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第二章 方程（组）与不等式（组）
第2节 分式方程及其应用
考点分析
考点1 分式方程的解法
课标要求导航：①掌握等式的基本性质；②能解可化为一元一次方程的分式方程；③能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
例1 解分式方程 时，去分母变形正确的是 ( )
1.1 方程 的根是________.
1.2 解方程:
考点2 分式方程的解
例2 若关于x的方程 无解，则k的值为__________.
【思路点拨】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0.
2.1 若关于x的分式方程 有增根，则a的值为 ( )
A. 5 B. - 5 C. 4 D. - 4
2.2 若关于x的分式方程 的解为非负数，则m的取值范围是 ( )
A.m≤1且m≠-1 B.m≥-1且m≠1 C.m＜1且m≠-1 D.m＞-1且m≠1
2.3 关于x的分式方程 有增根，则__________.
考点3 分式方程的应用
课标要求导航：①能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；
②理解方程解的意义，经历估计方程解的过程.
类型1 行程问题
例3 某校九年级学生去距学校20 km的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，5min后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为x km/h，根据题意可列方程 ( )
3.1 某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动.纪念馆距学校72千米，一部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达.已知小型客车的速度是大型客车速度的1.2倍，求大型客车的速度.
类型2 工程问题
例4 为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为 ( )
A. 200 B. 300 C. 400 D. 500
4.1 随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人.甲组每天加工3 000件农产品，乙组每天加工2 700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人.
类型3 销售问题
例5 为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程.课程开设后学校花费6000 元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600 元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元.设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是 ( )
5.1 某公司为节能环保，安装了一批A 型节能灯，一年用电16000千瓦·时.后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9600千瓦·时.一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B 型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦·时.求一盏A 型节能灯每年的用电量.
达标训练
基础达标训练
1.方程 的解是 ( )
2.若方程 有一个根是x=1，则m的值是 ( )
3.甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成.求乙每小时加工零件多少个 设乙每小时加工x个零件，可列方程为( )
4.数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子.已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2 倍.设乙每小时做x个盒子，根据题意可列方程 ( )
5.当m=_______时,解分式方程 会出现增根.
6.方程 的解为__________.
7.解方程:
8.为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动.已知七(3)班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同.求甲、乙两组同学平均每小时各包多少个粽子.
高分提能训练
9.已知关于x的分式方程 无解，则k的值为 ( )
A. k=2或k=-1 B. k=-2 C. k=2或k=1 D. k= - 1
10.如果关于x的分式方程 的解是负数，那么实数m的取值范围是 ( )
A. m＜1且m≠0 B. m＜1 C. m＞1 D. m＜1且m≠-1
11.定义新运算：对于非零的两个实数a 和b，规定 如： 若(x-4)※(x+1)=0,则x的值为__________.
12.若点 Q(x,y)满足 则称点 Q 为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标___________.
13.某旅行社组织游客从A 地到 B 地的航天科技馆参观，已知A 地到 B地的路程为300千米，乘坐 C 型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3 倍，求D 型车的平均速度.
14.某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A，B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测算需要A，B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000 元，已知A 种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元.
(1)求A，B两种外墙漆每千克的价格各是多少元.
(2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的 乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时.问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米.
15.甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，已知甲队单独完成这项工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的1.5倍.若由甲队先单独施工10天，乙队再加入，两队还需同时施工20天，才能完成这项工程.
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天；
(2)已知甲队每天的施工费用为3 500 元，乙队每天的施工费用为5 500 元，若该工程由甲、乙两工程队合作完成，则所需的施工费用是多少元
参考答案
考点分析
【例1】 A 1.1 x=1±
1.2 解：方程两边都乘得解得检验：当 时， 所以分式方程的解是：
【例2】 2或-1 2.1 B
2.2 A 解析: 解得x
原分式方程的解为非负数， 且 解得m且
2.3 -1 解析：方程两边同乘 2),得.
由题意，得 是该整式方程的解，∴2解得
【例3】 D
3.1 解:设大型客车的速度为x km/h,则小型客车的速度为
12分钟 小时.
根据题意，得 解得
经检验， 是原方程的根，且符合题意.
答：大型客车的速度是60 km/h.
【例4】 B
4.1 解：设甲组有 x 名工人，则乙组有 名工人.
根据题意，得 解得
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
答：甲组有20名工人，乙组有15名工人.
【例5】 A
5.1 解：设一盏 B 型节能灯每年的用电量为x千瓦·时，则一盏A 型节能灯每年的用电量为 千瓦·时.
根据题意，得 解得x=96,
经检验，x=96是所列方程的解，且符合题意，
答：一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦·时.
达标训练
1. D 2. D 3. D 4. C 5.6
7.解：原方程两边都乘( 2),
得
整理，得 解得
检验：当 时， ∴ 原方程的解为
8.解：设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包(x个粽子.
根据题意，得 解得
经检验， 是原方程的解，且符合题意.则
答：甲组同学平均每小时包100 个粽子，乙组同学平均每小时包80个粽子.
9. A 解析: -3). ∵ 关于x的分式方程无解，或k-2=0,解得k=-1或2.
10. A 解析:
∵关于x的分式方程 0的解是负数,
∴m-1＜0且 m-1≠-1,解得m＜1且m≠0.
11. - 6
12.(2,-1)(答案不唯一) 解析:
根据题意，得 ∴x+y=1.
∵x≠0,y≠0,∴ 当x=2,y= - 1时, “美好点”的坐标为(2,-1)(答案不唯一).
13.解：设D 型车的平均速度是x千米/时，则C 型车的平均速度是3x千米/时.
根据题意，得 解得
经检验， 是所列方程的解，且符合题意.
答：D型车的平均速度是 100 千米/时.
14.解：(1)设A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克的价格是y元.
根据题意，得 解得
答：A种外墙漆每千克的价格是26元，B种外墙漆每千克的价格是24元.
(2)设甲每小时粉刷外墙的面积是m平方米，则乙每小时粉刷外墙的面积是 平方米.
根据题意，得 解得
经检验， 是所列方程的解，且符合题意.
答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米.
15.解：(1)设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工程需1.5x天.
根据题意，得 解得
经检验，x=40 是所列方程的解，且符合题意，
答：甲队单独完成这项工程需 60天，乙队单独完成这项工程需40天.
216000(元).
答：所需的施工费用是216000元.
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