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专题15 定点问题
例1．
1．根据解析式画出二次函数图象，并结合图象从开口方向、对称轴、顶点坐标、是否过定点、m变化对函数图象的影响几个方面分析图象特征．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
对应练习：
（2024 呼和浩特二模）
2．二次函数，有下列结论：
①该函数图象过定点；
②当时，函数图象与轴无交点；
③函数图象的对称轴不可能在轴的右侧；
④当时，点，是曲线上两点，若，，则．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知y关于x的二次函数，下列结论中：①当时，函数图象的顶点坐标为；②当时，函数图象总过定点；③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于．所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
（2024 从江县校级一模）
4．小明在学习二次函数知识的时候，发现二次函数图象和一次函数图像的交点个数有3种情况：有2个交点，有1个交点和没有交点，带着这样的结果，小明提问：若过定点的一次函数与二次函数的图象有2个交点，则的取值范围是（）
A．，且 B．
C． D．或
（2024春 鄞州区校级期末）
5．无论 为何实数，二次函数 的图象总是过定点 ．
（2023 无锡）
6．二次函数，有下列结论：
①该函数图象过定点；
②当时，函数图象与x轴无交点；
③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧；
④当时，点是曲线上两点，若，则．
其中，正确结论的序号为 ．
（2023秋 淮阴区校级月考）
7．已知二次函数（为常数）．
(1)不论为何值，该函数图象恒过定点 ；
(2)已知点，在二次函数图象上，若，求的取值范围．
（2024 浙江模拟）
8．已知二次函数（是实数）．
(1)若函数图象经过点，求该二次函数的表达式及图象的对称轴；
(2)求证：二次函数图象过定点；
(3)若时，二次函数的最小值为，求的取值范围．
（2023秋 拱墅区校级月考）
9．已知关于的二次函数，
(1)若二次函数图象与轴有且只有一个公共点，求的值；
(2)无论取何值，函数图象恒过定点，求点的坐标．
（2023秋 淮阴区校级月考）
10．已知二次函数（为常数）．
(1)不论为何值，该函数图象恒过定点 ；
(2)已知点，在二次函数图象上，若，求的取值范围．
11．已知二次函数．
(1)不论a为何值时，求函数图象所过定点的坐标；
(2)若函数有最大值1，求此时a的值．
（2024秋 赣州月考）
12．已知二次函数（a是实数）．
(1)若函数图象经过点，求该二次函数的表达式及图象的对称轴．
(2)求证：二次函数图象过定点．
例2．（2024 永州二模）
13．定义：对于一个函数，当自变量时，函数值，则实数叫做这个函数的一个不动点值．根据定义完成下列问题：
(1)求出反比例函数的不动点值；
(2)若二次函数有和两个不动点值．
求该二次函数的表达式；
将该二次函数图象平移，使其顶点为，若平移后图象所对应函数总有两个不同的不动点值，，记，求的取值范围；
若该二次函数图象与轴交于点，过点作分别交抛物线于，两点．（点在轴左侧），试探究直线是否恒过定点．如过定点，请求出该定点坐标．不过定点，请说明理由．
对应练习：1．（2024春 开福区校级月考）
14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数图像与x轴交于、，与y轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若平行于x轴的直线与抛物线交于M、N两点，与抛物线的对称轴交于H点，若点H到x轴的距离是线段MN的，求线段MN的长；
(3)抛物线的顶点为D，过定点Q的直线与二次函数交于E、F，外接圆的圆心在一条抛物线上运动，求该抛物线的解析式．
（2023秋 梁溪区期末）
15．已知二次函数、b是常数，
(1)若在该二次函数的图象上，当时，试判断代数式的正负性；
(2)已知对于任意的常数a、，二次函数的图象始终过定点P，求证：一次函数图象上所有的点都高于点
（2024 雅安模拟）
16．已知二次函数图象交x轴于点和两点；
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线向上平移n个单位得抛物线，点P为抛物线的顶点，，过C点作x轴的平行线交抛物线于点A，点B为y轴上的一动点，若存在有且只有一种情况，求此时n的值；
(3)如图2，恒过定点的直线交抛物线于点Q,N两点，过Q点的直线的直线交抛物线于M点，作直线，求恒过的定点坐标．
（2024春 亭湖区校级月考）
17．【阅读理解】函数过定点的含义就是：不管参数(即待定系数）取什么值，函数都过的这个点就是定点；如函数经过定点，因为无论取什么值，函数一定经过点，因此函数经过的定点就是；
因此，我们可以把函数过定点的问题转化为与参数无关的问题进行解决．
【尝试运用】（1）二次函数的图象必经过定点坐标为_____；
（2）试说明抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标；
【思维拓展】
（3）如图，若、是抛物线上的动点，，且它们的横坐标分别为、，连接、．
证明：直线过定点；
如图，轴，轴，若 ，．要使过原点的直线恰好平分四边形面积，请直接写出的最小值，及此时这条直线的解析式．
（2024秋 西湖区校级月考）
18．已知二次函数（为非零实数）．
(1)当时，求二次函数图象与轴的交点坐标；
(2)不论为何值，该函数图象都会经过两个定点，求这两个定点坐标；
(3)若二次函数有最小值，求证：当时，随的增大而减小．
（2024秋 高新区校级月考）
19．已知二次函数（m为常数，）．
(1)当时，求该函数的图象的顶点坐标；
(2)当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标；
(3)已知，．若该函数的图象与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围．
（2024 鼓楼区校级模拟）
20．已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．

(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)如图2，、是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标．
（2024 永州二模）
21．定义：对于一个函数，当自变量时，函数值，则实数叫做这个函数的一个不动点值．根据定义完成下列问题：
(1)求出反比例函数的不动点值；
(2)若二次函数有和两个不动点值．
求该二次函数的表达式；
将该二次函数图象平移，使其顶点为，若平移后图象所对应函数总有两个不同的不动点值，，记，求的取值范围；
若该二次函数图象与轴交于点，过点作分别交抛物线于，两点．（点在轴左侧），试探究直线是否恒过定点．如过定点，请求出该定点坐标．不过定点，请说明理由．
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参考答案：
1．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
(5)见解析
【分析】本题考查二次函数的图象、二次函数的性质．
（1）（2）（5）将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（3）画出简易图象，即可写出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（4）化成交点式，即可写出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
【详解】（1）解：，其图象如图①所示：
①开口向上，开口方向和开口大小不变；
②对称轴直线不变；
③顶点坐标随m的变化上下移动；
④图象不过定点；
⑤函数图象随m的变化上下平移；
（2）解：，其图象如图②所示：
①开口向上，开口方向和开口大小不变；
②对称轴直线随m的变化左右平移；
③顶点坐标随m的变化而变化；
④图象过定点；
⑤函数图象随m的变化上下左右平移；
（3）解：，其图象如图③所示：
①开口方向和开口大小随m的变化而变化；
②对称轴直线随m的变化而变化；
③顶点坐标随m的变化而变化；
④图象过定点；
⑤函数图象随m的变化上下左右平移；
（4）解：，其图象如图④所示：
①开口方向和开口大小随m的变化而变化；
②对称轴直线不变；
③顶点坐标随m的变化上下平移；
④图象过x轴上两定点和；
⑤函数图象随m的变化而变化；
（5）解：，其图象如图⑤所示：
①开口方向和开口大小随m的变化而变化；
②对称轴直线不变；
③顶点坐标随m的变化上下平移；
④图象过定点和；
⑤函数图象随m的变化而变化．
2．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将抛物线整理为，即可判断①，将代入并计算即可判断②，计算抛物线的对称轴并根据即可判断③；根据题意确定对称轴的范围后可确定、的位置，再根据增减性即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】解：，
当时，，
该函数图象过定点，故①正确；
当时，，
，
函数图象与轴无交点，故②正确；
抛物线的对称轴为：，
，
，
当时，对称轴在轴左侧，当时，对称轴在轴右侧，故③错误；
，
，
，，
在对称轴左侧，在对称轴右侧，
，
抛物线开口向上，在对称轴左侧，随增大而减小，在对称轴右侧，随增大而增大，
当时，，
当时，，
此时，，
，
，
，故④正确，
综上所述，正确的有①②④，共3个，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题．将时的函数关系式变形为顶点式，可判断①；当时，该函数关系式可变形为，可得当时，y的值与m无关，求出的根，求出对应的y值，即可得定点坐标，可判断②；③当时，求出该函数图象与x轴的交点的横坐标，可判断③．
【详解】解：①当时，，
∴顶点坐标为，故①正确．
②当时，，
当时，y的值与m无关，
此时，，
当时，；
当时，，
∴函数图象总经过两个定点，，故②正确；
③当时，由得：，
，
∴．
∴，．
∴，
∴函数图象截x轴所得的线段长度大于，故③正确．
故选A．
4．D
【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，解题关键是理解方程组的解与函数交点的关系．一次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征
【详解】解：一次函数的图象过定点，
，
把代入得：
，
整理得，
当时，两函数图象有一个交点，
即，
解得．
一次函数与二次函数的图象有2个交点，的取值范围是或．
故选：D
5．
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征先把解析式变形为，利用m有无数个解得到，然后解出x和y，即可得到定点坐标．
【详解】解：
，
∵无论 为何实数，二次函数 的图象总是过定点
∴当，即时，m可以任意实数，
此时，
即无论 为何实数，二次函数 的图象总是过定点．
故答案为：
6．①②④
【分析】本题考查的是二次函数综合题，解题的关键是熟练理解并综合运用二次函数的各个特征．
将抛物线整理为，即可判断①；将代入并计算即可判断②；计算抛物线对称轴并根据可判断③；根据题意确定对称轴的范围后可确定、的位置，根据增减性可判断④．
【详解】解：，
当时，，
该函数图象过定点，故①正确，符合题意；
当时，，
令，则，
，
当时，函数图象与x轴无交点，故②正确，符合题意；
抛物线的对称轴为直线，
，
，
当时，对称轴在轴左侧，当时，对称轴在右侧，故③错误，不符合题意；
，
，
，
在对称轴左侧，在对称轴右侧，
，
抛物线开口向上，在对称轴左侧，随增大而减小，在对称轴右侧，随增大而增大，
当时，，
当时，，
此时，，
，
，
，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的是①②④，
故答案为：①②④．
7．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）将函数化为，由此可得当，即时，无论为何值，该函数图象恒过定点，即可得出答案；
（2）求出二次函数的对称轴为直线，分三种情况：当时，此时点，在二次函数的对称轴的右半部分；当时，此时点，在二次函数的对称轴的左半部分；当时，此时点，在二次函数的对称轴的两侧，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：，
当，即时，，此时不论为何值，该函数图象恒过定点，定点为，
故答案为：；
（2）解：，
二次函数的对称轴为直线，
当时，此时点，在二次函数的对称轴的右半部分，此时随的增大而增大，则，不符合题意，舍去；
当时，此时点，在二次函数的对称轴的左半部分，此时随的增大而减小，则，符合题意；
当时，此时点，在二次函数的对称轴的两侧，由得出点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，
解得：；
综上所述，的取值范围为．
8．(1)，；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（）先把点A坐标代入解析式求出函数解析式，再根据对称轴计算公式求出对称轴即可；
（）由解析式可得，求出当，时的函数值，则可知二次函数过定点，，然后根据二次函数的性质，结合图象即可求解；
本题考查了求二次函数解析式，求二次函数对称轴，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点，
∴，
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式，
∴对称轴为直线；
（2）证明：把代入二次函数，
得，
∴二次函数图象过定点；
（3）解：∵
，
又∵时，，，
当时，；当时，，
∴二次函数过定点，，
∵，
∴，
如图所示，抛物线开口向上，且为纵坐标最大的点，
∴．
9．(1)；
(2)．
【分析】（）令，即，转化为一元二次方程有两个相等的实数根求解即可；
（）把二次函数化简，再把含的项分解因式，令含的项为零即可求解；
本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】（1）当，即，
∵图象与轴有且只有一个公共点，
∴解：，
解得：；
（2）由，
当，即时，函数图象恒过定点，
此时，
∴定点的坐标为．
10．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）将函数化为，由此可得当，即时，无论为何值，该函数图象恒过定点，即可得出答案；
（2）求出二次函数的对称轴为直线，分三种情况：当时，此时点，在二次函数的对称轴的右半部分；当时，此时点，在二次函数的对称轴的左半部分；当时，此时点，在二次函数的对称轴的两侧，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：，
当，即时，，此时不论为何值，该函数图象恒过定点，定点为，
故答案为：；
（2）解：，
二次函数的对称轴为直线，
当时，此时点，在二次函数的对称轴的右半部分，此时随的增大而增大，则，不符合题意，舍去；
当时，此时点，在二次函数的对称轴的左半部分，此时随的增大而减小，则，符合题意；
当时，此时点，在二次函数的对称轴的两侧，由得出点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，
解得：；
综上所述，的取值范围为．
11．(1)，
(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）不论a为何值时，函数图象过定点，只需要提取参数，即可；
（2）利用顶点坐标公式即可求解．
【详解】（1）解：，
只要与a无关即可，
则，
解得：或，
不论为何值时，函数图象所过定点的坐标，；
（2）解：函数有最大值1，
，
解得．
所以此时的值为．
12．(1)二次函数表达式为，对称轴为直线
(2)见解析
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数对称轴，二次函数的性质等等：
（1）先把点A坐标代入解析式求出函数解析式，再根据对称轴计算公式求出对称轴即可；
（2）求出当时的函数值即可证明结论．
【详解】（1）解：把代入中得：，
解得，
∴二次函数表达式为，
∴二次函数对称轴为直线；
（2）证明：在中，当时，，
∴二次函数图象过定点．
13．(1)和；
(2)；；．
【分析】（）根据新定义列方程，然后解方程即可；
（）将，代入解析式，然后解方程即可；
根据题意可得，根据新定义得，根据一元二次方程根与系数的关系得，根据二次函数的性质即可求解；
过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点，证明，根据性质可得，则，然后求出直线的解析式为，最后由一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
解得，
∴反比例函数的不动点值为和；
（2）解：∵二次函数有和两个不动点值，
将，代入解析式得，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
根据题意可得，
∵平移后图象所对应函数总有两个不同的不动点值，，
∴，
即，
∴，
∴，
解得：，
∵，为方程的两个不相等的实数根，
∴，，
∴，
∵当时，随的增大而减小，
当，，
∴；
如图所示，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点，
则，
设点的坐标为，
则，，
设点的坐标为，
则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
即直线的解析式为，
当时，，即过定点．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的综合题，涉及待定系数法求解析式，三角形外接圆，正切等知识点；
（1）把根据、设抛物线解析式为，在把代入计算即可；
（2）设点H纵坐标为，，，然后根据点H到x轴的距离是线段MN的，列方程计算即可；
（3）证明是直角三角形即可得到外接圆的圆心为线段的中点．
【详解】（1）∵二次函数图像与x轴交于、，
∴设抛物线解析式为，
把代入可得，
解得，
∴二次函数的解析式
（2）根据题意设设点H纵坐标为，，，
则、是两根
∴，，即，
∵点H到x轴的距离是线段MN的，
∴
∴
∴
解得
∴
（3）对称轴为直线：，顶点
过作于，过作于，
设、，
∴，
，
∵直线与二次函数交于E、F，
∴、是两根，整理得，
∴，
∴，
∴
∴
∴，
∵
∴，即，
∴外接圆的圆心为线段的中点，
∵、，
∴的中点坐标为
∵，
∴
令，消去得，
∴外接圆的圆心在一条抛物线上运动，求该抛物线的解析式为．
15．(1)为正
(2)见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意，，又，在该二次函数的图象上，从而，进而，再由不等式的性质可以判断得解；
（2）依据题意，由（1），对于任意的常数、，都有当时，，可得二次函数始终过定点，再结合对于一次函数，当时，，从而对于任意的，当时都有，故可判断得解．
【详解】（1）解：由题意，，
又，在该二次函数的图象上，
．
．
．
．
．
又，
，即为正．
（2）证明：由（1），
对于任意的常数、，都有当时，．
二次函数始终过定点．
对于一次函数，
当时，
．
对于任意的，当时都有．
一次函数图象上所有的点都高于点．
16．(1)
(2)
(3)经过的定点为
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定与性质，二次函数与一次函数的综合应用，熟练掌握这些性质是解题的关键．
（1）将点，代入，利用待定系数法求解即可；
（2）先得抛物线的解析式，过点P作轴于点T，得到即可求解；
（3）分情况进行讨论即可得出答案．
【详解】（1）解：将点，代入，
得，
解得，
；
（2）解：向上平移n个单位得抛物线，
，
点P为抛物线的顶点，
，
，轴，
轴，
过点P作轴于点T，
，
，
存在有且只有一种情况，
，
，
，
∵，
∴，
解得（舍去负值），
∴，
∴，
由，得，
解得，(舍)；
（3）解：恒过定点，
中t为任意值都满足条件，
令，
联立，
或，
，，
设过定点的直线表达式为，
将点Q代入，得，
，
，
联立，
或，
，
设的解析式为，
将点M、N代入可得：，
解得，
；
令，，
联立，
或，
，，
设过定点的直线解析式为，
将点Q代入得，
，
，
联立，
∴或，
，
设的解析式为，
将点M、N代入可得：，
解得，
的解析式为，
联立，
解得，
直线经过定点，
经过的定点为．
17．（）或；（2）；（3）见解析；，．
【分析】（）根据题意，当时即可求解；
（）由，当时即可求解；
（）过作轴于点，过作轴于点，证明，得，即，求出直线解析式即可；
先求出，，得到四边形面积为，根据题意列出关系式即可求解；
本题考查了二次函数的图象及性质和一次函数，读懂题意，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（）由，
当时，无论取什么值都有，
∴图象必经过定点或，
故答案为：或；
（）由，
，
，
当时，解得：，，无论取什么值都会经过定点，，
∵是非坐标轴上的点，
∴；
（）过作轴于点，过作轴于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∵
∴，
∴直线解析式为，
则经过定点；
由经过定点，直线解析式为，
∵，
∴直线解析式为，
联立，解得，，
∴，，
∵轴，轴，，
∴，，
∴四边形面积为，
设平分四边形面积的直线为，且交于点，
∴，，，
∴最小值可以为，此时四边形为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点横坐标为，
∴，代入得，
则解析式为，
∴的最小值为，此时这条直线的解析式．
18．(1)
(2)，
(3)见解析
【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，二次函数的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）求出当时，x的值即可得到答案；
（2）根据，令，求出x的值，再求出y的值，即可得出答案．
（3）根据二次函数有最小值可得，二次函数开口向上，再求出抛物线对称轴为，即可得出答案．
【详解】（1）解：当时，二次函数解析式为，
当时，，
解得或，
∴当时，二次函数图象与x轴的交点坐标为；
（2）解：
，
令，
解得：或，
当时，，
当时，，
∴这两个定点坐标为，；
（3）解：∵二次函数有最小值，
∴，即二次函数开口向上，
∵二次函数对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小．
19．(1)顶点坐标为；
(2)定点坐标为，．
(3)当或或时，该函数的图象与线段恰有1个公共点
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
（1）把代入，求出顶点坐标即可；
（2）把化为，即可求出定点坐标；
（3）根据题意，结合图象．即可求出的取值范围．
【详解】（1）解：当时，
，
顶点坐标为；
（2）解：，
当时，即或时，的值与无关，
当时，，
时，，
定点坐标为，．
（3）解：，
当时，，
，
，
当时，，该函数的图象与线段恰有1个公共点．是定点，
即：，解得．
当时，，，即抛物线与直线的两交点坐标为，，．
①时，抛物线开口向上，过，两点，
．
在的左边，不在线段上，
∴该函数的图象与线段恰有1个公共点．是定点，
∴此时：
②时，抛物线开口向下，过点在线段上，
抛物线不能过点．
时，，
，
．
，该函数的图象与线段恰有1个公共点．
当或或时，该函数的图象与线段恰有1个公共点．
20．(1)点，点，点
(2)证明见解析，
【分析】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象的性质等知识，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
（1）令和，解方程可求解；
（2）设点，，直线，直线，直线，将点、的坐标代入可得：，，联立直线与抛物线的解析式可得出，，同理：，，进而可得：，，根据直线与直线的交点始终在直线上，可得，，即直线，故直线恒过定点．
【详解】（1）解：对于，令，则，
，，
点，点，
令，则，
点；
（2）证明：如图2，设点，，，，
直线，直线，直线，

将点代入直线的解析式得：，
将点代入直线的解析式得：，
联立直线与抛物线的解析式得：，
整理得：，
则，，
同理：，，
，，
，，
，
，
联立直线与直线的解析式得：，
解得：，
直线与直线的交点始终在直线上，
，
化简得：，
，
直线，
不论为何值，均有时，，
即：直线恒过定点．
21．(1)和；
(2)；；．
【分析】（）根据新定义列方程，然后解方程即可；
（）将，代入解析式，然后解方程即可；
根据题意可得，根据新定义得，根据一元二次方程根与系数的关系得，根据二次函数的性质即可求解；
过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点，证明，根据性质可得，则，然后求出直线的解析式为，最后由一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
解得，
∴反比例函数的不动点值为和；
（2）解：∵二次函数有和两个不动点值，
将，代入解析式得，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
根据题意可得，
∵平移后图象所对应函数总有两个不同的不动点值，，
∴，
即，
∴，
∴，
解得：，
∵，为方程的两个不相等的实数根，
∴，，
∴，
∵当时，随的增大而减小，
当，，
∴；
如图所示，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点，
则，
设点的坐标为，
则，，
设点的坐标为，
则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
即直线的解析式为，
当时，，即过定点．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．

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