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专题14 相似三角形存在性问题
相似判定：
判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；
判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；
判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．
以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．
（2024春 渠县校级月考）
1．如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、C两点，二次函数图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线
(1)求该二次函数表达式；
(2)在y轴的负半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形与相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（2023秋 大丰区月考）
2．如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P．探究是否存在点P使得以点P，C，Q为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（2024秋 仓山区校级月考）
3．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且经过点C，点A，C的坐标分别为，．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点G是线段上的动点（点G与线段的端点不重合），若与相似，求点G的坐标．
（2023秋 开福区校级月考）
4．如图，抛物线交轴负、正半轴于，两点，交轴于点，连接，，的外接圆的圆心为
(1)求该二次函数的解析式；
(2)在段的抛物线上是否存在一点P，使，若存在请求出点P坐标，若不存在，说明理由；
(3)圆上是否存在Q点，使与相似？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，说明理由．
（2024 内蒙古）
5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点A的直线与该二次函数图象交于点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线上方时，过点P作轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m．
①m为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P，使得与相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
（2024 南皮县三模）
6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象过两点，且与轴交于另一点，点为线段上的一个动点，过点作直线平行于轴交于点，交二次函数的图象于点．
(1)求一次函数及二次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)当以点为顶点的三角形与相似时，求线段的长度．
（2024 阎良区校级二模）
7．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴于点，连接，是否存在一点，使得与相似，若存在，请求出满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
（2024 涟水县模拟）
8．如图，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)作直线，分别交x轴、线段、抛物线于D、E、F三点，连接，若以B、D、E为顶点的三角形与以C、E、F为顶点的三角形相似，求t的值；
(3)点M为y轴负半轴上一点，且，将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点B的对应点为点，点C的对应点为点，与交于点N．在抛物线平移过程中，当的值最小时，试求的面积．
（2024 工业园区校级二模）
9．已知，关于的二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，图象顶点为，连接、、．
(1)请直接写出点A、B、C、D的坐标（用数字或含a的式子表示）：
A ；B ；C ；D ；
(2)作出点关于对称轴的对称点，连接、、，若和相似，求a的值；
(3)若，直接写出a的取值范围．
（2024 岱岳区二模）
10．如图①，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结，二次函数的对称轴与x轴交于点E，且．

(1)求出抛物线的解析式；
(2)如图②Q是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线交于点M，与抛物线交于点N，若以点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求出Q点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若N点在直线的上方，连结，
①若与相似，请求出点Q的坐标；
②将沿翻折，M的对应点为，是否存在点Q，使得恰好落在y轴正半轴上？若存在，请直接写出出Q的坐标．
（2024 思明区校级二模）
11．如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，对称轴为直线，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点，
(1)求抛物线的函数解析式：
(2)请你从以下三个选项中，任选一个为条件，另一个作结论，组成一个真命题，并证明．
①的横坐标为；②与相似；③
(3)若动点横坐标记为，的面积记为，的面积记为，且，写出与的函数关系，并判断是否有最大值，若有请求出；若没有请说明理由．
（2024春 赣榆区校级月考）
12．如图，二次函数（）的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，已知，．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)点M为抛物线对称轴上一动点，是否存在点M使得有最大值，若存在，请直接写出其最大值及此时点M坐标，若不存在，请说明理由．
(3)连接，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作轴，垂足为D，连接，若与相似，请求出满足条件的P点坐标：若没有满足条件的P点，请说明理由．
（2024 邹城市二模）
13．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，点P是直线上方抛物线上的一个动点，连接，过点P作，垂足为Q．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求的最大值；
(3)连接，抛物线上是否存在点P，使得以C、P、Q为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点P坐标；如果不存在，请说明理由．
（2024 科尔沁区模拟）
14．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点点和点，与y轴交于点C，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)如图1，连结，，求的面积的最大值；
(3)如图2，过点P作x轴的垂线交于点D，与交于点Q．探究是否存在点P，使得以点P、C、Q为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（2024春 游仙区月考）
15．如图，二次函数的图象与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，二次函数的最大值为，为直线上方抛物线上的一动点．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)如图1，过点作，垂足为，连接．是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点也是直线上方抛物线上的一动点（点在点的左侧），分别过点，作轴的平行线，分别交直线于点，，连接．若四边形是平行四边形，且周长最大时，求的最大值及相应的点的横坐标．
（2024 金坛区二模）
16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴正半轴交于点、，与轴交于点，，点是线段上一点（不与点、重合），过点作轴，交抛物线于点，连接，四边形是平行四边形．
(1)填空： ；
(2)求四边形的面积；
(3)若点是的中点，连接、．点是抛物线上一点，是直线上一点，连接、．若与相似，求点的坐标．
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参考答案：
1．(1)
(2)存在，或
【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，分类讨论是本题求解的关键．
（1）分别求出点，点的坐标，根据对称轴求出另一交点，再根据交点式得出答案；
（2）以点、、为顶点的三角形与相似，，则或，根据正切值求解即可．
【详解】（1）解：对于，当时，，即点，
令，则，即点，
∵抛物线的对称轴为直线，则点，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
设二次函数表达式为：，
∵抛物线过点，
则，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：存在，理由：
在中，，，则，
∵以点M、O、B为顶点的三角形与相似，，
∴或，
∴或，
即或，
解得：或2，
∵点在轴的负半轴上，
即点M的坐标为或．
2．(1)
(2)存在，或
【分析】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积的综合，相似三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，涉及分类讨论思想．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线解析式为，设点坐标为，可得，分两种情况考虑：；，利用等腰三角形的性质建立方程即可求得点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线过与点，
，
，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在，
设直线解析式为，
则有，解得：，
即直线解析式为；
设点坐标为，
轴，
点的坐标为，
；
当时；
如图，连接，
则，，
，
，，
，
，
，
，
，
即，
解得：，（舍去），
此时；
当时，
则，，
则有，
；
过点作于，则，
，
，
解得：，（舍去），
此时；
综上，或．
3．(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）可求得直线的解析式，设，可表示出的长，由条件可知只有，再利用相似三角形的性质可求得k的值，从而可求得G点坐标．
【详解】（1）解：将，代入
得：
解得：，
∴解析式为：；
（2）解：对于，当时，
则，
解得：或，
∴，
∴，
设直线的函数解析式为，
把的坐标代入，可得解得
∴直线的函数解析式为．
设点的坐标为．
点与点不重合，
与相似只有这一种情况．
由，得．
，，
，
解得：或（舍去），
∴点的坐标为．
4．(1)
(2)存在，
(3)存在，或
【分析】（1）利用待定系数法直接求出抛物线解析式；
（2）分两种情况用三角形的面积建立方程，解方程即可得出点的坐标；
（3）先判断出三角形是直角三角形，进而得出是的直径的一个端点，再分两种情况求出直线交点坐标，进而判定是否相似即可．
【详解】（1）解： 抛物线交轴于点，
，
，
，
，
，
代入抛物线解析式得：
，
解得，
该二次函数的解析式为；
（2）解：在段的抛物线上存在一点，使；理由如下：
令，
解得：，，
，
设，
点在段的抛物线上，
，
如图1，过作轴于，
则：
，
，，
解得，或（舍去），
点纵坐标为：，
点坐标为；
（3）解：圆上存在点，使与相似；理由如下：
如图2，
由（1）可知：，
，
，
的垂直平分线是抛物线的对称轴，
点的横坐标是1，
是直角三角形，与相似，
是直角三角形，
不是直径，
点是的直径的一个端点，
①当是直角，则是直径，
，
，
，即，
，，
，
设点，
，
解得，或（舍去），
，
，
设点，
点是的中点，
，
解得：，
；
②当时，则是直径，
设，
点是的中点，
，
解得：，
；
综上，满足条件的或．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象性质，求二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、勾股定理，圆周角定理，作辅助线够构造直角三角形是解题的关键．
5．(1)，
(2)①时，长度最大为；②存在，或
【分析】（1）把点O，A，B代入求解，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标；
（2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可；②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可．
【详解】（1）∵二次函数经过，，，
∴将三点坐标代入解析式得
，
解得：，，，
∴二次函数的解析式为：；
∵直线经过A、B两点，设直线解析式为：，
∴将A、B两点代入得，
解得：，，
∴直线解析式为：，
∵点C是直线与y轴交点，
∴令，则，
∴．
（2）①∵点P在直线上方，
∴，
设， ，
∴
，
，
∵
∴当时， 是最大值；
②存在，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴，
当时，
，
∴
∴轴
∴P的纵坐标为3，
∴把代入，得，
解得：，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
法一：当时，
，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由①知，
∵， ，
∴，
∵，
∴，
解得，（舍），
∴；
方法二：当△PBD∽△AOC时，
∴，
过B作轴，作，作，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∵， ， ， ，
∴，
解得，（舍），
∴，
∴；
，
方法三：如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，存在点P使与相似，此时P的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键．
6．(1)，
(2)3
(3)或
【分析】（1）待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，即可求解；
（2）根据二次函数解析式与轴的交点，令，得出点的坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解；
（3）先证明，设，则，分别表示出，①当时，②当时，分别根据相似三角形的性质，列出比例式，进而即可求解．
【详解】（1）解： 直线与轴交于点，与轴交于点，
，解得：，
一次函数的表达式为：；
把，，代入得：
，解得：，
二次函数的表达式为；
（2）在中，令，得或，
，
，，
；
（3）如图，连接，
，，
，，，
，
以为顶点的三角形与相似，和为对应点，
设，则，
，
，
①当时，，
或（舍去），
．
②当时，，
，
解得或，（舍去）
，
综上所述，或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数解析式，面积问题，相似三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
7．(1)该二次函数的表达式为；
(2)满足条件的点坐标为．
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的性质，一元二次方程的解法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）设，由题意得：，，，再利用相似三角形的性质得出比例式，解关于的方程即可得出结论．
【详解】（1）解：把，代入得，
，
解得：，
该二次函数的表达式为；
（2）解：设，
轴，为第一象限内抛物线上一点，
，，，
，
与相似，
或，
或．
解得：，或，．
，
．则
与相似，满足条件的点坐标为．
8．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可；
（3）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M向右平移m个单位长度得到点，证明，，说明当取最小值时，的值最小，作出点B关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即取得最小值，求出直线的解析式是：，求出，得出平移的距离是，根据平行四边形面积公式和平行四边形的性质得出结果即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于、两点，
∴，
解得：，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）解：以B、D、E为顶点的三角形与以C、E、F为顶点的三角形相似，则存在或为直角，
当时，如图所示：
∵，
∴，
∴，
把代入得：，
∴，
∴点F的纵坐标为2，
把代入得：
，
解得：，，
∴的横坐标为，
此时；
当时，过点F作轴于点G，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
解得：或（舍去），
此时；
综上，或；
（3）解：设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M向右平移m个单位长度得到点，作出图形如下：
由平移的性质可知，，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
同理得：，
∴当取最小值时，的值最小，
显然点在直线上运动，
作出点B关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即取得最小值，
∵点B关于直线对称的对称的点是点，，
∴，
设直线的解析式是：，
将点，代入得，
解得，
∴直线的解析式是：，
令，解得：，
∴，
∴平移的距离是，
∴，
根据平移可知：，，
∴四边形为平行四边形，
∵N是对角线与的交点，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．
9．(1)
(2)见解析，
(3)
【分析】（1）把、分别代入函数解析式可求出、、坐标，再求出抛物线的对称轴即可求出的坐标；
（2）根据对称性可得，，再根据和相似得，即可得，解方程即可求解；
（3）设抛物线的对称轴与轴的交点为点，以点为圆心，2为半径画圆，连接，可知当点在上或内时，，得，即得，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：把代入得，，
，
把代入得，，
，
，
解得，，
，，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得，，
顶点为，
故答案为：；；；；
（2）解：如图1，点、关于对称轴对称，，点在对称轴上，
，，
，
和相似，
，
，
整理得，，
解得或（不合，舍去），
；
（3）解：设抛物线的对称轴与轴的交点为点，以点为圆心，2为半径画圆，连接，如图2，
当点在上或内时，，
，
即，
解得，
又，
．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，顶点坐标，相似三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，根据题意，正确画出图形和作出辅助线是解题的关键．
10．(1)
(2)
(3)①点Q的坐标为或；②
【分析】（1）先求出二次函数的对称轴为，得到即，，得到，即可求出，从而得到抛物线的解析式；
（2）先求出，先用待定系数法求得直线的解析式为，由，轴，点M在直线上，点N在抛物线上可得，，分当为对角线和为对角线，两种情况讨论，利用平行四边形的性质求解即可；
（3）①由（2）知，，，，从而得到，，．若与相似，则或，分两种情况讨论：，则 ，代入即可求出t的值，从而得到点Q的坐标；若，则，利用勾股定理和三角函数求得，的长，再分别代入即可求出t的值，从而得到点Q的坐标．
②点N在直线上方，由折叠可得到，用含t的式子表示，的长，从而可以列出关于t的方程，求解即可得到点Q的坐标．
【详解】（1）解：二次函数的对称轴为，二次函数的对称轴与x轴交于点E，
即，
，
，
，
抛物线的解析式；
（2）解：令
解得，
根据题意得：，
令，则
，
设直线的解析式为
∵直线过点，
∴，解得：
∴直线的解析式为
∵，轴
∴点M，点N的横坐标都为t
∵点M在直线上，点N在抛物线上
∴，，
如图，当为对角线时，
，
当时，是平行四边形，
，即，
，
无解，此时，不存在点Q使得点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形；
如图，当为对角线时，

同理得：当时，是平行四边形，
，即，
解得：或（舍去），
；
综上，当时，是平行四边形，
（3）解：①由（2）知，，，，
∴，，，
∵
∴若与相似，则或
∴分两种情况讨论：
如图，时，

即
解得：，（舍去）
∴点Q的坐标为
②如图，，

则
∵在中，，
，，，
，
∴在中，，
∴，
∴，
解得：，（舍去）
∴点Q的坐标为
综上所述，点Q的坐标为或；
②解：点N在直线上方时，如图

∵轴，
∴，
由折叠可得，
∴，
，
，
解得：，（舍去）
∴点Q的坐标为．
【点睛】本题是一道二次函数与几何及锐角三角函数综合的题，解题的要点是：（1）能通过二次函数的特殊点的坐标；（2）通过坐标得到线段的长，挖掘题中的等量关系列出方程求解（即方程思想）；（3）分类讨论思想．
11．(1)
(2)条件：的横坐标为，结论：与相似，证明见解析
(3)与的函数关系为，当时，有最大值，最大值为
【分析】（1）由已知对称轴可得，再将点，代入，即可求出二次函数的解析式；
（2）条件：的横坐标为，结论：与相似．根据点的横坐标为，确定，得出轴，即可得证；
（3）确定直线的解析式为，设点横坐标记为，得，，，继而得到，得到，，进一步可得，根据二次函数的性质可得结论．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
将点，代入，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）条件：的横坐标为，结论：与相似．
证明：∵过点作轴的平行线交二次函数的图像于点，交轴于点，且点的横坐标为，
∴点的横坐标为，
∵点在抛物线上；
∴当时，得：，
∴，
∵，
∴轴，
∴，，
∴，
即与相似；
（3）设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点横坐标记为，
∵过点作轴的平行线交二次函数的图像于点，交轴于点，
∴，，，
∴，
设，分别为点，的横坐标，
∴的面积：，的面积：，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴与的函数关系为，当时，有最大值，最大值为，
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与性质，相似三角形的判定，三角形的面积等知识点．掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
12．(1)二次函数的表达式为；
(2)的最大值为，点M坐标为；
(3)满足条件的点坐标为．
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的性质，一元二次方程法解法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）延长交对称轴于点M，此时有最大值，求得直线的解析式，据此即可求解；
（3）设，由题意得：，，，再利用相似三角形的性质得出比例式，解关于的方程即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，
，，
．
，，
二次函数的图象经过点，，，
，解得：，
该二次函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，
延长交对称轴于点M，此时有最大值，
∵，，
∴，
设直线的解析式为，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
∴当时，，
∴点M坐标为；
答：的最大值为，点M坐标为；
（3）解：设，
轴，为第一象限内抛物线上一点，
，，，
，
与相似，
或，
或．
解得：，或，．
，
．
与相似，满足条件的点坐标为．
13．(1)抛物线解析式为
(2)的最大值为：．
(3)或．
【分析】（1）二次函数的图象与y轴交于点，设抛物线为，再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）如图，过作轴于，交于，求解，，为，证明，可得，设，则，可得，当最大，则最大，再进一步可得答案；
（3）如图， 证明，由以C、P、Q为顶点的三角形与相似，则分两种情况讨论：①，②，再进一步结合平行线的性质，等腰三角形的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点，
∴设抛物线为，
把，代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）如图，过作轴于，交于，
∵，，
∴，，
设直线为，
∴，解得：，
∴为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
当最大，则最大，
当时，最大值为，
∴的最大值为：．
（3）如图，∵，
∴，
∵以C、P、Q为顶点的三角形与相似，
∴分两种情况讨论：①，②，
当，
∴，
∴轴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴；
当时，如图，则，
由（2）得：轴，
∴，
∴，
∴，
∵由（2）得：，，
∴，
∴，
解得：（不符合题意的根舍去）
∴，
∴．
综上：的坐标为：或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，本题的计算量大，作出合适的辅助线选择合适的方法解题是关键．
14．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可；
（2）过点P作轴，交直线于点E，结合抛物线，直线解析式，设，则，则，表示出，利用二次函数的最值解答即可．
（3）根据点，点，得到，继而得到，分和两种情况解答，设，则列出比例式计算即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为．
（2）解：过点P作轴，交直线于点E，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为：．
设，则，则，
∴，
∴当，的面积最大，且最大值为．
故当，的面积取得最大值，且最大值为．
（3）点、、为顶点的三角形与相似，且或．
理由如下：
当时，
得，
∴，
∵点，，
∴点是抛物线上的一对对称点，
设，则，
解得，
此时；
当时，
∵点，点，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得（舍去），或（舍去），（舍去），
此时；
综上所述，点、、为顶点的三角形与相似，且或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，构造二次函数，配方法求最值；两点间距离公式；三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，构造二次函数求最值，准确解方程是解题的关键．
15．(1)
(2)存在，
(3)l的最大值为12，相应的点P的横坐标
【分析】（1）根据点在函数图象可得出的值，根据二次函数的最大值为可得，继而得出的值，再确定二次函数与轴的交点坐标，，然后代入直线的解析式，解关于、的方程组即可；
（2）如图，过作于点，过点作轴于点，过点作轴于点，延长交于点，延长交轴于点，证明四边形是矩形，得，，确定直线的解析式为，设直线的解析式为，设，则，然后分两种情况：①，②求解即可；
（3）过点作，交的延长线于点，根据是平行四边形的性质得到，，，设，则直线的解析式为，联立方程组，则方程的根即为点、的横坐标，分别设为，，根据一元二次方程根与系数的关系得到，则，根据锐角三角函数得，则，当时，取得最大值，最大值为12，最后解方程即可．
【详解】（1）解：二次函数的图象与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，二次函数的最大值为，
，，，
，
抛物线的解析式为，
当时，得：，
解得：，，
，，
，，
设直线的解析式为，过点，，
，
解得：，
直线的解析式为，
抛物线的解析式为，直线的解析式为；
（2）解：如图，过作于点，过点作轴于点，过点作轴于点，延长交于点，延长交轴于点，
，
四边形是矩形，
，，
，，，
，点为的中点，
，，
点的坐标为，即，
设直线的解析式为，
，得：，
直线的解析式为，
，，
，，
设直线的解析式为，
轴，
轴，，
，，
设，则，
①当时，
则，
设，则，
在中，，
则，
在中，，
则，
，
，
在中，，
则，
，
，
直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
点在直线上，
，
解得：，
；
②当时，
则，
设，则，
在中，，
则，
在中，，
则，
，
，
在中，，
则，
，
，
直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
点在直线上，
，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或时，以点，，为顶点的三角形与相似；
（3）解：过点作，交的延长线于点，
轴，轴，
轴，
轴，
，
四边形是平行四边形，
，，，
设，
即线段向上平移个单位得到线段，
设直线的解析式为，
联立方程组，
，
则方程的根即为点、的横坐标，分别设为，，
，，
，
，
，
在中，，
则，
平行四边形的周长：
，
当时，取得最大值，最大值为12，
此时，
，
解得：，，
点的横坐标为，
的最大值为12，相应的点的横坐标．
【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，二次函数与一次函数的交点，一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握二次函数的图象与性质，相似三角形的性质，锐角三角函数，特殊四边形的判定和性质是解题的关键．
16．(1)
(2)8
(3)或
【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
（1）将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）由四边形是平行四边形，则四边形的面积；
（3）当 时，即，即可求解；当时，同理可解．
【详解】（1）解：，
则，则点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
故答案为：；
（2）解：如图1，过点作轴于．
，
．
，
设直线的函数关系式为，则：
，解得：，
直线的函数表达式是，
四边形是平行四边形，
且．
设点，
则点，
，
．
，
．
四边形的面积；
（3）解：如图2，过点作轴于，过点作于．
则．
，，
设直线的函数关系式为，则：
，解得：，
直线的函数表达式是．
直线与轴的交点．
．
，
，，
，
．
，
．
．
当 时，即，
，
．
，，
∴，即点G从而点F的纵坐标为2，
代入的函数表达式中，得．
；
当时，则，
，
则，
，
可设则，
中，，
（负值已舍去），
则，
∴，，
即点F的纵坐标为，代入的函数表达式中，得．
，
综上所述，点的坐标是或．

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