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2024-2025学年湖北省云学部分重点高中高二12月联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.椭圆的长轴长为( )
A. B. 3 C. D. 6
2.在空间直角坐标系中，点关于y轴的对称点为( )
A. B. C. D.
3.在四棱台中，一定能作为空间向量的一个基底的是( )
A. B.
C. D.
4.树人中学参加云学联盟数学考试，小明准备将考试分数制作成频率分布直方图，因时间紧未制作完全，如图，已知考试分数均在区间内，记分数的平均数为X，中位数为Y，则( )
A. B.
C. D. X，Y的大小关系不能确定
5.动直线被定圆C截得的弦长等于2，则圆C的方程为( )
A. B.
C. D.
6.在平面直角坐标系中，若点到直线l的距离为1，点到直线l的距离为3，则这样的直线l有( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
7.直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线C相交于A，B两点，与y轴相交于点若，，则( )
A. B. C. D.
8.点P是正方体的表面及其围成的空间内一点，已知正方体的棱长为2，若，AP与平面ABCD所成的角为，则点P的轨迹的形状是
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.随机事件A，B满足，，，则有( )
A. B. C. A，B不是互斥事件 D. A，B相互独立
10.平行六面体所有棱长都等于1，，如图，则有( )
A.
B.
C. 平面平面
D. 平行六面体的体积为
11.在平面直角坐标系内，动点P到两定点，的距离之积等于6，点P的轨迹记为曲线曲线C与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称 B.
C. 当点P位于B点处时，最大 D. 点P到x轴的最大距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，直线将分割成面积相等的两部分为坐标原点，则 .
13.在直棱柱中，，，，D为中点，则直线BD，所成角的余弦值为 .
14.双曲线的左，右焦点分别为，，P是双曲线E的右支上的一点，的内切圆圆心为，记，的面积分别为，，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知以坐标轴为对称轴的双曲线C经过点，离心率求双曲线C的方程，及其焦点坐标和渐近线方程.
16.本小题15分
甲乙两人进行答题活动，每人各答两道题.已知甲答对第1道题的概率为，答对第2道题的概率为，乙答对每道题的概率都为甲乙答对与否互不影响，各题答对与否也互不影响.
求甲答对一道题的概率;
求甲乙两人答对题目的个数相等的概率.
17.本小题15分
如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，平面平面ABCD，，，，，经过点C的平面与侧棱PA、PB、PD分别相交于点Q、E、F，且平面
求证：平面
若平面与平面PAC的夹角为，且，求线段AQ的长度.
18.本小题17分
如图，已知圆，过坐标原点O作圆M的两条互相垂直的弦AB，
求证：为定值;
当时，求直线AC的方程和直线BD的方程.
19.本小题17分
已知直线与圆相切.
求的值;
已知椭圆在点处的切线方程为，若直线l与椭圆E相交于A，B两点，分别过A，B作椭圆E的切线，两条切线相交于点Q，求点Q的轨迹方程;
是否存在这样的二次曲线，当直线l与曲线F有两个交点M，N时，总有若存在，求出的值;若不存在，请说明理由.
答案
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】0
14.【答案】2
15.【答案】解：因为双曲线离心率，则，
即，
若焦点在x轴上，则双曲线方程为，
代入点可得，解得，
所以双曲线方程为，焦点坐标为，渐近线方程为
若焦点在y轴上，则双曲线方程为，
代入点可得，解得；
所以双曲线方程为，焦点坐标为，渐近线方程为
16.【答案】解：记甲答对第i题为事件，则，
记甲答对i道题为事件，则，
其中与互斥，，相互独立，
所以甲答对一道题的概率为
记乙答对i道题为事件，
则，，
，，
记甲乙两人答对题数相等为事件C，则，
且、、两两互斥，与相互独立，

17.【答案】解：证明：因为平面平面ABCD，平面平面，，
平面ABCD，所以平面PAB，
又平面PAB，故
同理因为平面平面ABCD，，平面ABCD，
所以平面PAD，所以，
又因为AB、AD是平面ABCD内两相交直线，
所以平面
以AB、AD、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，设，
则，，
因为平面，平面PBD，平面平面，所以，
设平面的法向量为，则，，
得，取，则，
记AD中点为M，则，又，
所以平面PAC，
则可取平面PAC的法向量为，
由，
解得
线段AQ的长度为
18.【答案】解：由题意可知：圆M的圆心为，半径，
设的中点分别为，
则，且，
可知EOFM为矩形，则，
所以
为定值；
因为点O在圆M内，可知过点O的直线与圆M必相交，
分析可知，当直线AB或CD中有斜率不存在时不满足，
根据对称性不妨假设直线AB的斜率存在，设直线，，
联立方程，消去y可得，
则，即，
消去可得，整理可得，
可知直线CD的斜率不为0，设直线，，
联立方程，消去x可得，
则，
即，
消去可得，整理可得，
若，则，可得，
即，解得或，
根据对称性不妨取，代入求解，不妨取，
所以直线AC的方程为，直线BD的方程为
或直线AC与直线BD互换
19.【答案】解：由直线l与圆O相切，可得圆心O到直线l的距离，
即
设，，，由条件所给的公式，
可知椭圆E在点处的切线AQ方程为
又因为点在切线AQ上，可得①，
同理可得②，
由①②，可知，都在直线上，
即直线AB方程为③，因为圆O与直线AB相切，
所以点O到直线AB的距离，
所以，
由于点具有任意性，且直线l的斜率存在，故点Q的轨迹方程为，
假设存在曲线F满足条件，设，，联立，
消去y，得，，
则，，
由，
所以
，
由可知：，
上式恒成立，
所以存在曲线F，且

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