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衡水金卷·2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟（二）
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.第届夏季奥运会在法国巴黎顺利举行，为此某校举办了“奥运知识知多少”的体育知识竞赛，其中高三班名参赛选手的成绩单位：分分别为：，，，，，，则这名参赛选手成绩的中位数为( )
A. B. C. D. 或
2.已知集合，，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.曲线在轴右侧的各对称中心的横坐标由小到大排列构成一个数列，记数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
4.已知曲线，则为焦点在轴上的椭圆的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
5.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.中国古建筑闻名于世，源远流长．如图，某公园的六角亭是中国常见的一种供休闲的古建筑，六角亭屋顶的结构示意图可近似地看作如图所示的六棱锥该公园管理处准备用风铃装饰六角亭屋顶的六个顶点，，，，，，现有四种不同形状的风铃可供选用，则在相邻的两个顶点挂不同形状的风铃的条件下，顶点与处挂同一种形状的风铃的概率为
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，是奇函数，的导函数为，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，满足．，则( )
A. ，一定可以作为一组基底
B. 为定值
C. 当时，向量在上的投影向量为
D. 若向量，的夹角为钝角，则的取值范围为
10.如图，为圆锥的轴截面，是底面圆周上异于点，的一动点，，，则( )
A. 的面积无最大值
B. 与平面不可能垂直
C. 当点为的中点时，三棱锥的体积最大
D. 当点为的中点时，二面角的余弦值为
11.随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数某种信号的波形可以利用函数的图象近似地模拟，则( )
A. 的最小正周期为
B. 的值域为
C. 直线与的图象恰有个交点
D. 当时，关于的方程在区间上所有不等实根的和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复数范围内分解成一次因式的乘积：________．
13.如图，在三棱锥中，，点到平面的距离为，且点在平面内的射影与点在直线的两侧如图，是底面在斜二测画法下的直观图其中与对应，与对应，，则三棱锥外接球的表面积为 ．
14.已知双曲线的左顶点、右焦点分别为，，上的点在第一象限，且，若，则的离心率的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在正三棱柱中，，，点，分别为，的中点．
求线段的长；
求点到平面的距离．
16.本小题分
人工智能，英文缩写为，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量．近几年，技术加持的智能手机以下简称为手机逐渐成为市场新宠．市某手机大卖场统计了年前个月该卖场手机月销量单位：万部与月份之间的关系，得到如下数据：
月份
月销量单位：万部
根据上述数据可知与线性相关，试求出关于的经验回归方程，并预测该卖场年月份手机的月销量；
为刺激消费，市出台了以下补贴政策：凡购买手机者，每人发放元购机补贴．若市甲、乙两市民近期购买手机的概率分别为，，其中，求该市对甲、乙两人补贴总金额的期望值的取值范围．
参考公式：经验回归方程为，其中，参考数据：，．
17.本小题分
已知的面积，点在边上．
若，，，求线段的长
若是锐角三角形，平分，求的取值范围．
18.本小题分
已知直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，当直线的斜率为时，弦的长度为．
求的方程
设的准线与轴的交点为，求证：直线与关于轴对称
已知点，直线，与分别交于点，，问直线是否过定点若过定点，求出该定点的坐标若不过定点，请说明理由．
19.本小题分
定义：设为区间上的可导函数，若为增函数，则称为区间上的凹函数．对于凹函数，丹麦著名数学家琴生提出了著名的琴生不等式：若函数为其定义域上的凹函数，则对其定义域内任意个数，，，，均有成立当且仅当时等号成立．
分别判断函数与是否为其定义域上的凹函数；
若函数为上的凹函数，求的取值范围；
设数列中的各项均不小于，证明：．
参考答案
1.
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4.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：连接，，
因为三棱柱是正三棱柱，所以平面平面．
因为为等边三角形，为的中点，所以．
又平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以．
因为为的中点，
所以．
以点为原点，，所在直线分别为轴，轴，以过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则
令，得设点到平面的距离为，
则，
所以点到平面的距离为．

16.解：由题意得，
，，
所以
，
则，
所以关于的经验回归方程为．
故可预测该手机大卖场年月份手机的月销量为万部．
设甲、乙两人中选择购买手机的人数为，
则的所有可能取值为，，，
，
，
，
所以，
所以，
又，所以，
故A市对甲、乙两人购买手机的补贴总金额期望值的取值范围为．
17.解：由，得，
所以，即，
又，所以．
由，得，
所以，即，
两边平方得，
即，
所以
因为平分，所以，
在中，由正弦定理，
可得
因为是锐角三角形，
所以解得，
所以，所以，
所以，故，
所以，
所以
18.解：因为直线过抛物线的焦点且与抛物线交于，两点，所以直线的斜率不为，
因此不妨设直线的方程为、、
联立直线与的方程得，而，因此，，
所以．
因为当时，，所以，因此抛物线的方程为．
证明：由知：，，，
因此，，
所以．
，因此，所以直线与关于轴对称．
解：如图：
由题意可知直线的斜率不为．
设，
由知：，．
由题意知：直线的斜率不为，因此设直线的方程为，
由得，而，因此，，所以．
同理可得．
当直线的斜率存在且不为时，直线的斜率也存在且不为，因此，
所以，因此直线的方程为．
由抛物线的对称性知：定点在轴上．
令得，
因此直线过定点．
当直线的斜率不存在时，直线的射率也不存在，则直线，取、，则、，
因此直线的方程为：，过定点．
综上所述，直线过定点．
19.解：的导函数为，
因为函数不是上的增函数，
所以不是上的凹函数．
的导函数为，
当时，令，
则在上单调递增，
由复合函数的单调性可知在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以函数是上的凹函数．
由题可知，
设，则．
因为函数为上的凹函数，所以为增函数，
所以，即恒成立，
设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
故的取值范围是
设，
因为，故，
记，由知为定义域上的凹函数，
所以由琴生不等式可知
，
所以．
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