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第2章 《一元二次方程》单元知识归纳与题型分类训练
一、一元二次方程
1.一元二次方程的定义：方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程．
2.一元二次方程的解：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）.
要点诠释：
（1）、称为一元二次方程的一般式，其中分别称为二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数；
（2）、在写一元二次方程的一般形式时，通常按未知数的次数从高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常数项；
二、一元二次方程的解法
1.因式分解法：利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法；
这种方法把解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.
2.开平方法：一般地，对于形如的方程，根据平方根的定义，可得.这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
3.配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
4.公式法：利用求根公式求解一元二次方程的根的方法叫做公式法.
对于一元二次方程，如果，那么方程的两个根为：
根的判别式：因为方程的根的情况由代数式的值决定，因此叫做一元二次方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是：
要点诠释：
（1）、因式分解的常用方法步骤：
①提公因式，②套用乘法公式，③某些“二次三项式”用“十字相乘”法因式分解；
（2）二次项系数为1的一元二次方程，用配方法解方程时，第一步移项，第二步配方，两边同加的应是一次项系数的一半的平方.
（3）公式法解一元二次方程写法步骤：
①分别写出的值，并求出的值，
②分别将各部分带入求根公式并化简，
③将两个方程的解写开，得的值
（4）利用配方法求最值步骤：
①提取二次项的系数，②将括号内的部分配成完全平方式并配平，③根据完全平方式前系数的正负，确定表达式的最大或最小值；
例：
三、一元二次方程的应用
1、一元二次方程应用题的解题步骤：
审题——设元——列方程——解方程——写答．
2、平均增长率应用问题等量关系：
3、销售类应用问题等量关系：单件利润×件数=总利润；
要点诠释：
销售类应用题在解题时，一般会有2个答案，如果一正一负，则通常负值舍去；如果两个都是正的，没有其他范围要求，则全部可取，如果有其他要求，比如“尽量给顾客得到实惠”、“尽快减少库存”等，一般需要舍去一个。
四、一元二次方程根与系数的关系
一般地，一元二次方程的根与系数有如下关系：
利用一元二次方程的根与系数的关系，可以不必先求出方程的根，给计算带来方便．
题型一　一元二次方程的定义与一元二次方程的解
例题：
1．（2024春 温州期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝0
【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
【解答】解：A．方程x﹣2y＝1是二元一次方程，选项A不符合题意；
B．方程x2+3是分式方程，选项B不符合题意；
C．方程x2﹣2y+4＝0是二元二次方程，选项C不符合题意；
D．方程x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，选项D符合题意．
故选：D．
2．（2024春 婺城区期中）一元二次方程3x2﹣2x﹣7＝0的一次项系数是（　　）
A．3 B．﹣2 C．2 D．﹣7
【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可求解．
【解答】解：一元二次方程3x2﹣2x﹣7＝0的一次项系数是﹣2，
故选：B．
3．（2024春 鄞州区期中）若x＝2是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根，则m的值为（　　）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
【分析】将x＝2代入方程x2+mx﹣2＝0得到关于m的方程求解即可．
【解答】解：将x＝2代入方程x2+mx﹣2＝0
得：4+2m﹣2＝0，解得：m＝﹣1．
故选：C．
4．（2024春 温州期中）若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2024﹣6a2+2a的值是（　　）
A．2026 B．2025 C．2023 D．2022
【分析】把x＝a代入3x2﹣x﹣1＝0，得3a2﹣a＝1，然后把所求式子化为2024﹣2（3a2﹣a）代入计算即可作答．
【解答】解：∵a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴3a2﹣a＝1，
∴2022﹣6a2+2a＝2024﹣2（3a2﹣a）＝2024﹣2×1＝2022，
故选：D．
5．（2024秋 宿城区期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x3+2x＝0 B．x（x﹣3）＝0 C． D．y﹣x2＝4
【分析】只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，根据定义即可做出判断．
【解答】解：A．x3+2x＝0，未知数最高次数是3，不是一元二次方程，不符合题意；
B．x（x﹣3）＝0是一元二次方程，符合题意；
C．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D．y﹣x2＝4含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：B．
6．（2024春 余姚市期中）将方程（x﹣1）（x+3）＝1化成一般形式是 　x2+2x﹣4＝0　．
【分析】先去括号，再根据等式的性质移项，最后合并同类项即可．
【解答】解：（x﹣1）（x+3）＝1，
x2+3x﹣x﹣3﹣1＝0，
x2+2x﹣4＝0，
即方程（x﹣1）（x+3）＝1的一般形式是x2+2x﹣4＝0．
故答案为：x2+2x﹣4＝0．
巩固训练
7．（2024春 钱塘区期末）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的常数项为0，则k的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．4或﹣2
【分析】由一元二次方程的定义可得k﹣2±0，由题意又知k2﹣4＝0，联立不等式组，求解可得答案．
【解答】解：根据题意可得：
，
解得k＝﹣2．
故选：A．
8．（2024春 衢州期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝﹣1，则代数式2024﹣a+b的值为（　　）
A．﹣2023 B．﹣2025 C．2023 D．2025
【分析】利用一元二次方程解的定义得到a﹣b＝1，然后把2024﹣a+b变形为2024﹣（a﹣b），再利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣1＝0得a﹣b﹣1＝0，
所以a﹣b＝1，
所以2024﹣a+b＝2024﹣（a﹣b）＝2024﹣1＝2023．
故选：C．
9．（2024春 平湖市期末）关于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）一个实数根为2024，则方程cx2+bx＝a一定有实数根（　　）
A．2024 B． C．﹣2024 D．
【分析】根据一元二次方程根的定义：将x＝2024代入方程ax2+bx＝c中，再两边同时除以20242，可得结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）一个实数根为2024，
∴20242a+2024b＝c，
∴a，
∴a，
∴x是方程cx2+bx＝a的实数根．
故选：D．
题型二　一元二次方程解法之开平方
例题：
1．（2023秋 椒江区校级月考）方程x2＝4的解是（　　）
A．x1＝4，x2＝﹣4 B．x1＝x2＝2
C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝4
【分析】直接开平方法求解可得．
【解答】解：∵x2＝4，
∴x＝2或x＝﹣2，
故选：C．
2．（2023春 永嘉县月考）若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（　　）
A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4
【分析】利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答．
【解答】解：∵（x﹣a）2﹣4＝b，
∴（x﹣a）2＝b+4，
∵方程（x﹣a）2＝b+4有实数根，
∴b+4≥0，
∴b≥﹣4，
故选：D．
3．（2023春 上城区期中）关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则m＝　2　．
【分析】利用直接开平方法解方程x2＝a得到方程的两根互为相反数，则2m﹣1+m﹣5＝0，则可计算出m＝3即可．
【解答】解：根据题意得2m﹣1+m﹣5＝0，
解得m＝2，
故答案为：2．
巩固训练
4．（2024春 萧山区期中）已知关于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0（m，h，k均为常数，且m≠0）的解是x1＝2，x2＝5，则关于x的一元二次方程m（x﹣h+3）2＝k的解是 　x3＝﹣1，x4＝2　．
【分析】令x+3＝y，由题意得到的解为y1＝2，y2＝5，解方程即可得到答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0（m，h，k均为常数，且m≠0）的解是x1＝2，x2＝5，即的解为x1＝2，x2＝5；
令x+3＝y，
∴关于x的一元二次方程m（x﹣h+3）2＝k化为m（y﹣h）2＝k，
∵的解为x1＝2，x2＝5，
∴的解为y1＝2，y2＝5，即x+3＝2或x+3＝5，
∴x3＝﹣1，x4＝2，
∴关于x的一元二次方程m（x﹣h+3）2＝k的解是x3＝﹣1，x4＝2，
故答案为：x3＝﹣1，x4＝2．
5．（2024春 西湖区校级期中）一元二次方程3x2＝27的解为：　x1＝3，x2＝﹣3　．
【分析】根据解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答．
【解答】解：3x2＝27，
x2＝9，
x1＝3，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．
题型三　配方法与配方法的应用
例题：
1．（2024 金东区二模）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0时，将方程化为（x﹣3）2＝a的形式，则a的值是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
【分析】先把方程中的常数项移到等号右边，再把方程两边同时加9，进行配方，然后根据配方结果求出a即可．
【解答】解：x2﹣6x+1＝0，
x2﹣6x＝﹣1，
x2﹣6x+9＝﹣1+9，
（x﹣3）2＝8，
∴a＝8，
故选：A．
2．（2024春 温州期中）用配方法解一元二次方程x2﹣8x﹣4＝0时，可将原方程配方成（x﹣4）2＝m，则m的值是 　20　．
【分析】根据配方法的一般步骤，将x2﹣8x﹣4＝0配方为（x﹣4）2＝20，即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣8x﹣4＝0，
∴x2﹣8x＝4，
∴x2﹣8x+16＝4+16，
即（x﹣4）2＝20，
∴m＝20．
故答案为：20．
3．（2024春 滨江区期末）利用（a±b）2可求某些整式的最值．例如x2﹣2x+2＝（x2﹣2x+1）+1＝（x﹣1）2+1，由（x﹣1）2≥0知，当x＝1时，多项式x2﹣2x+2有最小值1．对于多项式x2+3x+2，当x＝　　时，有最小值是 　　．
【分析】将多项式配成完全平方的形式，然后令平方项为0，求最值即可．
【解答】解：x2+3x+2＝（x2x）+2＝[x2+3x+（）2﹣（）2）+2＝（x）2．
∴当x时，x2+3x+2有最小值．
故答案为：，．
4．（2024 金平区校级一模）解方程：x2+6x+2＝0．
【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方，再利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程，求出解即可．
【解答】解：方程x2+6x+2＝0，
配方得：（x+3）2＝7，
开方得：x+3＝±，
解得：x1＝﹣3，x2＝﹣3．
5．（2024春 西湖区校级期中）用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣3）2﹣4＝0；
（2）x2﹣4x﹣8＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【解答】解：（1）（x﹣3）2﹣4＝0，
（x﹣3）2＝4，
∴x﹣3＝±2，
∴x1＝5，x2＝1；
（2）x2﹣4x﹣8＝0，
x2﹣4x＝8，
x2﹣4x+4＝8+4，即（x﹣2）2＝12，
∴x﹣2＝±2，
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2．
巩固训练
6．（2024 定海区开学）一元二次方程2x2+3x+1＝0用配方法解方程，配方结果是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先移常数项，再将二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，从而得出配方的结果．
【解答】解：2x2+3x+1＝0
2x2+3x＝﹣1
，
故选：A．
7．（2024春 慈溪市期末）方程x2﹣8x+7＝0配方后写成（x+m）2＝b的形式，则b的值为 　9　．
【分析】首先把常数项移到等号右边，然后方程两边加上一次项系数的一半，配方即可．
【解答】解：移项，得x2﹣8x＝﹣7，
配方x2﹣8x+16＝9，
则（x﹣4）2＝9，
∴b＝9．
故答案为：9．
8．（2024秋 义乌市月考）已知任意实数满足等式x＝a2﹣4ab+4b2，y＝4a﹣8b﹣5，则x，y的大小关系是（　　）
A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y
【分析】利用作差法判断即可．
【解答】解：∵x﹣y
＝a2﹣4ab+4b2﹣（4a﹣8b﹣5）
＝（a﹣2b）2﹣4（a﹣2b）+4+1
＝[（a﹣2b）﹣2]2+1，
∴[（a﹣2b）﹣2]2+1＞0，
∴x＞y．
故选：B．
9．（2024春 余姚市期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：5（x﹣6）2+7＝0与6（x﹣6）2+7＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝0与2（x﹣1）2+1＝0是“同族二次方程”，则代数式mx2+nx+2029的最小值是 　2024　．
【分析】利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．
【解答】解：∵（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝0与2（x﹣1）2+1＝0是“同族二次方程”，
∴（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝（m+2）（x﹣1）2+1，
∴（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝（m+2）x2﹣2（m+2）x+m+3，
∴，
解得，
∴mx2+nx+2029
＝5x2﹣10x+2029
＝5（x﹣1）2+2024，
则代数式mx2+nx+2024能取的最小值是2024．
故答案为：2024．
10．（2023春 德清县期末）解方程：
（1）x2﹣9＝0；
（2）x2﹣6x+1＝0．
【分析】（1）用分解因式法，解一元二次方程即可；
（2）用配方法，解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣9＝0，
分解因式得：（x+3）（x﹣3）＝0，
∴x+3＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝3；
（2）x2﹣6x+1＝0，
移项得：x2﹣6x＝﹣1，
配方得：x2﹣6x+9＝﹣1+9，
即（x﹣3）2＝8，
开平方得：，
∴，．
11．（2024春 宁波期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为5＝12+22，所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知10是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式 　32+12　；
探究问题：
（2）已知S＝x2+9y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
拓展结论：
（3）已知实数x、y满足，求5x﹣3y的最值．
【分析】（1）根据新定义求解；
（2）先把代数式进行配方，再根据新定义求解；
（3）先把代数式变式，再整体代入求解．
【解答】解：（1）∵10＝32+12，
故答案为：32+12；
（2）8，
理由：∵S＝x2+9y2+4x﹣12y+k＝（x+2）2+（3y+2）2+k﹣8，
∵S为“完美数”，
∴k﹣8＝0，
解得：k＝8；
（3）∵﹣x2x+y﹣2＝0，
∴﹣y＝﹣x2x﹣2，即﹣3y＝﹣3x2+7x﹣6，
5x﹣3y＝5x﹣3x2+7x﹣6＝﹣3（x﹣2）2+6，
当x＝2时，5x﹣3y最大，最大值为6．
题型四　一元二次方程解法之因式分解法
例题：
1．（2024春 湖州期末）如表是某同学求代数式x2﹣3x的值的情况，根据表格可知方程x2﹣3x＝0的根是（　　）
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
x2﹣3x … 10 4 0 ﹣2 ﹣2 0 …
A．x＝3 B．x＝0 C．x＝0或x＝3 D．x＝1或x＝2
【分析】由表知，当x＝0或x＝3时，x2﹣3x＝0，据此可得答案．
【解答】解：由表知，当x＝0或x＝3时，x2﹣3x＝0，
所以方程x2﹣3x＝0的根是x＝0或x＝3，
故选：C．
2．（2023秋 鄞州区期末）方程x2﹣2024x+2023＝0的解为 　x1＝2023或x2＝1　．
【分析】利用因式分解法即可解答．
【解答】解：x2﹣2024x+2023＝0，
（x﹣2023）（x﹣1）＝0，
可得x﹣2023＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝2023或x2＝1，
故答案为：x1＝2023或x2＝1．
3．（2024春 拱墅区期末）已知a，b为常数，若方程（x﹣1）2＝a的两个根与方程（x﹣3）（x﹣b）＝0的两个根相同，则b＝　﹣1　．
【分析】先求出方程（x﹣3）（x﹣b）＝0的解，进而可求出a的值，据此可解决问题．
【解答】解：由方程（x﹣3）（x﹣b）＝0得，
x1＝3，x2＝b．
因为方程（x﹣1）2＝a的两个根与方程（x﹣3）（x﹣b）＝0的两个根相同，
则将x＝3代入（x﹣1）2＝a得，
a＝4，
解方程（x﹣1）2＝4得，
x3＝3，x4＝﹣1，
所以b＝﹣1．
故答案为：﹣1．
4．（2024春 拱墅区校级期中）解方程：
（1）x2﹣4x＝1；
（2）2x（x﹣2）+x﹣2＝0．
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【解答】解：（1）x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x﹣1＝0，
∴a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20，
∴x2±，
∴x1＝2，x2＝2；
（2）2x（x﹣2）+x﹣2＝0，
（x﹣2）（2x+1）＝0，
解得x1＝2，x2．
巩固训练
5．（2024 鄞州区模拟）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（　　）
A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2
C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1
【分析】先移项得到（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2﹣2x）＝0，
x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，
所以x1＝2，x2＝﹣2．
故选：B．
6．（2023秋 临海市期中）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是（　　）
A．﹣11 B．13 C．11或8 D．11和13
【分析】先用因式分解求出方程的两个根，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长，计算出三角形的周长．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝2，x2＝4．
因为三角形两边的长分别为3和6，所以第三边的长必须大于3，
故周长＝3+6+4＝13．
故选：B．
7．（2023秋 汕尾期末）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
【分析】因式分解法求解可得．
【解答】解：（x+1）（x﹣5）＝0，
则x+1＝0或x﹣5＝0，
∴x＝﹣1或x＝5．
8．（2024春 上城区校级期中）解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4x+2＝0；
（2）（x﹣3）2﹣2x（x﹣3）＝0．
【分析】（1）利用配方法解一元二次方程；
（2）利用因式分解法解一元二次方程．
【解答】解：（1）x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x+4＝﹣2+4，
（x﹣2）2＝2，
，
解得：；
（2）（x﹣3）2﹣2x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3﹣2x）＝0，
（x﹣3）（﹣3﹣x）＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣3．
题型五　一元二次方程解法之公式法
例题：
1．（2023春 金东区月考）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（　　）
A．x＝1 B．x C．x＝﹣1 D．x
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况．
【解答】解：∵Δ＝12﹣4×（﹣1）＝5＞0，
∴方程有两个不相等的两个实数根，
即x．
故选：D．
2．（2024秋 路桥区期中）用公式法解方程x2﹣3＝5x时，a，b，c的值依次是（　　）
A．0，﹣3，5 B．1，﹣3，5 C．1，5，﹣3 D．1，﹣5，﹣3
【分析】整理成一般式即可得出答案．
【解答】解：整理成一般式得：x2﹣5x﹣3＝0，
∴a＝1，b＝﹣5，c＝﹣3，
故选：D．
3．（2024春 宁波期末）如表，通过以上方法可将x转化为方程x2+x﹣1＝0，我们规定：方程x2+x﹣1＝0称为x的还原方程．
x 去分母，2x1 移项，2x+1 两边平方，4x2+4x+1＝5 整理，x2+x﹣1＝0
（1）x的还原方程是 　x2﹣3x+1＝0　．
（2）若x1，则代数式x3+3x2﹣2x+1＝　5　．
【分析】（1）先去分母、移项得到2x﹣3，再把方程两边平方，然后把方程整理为一般形式即可；
（2）利用（1）方法得到x2+2x﹣4＝0，则x2＝﹣2x+4，再用x表示x3得到x3＝8x﹣8，然后利用降次的方法计算．
【解答】解：（1）x，
去分母，2x3，
移项，2x﹣3，
两边平方，4x2﹣12x+9＝5，
整理，x2﹣3x+1＝0；
故答案为：x2﹣3x+1＝0；
（2）x1，
移项，x+1，
两边平方，x2+2x+1＝5，
整理，x2+2x﹣4＝0，
∴x2＝﹣2x+4，
∴x3＝x（﹣2x+4）＝﹣2x2+4x＝﹣2（﹣2x+4）+4x＝8x﹣8，
∴x3+3x2﹣2x+1＝8x﹣8+3（﹣2x+4）﹣2x+1＝8x﹣8﹣6x+12﹣2x+1＝5．
故答案为：5．
4．（2023春 南岗区期末）解方程：x（2x﹣4）＝5﹣8x．
【分析】将一元二次方程整理成一般形式，然后利用公式法解方程．
【解答】解：方程化为2x2+4x﹣5＝0，
a＝2，b＝4，c＝﹣5，
Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×2×（﹣5）＝56＞0，
方程有两个不等的实数根，
∴，
即，．
巩固训练
5．（2024春 宁波期中）若a2+5ab﹣b2＝0，则的值为　±　．
【分析】根据换元法以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：∵a2+5ab﹣b2＝0，
∴1＝0，
令t，
∴t2+5t﹣1＝0，
∴t2+5t，
∴（t）2，
∴t±，
故答案为：±．
6．（2023春 新昌县期中）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是（如图）：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC，AC＝b，再在斜边AB上截取BD．则该方程的一个正根是（　　）
A．CD的长 B．AC的长 C．AD的长 D．BC的长
【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再求AD的长，利用求根公式求得方程的解，即可判断该方程的一个正根是AD的长．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC，AC＝b，
∴AB，
∴AD；
x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）用求根公式求得：x，
∴x1，x2，
∴AD的长就是方程的正根，
故选：C．
7．（2023春 衢江区期末）解方程：
（1）2y2+3y﹣1＝0；
（2）x（x﹣4）＝﹣4．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）2y2+3y﹣1＝0，
∵a＝2，b＝3，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝32﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17＞0，
∴，
∴，；
（2）x（x﹣4）＝﹣4，
x2﹣4x＝﹣4，
x2﹣4x+4＝0，
（x﹣2）2＝0，
x1＝x2＝2．
题型六　一元二次方程根的判别系
例题：
1．（2024秋 义乌市月考）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，判断即可．
【解答】解：∵x2+2x﹣1＝0，
∴Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝4+4＝8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
2．（2024春 诸暨市校级期中）若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣1且k≠0 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，
解得k≥﹣1且k≠0．
故选：A．
3．（2023春 上城区期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+c＝b，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若x＝c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x＝x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则；
其中正确的（　　）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．只有②③④ D．只有①②
【分析】①由a+c＝b，可得出x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解，进而可得出Δ＝b2﹣4ac≥0；
②由方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，可得出Δ＝﹣4ac＞0，结合偶次方的非负性，可得出Δ＝b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，进而可得出方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根；
③代入x＝c，可得出ac2+bc+c＝0，当c＝0时，无法得出ac+b+1＝0；
④利用求根公式，可得出x0，变形后即可得出b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
【解答】解：①∵a+c＝b，
∴x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，结论①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝﹣4ac＞0，
∴Δ＝b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根，结论②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
∴ac2+bc+c＝0，
若c为0，则无法得出ac+b+1＝0，结论③不正确；
④∵x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
∴x0，
∴±2ax0+b，
∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，结论④正确．
∴正确的结论有①②④．
故选：A．
4．（2024 婺城区模拟）设关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，已知①b＝2，c＝1；②b＝﹣2，c＝﹣3；③b＝1，c＝2．请在上述三组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程．
【分析】根据1根的判别式的意义，Δ＝b2﹣4c≥0时，一元二次方程x2+bx+c＝0有两个实数根，则可判断b＝2，c＝1时方程有两个实数根，然后利用公式法解方程即可．
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4c≥0时，一元二次方程x2+bx+c＝0有两个实数根，
∴当b＝2，c＝1时，这个方程有两个实数根
此时方程为x2+2x+1＝0，
解得x1＝x2＝﹣1．
5．（2024春 越城区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+2m﹣1＝0，其中m为常数．
（1）若x＝2是方程的一个根，求m的值；
（2）当m＝﹣1时，求该方程的根；
（3）若方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
【分析】（1）将x＝2代入原方程即可求出m的值；
（2）根据因式分解法法即可求出方程的根；
（3）先根据根的判别式求解m，再根据公式化求解即可．
【解答】解：（1）∵x＝2是该方程的一个根，
∴22﹣2×2+2m﹣1＝0，
解得：m；
（2）当m＝﹣1时，原方程为x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（3）∵方程有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4（2m﹣1）≥0，
解得m≤1，
∵m为正整数，
∴m＝1，
原方程为x2﹣2x+1＝0，
∴（x﹣1）2＝0，
∴x1＝x2＝1．
巩固训练
6．（2024春 萧山区期中）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（4k﹣1）x+4k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k B．k且k≠0
C．k D．k且k≠0
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0且二次项系数不为0，求出k的范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣（4k﹣1）x+4k﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（4k﹣1）2﹣4k（4k﹣3）＞0且k≠0，
解得：k且k≠0．
故选：D．
7．（2024春 泗阳县期末）关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　9　．
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则有Δ＝0，得到关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即62﹣4×1×m＝0，
解得m＝9．
故答案为：9．
8．（2024春 鄞州区期中）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围是 　k且k≠1　．
【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个实数根，
∴，
解得：k且k≠1．
故答案为：k且k≠1．
9．（2023秋 临海市月考）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【分析】（1）设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x 1＝a﹣2，求出即可；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
【解答】解：（1）设方程的另一个根为x，
则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x 1＝a﹣2，
解得：x，a，
即a，方程的另一个根为；
（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝a2﹣4a+4+4＝（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
10．（2024 萧山区二模）已知关于x的方程x2﹣2（3﹣m）x+5﹣2m＝0．
（1）若方程的一个实根是3．求实数m的值．
（2）求证：无论m取什么实数，方程总有实数根．
【分析】（1）将x＝3代入列出关于m的方程，解关于m的方程求得m的值；
（2）若方程有相等的实数根，则应有Δ＝b2﹣4ac≥0，故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况；
【解答】（1）解：当x＝3时，9﹣6（3﹣m）+5﹣2m＝0．
解得m＝1，
∴m的值为1．
（2）证明：∵Δ＝[﹣2（3﹣m）]2﹣4（5﹣2m）＝4（m﹣2）2≥0，
∴无论实数m取何值，方程总有实数根．
题型七　一元二次方程根与系数的关系
例题：
1．（2024春 丽水期末）已知关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣m＝0的一个根是，则方程的另一个根是（　　）
A． B． C．1 D．﹣1
【分析】求出m的值，利用因式分解法解方程，可得结论．
【解答】解：∵方程2x2﹣mx﹣m＝0的一个根是，
∴m﹣m＝0，
∴m＝1，
∴方程为2x2﹣x﹣1＝0，
（2x+1）（x﹣1）＝0，
∴2x+1＝0或x﹣1＝0，
∴x1，x2＝1．
故另一个根为1．
故选：C．
2．（2024春 诸暨市期中）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则2024﹣x1﹣x2的值为（　　）
A．2025 B．2023 C． D．
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣1，
∴2024﹣x1﹣x2
＝2024﹣（x1+x2）
＝2024﹣（﹣1）
＝2024+1
＝2025，
故选：A．
3．（2024春 拱墅区校级期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣11＝0的两个根，则（　　）
A．﹣11 B．4 C．16 D．38
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣11＝0的两个根，
∴x1+x2＝4，x1 x2＝﹣11，
∴；
故选：D．
4．（2024春 上城区校级期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则方程必有一根为x＝1；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0无实根；
③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则．
其中正确的（　　）
A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④
【分析】①由a+b+c＝0，可得出x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解；
②由方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，可得出Δ＝﹣4ac＞0，结合偶次方的非负性，可得出Δ＝b2﹣4ac＞0，进而可得出方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根；
③由根与系数的关系，可得x1+x2，x1x2，变形得出， ，即可得出方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，；
④利用求根公式，可得出x0，变形后即可得出b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
【解答】解：①∵a+b+c＝0，
∴当x＝1时，ax2+bx+c＝a+b+c＝0，
∴x＝1为方程ax2+bx+c＝0的一根，故说法①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴﹣4ac＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根，故说法②错误；
③∵若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，
∴x1+x2，x1x2，
∴， ，
∴方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，，故说法③正确；
④∵x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
∴x0，
∴±2ax0+b，
∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故说法④正确．
∴正确的结论有①③④．
故选：D．
5．（2024 西湖区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝14，求m的值．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论；
（2）利用根与系数的关系求得x1+x2＝m+2，x1x2＝2m，代入x1x2﹣（x1+x2）＝13，解方程即可求解．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：根据题意得：x1+x2＝m+2，x1x2＝2m，
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝14，
∴x1x2﹣（x1+x2）＝13，
∴2m﹣m﹣2＝13．
解得m＝15．
巩固训练
6．（2024春 上虞区期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将x2项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，先设出两个方程，再求出它们共同的解，再根据根与系数的关系和分类讨论的方法，即可求得原方程两根的平方和．
【解答】解：设原来的方程为ax2+bx+c＝0，则小马计算的方程为cx2+bx+a＝0，
令ax2+bx+c＝cx2+bx+a，
解得x＝1或x＝﹣1，
故两个方程相同的根为x＝1或x＝﹣1，
设原来的方程为ax2+bx+c＝0得一个根为x1，另一个根为x2，
则（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2，
当两个相同的根为1时，
则2+1，2×1，
∴，，
∴（）2﹣2（）2﹣2；
当两个相同的根为﹣1时，
则2+（﹣1），2×（﹣1），
∴，，
∴（）2﹣2（）2﹣2×（）；
由上可得，原方程两根的平方和是，
故选：D．
7．（2024秋 鼓楼区校级月考）若方程﹣x2+px+q＝0的一个根大于1，另一根小于1，则p+q的值（　　）
A．不大于1 B．大于1 C．小于1 D．不小于1
【分析】由题意可设﹣x2+px+q＝0的两个根分别为x1，x2，结合题意设x1＞1，x2＜1，x1+x2＝p，x1x2＝﹣q，可得（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，再进一步解得可得答案．
【解答】解：设﹣x2+px+q＝0的两个根分别为x1，x2，
结合题意设x1＞1，x2＜1，x1+x2＝p，x1x2＝﹣q，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，
∴﹣q﹣p+1＜0，
∴p+q＞1．
故选：B．
8．（2024春 海曙区期末）已知x1，x2是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2和x1x2，再利用整体思想即可解决问题．
【解答】解：∵x1，x2是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根，
∴，，
∴．
故选：B．
9．（2024秋 义乌市校级月考）已知：方程x2﹣2（k﹣1）x+2k2﹣12k+17＝0，两根为x1，x2，求的最大值与最小值．
【分析】先根据一元二次方程根与系数关系和判别式得到k2﹣10k+16≤0，再利用二次函数y＝k2﹣10k+16＝（k﹣8）（k﹣2）的图象求出2≤k≤8，求出，根据一次函数的性质求出答案即可．
【解答】解：∵x2﹣2（k﹣1）x+2k2﹣12k+17＝0，两根为x1，x2，
∴Δ＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4×1×（2k2﹣12k+17）＝﹣4k2+40k﹣64≥0
∴k2﹣10k+16≤0，
由图象可知，k2﹣10k+16≤0的解集为2≤k≤8，
∵（x1+x2）2﹣2x1x2＝16k﹣30＞0．
∴的值随着k的增大而增大，
∴当k＝2时，取最小值为16×2﹣30＝2，
当k＝8时，取最大值为16×8﹣30＝98，
∴的最大值为98，最小值为2．
10．（2024春 诸暨市期末）已知关于x的一元二次方程x2+6x﹣m＝0．
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值．
【分析】（1）根据该方程有两个实数根，结合判别式公式，得到关于m的一元一次不等式，解之即可，
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣m，结合x1+x2﹣2x1x2＝0，得到关于m的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：（1）根据题意得：
Δ＝36+4m≥0，
解得：m≥﹣9，
即m的取值范围为：m≥﹣9，
（2）根据题意得：
x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣m，
∵x1+x2﹣2x1x2＝0，
∴﹣6﹣2×（﹣m）＝0，
解得：m＝3（符合题意），
即m的值为3．
题型八　一元二次方程应用题
例题：
1．（2024春 西湖区校级月考）某种商品经过两次大的降价后，售价仅为原售价的49%，则平均每次的降价率为（　　）
A．30% B．40% C．50% D．51%
【分析】根据数量关系：商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2＝现在价格，设出未知数，列方程解答即可．
【解答】解：设原价为100，平均每次降价率是x，根据题意得：
100（1﹣x）2＝49，
解得：x30%或x（舍去）．
故选：A．
2．（2024春 镇海区校级期中）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 　3或4　元．
【分析】设每箱降价x元，则每箱的销售利润为（12﹣x）元，平均每天可售出（100+20x）箱，利用总利润＝每箱的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设每箱降价x元，则每箱的销售利润为（12﹣x）元，平均每天可售出（100+20x）箱，
根据题意得：（12﹣x）（100+20x）＝1440，
整理得：x2﹣7x+12＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
∴每箱应降价3或4元．
故答案为：3或4．
3．（2024秋 江津区期中）如图，一块长12m，宽8m的长方形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2，则道路的宽应为 　2　m．
【分析】设道路的宽度为x m，则剩余部分可合成长为（12﹣x）m，宽为（8﹣x）m的长方形，根据栽种花草的面积为60m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设道路的宽度为x m，则剩余部分可合成长为（12﹣x）m，宽为（8﹣x）m的长方形，
依题意得：（12﹣x）（8﹣x）＝60，
整理得：x2﹣20x+36＝0，
解得：x1＝2，x2＝18（不合题意，舍去），
∴道路的宽度为2m．
故答案为：2．
4．（2024春 诸暨市期末）诸暨的短柄樱桃是浙江省绍兴市的特产之一，特别是赵家镇和同山镇的樱桃尤为著名，每年四五月份大量上市．据某采摘基地了解：正常情况下，樱桃售价为每篮50元时，则每天可售出40篮．通过市场调查发现，若要每天多售出10篮，那么每篮就要降价5元，综合各项成本考虑，规定每篮售价不低于35元．
（1）当樱桃每篮售价定为多少元时，每天能获得2400元的销售额？
（2）该采摘基地每天所获得的销售额能否达到2500元？请计算说明．
【分析】（1）设每篮樱桃的售价为x元，则每天可售出（140﹣2x）篮，利用销售总额＝销售单价×销售数量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）假设该采摘基地每天所获得的销售额能达到2500元，设每篮樱桃的售价为y元，则每天可售出（140﹣2y）篮，利用销售总额＝销售单价×销售数量，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣100＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该采摘基地每天所获得的销售额不能达到2500元．
【解答】解：（1）设每篮樱桃的售价为x元，则每天可售出4010＝（140﹣2x）篮，
根据题意得：x（140﹣2x）＝2400，
整理得：x2﹣70x+1200＝0，
解得：x1＝30（不符合题意，舍去），x2＝40．
答：当樱桃每篮售价定为40元时，每天能获得2400元的销售额；
（2）该采摘基地每天所获得的销售额不能达到2500元，理由如下：
假设该采摘基地每天所获得的销售额能达到2500元，设每篮樱桃的售价为y元，则每天可售出4010＝（140﹣2y）篮，
根据题意得：y（140﹣2y）＝2500，
整理得：y2﹣70y+1250＝0，
∵Δ＝（﹣70）2﹣4×1×1250＝﹣100＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即该采摘基地每天所获得的销售额不能达到2500元．
5．（2024春 西湖区校级期中）已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的增长为28m），另外的边利用学校现有总长55m的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门．
（1）求线段AB的取值范围；
（2）若围成的面积为270m2，试求出自行车车棚的长和宽．
（3）能围成面积为300m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）设线段AB的长为x m，则AD的长为（55﹣3x+2）m，根据可利用的增长为28m，即可求解；
（2）表示出矩形面积，求出即可；
（3）由长方形的面积列出方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：（1）设线段AB的长为x m，则AD的长为（55﹣3x+2）m，
根据题意得2≤55﹣3x+2≤28，解得x，
∴线段AB的取值范围为x；
（2）根据题意列方程，得x（55﹣3x+2）＝270，
解得x1＝10，x2＝9；
当x＝10时，55﹣3x+2＝27（米），
当x＝9时，55﹣3x+2＝30（米），而墙长28m，不合题意舍去，
答：若围成的面积为270m2，自行车车棚的长和宽分别为27米，10米；
（3）不能围成面积为300m2的自行车车棚．理由如下：
根据题意得x（55﹣3x+2）＝300，
整理得：x2﹣19x+100＝0，
∵Δ＝（﹣19）2﹣4×100＝﹣39＜0，
∴方程无实数根，
∴不能围成面积为300m2的自行车车棚．
巩固训练
6．（2024春 滨江区期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，则此月增长率为（　　）
A．83% B．69% C．25% D．20%
【分析】设从5月份到7月份销售量的月增长率为x，根据某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：设从5月份到7月份销售量的月增长率为x，
由题意得：144（1+x）2＝225，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
即从5月份到7月份销售量的月增长率为25%，
故选：C．
7．（2023春 嵊州市校级期中）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有　6　个班参赛．
【分析】设共有x个班参赛，根据每两班之间都比赛一场且计划安排15场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设共有x个班参赛，
根据题意得：x（x﹣1）＝15，
解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．
故答案为：6．
8．（2024春 西湖区期中）商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此，若销售单价为　150或170　元时，商场每天盈利达1500元．
【分析】设销售单价为x元，则每天可销售（200﹣x）件，根据商场每天销售该种商品的盈利＝每件的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设销售单价为x元，则每天可销售70﹣（x﹣130）＝（200﹣x）件，
依题意得：（x﹣120）（200﹣x）＝1500，
整理得：x2﹣320x+25500＝0，
解得：x1＝150，x2＝170．
故答案为：150或170．
9．（2024春 柯桥区期中）漳州市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10月份售出150个，12月份售出216个．
（1）求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率；
（2）此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？
【分析】（1）根据增长率公式列出方程即可；
（2）利用单个头盔的利润乘以销售量等于总利润列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月均增长率为x，依题意得：
150（1+x）2＝216．
解这个方程，得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月均增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的销售价为y元，依题意得：
（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000．
解这个方程，得y1＝50，y2＝80（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔的销售价应定为50元．
10．（2024春 德清县期末）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长30cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）
（1）若剪去的正方形的边长为2cm，则纸盒底面长方形的长为 　26　cm，宽为 　12　cm；
（2）若纸盒的底面积为240cm2，请计算剪去的正方形的边长；
（3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为412cm2，请计算剪去的正方形的边长．
【分析】（1）由题意列式计算即可；
（2）设剪去的正方形的边长为x cm，根据纸盒的底面积为240cm2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（3）设剪去的正方形的边长为y cm，根据折成的有盖长方体纸盒的表面积为412cm2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）由题意可知，30﹣2﹣2＝26（cm），16﹣2﹣2＝12（cm），
即纸盒底面长方形的长为26cm，宽为12cm，
故答案为：26，12；
（2）设剪去的正方形的边长为x cm，
根据题意得：（30﹣2x）（16﹣2x）＝240，
解得：x1＝20（不符合题意，舍去），x2＝3，
答：剪去的正方形的边长为3cm；
（3）设剪去的正方形的边长为y cm，
根据题意得：，
解得：y1＝﹣17（不符合题意，舍去），y2＝2，
答：剪去的正方形的边长为2cm．中小学教育资源及组卷应用平台
第2章 《一元二次方程》单元知识归纳与题型分类训练
一、一元二次方程
1.一元二次方程的定义：方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程．
2.一元二次方程的解：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）.
要点诠释：
（1）、称为一元二次方程的一般式，其中分别称为二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数；
（2）、在写一元二次方程的一般形式时，通常按未知数的次数从高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常数项；
二、一元二次方程的解法
1.因式分解法：利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法；
这种方法把解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.
2.开平方法：一般地，对于形如的方程，根据平方根的定义，可得.这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
3.配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
4.公式法：利用求根公式求解一元二次方程的根的方法叫做公式法.
对于一元二次方程，如果，那么方程的两个根为：
根的判别式：因为方程的根的情况由代数式的值决定，因此叫做一元二次方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是：
要点诠释：
（1）、因式分解的常用方法步骤：
①提公因式，②套用乘法公式，③某些“二次三项式”用“十字相乘”法因式分解；
（2）二次项系数为1的一元二次方程，用配方法解方程时，第一步移项，第二步配方，两边同加的应是一次项系数的一半的平方.
（3）公式法解一元二次方程写法步骤：
①分别写出的值，并求出的值，
②分别将各部分带入求根公式并化简，
③将两个方程的解写开，得的值
（4）利用配方法求最值步骤：
①提取二次项的系数，②将括号内的部分配成完全平方式并配平，③根据完全平方式前系数的正负，确定表达式的最大或最小值；
例：
三、一元二次方程的应用
1、一元二次方程应用题的解题步骤：
审题——设元——列方程——解方程——写答．
2、平均增长率应用问题等量关系：
3、销售类应用问题等量关系：单件利润×件数=总利润；
要点诠释：
销售类应用题在解题时，一般会有2个答案，如果一正一负，则通常负值舍去；如果两个都是正的，没有其他范围要求，则全部可取，如果有其他要求，比如“尽量给顾客得到实惠”、“尽快减少库存”等，一般需要舍去一个。
四、一元二次方程根与系数的关系
一般地，一元二次方程的根与系数有如下关系：
利用一元二次方程的根与系数的关系，可以不必先求出方程的根，给计算带来方便．
题型一　一元二次方程的定义与一元二次方程的解
例题：
1．（2024春 温州期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝0
2．（2024春 婺城区期中）一元二次方程3x2﹣2x﹣7＝0的一次项系数是（　　）
A．3 B．﹣2 C．2 D．﹣7
3．（2024春 鄞州区期中）若x＝2是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根，则m的值为（　　）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
4．（2024春 温州期中）若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2024﹣6a2+2a的值是（　　）
A．2026 B．2025 C．2023 D．2022
5．（2024秋 宿城区期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x3+2x＝0 B．x（x﹣3）＝0 C． D．y﹣x2＝4
6．（2024春 余姚市期中）将方程（x﹣1）（x+3）＝1化成一般形式是 　 　．
巩固训练
7．（2024春 钱塘区期末）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的常数项为0，则k的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．4或﹣2
8．（2024春 衢州期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝﹣1，则代数式2024﹣a+b的值为（　　）
A．﹣2023 B．﹣2025 C．2023 D．2025
9．（2024春 平湖市期末）关于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）一个实数根为2024，则方程cx2+bx＝a一定有实数根（　　）
A．2024 B． C．﹣2024 D．
题型二　一元二次方程解法之开平方
例题：
1．（2023秋 椒江区校级月考）方程x2＝4的解是（　　）
A．x1＝4，x2＝﹣4 B．x1＝x2＝2
C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝4
2．（2023春 永嘉县月考）若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（　　）
A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4
3．（2023春 上城区期中）关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则m＝　 　．
巩固训练
4．（2024春 萧山区期中）已知关于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0（m，h，k均为常数，且m≠0）的解是x1＝2，x2＝5，则关于x的一元二次方程m（x﹣h+3）2＝k的解是 　 　．
5．（2024春 西湖区校级期中）一元二次方程3x2＝27的解为：　 　．
题型三　配方法与配方法的应用
例题：
1．（2024 金东区二模）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0时，将方程化为（x﹣3）2＝a的形式，则a的值是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
2．（2024春 温州期中）用配方法解一元二次方程x2﹣8x﹣4＝0时，可将原方程配方成（x﹣4）2＝m，则m的值是 　 　．
3．（2024春 滨江区期末）利用（a±b）2可求某些整式的最值．例如x2﹣2x+2＝（x2﹣2x+1）+1＝（x﹣1）2+1，由（x﹣1）2≥0知，当x＝1时，多项式x2﹣2x+2有最小值1．对于多项式x2+3x+2，当x＝　 　时，有最小值是 　 　．
4．（2024 金平区校级一模）解方程：x2+6x+2＝0．
5．（2024春 西湖区校级期中）用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣3）2﹣4＝0；
（2）x2﹣4x﹣8＝0．
巩固训练
6．（2024 定海区开学）一元二次方程2x2+3x+1＝0用配方法解方程，配方结果是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024春 慈溪市期末）方程x2﹣8x+7＝0配方后写成（x+m）2＝b的形式，则b的值为 　 　．
8．（2024秋 义乌市月考）已知任意实数满足等式x＝a2﹣4ab+4b2，y＝4a﹣8b﹣5，则x，y的大小关系是（　　）
A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y
9．（2024春 余姚市期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：5（x﹣6）2+7＝0与6（x﹣6）2+7＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝0与2（x﹣1）2+1＝0是“同族二次方程”，则代数式mx2+nx+2029的最小值是 　 　．
10．（2023春 德清县期末）解方程：
（1）x2﹣9＝0；
（2）x2﹣6x+1＝0．
11．（2024春 宁波期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为5＝12+22，所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知10是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式 　 　；
探究问题：
（2）已知S＝x2+9y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
拓展结论：
（3）已知实数x、y满足，求5x﹣3y的最值．
题型四　一元二次方程解法之因式分解法
例题：
1．（2024春 湖州期末）如表是某同学求代数式x2﹣3x的值的情况，根据表格可知方程x2﹣3x＝0的根是（　　）
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
x2﹣3x … 10 4 0 ﹣2 ﹣2 0 …
A．x＝3 B．x＝0 C．x＝0或x＝3 D．x＝1或x＝2
2．（2023秋 鄞州区期末）方程x2﹣2024x+2023＝0的解为 　 　．
3．（2024春 拱墅区期末）已知a，b为常数，若方程（x﹣1）2＝a的两个根与方程（x﹣3）（x﹣b）＝0的两个根相同，则b＝　 　．
4．（2024春 拱墅区校级期中）解方程：
（1）x2﹣4x＝1；
（2）2x（x﹣2）+x﹣2＝0．
巩固训练
5．（2024 鄞州区模拟）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（　　）
A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2
C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1
6．（2023秋 临海市期中）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是（　　）
A．﹣11 B．13 C．11或8 D．11和13
7．（2023秋 汕尾期末）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
8．（2024春 上城区校级期中）解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4x+2＝0；
（2）（x﹣3）2﹣2x（x﹣3）＝0．
题型五　一元二次方程解法之公式法
例题：
1．（2023春 金东区月考）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（　　）
A．x＝1 B．x C．x＝﹣1 D．x
2．（2024秋 路桥区期中）用公式法解方程x2﹣3＝5x时，a，b，c的值依次是（　　）
A．0，﹣3，5 B．1，﹣3，5 C．1，5，﹣3 D．1，﹣5，﹣3
3．（2024春 宁波期末）如表，通过以上方法可将x转化为方程x2+x﹣1＝0，我们规定：方程x2+x﹣1＝0称为x的还原方程．
x 去分母，2x1 移项，2x+1 两边平方，4x2+4x+1＝5 整理，x2+x﹣1＝0
（1）x的还原方程是 　 　．
（2）若x1，则代数式x3+3x2﹣2x+1＝　 　．
4．（2023春 南岗区期末）解方程：x（2x﹣4）＝5﹣8x．
巩固训练
5．（2024春 宁波期中）若a2+5ab﹣b2＝0，则的值为　 　．
6．（2023春 新昌县期中）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是（如图）：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC，AC＝b，再在斜边AB上截取BD．则该方程的一个正根是（　　）
A．CD的长 B．AC的长 C．AD的长 D．BC的长
7．（2023春 衢江区期末）解方程：
（1）2y2+3y﹣1＝0；
（2）x（x﹣4）＝﹣4．
题型六　一元二次方程根的判别系
例题：
1．（2024秋 义乌市月考）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
2．（2024春 诸暨市校级期中）若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣1且k≠0 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0
3．（2023春 上城区期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+c＝b，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若x＝c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x＝x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则；
其中正确的（　　）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．只有②③④ D．只有①②
4．（2024 婺城区模拟）设关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，已知①b＝2，c＝1；②b＝﹣2，c＝﹣3；③b＝1，c＝2．请在上述三组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程．
5．（2024春 越城区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+2m﹣1＝0，其中m为常数．
（1）若x＝2是方程的一个根，求m的值；
（2）当m＝﹣1时，求该方程的根；
（3）若方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
巩固训练
6．（2024春 萧山区期中）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（4k﹣1）x+4k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k B．k且k≠0
C．k D．k且k≠0
7．（2024春 泗阳县期末）关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　 　．
8．（2024春 鄞州区期中）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围是 　 　．
9．（2023秋 临海市月考）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
10．（2024 萧山区二模）已知关于x的方程x2﹣2（3﹣m）x+5﹣2m＝0．
（1）若方程的一个实根是3．求实数m的值．
（2）求证：无论m取什么实数，方程总有实数根．
题型七　一元二次方程根与系数的关系
例题：
1．（2024春 丽水期末）已知关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣m＝0的一个根是，则方程的另一个根是（　　）
A． B． C．1 D．﹣1
2．（2024春 诸暨市期中）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则2024﹣x1﹣x2的值为（　　）
A．2025 B．2023 C． D．
3．（2024春 拱墅区校级期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣11＝0的两个根，则（　　）
A．﹣11 B．4 C．16 D．38
4．（2024春 上城区校级期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则方程必有一根为x＝1；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0无实根；
③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则．
其中正确的（　　）
A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④
5．（2024 西湖区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝14，求m的值．
巩固训练
6．（2024春 上虞区期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将x2项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024秋 鼓楼区校级月考）若方程﹣x2+px+q＝0的一个根大于1，另一根小于1，则p+q的值（　　）
A．不大于1 B．大于1 C．小于1 D．不小于1
8．（2024春 海曙区期末）已知x1，x2是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024秋 义乌市校级月考）已知：方程x2﹣2（k﹣1）x+2k2﹣12k+17＝0，两根为x1，x2，求的最大值与最小值．
10．（2024春 诸暨市期末）已知关于x的一元二次方程x2+6x﹣m＝0．
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值．
题型八　一元二次方程应用题
1．（2024春 西湖区校级月考）某种商品经过两次大的降价后，售价仅为原售价的49%，则平均每次的降价率为（　　）
A．30% B．40% C．50% D．51%
2．（2024春 镇海区校级期中）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 　 　元．
3．（2024秋 江津区期中）如图，一块长12m，宽8m的长方形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2，则道路的宽应为 　 　m．
4．（2024春 诸暨市期末）诸暨的短柄樱桃是浙江省绍兴市的特产之一，特别是赵家镇和同山镇的樱桃尤为著名，每年四五月份大量上市．据某采摘基地了解：正常情况下，樱桃售价为每篮50元时，则每天可售出40篮．通过市场调查发现，若要每天多售出10篮，那么每篮就要降价5元，综合各项成本考虑，规定每篮售价不低于35元．
（1）当樱桃每篮售价定为多少元时，每天能获得2400元的销售额？
（2）该采摘基地每天所获得的销售额能否达到2500元？请计算说明．
5．（2024春 西湖区校级期中）已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的增长为28m），另外的边利用学校现有总长55m的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门．
（1）求线段AB的取值范围；
（2）若围成的面积为270m2，试求出自行车车棚的长和宽．
（3）能围成面积为300m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
巩固训练
6．（2024春 滨江区期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，则此月增长率为（　　）
A．83% B．69% C．25% D．20%
7．（2023春 嵊州市校级期中）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有　 　个班参赛．
8．（2024春 西湖区期中）商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此，若销售单价为　 　元时，商场每天盈利达1500元．
9．（2024春 柯桥区期中）漳州市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10月份售出150个，12月份售出216个．
（1）求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率；
（2）此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？
10．（2024春 德清县期末）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长30cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）
（1）若剪去的正方形的边长为2cm，则纸盒底面长方形的长为 　 　cm，宽为 　 　cm；
（2）若纸盒的底面积为240cm2，请计算剪去的正方形的边长；
（3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为412cm2，请计算剪去的正方形的边长．

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