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2024-2025学年上海市进才中学高二年级上学期
12月月考数学试卷
2024.12
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写
结果，1-6题每个空格填对得4分，712题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
L直线/是平面a的一条斜线，I与平面α内的直线所成角的取值范围是
2.己知圆柱的底面积为1，高为2，则圆柱的侧面积为
3.在正三棱柱ABC-AB,C,巾，AB=AA=2,则直线AA到平面BCC,B的距离为
4.在长方体ABCD-ARCD中，若长方体的体对角线AC与过点A的相邻三个面所成的角
分别为a,B,y,则sin2a+sin2B+sin2y=
5.已知四面体ABCD中，AB⊥CD,AC⊥BD,则点A在平面BCD上的射影是△BCD的
一心.（填“内”或“外”或“垂”）
6如图，已知正三棱柱ABC-ABC的底面边长为lcm,高为5cm,一质点
白A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达4点的最短路线的长为
7.空间四边形ABCD,M、N、P分别为BD、AC、BC的中点，若异面直线AB和CD成
30的角，则∠NPM=
8如图，甲站在水库底面的点D处，乙站在水拟斜面上的点C处，已知库底与水坝所成的二
面角为120°测得从D、C到库底与水坝的交线的距离分别为DA=30米、CB=40米，AB的
长为20√5米，则甲乙两人相距
米
D
9如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F、F在x轴上，A、B是椭圆的顶点，P是椭圆
上一点，且PF⊥x轴，PF/1AB,则此椭圆的离心率是
10止方体ABCD-AB,C,D,的棱长为4，P在Ψ面BCCB上，A,P之问的距离为5，则C、
P之间的最短距离为
11.已知正方体ABCD-AB,CD,的棱长为2，E为CD的中点，点P在正方体的表面上运动，
且满足平面AAP⊥平面BB,E给出下列四个结论：
①△A4P的面积的最大值为V5:
②满足使△AAP的面积为2的点P有且只有4个：
③点P可以是CC,的中点：
④线段AP的最大值为3.
其中所有正确结论的序号是
D
C
A
B
12如图，在正方体ABCD-AB,C,D中，点P在线段AC上运动，异面直线BP与AD所成
的角为日，则日的最小值为
C
A
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）
每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.二面角的取值范倒是()，
A.(0,x)
B.[0,π)
c.(0,π]
D.[0]
14.在长方体ABCD-AB,CD巾，AC与平面ADD,4所成的角为a,AC与AB所成的角为
B,则()
D
A.a=B
B.a+B=π
C.a+B-I
D.a-B-I
4
15如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个同步
显示的时钟，则相邻两个时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）
的过程中，能够相互垂直的次数为()。
A.0
B.2
C.4
D.12
16.在平面上，若曲线「具有如下性质：存在点M,使得对于任意点P∈厂，都有Q∈Γ使得
IPMI-IOM=1.则称这条曲线为“FZ曲线”判断下列两个命题的真假().
①所有椭圆都是“下Z曲线”.
②存在是“FZ曲线"的双曲线.
A.①假命题：②其命题
B.①真命题：②假命题
C.①真命题：②真命题
D.①假命题：②假命题
三、解答题（本大题满分78分）木大愿共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的
规定区域内写出必要的步骤
17.(木题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
《九章算术》中，将四个而都是直角三角形的四而体称为整需”，如图所
示，四面体PABC中，PA⊥平面ABC,AC=BC,D是棱AB的中点
(1)判断四面体PACD是否为整瞒，并说明理山：
(2)若四面体PABC是繁蹒，且AP=AB=2,求直线AC与平面PAB
D
所成的角的大小2024-2025学年上海市进才中学高二年级上学期
12月月考数学试卷
2024.12
一、填竿题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写
结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.直线l是平面α的一条斜线，I与平面内的直线所成角的取值范围是
【答案】
0
2
【解析】山直线和平面所成角的知识点即可得，
2.已知圆柱的底面积为1，高为2，则圆柱的侧面积为一
【答案】4√元
【解析】圆柱的底面半径为r,πr2=1→r=
→8=-2rh=22=4
3.在正三棱柱ABC-A,B,C巾，AB=AA=2,则直线AA到平面BCCB的距离为
【答案】√阝
【解析】作AD⊥BC,因为BB⊥AD,则AD⊥BCCB,即AD=√3为直线AA到平
面BCCB,的距离.
4.在长方体ABCD-AB,CD,中，若长方体的体对角线AC,与过点A的相邻三个面所成的角
分别为a,B,y,则sin2&+sin2B+sin2y=
【答案】1
【解析】连接AB,AD,AC,在长方体ABCD-AB,C,D,中，B,C⊥面ABB,4,
:AC与面ABB4所成的角为∠CAB=a,:sina=C县
AC
同理AC,与面ADD,A所成的角为∠C,AD,=B,
:sinB=C2,AC,与面A8CD所成的角为∠C,4C=y,:sinY=CS
AC
AC
.sin'asinsin=GDCCG+GD+GCi-4C=1.
+C
AC
第1页（共14页）
D
C
5
⊙
5.己知四面体ABCD巾，AB⊥CD,AC⊥BD,则点A在平面BCD上的射影是△BCD的
心.（填“内”或“外”或“垂”)
【答案】垂
【解析】设点A在平面BCD上的射影是H
由AH⊥平面BCD,AB⊥CD,可得CD⊥AH,
即有CD⊥平面ABH,可得CD⊥BH,
同理可得BD⊥CH,BC⊥DH,即有H为△BCD的垂心.
6.如图，己知正三棱柱ABC-A,B,C的底面边长为1cm,高为5cm.,一质点
白A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A点的最短路线的长为
B
【答案】√6
【解析】如图将正三棱柱侧面展开2次，
可知曲面上的最小值即为对角线AA=V6+52=√61
7.空间四边形ABCD,M、N、P分别为BD、AC、BC的中点，若异面直线AB和CD成
30°的角，则∠NPM=
【答案】30°或150
【解析】：AB=CD=8,M、N、P分别为BD、AC、BC的中点，连接MN,MP,NP
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