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课时2 反比例函数在其他学科中的应用
26.2 实际问题与反比例函数
掌握反比例函数在物理学中等学科特定情境下的数学模型构建方法，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的自变量取值范围.
经历运用反比例函数解决其他学科问题的过程，引导学生学会如何将实际问题转化为数学问题，建立反比例函数模型，然后求解并对结果进行验证和解释，从而提升学生运用数学知识解决跨学科综合问题的能力，以及分析问题、解决问题的系统性思维方法.
让学生体会到数学与其他学科之间的紧密联系，认识到数学作为工具学科在其他学科领域的广泛应用价值，从而激发学生对数学学习的兴趣和内在动力，培养学生热爱数学、主动探索数学知识的情感.
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【重点】学会运用反比例函数的性质解决其他学科相关问题.
【难点】培养学生从具体情境中归纳抽象数学模型的能力，提高学生数学思维的逻辑性和严谨性.
生活中的问题：
园林修剪树枝使用的剪刀，手柄为什么会很长？
脚踩充满气体的气球会爆，为什么？
这些例子既是生活中的问题，也包含了很多物理知识，也是我们这节课需要用数学知识来思考的问题.
为什么收音机的音量、台灯的亮度和电风扇的转速可以调节？
公元前 3 世纪， 阿基米德说了这样一句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这里蕴含什么样的原理呢？
阻力 × 阻力臂 = 动力 × 动力臂
阻力
动力
支点
动力臂
阻力臂
1200N
0.5m
阻力 × 阻力臂 = 动力 × 动力臂
例1 用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200N 和 0.5m.
(1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5m 时，撬动石头至少需要多大的力？
对于函数 ，当 l = 1.5m 时，F = 400 N，此时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要 400N 的力.
解：根据“杠杆原理”阻力 × 阻力臂 = 动力 × 动力臂，得 Fl = 1200×0.5，
∴ F 关于 l 的函数解析式为
当 l = 1.5m 时，
(2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少
解：当 F = 400× = 200 时，由 200 = 得
3 - 1.5 = 1.5 (m).
对于函数 ，当 l ＞0 时，l 越大，F 越小. 因此，若想用力不超过 400N 的一半，则动力臂至少要加长 1.5 m.
分析：对于函数 ，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F = 200 N
时对应的 l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量.
1.假定地球重量的近似值为 6×1025 牛顿 (即阻力)，阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？
由已知得F×l＝6×1025×2×106 =1.2×1032 ，
当 F =500时，l =2.4×1029 米，
解： 2000 千米 = 2×106 米，
变形得：.
故用2.4×1029 米动力臂的杠杆才能把地球撬动.
基础练习
例2 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110 ~ 220Ω. 已知电压为 220V，这个用电器的电路图如图所示.
(1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系
解：根据电学知识，当 U = 220 时，得
注意：用电器的输出功率 P(瓦)、两端的电压 U(伏) 及用电器的电阻 R(欧姆) 有如下关系：PR = U２．这个关系也可写为 P =______，或 R =_____
U
~
(2) 这个用电器功率的范围是多少
因此用电器功率的范围为 220 ~ 440W.
解：根据反比例函数的性质可知，电阻R越大，功率P越小.
把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式，
得到功率的最大值
把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式，得到功率的最小值
即确定电功率P的最大值和最小值
2. 在公式 中，当电压 U 一定时，电流 I 与电阻 R 之间的函数关系可用图象大致表示为 ( )
B
A.
D.
C.
B.
I
R
I
R
I
R
I
R
基础练习
1.知识小结：
“杠杆定律”：动力×动力臂=阻力×阻力臂；PR＝U ，P指用电器的输出功率(瓦)，
U指用电器两端的电压(伏)，R指用电器的电阻(欧姆)．
2. 思想方法小结──建模—反比例函数的数学思想方法．
要点归纳
注意
常见背景和公式
实际问题中的
反比例函数
自变量的取值范围：生活中，x,y的取值都为正数，即函数图像位于第一象限；
反比例函数图象可解决“至少”“最多”等问题
1. 受条件限制，无法得知撬石头时的阻力，小刚选择了动力臂为1米的撬棍，用了650牛顿的力刚好撬动；小明身体瘦小，只有 260牛顿的力量，他该选择动力臂为 的撬棍才能撬动这块大石头呢.
2.5米
2.已知压力 压强 与受力面积 之间有如下关系式：
当为定值时，图中大致表示压强与受力面积之间函数关系的是( )
A
A.&1& B.& C.&3& D.&4&
提升能力
3.某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强P（kPa）是气体体积V(m )的反比例函数，其图象如图所示.
（1）求这一函数的表达式.
解：设P与V的关系式为P= ，
则k=0.8×120，
解得k=96，
∴函数关系式为P=
提升能力
(2)当气体压强为48KPa时，求V的值.
解：将P=48代入P= 中，
得48= ，
解得V=2，
∴当气球内的气压为48KPa时，气体的体积为2立方米.
(3)当气球内的体积小于0.6m 时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的压强不大于多少？
解：当V=0.6m 时，气球爆炸，
∴V=0.6，即 .
解得P=160KPa.
故为了安全起见，气体的压强不大于160KPa.
4.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)请写出这个反比例函数解析式.
解：设I与R的关系式为 ，
因为该图像过点（9,4），
则k=4×9，
解得k=36，
所以函数关系式为 .
提升能力
(2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
解：因为 ，且用电器的限制电流不能超过10A
所以I ≤ 10，所以
所以 ，所以用电器可变电阻应该大于 .

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