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2024-2025学年第一学期高三年级12月学情调研测试
数学试题
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在复平面内，复数的对应点坐标为，则的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3.为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则（ ）
A.8 B.6 C.4 D.2
4.设数列的通项公式为，数列的前项和为，那么等于（ ）
A. B. C. D.
5.已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.05，一个次品被误判为合格品的概率为0.01.任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（ ）
A.0.855 B.0.856 C.0.86 D.0.865
6.设为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若和在区间上均单调递增，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8.在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有
一个公共点，其坐标为，则（ ）
A.函数的最大值为1 B.函数的最小值为1
C.函数的最大值为1 D.函数的最小值为1
二 多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知奇函数的定义域为，若，则（ ）
A.
B.的图象关于直线对称
C.
D.的一个周期为4
10.如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，设事件为奇数，事件，事件，则（ ）
A. B.
C. D.
11.某3×4×5的长方体由1×1×1的单位立方体（称单位正方体的顶点为格点）拼成，下列选项中正确的有（ ）
A.存在不共线的三个向量两两夹角相等，且顶点均为该长方体的格点
B.不存在不共线的四个向量两两夹角相等，且顶点均为该长方体的格点
C.空间内的一条直线最多穿过该长方体的五个格点
D.该长方体的一条体对角线穿过10个单位正方体
三 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.的展开式中的常数项为______.
13.在平行四边形中，已知，，，点在边上，，与相交于点，则的余弦值为______.
14.已知函数，则__________.
四 解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.设三角形的内角的对边分别为且.
（1）求角的大小；
（2）若边上的高为，求三角形的周长.
16.已知圆和定点，直线.
（1）当时，求直线被圆所截得的弦长；
（2）若直线上存在点，过点作圆的切线，切点为，满足，求的取值范围.
17.如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，.
（1）求证：平面平面；
（2）点为棱的中点，求与平面所成角的正弦值.
18.某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为A等品，其它产品称为等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）；
（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.）
（2）（i）从样本的质量指标值在和的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据（1）的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大.
19.已知函数，取；过点作曲线的切线，该切线与轴的交点记
作.若，则过点作曲线的切线，该切线与轴的交点记作.以此类推得，直至停止，由这些数构成数列.
（1）若正整数，证明：；
（2）若正整数，证明：；
（3）若正整数，是否存在便得依次成等差数列？若存在，求出的所有取值；若不存在，请说明理由.
2024-2025学年第一学期高三年级12月学情凋研测试
数学参考答案
一 二；选择题：
1.A 2.D 3.B 4.D 5.B 6.D 7.A 8.B
9.AD 10.ABC 11.AD
三 填空题：
12. 13. 14.0
解析：方程即有根，
所以，所以所以，
所以，所以
15.解析：（1）因为为的内角，所以，
因为，所以可化为：，
即，即，因为，解得：，即
（2）由三角形面积公式得代入得：，
所以，由余弦定理得：，
解得：或舍
.
16.【详解】（1）圆C：，圆心，半径，
当时，直线1的方程为，所以圆心到直线1的距离，
故弦长为.
（2）设，则，由，
，
得.化简得，
所以点M的轨迹是以为圆心，8为半径的圆.
又因为点M在直线上，所以与圆D有公共点，
所以，解得，所以m的取值范围是.
17.解析：（1）证明：如图，取的中点，连接，
为正三角形，且.
为的中点，，
又底面为直角梯形，即，故四边形为平行四边形，
而，所以四边形为矩形，.
.
平面平面.
平面平面平面
.
（2）由（1）得，由（1）又可得，
如图，以为坐标原点所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，
.设平面的法向量为，由，得，令，则，
，
设与平面所成的角为，则
，
与平面所成角的正弦值为.
18.解析：（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：
.
即，所以，
因为质量指标值近似服从正态分布，所以，
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A等品的概率约为0.16
（2）（1），所以所取样本的个数为20件，
质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为，
相应的概率为：
随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以的数学期望.
（2）设每箱产品中等品有件，则每箱产品中等品有件，
设每箱产品的利润为元，
由题意知：，
由（1）知：每箱零件中等品的概率为0.16，
所以，所以，
所以
.
令，由得，，
又单调递增，单调递减，
所以当时，取得最大值.所以当时，每箱产品利润最大.
19.解析：（1）因为，则，
若，曲线在点处的切线斜率为，
则切线方程为，
令，可得，解得，所以
（2）构建，则，
当时，；当时，；
可知在上单调递减，在上单调递增，
则，可得，当且仅当时，等号成立，
当时，则，可得，累加可得，所以
.
（3）若存在使得依次成等差数列，
当时，则依次成等差数列，可得，又因为，则，可得，即，构建，
则，
由（2）可知：，即，可得，当且仅当时，等号成立，
则，
且，当且仅当时，等号成立，可得，
可知在内单调递增，且
，
可知在内有且仅有一个零点，
当时，则依次成等差数列，可得，
又因为，则，可得，即
，
根据零点的唯一性可知：，
由（2）可知：，可知为递减数列，
所以不成立，即时，不存在使得依次成等差数列；
综上所述：存在使得依次成等差数列，此时.

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