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专题01区间最值问题
二次函数与区间最值问题涉及确定函数在特定区间上的最大值和最小值．通过求顶点坐标、判断函数开口方向及与区间的关系，利用单调性可求得最值．
★二次函数最值求解方法★
方法名称 描述 适用范围
顶点法 通过求二次函数的顶点得到最值 所有二次函数
公式法 直接代入公式求解 已知二次函数一般式
配方法 将二次函数化为顶点式求解 可配方的二次函数
对称轴法 根据对称轴和定义域判断最值 定义域在对称轴两侧或包含对称轴
★二次函数区间最值问题分析★
区间位置 对称轴位置 最值判断 求解方法
区间内 对称轴在区间内 顶点为最值点 顶点法或公式法
区间外 对称轴在区间外 端点为最值点 比较区间端点函数值
包含对称轴 区间包含对称轴 顶点为最值点之一，另一端点可能也为最值点 分别计算顶点和端点函数值
跨对称轴 区间跨越对称轴 顶点为最值点之一，需比较另一侧的函数值 根据情况选择方法
★求解步骤★
①确定顶点坐标：通过公式计算得到顶点坐标（h， k）．
②判断函数开口方向：根据a的正负确定．
③分析区间与对称轴的关系：
1．定轴定区间：直接利用单调性或数形结合求最值．
2．定轴动区间：分类讨论区间与对称轴的位置关系，考虑单调性求最值．
3．动轴定区间：同样需要分类讨论，考虑轴是否穿过区间及单调性．
④计算最值：结合上述分析，确定区间上的最大值和最小值．
一、定轴定区间
例1．（2024 温州模拟）
1．已知二次函数，当时，的最大值为9，则的值为 ．
对应练习：
（2024 东河区二模）
2．二次函数中，当时，的最小值是 ．
（2024 肥城市一模）
3．已知二次函数，当时，函数的最大值为 ．
（2024秋 武昌区期中）
4．已知二次函数在时有最大值3，则的值为 ．
（2024 鹿城区校级三模）
5．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
（2024秋 姑苏区校级月考）
6．已知二次函数（为常数），
(1)若二次函数的图像经过点，则___________；
(2)在（1）的条件下，当时，则的取值范围是 ___________；
(3)若二次函数在时有最大值，求的值．
7．已知二次函数
(1)若 当 时，y的最小值为 y 的最大值为4，求 的值；
(2)若该二次函数的图象经过点和, 当 时，y的最大值与最小值的差8，求m的值．
8．已知，二次函数．
(1)若该图象过点，求的值；
(2)当时，的最大值是，求的值；
(3)当时，若在函数图象上，且，求的取值范围．
二、定轴动区间
例2（2024 阳春市二模）
9．已知二次函数在时，y取得的最大值为15，则a的值为 ．
对应练习：
（2024秋 滨海新区期中）
10．二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
（2024 广东模拟）
11．当时，函数的最小值为1，则的值为 ．
12．在平面直角坐标系中，已知抛物线
（1）当，二次函数的自变量x满足时，函数y的最大值为，求m的值；
（2）已知点，，若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
（2024 湖北）
13．在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线l:y=kx+b，点A(-3,-3)，B(1,-1)均在直线l上．
（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；
（2）当a=-1，二次函数的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为-4，求m的值；
（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
（2023 莲都区一模）
14．已知二次函数（a，b是常数，），它的图象过点．
(1)用含a的代数式表示b；
(2)若，此二次函数的自变量x满足时，函数y的最大值为3，求m的值；
(3)若该函数图象的顶点在第二象限，当时，求的取值范围．
三．动轴定区间
例3 （2024 蔡甸区月考）
15．已知关于x的二次函数y＝x2－2ax＋3，当1≤x≤3时，函数有最小值2a，则a的值为 .
对应练习：
16．已知关于x的二次函数．
(1)若，两点在该二次函数的图象上，直接写出与的大小关系；
(2)若将抛物线沿y轴翻折得到新抛物线，当时，新抛物线对应的函数有最小值3，求m的值．
17．函数在有最小值，则实数的值是 ．
（2024 拱墅区校级开学）
18．时，函数的最小值为，则实数的值为 ．
（2021 江夏区校级自主招生）
19．是关于的二次函数，当的取值范围是时，只在时取得最大值，则实数的取值范围是 ．
参考答案与解析
参考答案：
1．
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，最大值的计算方法，根据二次函数图象的性质，先计算出二次函数的对称轴，根据自变量的取值范围找出最大值，由此即可求解，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
【详解】解：已知二次函数，
∴对称轴为：，
∴时与时的函数值相等，时与时的函数值相等，
∴当时的函数值大于时的函数值，
∴当时，，
∴，
解得，，
故答案为： ．
2．1
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的顶点式得到当时，y随着x的增大而增大，即可得到当时，当时取最小值，代入求解即可．
【详解】解：∵
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y随着x的增大而增大，
∴当时，当时取最小值，最小值为，
故答案为：1
3．5
【分析】本题考查二次函数的最值，能由二次函数的表达式得出抛物线的对称轴及开口方向是解题的关键．根据二次函数的图象，结合当时函数图象的增减情况，即可解决问题．
【详解】解：由二次函数的表达式为可知，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
所以当时，函数取得最小值，且，
则当时，，
当时，，
∴在中，函数的最大值为，
故答案为：．
4．或
【分析】本题考查了抛物线的对称性，增减性，局部最值，利用分类思想，结合增减性计算即可．
【详解】∵二次函数，
∴抛物线的对称轴为，顶点坐标为，
当时，抛物线开口向上，函数有最小值，且与对称轴距离越大，函数值越大，
∵，
∴时，函数局部有最大值，此时函数值为，
∵二次函数在时有最大值3，
∴，
解得；符合题意；
当时，抛物线开口向下，函数有最大值，且与对称轴距离越大，函数值越小，
∵，抛物线的对称轴为，在局部范围内，
∴时，函数局部有最大值，此时函数值为，
∵二次函数在时有最大值3，
∴，
解得；符合题意；
故答案为：或．
5．D
【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：二次函数的对称轴为：直线，
（1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大，
当时，取得最小值，
，
；
（2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小，
当时，取得最小值，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键．
6．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值，解题关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）利用待定系数法即可求得；
（2）抛物线开口向上，顶点为最低点，时取最小值，时取最大值；
（3）根据开口方向分类讨论，利用最大值列方程求解即可．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，
，
，
故答案为：；
（2）解：由（1）知：该二次函数y的表达式为，
，
抛物线开口向上，顶点为，
时，，
当，，
当时，的取值范围是：，
故答案为：；
（3）解：将二次函数化为顶点式得：，
二次函数在时有最大值，
当时，开口向上，
当时，有最大值，最大值为，
，
；
当时，开口向下，
当时，有最大值，最大值为，
，
；
综上，的值是或．
7．(1)2
(2)或．
【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，解题的关键是理解二次函数的增减性，准确计算．
（1）根据抛物线的对称轴和开口方向得出当时，y有最小值，当时，y有最大值，得出即，求出即可得出答案；
（2）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当在对称轴的同侧时，当在对称轴的异侧时，分别求出m的值即可．
【详解】（1）解：∵，对称轴为，
∴x的值离对称轴越远，y的值越小，
∵
∴当时，y有最小值，当时，y有最大值．
即，
解得，
∴；
（2）解：由题意，得，
解得
∴二次函数的解析式为，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∵
∴①当在对称轴的左侧时即时：
∵y的最大值与最小值的差8，
∴，
整理的
解得（不在m的范围内，舍去）．
②当在对称轴的右侧时即时：
∵y的最大值与最小值的差8，
∴，
整理得：（不在m的范围内，舍去）．
③当在对称轴的两侧时即时，
∵y的最大值与最小值的差8，最小值为0．
∴，
解得：，（不在范围舍去），
解得：（舍去）．
综上所述，m的值为或．
8．(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，二次函数的最值．
（1）把点代入中，求解即可；
（2）分两种情况：当时，当时，根据最大值是，求解即可；
（3）根据当时，， 得出，，求解即可．
【详解】（1）解：把点代入中，得
，
∴；
（2）解：抛物线的对称轴为，
当时，∵当时，y的最大值是，
∴当时，，
∴把代入中，得；
当时，∵当时，y的最大值是，
∴当时，，
∴把代入中，得；
∴综上所述，a的值为或；
（3）解：抛物线的对称轴为，
当时，∵，
∴，
∴．
9．4
【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出时，的值，再根据二次函数的性质得出答案．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线的对称轴为，顶点，当时，，
∵，开口向上，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∵当时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当时，，
∴，
解得：或（舍去），
故a的值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．
10．B
【分析】本题考查二次函数的最值，二次函数的图象与性质，利用数形结合思想是解题的关键．根据二次函数解析式得到顶点坐标，开口向下，对称轴，再结合“当且时，y的最小值为，最大值为，”进行讨论（一定要考虑二次函数的顶点坐标是否在自变量的取值范围内）求解，即可解题．
【详解】解：，顶点坐标，开口向下，对称轴，
①当，时，时，y取最大值，
即，
解得或（不合题意，舍去），
时，y取最小值，
即，
解得（不合题意，舍去）或，
，
②当，时，
，（舍去），
综上所述，，
故选：B．
11．2或
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时，求的值，结合当时函数有最小值1，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键．
【详解】解：当时，有，
解得：，．
∵当时，函数有最小值1，
∴或，
∴或，
故答案为：2或．
12．（1）m=-3或m=3；（2）≤a＜或a≤-2
【分析】（1）在x=1左侧，y随x的增大而增大，x=m+2=-1时，y有最大值-4；在对称轴x=1右侧，y随x最大而减小，x=m=3时，y有最大值-4，即可求解；
（2）分a＜0时和a＞0时两种情况，结合函数图像，分别求解即可．
【详解】解：（1）根据题意可得，y=-x2+2x-1，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴x=1，
∵m≤x≤m+2时，y有最大值-4，
∴当y=-4时，有-x2+2x-1=-4，
∴x=-1或x=3，
①在对称轴x=1左侧，y随x的增大而增大，
∴x=m+2=-1时，y有最大值-4，
∴m=-3；
②在对称轴x=1右侧，y随x最大而减小，
∴x=m=3时，y有最大值-4；
综上所述：m=-3或m=3；
（2）∵A（-3，-3），B（1，-1），
设直线AB的表达式为：y=kx+b，
则，解得：，
∴直线AB的解析式为y=x-，
由抛物线表达式可得：抛物线必经过点（0，-1），
∴若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，
当a＜0，
x=-3时，y=9a-6-1=9a-7＜-3，
x=1时，y=a+2-1≤-1，
解得：a≤-2；
当a＞0，
x=1时，y=a+2-1=a+1＞-1，
x=-3时，y=9a-6-1≥-3，
解得：a≥，
抛物线与直线联立：ax2+2x-1=x-，
∴ax2+x+=0，
△=-2a＞0，
∴a＜，
综上：若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是：≤a＜或a≤-2．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键．
13．（1）a≤且a≠0；（2）m=-3或m=3；（3）或a≤-2；
【分析】（1）点，代入，求出；联立与，则有，即可求解；
（2）根据题意可得，，当时，有，或；①在左侧，随的增大而增大，时，有最大值，；
②在对称轴右侧，随最大而减小，时，有最大值；
（3）①时，时，，即；
②时，时，，即，直线的解析式为，抛物线与直线联立：，，则，即可求的范围.
【详解】解：（1）点，代入，
，
，
；
联立与，则有，
抛物线与直线有交点，
，
a≤且a≠0；
（2）根据题意可得，，
，
抛物线开口向下，对称轴，
时，有最大值，
∴当时，有，
或，
①在左侧，随的增大而增大，
时，有最大值，
；
②在对称轴右侧，随最大而减小，
时，有最大值；
综上所述：m=-3或m=3；
（3）①时，时，，
即；
②时，时，，
即，
直线的解析式为，
抛物线与直线联立：，
，
，
，
的取值范围为或a≤-2.
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键．
14．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）将点代入函数解析式即可得；
（2）先求出二次函数的解析式，求出当时，的值，然后利用二次函数的性质分①在的左侧和②在的右侧两种情况，由此即可得；
（3）先根据求出，再利用根的判别式判断出抛物线与轴有两个不同的交点，从而可得抛物线的开口向下，且顶点的横坐标小于0，由此可得，然后根据即可得．
【详解】（1）解：将点代入得：，
则．
（2）解：，
，
，
抛物线的开口向下，对称轴为直线，
当时，，解得或，
①在的左侧，随的增大而增大，
∴当时，有最大值为3，
∴；
②在的右侧，随的增大而减小，
∴当时，有最大值为3，
∴．
综上，或．
（3）解：∵，，
∴，解得，
关于的方程的根的判别式，
∴函数图象与轴有2个不同的交点，
函数图象的顶点在第二象限，
抛物线的开口向下，且顶点的横坐标小于0，
，解得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
15．1
【详解】y= x2－2ax＋3=(x a)2+3 a2，
当a 1时，函数最小，则x=1，1 2a+3=4 2a=2a，
解得：a=1，
∵当1即3 a2=2a，
解得：a1= 3(不合题意舍去)，a2=1，
∴a=1；
当a 3时，x=3时，9 6a+3=2a，
解得：a= (不合题意舍去).
故答案为1.
点睛：本题考查了求二次函数的最大（小）值的方法.注意：只有当自变量x在整个取值范围内，函数值y才在顶点处取最值.而当自变量取值范围只有一部分时，必须结合二次函数的增减性及对称轴判断何处取最大值，何处取最小值.
16．(1)
(2)m的值是和
【分析】（1）抓住二次函数图象的特征：开口向上，因此离对称轴越近的点的纵坐标越小，据此求解即可；
（2）先利用对称的规律求出新函数的解析式，分析新函数的图象及性质，再分三种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的开口向上，对称轴是直线，
∴距离对称轴越近的点的纵坐标越小，
∵，，，
∴；
（2）解：将抛物线沿y轴翻折得到新抛物线的解析式为：，
∴新抛物线的开口向上，对称轴是直线，
分三种情况讨论：
①当，即时，在范围内，随的增大而增大，
则时，函数有最小值，即，
解得：，（舍去）；
②当，即时，在范围内，随的增大而减小，
则时，函数有最小值，即，
解得：，（舍去）
③当，即时，在范围内， 时，函数有最小值，不合题意；
综合所述：m的值是和．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，解题的关键是恰当分类，灵活运用二次函数的图象及性质．
17．或
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先求出对称轴为直线，再根据函数开口向上，离对称轴越远函数值越大，讨论对称轴的位置进行求解即可．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，则时，函数有最小值，
此时，解得；
当时，则时，函数有最小值，
此时，解得不合题意，舍去；
当时，则时，函数有最小值，
此时，解得舍去，
综上，实数的值是或，
故答案为：或．
18．或
【分析】本题考查了二次函数的最值，化顶点式，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题。利用函数解析式得到对称轴，根据题意分以下三种情况①当时，函数在处取得最小值，②当时，函数在处取得最小值，③当时，函数在处取得最小值，建立等式求解，即可解题．
【详解】解：，
，
函数在对称轴处取得最小值为，
时，函数的最小值为，
①当时，函数在处取得最小值，
有，
②当时，函数在处取得最小值，
有，
整理得，
解得或（均不符合题意舍去），
③当时，函数在处取得最小值，
有，
解得．
综上所述，或．
故答案为：或．
19．a＞3
【分析】根据二次函数的增减性利用对称轴列出不等式求解即可．
【详解】解：∵-1≤x≤3时，y只在x=-1时取得最大值，
∴，
解得a＞3．
故答案为：a＞3．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性和对称轴公式是解题的关键．

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