
(3)当 为偶数时， = + ( )
，单调递减，最大值为 = ， → +∞， → ，
5 5 3 2 9 5
3 2 2 1 3
当 为奇数时， = ( )
，单调递增，最小值为 = ， → +∞， → ，
5 5 3 1 3 5
7 1
所以数列{ }的最大值为 ，最小值为 ． 9 3
第 9 页，共 9 页

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