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山浴建平县实验中学高三数学12月考试试卷
参考答案
一、选择题：1-4 CCAC 5-8 BCBC
二、选择题：9．BD； 10．BD； 11．BD；
三、填空题： 12．答案：. 13.答案: 2 14.答案:　y=x+1
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【详解】（1）由余弦定理知，
代入已知得，. 由正弦定理得，
又. .
（2）由（1）知，
.由正弦定理 得，
的面积.
16．【详解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得、、、、
、、、、.
（Ⅰ）依题意，，，从而，所以；
（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，，．
设为平面的法向量，则，即，
不妨设，可得．
，．
所以，二面角的正弦值为；
17.【详解】(1)由题意,知
故椭圆G的方程为=1.
(2)设直线AB的方程为y=x+n,则线段AB的中垂线方程为y=-(x+3)+2,即y=-x-1.
联立消去y整理得4x2+6nx+3n2-12=0,
由Δ=(6n)2-4×4(3n2-12)>0得-4设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,
∴y1+y2=x1+x2+2n=,又在线段AB的中垂线上,∴,可得n=2,即x1+x2=-3,x1x2=0,∴|AB|=, 又P(-3,2)到直线AB的距离d=,
∴S△PAB=.
18．【详解】（1）函数的定义域为，
当=1时，
由，得，由，得，
则函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，由，知当时，，不符合题意；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
故，
由恒成立，得恒成立，令，
求导得，
当时，，当时，，
于是函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，故恒成立，
因此，所以.
19. 【详解】（Ⅰ）因为是12项数列，当且仅当时，，
所以当和时，.
设数列的所有项的和为，
则
所以数列的所有项的和为0.
（2）若，则中的数列有；；；；；；；；
，故的取值有1，2，3，
从8个数列中任选2个，共有种情况，
其中当时，若选择，可从；；任选1个，共有3种情况，
若选择，可以从；；任选1个，共有3种情况，
另外和，两者之一满足要求，和，两者之一满足要求，
和，两者之一满足要求，共有种情况，
故，
当时，和满足要求，和满足要求，和满足要求，
和满足要求，共有4种情况，故，
所以，
其分布列为
1 2 3
则；建平县实验中学高三数学12月考试试卷解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】：C.
2. 已知复数（其中为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
设命题p: x>0,x2>0,则 p为 (　　)
A. x>0,x2≤0　　　　B. x≤0,x2>0
C. x>0,x2≤0　　　 D. x≤0,x2≤0
答案　A　
在△ABC中,点D满足.记=a,=b,则= (　　)
A.-a+b　　　　B.a+b
C.-a+2b　　　　D.a+b
答案　C　
5.已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为 (　　)
A.2　　　　B.2
答案　B　
6. 莱布尼茨是17世纪的德国数学家，他与牛顿在函数研究上的贡献都是跨时代的，他在1673年首先使用了“函数”这个词并且提出了单调性的概念， 已知在R上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】需要每段函数都是减函数，且第一段在x=1处函数值≥第二段在x=1处的函数值
∴，解得，故选C.
7.函数，保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数，下列说法正确的是（ ）
A.的一个零点为 B.的图像关于直线对称
C.在上单调递减 D.的一个周期为
【答案】B
【详解】由题知故 A错误.
因为的"对称轴方程为 ，当k=0时成立，故 B正确.
因为所以在上不单调，C错误.
因为的周期为，故D错误.
8．已知点为椭圆上任意一点，直线过圆的圆心且与圆交于两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】，即，
则圆心，半径为.
椭圆方程，,
则，
则圆心为椭圆的焦点，
由题意的圆的直径，且
如图，连接，由题意知为中点，则，
可得.
点为椭圆上任意一点，
则，，由，
得.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A． B．在上为增函数
C．在上为减函数 D．的极值为
【解析】因为，所以,所以A不正确；
因为时,，故在上为增函数，所以B正确；
因为的定义域为，且时， ，故在上为减函数，所以C不正确：
因为的定义域为．且在(0,1 )上为减函数，在上为增函数，
所以当时，有极小值，所以D正确,
故选：BD．
10．下列说法中正确的是（ ）
A．数据1，2，2，3，4，5的极差与众数之和为7
B．若随机变量X服从二项分布，且，则
C．X和Y是分类变量，若值越大，则判断“X与Y独立”的把握性越大
D．若随机变量X服从正态分布，且，则
【解析】A：该组数据的极差为4，众数为2，所以该组数据的极差与众数之和为6，故A错误；
B：由，得，解得，
所以，故B正确；
C：值越大，X和Y有关系的可能性就越大，则“X与Y独立”的把握越小，故C错误；
D：由，得，
所以，故D正确.
故选：BD
已知等差数列{an}是递减数列,Sn为其前n项和,且S7=S8,则 (　　)
A.d>0　　　　 B.a8=0
C.S15>0　　　　 D.S7、S8均为Sn的最大值
答案　BD　
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．双空题第一个空2分，第二个空3分．
12．已知向量，，若，则 ．
答案：.
13.已知直线l1:y=(2a2-1)x-2与直线l2:y=7x+a平行,则a=　　　　.
答案: 2
14.曲线f(x)=excos x在x=0处的切线方程是　　　　.
答案:　y=x+1
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）记的内角的对边分别为.
(1)求；
(2)若，求的面积.
【解析】（1）由余弦定理知，
代入已知得，.
由正弦定理得，
又.
.
（2）由（1）知，
.由正弦定理
得，
的面积.
16．（15分）如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
【详解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得、、、、
、、、、.
（Ⅰ）依题意，，，从而，所以；
（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，，．
设为平面的法向量，则，即，
不妨设，可得．
，．
所以，二面角的正弦值为；
17.（15分）已知椭圆G:=1(a>b>0)的离心率为,且过点(3,1).
(1)求椭圆G的方程;
(2)斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2),求△PAB的面积.
解析　(1)由题意,知
故椭圆G的方程为=1.
(2)设直线AB的方程为y=x+n,则线段AB的中垂线方程为y=-(x+3)+2,即y=-x-1.
联立消去y整理得4x2+6nx+3n2-12=0,
由Δ=(6n)2-4×4(3n2-12)>0得-4设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,
∴y1+y2=x1+x2+2n=,又在线段AB的中垂线上,∴,可得n=2,即x1+x2=-3,x1x2=0,∴|AB|=,
又P(-3,2)到直线AB的距离d=,
∴S△PAB=.
18．（17分）已知函数.
(1)=1时，求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求的值.
【解析】（1）函数的定义域为，
当=1时，
由，得，由，得，
则函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，由，知当时，，不符合题意；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
故，
由恒成立，得恒成立，令，
求导得，
当时，，当时，，
于是函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，故恒成立，
因此，所以.
19. （17分）若数列满足，则称数列为项数列，由所有项0数列组成集合.
（1）若是12项0数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和；
（2）从集合中任意取出两个不同数列，记.
若，求随机变量的分布列与数学期望；
【答案】（1）0 （2）分布列见解析，；【解析】
【小问1详解】
因为是12项数列，当且仅当时，，
所以当和时，.
设数列的所有项的和为，
则
所以数列的所有项的和为0.
【小问2详解】
若，则中的数列有；；；；；；；；
，故的取值有1，2，3，
从8个数列中任选2个，共有种情况，
其中当时，若选择，可从；；任选1个，共有3种情况，
若选择，可以从；；任选1个，共有3种情况，
另外和，两者之一满足要求，和，两者之一满足要求，
和，两者之一满足要求，共有种情况，
故，
当时，和满足要求，和满足要求，和满足要求，
和满足要求，共有4种情况，故，
所以，
其分布列为
1 2 3
则；

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