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2024-2025学年安徽省示范高中培优联盟高一上学期冬季联赛
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，若，则实数的值可以为( )
A. B. C. D.
2.下列命题中为真命题的是( )
A. B.
C. D.
3.下列四个选项中，使成立的 充分不必要的条件是( )
A. B. C. D.
4.已知幕函数在上单调递减，若，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.函数的定义域为为奇函数，且，则( )
A. B. C. D.
8.我们知道未知数次数最高项次数高于二次的多项式方程称为高次方程，解高次方程的关键是降次，降次的基本方法是因式分解法和换元法．现需要求解四次方程：方法如下：显然不是方程的根，所以可以两边同除以得，作换元，令，先求解，再求解则该四次方程的最大正根为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中，正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10.已知函数，令函数，则下列选项中，正确的是( )
A. 函数的单调递减区间为和
B. 当时，函数有两个不同的零点
C. 当关于方程有个不等根时，则实数的取值范围是
D. 若函数有个不同的零点分别为，则的取值范围是
11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为，其中表示不超过的最大整数，例如：下列关于高斯函数的相关结论正确的是( )
A.
B.
C.
D. 方程有两个不相等的实数根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.若，则的取值范围是 ．
14.定义域为的函数，若，使得成立，则称函数为“局部奇函数”假设函数其中为自然对数的底数为定义域为的“局部奇函数”，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知且．
若命题：为真命题，求的取值范围；
试比较与的大小，并证明之．
16.本小题分
已知二次函数在时有最小值．
求的值；
已知，且当时，的取值范围是，求的值．
17.本小题分
年月日，为期天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见．这个盛夏，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向世界展示了中国向“新”而行的活力，让人们在享受比赛的同时，感受到中国发展的脉搏．巴黎奥组委的数据显示，本届奥运会的吉祥物产自中国．据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为元，浮动价格浮动价格单位：元，销售量单位：万件假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过元时，销售量为万件，当每件吉祥物售价超过元时，售价每增加元，销售量就减少万件，例如，单价售价为元时，销售量为万件；单价为元时，销售量为万件，以此类推．利润售价供货价格销售量，不计其它成本
当每件吉祥物的售价为元时，获得的总利润是多少万元；
每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元．
18.本小题分
若对于定义域内的任意，都有，其中为正常数，则称函数为“距”增函数，这种性质在数学和物理中都有广泛的应用．
若，试判断是否为“距”增函数；
假设函数为“距”增函数，求的最小值．
19.本小题分
若存在集合是集合的非空子集其中，且满足，，则称为的一个分划．
当时，，，试判断是否为的一个分划，试判断是否为的一个分划；
若，规定和是的同一种分划，请写出的所有分划；
若，集合是的非空子集，且中任意两个不同元素之和不被整除，求集合元素个数的最大值．
参考答案
1.
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12.
13.
14.
15.【小问】
，故等价于，
即，解得，故的取值范围为．
【小问】
两式作商，由换底公式得，
，
，
故，

16.【小问】
由二次函数的 图象可知，
展开可得，
故．
【小问】
因为的最小值为，
所以，即，
所以，
又因为二次函数的对称轴为，
故当时，单调递减，
故，
即为方程的两正根，且；
解一元三次方程：，
容易观察是该方程的一根，
故因式分解得，
利用求根公式对方程
求解得，
考虑到，
故．

17.【小问】
由题意，当单价售价为元时，销售量为万件，浮动价格元，供货价格为元，
故总利润为：万元；
【小问】
当时，销售量为万件，供货价为元，
则，且，
此时，当时，单价利润，
即单价利润最大为元；
当时，销售量为万件，
同时，，解得，且，
此时单价利润为：
当且仅当，即时，取等号
因为，
故当每件吉祥物的售价为元时，单件吉祥物的利润最大，最大为元．

18.【小问】
由得，
故，即函数是“距”增函数．
【小问】
因为，
即，
所以对任意都成立，
故对任意都成立，
则易得．
当时，判断在上单调递增，
所以．
当时，任取，且，
令，则
由，得，
，即，，即，
在上单调递增，．
当时，由，得，
，即，，即，
在上单调递减，同理可证在上单调递增，
．
综上所述，．

19.【小问】
根据定义，，所以是的一个分划，
，即，所以不是的一个分划．
【小问】
由题意，可按中元素个数，分成一元集，三元集，或者二元集，二元集．
则的所有分划有：
．
【小问】
由题意，集合中的元素按被除所得的余数进行分类，
记
，
显然满足，，
则为的一个分划．
若中各取一元素，之和必能被整除，故集合不能同时选取中元素；
若中各取一元素，之和必能被整除，故集合不能同时选取中元素；
若中任取两个元素，之和必不能被整除，亦然，
若中任取两个元素，之和必能被整除，故集合至多在中选取一个元素．
综上，要使集合元素个数的最大，则集合可选中的所有元素，或中的所有元素，中的个元素，
即集合元素个数的最大值为．

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