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专题02 二次函数与多结论
二次函数与多结论问题涉及二次函数图象与系数的关系，通过数形结合思想判断多个结论的正确性．需要掌握二次函数的基本性质及图象特征．二次函数是初中数学的重点内容，而多结论问题则是对二次函数知识点综合运用能力的考察．这类问题通常会给出一个二次函数表达式或图象，然后列出多个结论，要求判断哪些结论是正确的．
★二次函数的性质★
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
★二次函数图象与系数的关系★
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
★二次函数图象上点的坐标特征★
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
★多结论问题的解题策略★
1．数形结合：结合二次函数的图象和性质，对给出的结论进行分析和判断．
2．逐一验证：对每个结论进行逐一验证，确保判断的准确性
一、图象信息
例1
1．已知二次函数的图象如图所示，回答下列问题：
(1)填空（填“”“ ”或“”）：
①a 0；②b 0；③c 0；④ 0；⑤ 0；
⑥ 0；⑦ 0；⑧ 0；
⑨若点，均在该二次函数图象上，则 ；
(2)若点，均在该二次函数图象上，则n的值为 ；
(3)关于x的一元二次方程的实数根的情况为 ；
(4)若图象与x轴的交点为，，，当时，x的取值范围为 ．
对应练习：
2．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论中正确的有（　　）个．
①
②若点，均在二次函数图象上，则
③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根
④满足的x的取值范围为
A．1 B．2 C．3 D．4
（2024 滑县三模）
3．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在该二次函数的图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确的结论是（ ）
A．①②④ B．②③ C．②④ D．②③④
（2023 聊城）
4．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（ ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论中正确的是（ ）
A．
B．若点，均在二次函数图象上，则
C．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根
D．满足的x的取值范围为
（多选）（2024 潍坊模拟）
6．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线，下列结论正确的是（　　）

A．
B．若点，均在二次函数图象上，则
C．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
D．满足的的取值范围为
7．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程没有实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2023 齐齐哈尔）
8．如图，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论：
①；②；③；
④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；
⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
（2023秋 乾安县期中）
9．如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：
；
；
；
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；
若点，均在该二次函数图象上，则．其中正确结论的序号为 ．

（2024春 阳明区校级月考）
10．如图，二次函数的图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若为抛物线上的三个点，则；④对于图象上的两个不同的点，总有；⑤关于x的方程有两个不等实根．其中正确结论的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
（2024 谷城县一模）
11．如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象有下列结论：①且；②；③关于的一元二次方程的两根分别为和1；④若点，，均在二次函数图象上，则，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2024 德阳）
12．如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）．
（2024秋 东城区校级月考）
13．已知函数（）的图象如图所示，现有下列4个结论：

①；
②；
③若，是抛物线上的两点，则当时，；
④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．
其中所有正确结论的序号是 ．
（2024 苍溪县模拟）
14．如图， 已知二次函数 (a，b，c是常数)的图象关于直线对称， 则下列五个结论∶ ①； ②； ③；④(m为任意实数)；⑤．其中结论正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
15．抛物线交x轴于，，交y轴的负半轴于C，对称轴与抛物线交于点D．根据以上信息得出下列结论：①；②；③；④当时，y的值随x值的增大而减小；⑤当时，；其中结论正确的个数有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
（2024秋 乐清市校级月考）
16．对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
二、表格信息
例2
17．下表是二次函数的，的部分对应值：
则对于该函数的性质的判断：
①该二次函数有最大值；
②不等式的解集是或；
③方程的两个实数根分别位于和之间；
④当时，函数值随的增大而增大．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
对应练习：
18．已知二次函数的与的部分对应值如下表：
下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为 ．
（2024 鹤壁一模）
19．已知抛物线的与的部分对应值如下表：
… 0 1 2 3 …
… 6 0 6 …
下列结论：①；②抛物线有最小值；③当时，随增大而减少；④当时，的取值范围是或．其中正确的是（ ）
A．②③④ B．②③ C．①②④ D．②④
（2023秋 西湖区校级月考）
20．已知二次函数，y与x的部分对应值如表所示：
x … 0 2 3 4 …
y … 6 1 m …
下面有四个论断：①抛物线的顶点为；②关于的方程的解为，；③当时，的值为正，其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（2024秋 天津期中）
21．已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x 0 1 2 3
y 3 0 m 3
有以下结论：
①抛物线的开口向上；
②抛物线的对称轴为直线；
③方程的根为0和m；
④当时，x的取值范围是或．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
22．已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：
… …
… …
下列结论：①抛物线开口向下；②当时，随的增大而减小；③线的对称轴是直线；④函数的最大值为．其中所有正确的结论为 ．
参考答案与解析
参考答案：
1．(1)，，，，，，，，
(2)
(3)两个不相等的实数根
(4)
【分析】此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，以及二次函数图象上点的特征．
（1）由抛物线开口方向，对称轴以及，坐标轴的交点以及由、、、时的函数值即可得到结论；
（2）由两点关于对称轴对称即可求得；
（3）由抛物线与直线有两个交点即可得出结论；
（4）根据图象可得当时函数图象位于轴上方，即可求得结果．
【详解】（1）解：由函数图象可知：抛物线开口向下，
∴①；
∵对称轴在y轴左边，即，
又∵，
∴②；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴③；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴④；
∵当时，，
∴⑤；
∵当时，，
∴⑥；
∵当时，，
∴⑦；
∵，
∴，
∵当时，，
∴，
∴⑧；
∵对称轴为直线，
∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
∴；
故答案为：，，，，，，，，；
（2）解：∵，
∴点，关于对称轴对称，
∴，
故答案为：；
（3）解：由图象可知，抛物线与直线有两个交点，
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
故答案为：两个不相等的实数根；
（4）解：若图象与x轴的交点为，，，
当时，x的取值范围为，
故答案为：．
2．A
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，函数与方程的关系，数形结合是解题的关键．依据题意，由图象可得抛物线的对称轴是直线，与y轴的交点为，当时，，然后逐个选项判断即可得解．
【详解】解：由题意，∵抛物线的对称轴是直线，
∴．
又由图象，可得当时，，
∴，故①错误．
∵抛物线的对称轴是直线，
∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
∵抛物线开口向下，
∴，故②错误．
由题意，令，
∴抛物线与直线有两个不同的交点．
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误．
∵当时，y＝2，
又∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
∴当时，．
又抛物线开口向下，
∴满足的x的取值范围为，故④正确．
故选：A．
3．C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数图象与系数的关系等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键．
根据抛物线开口向下可得，根据抛物线的对称轴可推得，根据时，，即可得到，推得，故①错误；根据点的坐标和对称轴可得点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得，故②正确；根据抛物线的图象可知二次函数与直线有至少有一个交点，推得关于x的一元二次方程至少有一个实数根，故③错误；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点，即可得到时，的取值范围，故④正确．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，
∴．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
由图象可得时，，即，
∵，
∴．故①错误；
②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线．
故当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
∵，，
∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
∴，故②正确；
③∵图象经过点，对称轴为，
∴二次函数与直线有两个交点，
∴关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，故③错误；
④∵图象经过点，对称轴为直线，
∴二次函数必然经过点，
∴时，的取值范围，故④正确；
综上，②④正确，
故选：C．
4．B
【分析】根据抛物线开口向下可得，根据抛物线的对称轴可推得，根据时，，即可得到，推得，故①错误；根据点的坐标和对称轴可得点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得，故②正确；根据抛物线的图象可知二次函数与直线有两个不同的交点，推得关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点，即可得到时，的取值范围，故④正确．
【详解】①∵抛物线开口向下，
∴．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
由图象可得时，，
即，
而，
∴．故①错误；
②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线．
故当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∵，，
即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
故，故②正确；
③由图象可知：二次函数与直线有两个不同的交点，
即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误；
④∵函数图象经过，对称轴为直线，
∴二次函数必然经过点，
∴时，的取值范围，故④正确；
综上，②④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置；常数项决定抛物线与轴交点；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．D
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点等，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．由对称轴为直线可得，再将代入可判断A，找出关于直线对称的点为，再根据二次函数的性质可判断B，根据图象可得：时，x的值不相等，即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可判断C，不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分，可判断D．
【详解】解：∵对称轴为直线，
∴，
∵当时，，
∴，故A错误，
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∵关于直线对称的点为，
又∵，
∴，故B错误，
根据图象可得：时，x的值不相等，即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分，
∵关于直线对称的点为，
∴x的取值范围为，故D正确；
故选：D
6．BCD
【分析】根据抛物线开口向下可得，根据抛物线的对称轴可推得，根据时，，可判断A；根据抛物线的对称性和增减性可判断B；根据抛物线的图像可知二次函数与直线有两个交点，可判断C；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点，即可得到时的取值范围，可判断D．
【详解】解：A．∵二次函数的图像的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵当时，，
∴，故此选项结论错误；
B．∵抛物线开口向下，
∴在对称轴的右侧随的增大而减小，
∵关于直线对称的点为，
又∵，
∴，故此选项结论正确；
C．方程的解可看作抛物线与直线的交点，
由图像可知抛物线与直线有两个交点，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故此选项结论正确；
D．不等式的解集可看作抛物线的图像在直线上方的部分，
又∵关于直线对称的点为，
∴满足的的取值范围为，故此选项结论正确；
∴结论正确的是BCD．
故选：BCD．
【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，二次函数的图像上点的坐标特征，抛物线的对称性质，抛物线的增减性质，函数与方程的关系，函数与不等式的关系．数形结合是解题的关键．
7．C
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点等，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．根据抛物线开口向下即可判断①，找出关于直线对称的点，再根据二次函数的性质可判断②，方程的解可看作抛物线向上平移一个单位与轴的交点，找出交点个数可判断③，不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分，可判断④．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
故①正确，
对称轴为直线，抛物线开口向下，
在对称轴的右侧随的增大而减小，
关于直线对称的点为，
又，
，故②正确，
方程的解可看作抛物线向上平移一个单位，
由图象可知抛物线与轴有两个交点，
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误，
不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分，
关于直线对称的点为，
的取值范围为，故④正确．
故正确的有①②④；
故选：C．
8．B
【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定①和②；将点代入抛物线解析式并结合即可判定③；运用根的判别式并结合a、c的正负，判定判别式是否大于零即可判定④；判定点，的对称轴为，然后根据抛物线的对称性即可判定⑤．
【详解】解：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，即②错误；
∴，即①正确，
二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为
，即，故③正确；
∵关于x的一元二次方程，，，
∴，，
∴无法判断的正负，即无法确定关于x的一元二次方程的根的情况，故④错误；
∵
∴点，关于直线对称
∵点，均在该二次函数图像上，
∴，即⑤正确；
综上，正确的为①③⑤，共3个
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的的性质及图像与系数的关系，能够从图像中准确的获取信息是解题的关键．
9．
【分析】根据图象特征可判断，根据对称轴可判断，根据抛物线与轴的交点即对称轴确定抛物线与轴的另一个交点后可判断，方程的解可看作与的交点可判断，点与关于直线对称可判断．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴在轴右侧，
∴
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，故正确，
∵，
∴，故错误，
∵抛物线与轴的一个交点为，对称轴为，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∴，
∵，
∴，故正确；
方程的解可看作与的交点，
∵，
当过抛物线顶点时，两函数只有一个交点，即方程有两个相等的实数根，故错误；
∵点与关于直线对称，
∴，故正确；
故答案为: ．
【点睛】此题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式以及抛物线与轴的交点，熟练掌握各知识点是解题的关键．
10．B
【分析】根据抛物线的开口方向以及对称轴的位置、与y的交点位置即可判断①；由，可得，将代入可得，即可判断②；根据抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大即可判断③；根据函数的最小值可判断④；根据函数的最小值可得二次函数图象与直线一定有两个交点即可判断⑤．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴在y轴左侧，
∴，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴，
∴，故①错误，不合题意；
∵，
∴，
∵时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确，符合题意；
∵为抛物线上的三个点，
且点到对称轴直线的距离最大，
点到对称轴的距离最小，
∴，故③正确，符合题意；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时的函数值最小，
∴对于图象上的两个不同的点，总有，故④正确，符合题意；
∵，
∴，
∵抛物线为，
∵，
∴函数的最小值为，
∵，
∴，
∵二次函数图象与直线一定有两个交点，
∴关于x的方程有两个不等实根．故⑤正确，符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，正确掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
11．C
【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，根据图象判断①，特殊点判断②，对称性结合图象法求一元二次方程的根，判断③，增减性判断④．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为，与轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确；
∵图象过，
∴，故②正确；
∵对称轴为直线，
∴图象与轴的另一个交点为，
∴关于的一元二次方程的两根分别为和1；故③正确；
∵，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴；故④错误；
故选C．
12．①②④
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设两点横坐标与对称轴的距离为，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断．
【详解】解：①∵抛物线的顶点的坐标为，
∴，
∴，即，
由图可知，抛物线开口方向向下，即，
∴，
当时，，
∴，故①正确，符合题意；
②∵直线是抛物线的对称轴，
∴，
∴，
∴
由图象可得：当时，，
∴，即，故②正确，符合题意；
③∵直线是抛物线的对称轴，
设两点横坐标与对称轴的距离为，
则，，
∴，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
∴，故③错误，不符合题意；
④如图，
∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，故④正确，符合题意．
故答案为：①②④
13．①②④
【分析】由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断符号；把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负；由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大；由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根；
【详解】解：①抛物线图象开口向上，
∵对称轴在直线轴左侧，
∴同号，，
∵抛物线与轴交点在轴下方，
∴，故①正确；
②，
当时，
由图象可得，
由图象知，当时，
，
由图象可得，
∴，
即，故②正确；
③，
，
∵，
∴点到对称轴的距离大于点，
∴，故③错误；
④抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，
∴无实数根，故④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数 中与函数图象的关系．
14．D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键；
由图象可知：，，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断①②，由对称轴是直线，且与x轴交点到对称轴距离大于1，小于2，当时，可判断③；由当时，函数有最大值，可判断④；由及，可判断⑤．
【详解】解：抛物线开口往下，
，
抛物线与y轴交于正半轴，
，
抛物线的对称轴为，
，
，
，故①正确．
即，故②正确．
抛物线的对称轴为直线，且时，函数值小于零，
抛物线与x轴交点到对称轴距离大于1，小于2，
当时，函数值小于零，
即，故③正确．
抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
当时，函数值最大，
当时，，
当时，，
则，
，
所以，故④正确．
由函数图象可知，
当时，函数值小于零，
则，
，
所以，故⑤正确．
综上所述：正确的有，
故选：D．
15．B
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点坐标，关键是找出图象中和题目中的有关信息，来判断问题中结论是否正确．根据抛物线的开口方向、对称轴的位置、与轴交点位置便可确定、、的正负，进而确定①正确与否；利用与轴的交点坐标，求出抛物线的对称轴，再根据对称轴判断与之间的关系，即可判断②，当时，，即可判③，根据图象即可判断④，当时，函数取最小值，进而判断⑤．
【详解】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴在轴的右侧，
、异号，即，
抛物线与轴交于负半轴，
，
，故①错误；
抛物线交轴于，，
对称轴为直线，
即，
，
，故②正确；
当时，，
，故③正确；
由图象可知，当时，的值随值的增大而减小，故④正确；
当时，抛物线有最小值，
当，且时，，
，
，故⑤正确；
所以正确的有4个．
故选：B．
16．C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定．
由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断①，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断②，根据对称性求得时的函数值小于0，判断③；根据时的函数值，结合，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据函数图象即可判断⑥．
【详解】解：①由图象可知：，
∵对称轴为直线：，
∴，
∴，故①正确；
②∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
∴，故②正确；
③∵对称轴为直线，则与的函数值相等，
∴当时，，故③错误；
④当时，，
∴，故④正确；
⑤当时，取到最小值，此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故⑤正确，
⑥当时，y随的增大而减小，故⑥正确，
综上，正确的是①②④⑤⑥共5个，
故选：C．
17．B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，由图表可得二次函数的对称轴为直线，，即可判断①④不正确，由图表可直接判断②③正确．
【详解】当时，；当时，；
当，；当，；
二次函数的对称轴为直线，
时，随的增大而增大，时，随的增大而减小．
即二次函数有最小值
则①④错误
由图表可得：不等式的解集是或；
由图表可得：方程的两个实数根分别位于和之间；则②③正确．
故选：B．
18．
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：把，，代入得，
，
解得，
∴，故正确；
∵，，，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线的顶点坐标为，
又∵，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值，
∵与时函数值相等，等于，
∴当时， 的取值范围为，故错误；
∵，
∴点，关于对称轴对称，
∴，故正确；
由得，
即，
画函数和图象如下：
由，解得，，
∴，，
由图形可得，当或时，，即，故错误；
综上，正确的结论为，
故答案为：．
19．D
【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可得答案．
【详解】解：由表中数据知，抛物线对称轴为直线，
，
故错误，不符合题意；
∵抛物线的顶点坐标是，图象开口向上，有最小值，
故正确，符合题意；
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
故错误，不符合题意；
抛物线与轴交点坐标为和，
当时，的取值范围是或，
故正确，符合题意．
故选：D．
20．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键．利用待定系数法求出抛物线的解析式一一判断即可．
【详解】解：二次函数经过，，，
，
解得，
二次函数为，
抛物线的顶点为，故①正确，
当时，，，故②正确，
当时，，故③正确，
故选：D．
21．C
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
【详解】解：由表格可知，
抛物线的对称轴是直线，故②错误；
抛物线的顶点坐标是，有最小值，故抛物线的开口向上，故①正确；
由抛物线关于直线对称知，当时，或，故方程的根为0和2，故③错误；
当时，x的取值范围是或，故④正确，
故选C．
22．①②③
【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数最值的求法，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．利用待定系数法可得二次函数解析式，根据二次函数的性质对各选项判断即可得答案.
【详解】解：抛物线经过，，三点，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
∵，
抛物线开口向下，故①正确；
，
对称轴为直线，最大值为，故③正确，④错误；
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而减小，故②正确；
综上所述：正确的结论有①②③，
故答案为：①②③．

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