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专题 角的平分线问题
如图，∠COD=35°,OC 平分∠AOB,OD 平分∠AOC.求∠AOB 的度数.
改编1 改变角平分线的位置
如图,OB 是∠AOC 的平分线, OD 是∠COE 的平分线.
(1)如果∠AOB=40°,∠DOE=30°,那么∠BOD 是多少度
(2)如果∠AOE=140°,∠COD=30°,那么∠AOB 是多少度
改编2 将角平分线改为折叠
如图①，将一张纸的一角向上折叠，使角的顶点A 落在点 A'处，BC为折痕.
(1)若∠ABC=40°,求∠A'BD 的度数;
(2)如图②，如果将这张纸的另一角也向上折叠，使BD边与B'A重合，折痕为 BE，求∠CBE的度数.
改编3 改变角度数量关系
如图,OC 是∠AOB 内部的一条射线,OD,OE分别平分∠AOB,∠BOC,已知∠DOE=15°,求∠AOC 的度数.
改编4 不给定各角的相对位置
已知 ,若OM平分 ,ON平分. 则 的角度是多少
综合训练
1. 如图,∠AOB=120°,射线 OC 在∠AOB 的内部,射线 OM 是∠AOC 靠近 OA 的三等分线,射线 ON 是∠BOC 靠近 OB 的三等分线.
(1)若OC 平分∠AOB,则∠MON 的度数为 ;
(2)当射线OC绕点O 在∠AOB 的内部旋转时，∠MON的度数是否改变 若不变，求∠MON的度数；若改变，说明理由.
2. 已知 0,且OP不与OA 重合).
(1)当 时，若射线 OP 在 内部，请用量角器在图中画出射线 OP，则 的度数为 ；
(2)当 时,OQ平分∠AOP,求∠BOQ的度数.
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专题 角的平分线问题答案
教材原题 解:因为OD 平分∠AOC,∠COD=35°,所以∠AOC=2∠COD=70°,又因为OC平分∠AOB,
所以∠AOB=2∠AOC=140°.
改编1 解:(1)因为OB 是∠AOC 的平分线,
所以∠AOB=∠BOC=40°,
因为OD是∠COE的平分线，
所以∠COD=∠DOE=30°,
所以.
(2)因为OB,OD分别平分∠AOC,∠COE,
所以∠AOB=∠BOC,∠COD=∠DOE,
因为∠AOE=∠AOB+∠BOC+∠DOC+∠DOE,
所以∠AOE=2(∠AOB+∠DOC)=140°,
所以∠AOB=70°-∠COD=70°-30°=40°.
改编2 解:(1)由折叠的性质得∠1=∠ABC=40°,所以
(2)由折叠的性质得
所以 所以∠CBE 的度数为90°.
改编3 解:因为OD,OE分别平分∠AOB,∠BOC,所以 因为∠DOE=∠BOD-∠BOE=15°,所以 所以∠AOC=2∠DOE=30°.
改编4 解:因为OM平分∠AOB,ON平分∠BOC,∠AOB=100°,∠BOC=60°
所以
如解图①,当OC在∠AOB 的内部时,∠MON=∠BOM-∠BON=50°-30°=20°;如解图②,当OC在∠AOB 的外部时,∠MON=∠BOM+∠BON=50°+30°=80°.综上所述,∠MON的度数为20°或80°.
综合训练
1. 解:(1)80°; 【解法提示】因为OC平分∠AOB,∠AOB=120°,所以 因为射线 OM 是∠AOC 靠近 OA 的三等分线,所以 所以∠MOC=∠AOC-∠AOM=40°,同理得∠CON=40°,所以∠MON=∠MOC+∠CON=80°.
(2)∠MON的度数不变.
因为射线OM 是∠AOC 靠近OA 的三等分线，射线 ON 是∠BOC 靠近OB 的三等分线,所以 所以 ∠MON = ∠AOB - ( ∠AOM +∠BON) = 因为∠AOB=120°,所以∠MON=80°.
2. 解:(1)画出射线 OP 如解图①,15°;
【解法提示】因为当m=1时,∠BOP=∠AOP,因为∠AOB=30°,所以 15°.
(2)当m=2时,∠BOP=2∠AOP,如解图②,当OP 在∠AOB 内部时,因为OQ平分∠AOP,所以 所以 ∠BOQ = ∠BOP + ∠POQ = 2 ∠AOP +
因为∠AOP+∠BOP=∠AOB=30°,
所以3∠AOP=30°,所以∠AOP=10°,
所以
如解图③,当OP在∠AOB外部时,因为∠BOP=2∠AOP=∠AOP+∠AOB,所以∠AOP=∠AOB=30°.
因为OQ 平分∠AOP,所以∠AOQ=15°,所以∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=45°.综上所述,∠BOQ 的度数为25°或45°.

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