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《几何图形》精选压轴题—广东省（北师大版）七（上）数学期末复习
一、选择题
1．（2023七下·武汉月考）如图，已知、、依次为线段上的三点，为的中点，，若，则线段的长为（　　）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】A
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：设，
∵，
∴，，
∴，
∵为的中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】设MC=x，则CD=2x，AB=x，MD=3x，由中点定义得AD=6x，AM=MD=3x，则MB=AM-AB=x，进而根据BC=BM+MC=8建立方程，求出x的值，从而即可求出AD的长.
2．（2024七上·坪山期末）如右图所示：C是线段上一点，且，P、Q从C点同时出发，分别朝着点A运动、点B运动，且点P的运动速度是点Q的一半，当时，的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算；数轴的点常规运动模型
二、解答题
3．（2024七上·南海期末）综合探究
如图，在直角中，，点A在直线上，点D、E在直线上运动（点D不与点A重合），且始终满足平分．
（1）当点D在点A左侧时，请直接写出与之间的数量关系．
（2）若，在点D、E运动的过程中，当是直角三角形时，求的度数．
（3）请你在以点C为顶点的角中任选一个（、、除外），在点D、E运动的过程中，探究所选角与的数量关系，并写出具体过程．
【答案】（1）
（2）解：∵点D、E在直线上运动，平分，，∴点E在点A的右侧，
∵是直角三角形，
∴或，
①若，如图，
则，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
②若，如图，
∵
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
综上所述，或；
（3）解：探究与的数量关系，∵点D、E在直线上运动，平分，，
∴点E在点A的右侧，
①点D在点A左侧时，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
即；
②点D在点A右侧时，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
则，
即．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：∵点D、E在直线上运动，平分，，∴点E在点A的右侧
∵点D在点A左侧，
∴；
【分析】（1）根据点D、E在直线上运动，平分且，得到点E在点A的右侧，得出，得到答案；
（2）由是直角三角形得或，①当时，求得和，根据平分，结合，即可求得；②当时，得到和，根据平分，结合，求得，即可求解；
（3）探究与的数量关系，分两种情况：①点D在点A左侧时，根据角平分线的概念得，结合；②点D在点A右侧时，根据角平分线的性质得，由，得到，即可求解．
4．（2024七上·高明期末）
（1）①如图1所示，点O是直线上一点，平分，平分，则　 　°；
②如图2所示，射线在内部，且，平分，平分，则　 　°；
（2）如图3所示，射线在内部，平分，平分．根据（1）的结果，请写出你发现的结论并说明理由；
（3）若，射线在的外部，平分，平分，求的度数．（均指小于平角的角）
【答案】（1）90；60
（2）解：，理由为：
∵平分，平分，
∴，，
∴；
（3）解：①如图所示，当OC在OA左边时，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠COE＝∠AOC，∠COF＝∠BOC，
∴∠EOF＝∠COF ∠COE＝∠BOC ∠AOC＝（∠AOB＋∠AOC） ∠AOC＝∠AOB，
∵∠AOB＝120°，
∴∠EOF＝60°；
②如图2所示，当OC在OB下边时，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠COE＝∠AOC，∠COF＝∠BOC，
∴∠EOF＝∠COE ∠COF＝∠AOC ∠BOC＝（∠AOB＋∠BOC） ∠BOC＝∠AOB，
∵∠AOB＝120°，
∴∠EOF＝60°．
综上所述，∠EOF的度数为60°．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）①∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，
∵∠AOC＋BOC＝∠AOB＝180°，
∴∠EOF＝∠COE＋∠COF=（∠AOC＋∠BOC）=×180°＝90°，
故答案为：90；
②∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，
∵∠AOC＋BOC＝∠AOB＝120°，
∴∠EOF＝∠COE＋∠COF=（∠AOC＋∠BOC）=×120°＝60°，
故答案为：60；
【分析】（1）①先利用角平分线定义可得∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，再利用角的运算和等量代换可得∠EOF＝∠COE＋∠COF=（∠AOC＋∠BOC）=×180°＝90°；
②先利用角平分线的定义可得∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，再利用角的运算和等量代换可得∠EOF＝∠COE＋∠COF=（∠AOC＋∠BOC）=×120°＝60°；
（2）先利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）先利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换可得．
5．（2024七上·福田期末）如图，把放在量角器上，读得射线、分别经过刻度117和153，把绕点P逆时针方向旋转到，当时，射线经过刻度　 　.
【答案】45
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵ 射线、分别经过刻度117和153，
∴.
∵由 绕点P逆时针方向旋转得到，
∴.
∵，且，
∴.
∴.
∴射线PA'经过刻度117-72=45.
故答案为：45.
【分析】根据量角器可知，，再根据旋转的性质可知，，然后结合已知条件求出，即可得到射线PA'经过刻度．
6．（2024七上·福田期末）如图1，射线上有A、B两点，，.一动点P从点O出发，以每秒4个单位的速度沿射线的方向运动，当点P到达点A时，射线开始绕点A按逆时针方向以每秒5°的速度旋转，同时点P降速一半沿射线的方向运动（如图2），当点P到达点B时，射线旋转停止，接着，射线开始绕点B按顺时针方向以每秒15°的速度旋转，同时点P再降速一半沿射线的方向运动（如图3）.设点P运动的时间为t秒（）.
（1）的长等于　 　；当点P到达点B时，等于　 　°；
（2）当射线与所在直线第一次重合（不包括图2的情形）时，点P是线段的中点吗 为什么
（3）在射线旋转的过程中，若它与所在直线第二次重合时所有运动停止，则t为多少秒时，所在直线与所在直线垂直 请直接写出t的值.
【答案】（1）24；120°
（2）解：
P为中点，理由如下：
当与线段重合时，
所用时间为S
此时
P为中点
（3）解：或37.
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴的折线（双动点）模型
【解析】【解答】解：（1）∵OA=12，OB=3OA，
∴OB=36.
∴AB=OB-OA=24.
通过题意，可知点P从点A移动到点B所需时间为：.
∴射线AM旋转的度数为：5°×12=60°.
∴∠OAB=180°-60°=120°.
故答案为：24；120°.
（3）
当时，则旋转或
所用时间为
，
或37.
【分析】（1）由于AB=OB-OA，根据条件先计算OB，再连同OA代入计算AB；
用AB长除以点P降速一半后的速度即可计算出∠OAB；
（2）先计算出BM与AB第一次重合所需时间，用该时间乘以P点运动速度（P先降速一半，然后再降速一半，即=1个单位/秒）得到PB长，然后与（1）中所算出的AB进行比较即可得出结论；
（3）通过画图分析可知， BM与所在直线第二次重合前，BM所在直线与OA所在直线垂直的情况会发生两次，第一次是BM旋转150°，第二次则很容易知道是150°+180°=330°，分别除以速度15°/秒即可算出旋转用时，然后各自加上P点从O点运动到B的时间即可.
7．（2023八下·惠来期末）在数学实践活动课上，“卓越”小组准备研究如下问题：如图，为直尺的一条边，四边形为一正方形纸板、、、均为直角
（1）【操作发现】
如图小组成员小方把正方形的一条边与重合放置，刘老师在与同学们交流研讨时又做出了的平分线，交正方形的边于点．
则此时的度数为　 　；与的度数之间的关系为　 　．
（2）【问题探究】
受小方同学的启发，小组成员小丽将正方形纸板按如图放置，若此时记的度数为，其他条件不变，请帮小丽同学探究：与的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由．
（3）【拓展延伸】
组内其他同学也都继续探索，将正方形按如图放置，刘老师同样做出了的平分线，请直接写出与的度数之间的关系．
【答案】（1）45°；
（2）解：与的度数之间的关系没有发生改变．
理由如下：
如图，
，
，
平分，
，
，
即；
（3）解：如图，
的平分线为，
，
，
，
，
，
即．
【知识点】正方形的性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAB=90°，∠PAB=45°，
∴∠DAE=90°，
∴∠PAB=∠DAE.
故答案为：45°，∠PAB=∠DAE.
【分析】（1）根据正方形的性质可得∠DAB=90°，∠PAB=45°，∠DAE=90°，据此解答；
（2）根据邻补角的性质可得∠DAF=180°-α，由角平分线的概念可得∠DAQ=∠DAF=90°-α，则∠PAB=∠DAB-∠DAQ=90°-(90°-α)=α，据此解答；
（3）由角平分线的概念可得∠QAD=∠DAF，则∠QAB=90°+∠QAD=90°+∠DAF①，由邻补角的性质可得∠DAE=180°-∠DAF，则∠DAE=90°-∠DAF②，然后将①、②相加即可.
8．（2024七上·福田期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成：的两部分，射线叫做的三等分线若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含的代数式表示为（　　）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
【答案】C
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】如图，
∵ 射线是（∠MOP=2∠NOP）的三等分线， 射线是（∠QOP=2∠MOQ）的三等分线，∠MOQ=x，
∴∠POQ=2x，
∴∠PON=∠POM=（x+2x）=，
∴∠MON=∠POM+∠PON=；
如图， 射线是（∠MOP=2∠NOP）的三等分线，射线是（∠MOQ=2∠QOP）的三等分线，
∴，
，
∴；
如图，
射线是（∠NOP=2∠MOP）的三等分线，射线是（∠MOQ=2∠QOP）的三等分线，
∴，
，
∴；
如图， 射线是（∠NOP=2∠MOP）的三等分线，射线是（∠MOQ=2∠QOM）的三等分线，
∴，
，
∴；
综上所述∠MON的度数为 或或
故答案为：C.
【分析】分情况讨论，并分别画出图形： 射线是（∠MOP=2∠NOP）的三等分线， 射线是（∠QOP=2∠MOQ）的三等分线，∠MOQ=x，用含x的代数式表示出∠POQ，∠PON，根据∠MON=∠POM+∠PON，代入可得到∠MON的度数；如图， 射线是（∠MOP=2∠NOP）的三等分线，射线是（∠MOQ=2∠QOP）的三等分线，用含x的代数式表示出∠QOP，∠NOP，据此可得到∠MON；射线是（∠NOP=2∠MOP）的三等分线，射线是（∠MOQ=2∠QOP）的三等分线，用含x的代数式表示出∠QOP，∠NOP，据此可得到∠MON；射线是（∠NOP=2∠MOP）的三等分线，射线是（∠MOQ=2∠QOM）的三等分线，用含x的代数式表示出∠QOP，∠NOP，据此可得到∠MON；即可求解.
9．（2024七上·罗湖期末）综合探究：
【问题背景】：已知O是直线上的一点，射线在直线的上方，，将直角三角板的直角顶点放在O处，且直角三角板在直线的上方．
【问题解决】：
（1）如图1，若，则______；
（2）若恰好平分，求和的度数；
【拓展延伸】：
（3）将图2中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，是否存在t值，使？若不存在，请说明理由；若存在，请求出t的值．
【答案】解：（1）30
（2），
，
OE恰好平分，
，
．
（3）情况一：
，
，
，
；
情况二：，
，
，
，
．
综上所述，秒或秒时，．
【知识点】角的运算；角平分线的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1），，
，
．
故答案为30．
【分析】（1）根据题意，结合给定的图形，利用角的和差，求得，进而求得的值．
（2）根据角的平分线的定义，求得，再根据角度和差，求得的值，即可得到答案.
（3）根据题意，画出图形，分类两种情况讨论，根据角的和差，列出方程，即可求解．
10．（2024七上·榕城期末）【综合探究】：如图1，一副三角板如图所示放置在直线MN上，∠ABO=90°，∠AOB=60°，三角板的顶点与另一个三角板∠COD的顶点重合在点O处，三角板的边OC，OB与直线MN重合，三角板其它的边都在直线MN的上方.
（1）【实践探究】：
如图2，若三角板AOB不动，将三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，经过t秒时，三角板COD的边OC恰好分.
①此时t=　 　秒：
②此时=　 　°=　 　；
（2）【解决问题】：
如图2，在(1)的条件下，边OC恰好平分.时，同一时刻三角板AOB开始也绕点O以每秒的速度按相同方向旋转，那么再经过多长时间边OA与边OD第一次重合 (如图3)请说明理由；
（3）【拓展研究】：
如图3，在(2)的条件下，当边OA与边OD第一次重合时，两个三角板同时按顺时针方向再次转动一周后停止，请问两个三角板再次转动后，经过多少秒，边OB恰好平分请说明理由.
【答案】（1）5；60；3600
（2）解：∵三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，三角板AOB开始也绕点O以每秒10°的速度按相同方向旋转，
∴两个三角板的速度差为每秒4°，
∵∠AOD＝60°，当∠AOD＝0°时，边OA与边OD第一次重合，
∴60÷4＝15（秒），
∴再经过15秒边OA与边OD第一次重合.
（3）解：两个三角板同时按顺时针方向再次转动一周后停止，
∴0°＜旋转角度＜360°，
边OA与边OD重合，两个三角板再次转动15°，边OB恰好平分∠COD，∠COB＝∠BOD＝45°，
此时经过15÷4=秒，边OB恰好平分∠COD，
∵三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，三角板AOB开始也绕点O以每秒10°的速度按相同方向旋转，
∴三角板AOB旋转速度快，旋转一周后停下，三角板COD还在旋转，
∵边OB恰好平分∠COD，
∴∠COB＝∠BOD＝45°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠AOD＝15°，
∴三角板AOB经过360°÷10°＝36（秒）停下，三角板COD经过36秒旋转了36×6°＝216°，还需要旋转360° 216°＝144°停止，
此时经过36＋（144° 15°）÷6＝57.5秒，边OB恰好平分∠COD，
∴经过或57.5秒，边OB恰好平分∠COD．
【知识点】角的运算；图形的旋转；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）据题意得∠BOC为旋转角，
∵三角板COD的边OC恰好分∠AOB，∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝30°，∠COA＝30°，
∵三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，经过t秒，
∴t＝30÷6＝5（秒），
∵∠COD＝90°，
∴∠AOD＝∠COD ∠COA＝90° 30°＝60°＝3600'，
故答案为：5，60，3600.
【分析】（1）根据三角板COD的边OC恰好分∠AOB，可得∠AOB＝60°，再结合三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，求出t，最后求出∠AOD的度数即可；
（2）先求速度差，再利用旋转角除以速度差，即可求出时间；
（3）先分析两个三角板旋转多少度，才能使边OB恰好平分∠COD，再根据两个三角板的旋转速度，求出时间即可.
1 / 1《几何图形》精选压轴题—广东省（北师大版）七（上）数学期末复习
一、选择题
1．（2023七下·武汉月考）如图，已知、、依次为线段上的三点，为的中点，，若，则线段的长为（　　）
A．18 B．20 C．22 D．24
2．（2024七上·坪山期末）如右图所示：C是线段上一点，且，P、Q从C点同时出发，分别朝着点A运动、点B运动，且点P的运动速度是点Q的一半，当时，的长为（　　）
A． B． C． D．
二、解答题
3．（2024七上·南海期末）综合探究
如图，在直角中，，点A在直线上，点D、E在直线上运动（点D不与点A重合），且始终满足平分．
（1）当点D在点A左侧时，请直接写出与之间的数量关系．
（2）若，在点D、E运动的过程中，当是直角三角形时，求的度数．
（3）请你在以点C为顶点的角中任选一个（、、除外），在点D、E运动的过程中，探究所选角与的数量关系，并写出具体过程．
4．（2024七上·高明期末）
（1）①如图1所示，点O是直线上一点，平分，平分，则　 　°；
②如图2所示，射线在内部，且，平分，平分，则　 　°；
（2）如图3所示，射线在内部，平分，平分．根据（1）的结果，请写出你发现的结论并说明理由；
（3）若，射线在的外部，平分，平分，求的度数．（均指小于平角的角）
5．（2024七上·福田期末）如图，把放在量角器上，读得射线、分别经过刻度117和153，把绕点P逆时针方向旋转到，当时，射线经过刻度　 　.
6．（2024七上·福田期末）如图1，射线上有A、B两点，，.一动点P从点O出发，以每秒4个单位的速度沿射线的方向运动，当点P到达点A时，射线开始绕点A按逆时针方向以每秒5°的速度旋转，同时点P降速一半沿射线的方向运动（如图2），当点P到达点B时，射线旋转停止，接着，射线开始绕点B按顺时针方向以每秒15°的速度旋转，同时点P再降速一半沿射线的方向运动（如图3）.设点P运动的时间为t秒（）.
（1）的长等于　 　；当点P到达点B时，等于　 　°；
（2）当射线与所在直线第一次重合（不包括图2的情形）时，点P是线段的中点吗 为什么
（3）在射线旋转的过程中，若它与所在直线第二次重合时所有运动停止，则t为多少秒时，所在直线与所在直线垂直 请直接写出t的值.
7．（2023八下·惠来期末）在数学实践活动课上，“卓越”小组准备研究如下问题：如图，为直尺的一条边，四边形为一正方形纸板、、、均为直角
（1）【操作发现】
如图小组成员小方把正方形的一条边与重合放置，刘老师在与同学们交流研讨时又做出了的平分线，交正方形的边于点．
则此时的度数为　 　；与的度数之间的关系为　 　．
（2）【问题探究】
受小方同学的启发，小组成员小丽将正方形纸板按如图放置，若此时记的度数为，其他条件不变，请帮小丽同学探究：与的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由．
（3）【拓展延伸】
组内其他同学也都继续探索，将正方形按如图放置，刘老师同样做出了的平分线，请直接写出与的度数之间的关系．
8．（2024七上·福田期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成：的两部分，射线叫做的三等分线若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含的代数式表示为（　　）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
9．（2024七上·罗湖期末）综合探究：
【问题背景】：已知O是直线上的一点，射线在直线的上方，，将直角三角板的直角顶点放在O处，且直角三角板在直线的上方．
【问题解决】：
（1）如图1，若，则______；
（2）若恰好平分，求和的度数；
【拓展延伸】：
（3）将图2中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，是否存在t值，使？若不存在，请说明理由；若存在，请求出t的值．
10．（2024七上·榕城期末）【综合探究】：如图1，一副三角板如图所示放置在直线MN上，∠ABO=90°，∠AOB=60°，三角板的顶点与另一个三角板∠COD的顶点重合在点O处，三角板的边OC，OB与直线MN重合，三角板其它的边都在直线MN的上方.
（1）【实践探究】：
如图2，若三角板AOB不动，将三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，经过t秒时，三角板COD的边OC恰好分.
①此时t=　 　秒：
②此时=　 　°=　 　；
（2）【解决问题】：
如图2，在(1)的条件下，边OC恰好平分.时，同一时刻三角板AOB开始也绕点O以每秒的速度按相同方向旋转，那么再经过多长时间边OA与边OD第一次重合 (如图3)请说明理由；
（3）【拓展研究】：
如图3，在(2)的条件下，当边OA与边OD第一次重合时，两个三角板同时按顺时针方向再次转动一周后停止，请问两个三角板再次转动后，经过多少秒，边OB恰好平分请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：设，
∵，
∴，，
∴，
∵为的中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】设MC=x，则CD=2x，AB=x，MD=3x，由中点定义得AD=6x，AM=MD=3x，则MB=AM-AB=x，进而根据BC=BM+MC=8建立方程，求出x的值，从而即可求出AD的长.
2．【答案】C
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算；数轴的点常规运动模型
3．【答案】（1）
（2）解：∵点D、E在直线上运动，平分，，∴点E在点A的右侧，
∵是直角三角形，
∴或，
①若，如图，
则，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
②若，如图，
∵
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
综上所述，或；
（3）解：探究与的数量关系，∵点D、E在直线上运动，平分，，
∴点E在点A的右侧，
①点D在点A左侧时，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
即；
②点D在点A右侧时，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
则，
即．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：∵点D、E在直线上运动，平分，，∴点E在点A的右侧
∵点D在点A左侧，
∴；
【分析】（1）根据点D、E在直线上运动，平分且，得到点E在点A的右侧，得出，得到答案；
（2）由是直角三角形得或，①当时，求得和，根据平分，结合，即可求得；②当时，得到和，根据平分，结合，求得，即可求解；
（3）探究与的数量关系，分两种情况：①点D在点A左侧时，根据角平分线的概念得，结合；②点D在点A右侧时，根据角平分线的性质得，由，得到，即可求解．
4．【答案】（1）90；60
（2）解：，理由为：
∵平分，平分，
∴，，
∴；
（3）解：①如图所示，当OC在OA左边时，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠COE＝∠AOC，∠COF＝∠BOC，
∴∠EOF＝∠COF ∠COE＝∠BOC ∠AOC＝（∠AOB＋∠AOC） ∠AOC＝∠AOB，
∵∠AOB＝120°，
∴∠EOF＝60°；
②如图2所示，当OC在OB下边时，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠COE＝∠AOC，∠COF＝∠BOC，
∴∠EOF＝∠COE ∠COF＝∠AOC ∠BOC＝（∠AOB＋∠BOC） ∠BOC＝∠AOB，
∵∠AOB＝120°，
∴∠EOF＝60°．
综上所述，∠EOF的度数为60°．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）①∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，
∵∠AOC＋BOC＝∠AOB＝180°，
∴∠EOF＝∠COE＋∠COF=（∠AOC＋∠BOC）=×180°＝90°，
故答案为：90；
②∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，
∵∠AOC＋BOC＝∠AOB＝120°，
∴∠EOF＝∠COE＋∠COF=（∠AOC＋∠BOC）=×120°＝60°，
故答案为：60；
【分析】（1）①先利用角平分线定义可得∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，再利用角的运算和等量代换可得∠EOF＝∠COE＋∠COF=（∠AOC＋∠BOC）=×180°＝90°；
②先利用角平分线的定义可得∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，再利用角的运算和等量代换可得∠EOF＝∠COE＋∠COF=（∠AOC＋∠BOC）=×120°＝60°；
（2）先利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）先利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换可得．
5．【答案】45
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵ 射线、分别经过刻度117和153，
∴.
∵由 绕点P逆时针方向旋转得到，
∴.
∵，且，
∴.
∴.
∴射线PA'经过刻度117-72=45.
故答案为：45.
【分析】根据量角器可知，，再根据旋转的性质可知，，然后结合已知条件求出，即可得到射线PA'经过刻度．
6．【答案】（1）24；120°
（2）解：
P为中点，理由如下：
当与线段重合时，
所用时间为S
此时
P为中点
（3）解：或37.
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴的折线（双动点）模型
【解析】【解答】解：（1）∵OA=12，OB=3OA，
∴OB=36.
∴AB=OB-OA=24.
通过题意，可知点P从点A移动到点B所需时间为：.
∴射线AM旋转的度数为：5°×12=60°.
∴∠OAB=180°-60°=120°.
故答案为：24；120°.
（3）
当时，则旋转或
所用时间为
，
或37.
【分析】（1）由于AB=OB-OA，根据条件先计算OB，再连同OA代入计算AB；
用AB长除以点P降速一半后的速度即可计算出∠OAB；
（2）先计算出BM与AB第一次重合所需时间，用该时间乘以P点运动速度（P先降速一半，然后再降速一半，即=1个单位/秒）得到PB长，然后与（1）中所算出的AB进行比较即可得出结论；
（3）通过画图分析可知， BM与所在直线第二次重合前，BM所在直线与OA所在直线垂直的情况会发生两次，第一次是BM旋转150°，第二次则很容易知道是150°+180°=330°，分别除以速度15°/秒即可算出旋转用时，然后各自加上P点从O点运动到B的时间即可.
7．【答案】（1）45°；
（2）解：与的度数之间的关系没有发生改变．
理由如下：
如图，
，
，
平分，
，
，
即；
（3）解：如图，
的平分线为，
，
，
，
，
，
即．
【知识点】正方形的性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAB=90°，∠PAB=45°，
∴∠DAE=90°，
∴∠PAB=∠DAE.
故答案为：45°，∠PAB=∠DAE.
【分析】（1）根据正方形的性质可得∠DAB=90°，∠PAB=45°，∠DAE=90°，据此解答；
（2）根据邻补角的性质可得∠DAF=180°-α，由角平分线的概念可得∠DAQ=∠DAF=90°-α，则∠PAB=∠DAB-∠DAQ=90°-(90°-α)=α，据此解答；
（3）由角平分线的概念可得∠QAD=∠DAF，则∠QAB=90°+∠QAD=90°+∠DAF①，由邻补角的性质可得∠DAE=180°-∠DAF，则∠DAE=90°-∠DAF②，然后将①、②相加即可.
8．【答案】C
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】如图，
∵ 射线是（∠MOP=2∠NOP）的三等分线， 射线是（∠QOP=2∠MOQ）的三等分线，∠MOQ=x，
∴∠POQ=2x，
∴∠PON=∠POM=（x+2x）=，
∴∠MON=∠POM+∠PON=；
如图， 射线是（∠MOP=2∠NOP）的三等分线，射线是（∠MOQ=2∠QOP）的三等分线，
∴，
，
∴；
如图，
射线是（∠NOP=2∠MOP）的三等分线，射线是（∠MOQ=2∠QOP）的三等分线，
∴，
，
∴；
如图， 射线是（∠NOP=2∠MOP）的三等分线，射线是（∠MOQ=2∠QOM）的三等分线，
∴，
，
∴；
综上所述∠MON的度数为 或或
故答案为：C.
【分析】分情况讨论，并分别画出图形： 射线是（∠MOP=2∠NOP）的三等分线， 射线是（∠QOP=2∠MOQ）的三等分线，∠MOQ=x，用含x的代数式表示出∠POQ，∠PON，根据∠MON=∠POM+∠PON，代入可得到∠MON的度数；如图， 射线是（∠MOP=2∠NOP）的三等分线，射线是（∠MOQ=2∠QOP）的三等分线，用含x的代数式表示出∠QOP，∠NOP，据此可得到∠MON；射线是（∠NOP=2∠MOP）的三等分线，射线是（∠MOQ=2∠QOP）的三等分线，用含x的代数式表示出∠QOP，∠NOP，据此可得到∠MON；射线是（∠NOP=2∠MOP）的三等分线，射线是（∠MOQ=2∠QOM）的三等分线，用含x的代数式表示出∠QOP，∠NOP，据此可得到∠MON；即可求解.
9．【答案】解：（1）30
（2），
，
OE恰好平分，
，
．
（3）情况一：
，
，
，
；
情况二：，
，
，
，
．
综上所述，秒或秒时，．
【知识点】角的运算；角平分线的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1），，
，
．
故答案为30．
【分析】（1）根据题意，结合给定的图形，利用角的和差，求得，进而求得的值．
（2）根据角的平分线的定义，求得，再根据角度和差，求得的值，即可得到答案.
（3）根据题意，画出图形，分类两种情况讨论，根据角的和差，列出方程，即可求解．
10．【答案】（1）5；60；3600
（2）解：∵三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，三角板AOB开始也绕点O以每秒10°的速度按相同方向旋转，
∴两个三角板的速度差为每秒4°，
∵∠AOD＝60°，当∠AOD＝0°时，边OA与边OD第一次重合，
∴60÷4＝15（秒），
∴再经过15秒边OA与边OD第一次重合.
（3）解：两个三角板同时按顺时针方向再次转动一周后停止，
∴0°＜旋转角度＜360°，
边OA与边OD重合，两个三角板再次转动15°，边OB恰好平分∠COD，∠COB＝∠BOD＝45°，
此时经过15÷4=秒，边OB恰好平分∠COD，
∵三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，三角板AOB开始也绕点O以每秒10°的速度按相同方向旋转，
∴三角板AOB旋转速度快，旋转一周后停下，三角板COD还在旋转，
∵边OB恰好平分∠COD，
∴∠COB＝∠BOD＝45°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠AOD＝15°，
∴三角板AOB经过360°÷10°＝36（秒）停下，三角板COD经过36秒旋转了36×6°＝216°，还需要旋转360° 216°＝144°停止，
此时经过36＋（144° 15°）÷6＝57.5秒，边OB恰好平分∠COD，
∴经过或57.5秒，边OB恰好平分∠COD．
【知识点】角的运算；图形的旋转；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）据题意得∠BOC为旋转角，
∵三角板COD的边OC恰好分∠AOB，∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝30°，∠COA＝30°，
∵三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，经过t秒，
∴t＝30÷6＝5（秒），
∵∠COD＝90°，
∴∠AOD＝∠COD ∠COA＝90° 30°＝60°＝3600'，
故答案为：5，60，3600.
【分析】（1）根据三角板COD的边OC恰好分∠AOB，可得∠AOB＝60°，再结合三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，求出t，最后求出∠AOD的度数即可；
（2）先求速度差，再利用旋转角除以速度差，即可求出时间；
（3）先分析两个三角板旋转多少度，才能使边OB恰好平分∠COD，再根据两个三角板的旋转速度，求出时间即可.
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